Содержание к диссертации
Введение
1. Неустойчивость безграничной пластины 24
1.1. Постановка задачи и предварительные замечания 25
1.2. Вывод уравнений для возмущений 27
1.2.1. Уравнение неразрывности 27
1.2.2. Уравнение импульсов 28
1.2.3. Волновое уравнение 29
1.2.4. Условие непротекания 30
1.2.5. Уравнение движения пластины 31
1.2.6. Замкнутая система уравнений 32
1.3. Решение уравнений движения. Бегущие волны 33
1.3.1. Возмущения типа бегущих волн 33
1.3.2. Вывод дисперсионного уравнения 34
1.3.3. Преобразование Фурье-Лапласа и его свойства 38
1.3.4. Решение для произвольного возмущения пластины . 41
1.3.5. Дальнейшие вычисления 43
1.3.6. Обоснование корректности вычислений 46
1.3.7. Структура решения 48
1.3.8. Решение для произвольного возмущения пластины и газа 49
1.3.9. Переход к безразмерным переменным 51
1.3.10. Частные случаи: тангенциальный разрыв и одностороннее обтекание 54
1.4. Устойчивость тангенциального разрыва 55
1.4.1. Метод исследования 56
1.4.2. Случай 1 60
1.4.3. Случай 2 60
1.4.4. Частный случай: равные отношения теплоёмкостей . 65
1.4.5. Поведение решений дисперсионного уравнения 67
1.4.6. Возмущения с произвольно направленным волновым вектором 68
1.4.7. Влияние поверхностного натяжения 69
1.5. Исследование устойчивости в общем случае 71
1.5.1. Неустойчивость длинных волн 71
1.5.2. Поведение решений при изменении к 75
1.5.3. Случай малых плотностей газов 76
1.6. Устойчивость пластины при одностороннем обтекании 80
1.6.1. Критерий устойчивости 80
, 1.6.2. Случай малой плотности газа 82
1.7. Выводы 83
2. Неустойчивость пластины, имеющей форму полосы 86
2.1. Постановка задачи 87
2.2. Неустойчивость одномерных систем 89
2.2.1. Общее решение задачи с начальными и граничными условиями 89
2.2.2. Глобальная и односторонняя неустойчивость 93
2.2.3. Физический смысл односторонней неустойчивости . 96
2.2.4. Физический смысл глобальной неустойчивости 98
2.2.5. Слабая глобальная неустойчивость 100
2.3. Свойства дисперсионного уравнения 102
2.3.1. Разрезы и их асимптотические свойства 103
2.3.2. Определение числа решений дисперсионного уравнения 105
2.3.3. Источник проблемы 108
(gk 2.4. Глобальная неустойчивость высокочастотных возмущений . 109
2.4.1. Условие неустойчивости 109
2.4.2. Физический механизм возникновения неустойчивости . 111
2.4.3. Условие неустойчивости: продолжение 113
2.4.4. Усиление возмущений вне окрестности максимального роста 114
2.4.5. Усиление возмущений в окрестности максимального роста 116
2.4.6. Расположение собственных частот 119
2.4.7. Влияние параметров задачи на высокочастотный спектр 120
2.5. Глобальная неустойчивость низкочастотных возмущений . 122
2.5.1. Поведение низкочастотного спектра при параметрах (2.3.6) 123
2.5.2. Упрощение дисперсионного уравнения 124
2.5.3. Исследование устойчивости при отсутствии натяжения 127
2.5.4. Исследование устойчивости в общем случае 128
2.6. Односторонняя неустойчивость 130
2.6.1. Условие защемления 131
2.6.2. Условие опирання 131
2.6.3. Свободный край 132
2.7. Обсуждение результатов 133
2.8. Выводы 138
3. Оценка точности решения задачи о флаттере пластины, имеющей форму полосы 141
3.1. Влияние ширины пластины на распределение давления . 143
3.1.1. Источник погрешности 143
3.1.2. Вывод уравнения движения пластины 144
3.1.3. Решение уравнения и оценка погрешности 146
3.2. Влияние ширины пластины на образование собственных функций 149
3.2.1. Оценка погрешности 149
3.2.2. Примеры 151
3.3. Влияние демпфирования пластины на рост собственных функций 152
3.3.1. Вязкоупругое демпфирование 152
3.3.2. Конструкционное демпфирование 153
3.3.3. Примеры 155
3.4. Влияние наличия сжимаемого газа по другую сторону от пластины 156
3.5. Выводы 158
Высокочастотный флаттер прямоугольной пластины 160
4.1. Постановка задачи 161
4.2. Условие усиления колебаний пластины 163
4.2.1. Динамический краевой эффект 164
4.2.2. Переход от стоячей волны к бегущим волнам 166
4.2.3. Действие газа на собственное колебание в целом . 170
4.2.4. Построение собственной функции 172
4.3. Вектор скорости газа параллелен одной из сторон пластины . 173
4.4. Вектор скорости не параллелен сторонам пластины 177
4.5. Влияние покоящегося газа 179
4.6. Примеры расчёта флаттера прямоугольной пластины 180
4.6.1. Алгоритм расчёта 180
4.6.2. Флаттер обшивки летательного аппарата 184
4.6.3. Флаттер пластины, испытываемой в аэродинамической трубе 187
4.7. Выводы 194
Оглавление
Заключение 196
Литература
- Уравнение неразрывности
- Общее решение задачи с начальными и граничными условиями
- Вывод уравнения движения пластины
- Динамический краевой эффект
Введение к работе
Настоящая работа посвящена изучению устойчивости плоских упругих пластин, обтекаемых потоком газа. Источник этой задачи лежит в явлении «панельного флаттера» — интенсивных вибраций панелей обшивки самолётов и ракет, возбуждаемых набегающим потоком воздуха.
Выделим в обшивке крыла самолёта отдельную панель (рис. 1) и рассмотрим возмущение её состояния покоя. Такие возмущения неизбежно возникают
Рис. 1. Рассматриваемая панель обшивки крыла. Вид крыла в плане (а), сечение крыла (б).
при полёте, например, из-за перепадов давления воздуха и турбулентности. Чтобы ограничиться рассмотрением одной панели, будем считать, что она вмонтирована в жёсткую раму и обтекается с одной стороны потоком воздуха (рис. 2). Если скорость потока не очень велика, то энергия возникающих
zzzzf^
Рис. 2. Колебание изолированной панели.
возмущений рассеивается в потоке, и он обладает демпфирующим действием. Однако, при превышении некоторой критической скорости (как правило,
Введение и обзор литературы
сверхзвуковой) возникает обратный приток энергии от воздуха к панели, и возникающие малые колебания «раскачиваются» потоком — положение панели становится неустойчивым. В результате амплитуды колебаний быстро нарастают, что приводит к катастрофическому или усталостному разрушению панели.
Впервые панельный флаттер возник во время Второй мировой войны на немецких ракетах V-2 в 1944 г., в результате чего многие из них были подвержены разрушениям [1]. На самолётах этот вид флаттера, даже в случае разрушения отдельных панелей, обычно не приводит к крушению, но может приводить к существенному ухудшению управляемости самолёта и разрушению других систем. Так, в 1950-х гг. на одном из опытных истребителей в результате возникшего флаттера одной из панелей произошло разрушение трубопровода гидравлической системы, соединённого с этой панелью, что привело к крушению [1]. Из недавних происшествий можно выделить возникновение панельного флаттера на американском истребителе F-117A в 1980-х гг. После испытательных полётов было обнаружено разрушение примерно половины композитных панелей обшивки, которые затем были перепроектированы [2].
В настоящее время задача панельного флаттера является весьма актуальной. Совершенствование характеристик как военных, так и гражданских самолётов неизбежно требует уменьшения их массы, а следовательно и жёсткости панелей обшивки, что повышает возможность возникновения панельного флаттера. Активно обсуждаются концепции создания самолётов с изменяемой формой, что также неизбежно приводит к уменьшению толщины обшивки. Наконец, использование новых материалов и, в частности, композитов меняет физические свойства панелей и также может привести к воз-
Введение и обзор литературы
никновению флаттера.
2. Место панельного флаттера среди других видов аэроупругой неустойчивости
Среди множества явлений, возникающих в поведении аэроупругих и гидроупругих систем, потеря устойчивости представляет одно из самых опасных явлений, поскольку часто ведет к быстрому разрушению конструкций.
Различают два вида потери устойчивости — статическую (дивергенцию) и динамическую (флаттер). Дивергенция представляет собой статическую деформацию (выпучивание) конструкции, возникающую при преодолении потоком некоторой критической скорости. Флаттером называются автоколебания системы поток - упругое тело. Причиной и дивергенции, и флаттера является передача энергии потока в упругую среду. Однако, как правило, именно флаттер представляет наибольшую опасность, так как скорости потока, при которых деформации, вызванные дивергенцией, приводят к разрушению, обычно выше скоростей, при которых наступает флаттер.
Явление флаттера встречается в системах самой разной природы. Впервые оно возникло в начале XX века в виде флаттера крыльев и элеронов первых самолётов и приводило к многочисленным жертвам: амплитуды внезапно возникающих колебаний в течение нескольких секунд увеличивались до предельных, после чего происходило разрушение и гибель самолётов [1]. Тогда же был сделан вывод, что причина этих катастроф заключается во взаимодействии возникающих случайных колебаний крыла и набегающего потока воздуха: при небольших скоростях полёта воздух обладает демпфирующим действием, однако при превышении некоторой критической скорости коле-
Введение и обзор литературы
бания, наоборот, быстро усиливаются за счёт дополнительной «подкачки» энергии из потока. Была построена модель связанных изгибно-крутильных колебаний крыла, обтекаемого потоком воздуха, и получено простое объяснение изменения направления передачи энергии между крылом и потоком. В дальнейшем это позволило не допускать возникновения флаттера уже на этапе конструирования самолётов. В настоящее время флаттер крыльев, элеронов и стабилизаторов самолётов, а также лопастей вертолётов изучен достаточно хорошо, однако из-за ошибок проектирования это явление возникает и в наши дни. Так, 14 сентября 1997 г. в результате возникновения флаттера на американском истребителе F-117A во время показательных полётов на авиашоу разрушилась часть крыла, что привело к крушению1. 12 сентября 2001 г. при выполнении испытательного полёта российского самолёта М-101Т «Гжель» также возник флаттер крыла, в результате чего самолёт разрушился в воздухе и разбился.
Развитие авиации и создание самолётов и ракет, движущихся со сверхзвуковой скоростью, привело к встрече с новым явлением — панельным флаттером, при нём возникают интенсивные вибрации отдельных гибких панелей обшивки. Этот тип флаттера и возможные последствия его возникновения описаны выше.
В авиационном двигателестроении хорошо известна проблема флаттера лопаток осевых компрессоров. Возникающие интенсивные колебания лопаток могут приводить к быстрой (в течение нескольких минут) усталостной поломке и сильным повреждениям последующих ступеней компрессора разрушенными частями. В отличие от флаттера частей самолётов и ракет, передача энергии от потока воздуха к колеблющимся лопаткам возникает не толь-
Введение и обзор литературы
ко из-за воздействие потока на лопатки, но и из-за изменения динамических
свойств лопаток при увеличении частоты вращения ротора. Отметим, что
из-за сложной геометрии лопаток и сильной неоднородности потока воздуха
в межлопаточном канале до сих пор отсутствуют надёжные и эффективные
,^ методы расчётного прогнозирования флаттера.
В последнее время в связи с развитием компьютерной техники возник интерес к флаттеру вращающихся дисков [3, 4, 5]. Как известно, жёсткие диски компьютеров представляют собой плотный набор вращающихся соос-ных магнитных дисков, на которые записывается информация. Повышение объёма хранимых данных приводит к увеличению радиуса дисков, а повышение скорости доступа — к увеличению скорости их вращения. В результате на внешнем радиусе дисков скорость движения становится очень большой, и возникают интенсивные флаттерные колебания, приводящие к ошибкам позиционирования магнитных головок и неработоспособности устройства. С этим явлением столкнулись все ведущие производители жёстких дисков: IBM [6], Fujitsu [7], Western Digital1, Seagate2. Известны также случаи возникновения флаттера перспективных моделей оптических компакт-дисков [4].
Помимо этого, известны случаи возникновения флаттера мостов, высотных зданий и сооружений [8, 9, ch. б], а также стенок кровеносных сосудов [8].
3. Механизмы возбуждения флаттера
Рассмотрим произвольную аэроупругую систему и будем считать, что при малых деформациях конструкции изменение потока газа также мало, други-
Введение и обзор литературы
ми словами будем рассматривать системы, которые при малых возмущениях являются линейными. Для этого, например, достаточно, чтобы течение при колебаниях конструкции было безотрывным.
Считая, что колебания (пока амплитуды малы) являются гармоническими и зависят от времени как е~ші, рассмотрим спектр собственных частот системы. В отсутствии газа они совпадают с собственными частотами конструкции и являются вещественными. В покоящемся газе собственные частоты приобретают отрицательную мнимую часть, поскольку он демпфирует колебания. Будем постепенно увеличивать скорость потока. Тогда возможны два механизма возникновения неустойчивости: флаттер с одной степенью свободы и флаттер связанного типа [9, ch. 3, 3.6].
При флаттере с одной степенью свободы демпфирование одного из собственных колебаний со стороны газа сменяется усилением, мнимая часть соответствующей частоты становится положительной (рис. 3, а), и это колебание становится неустойчивым. При этом какого-либо взаимодействия между собственными колебаниями не происходит.
При флаттере связанного типа происходит сближение двух соседних (как правило, первой и второй) собственных частот, слияние и изменение направления их движения: одна уходит в нижнюю полуплоскость, и соответствующее колебание является устойчивым, вторая уходит в верхнюю полуплоскость, и колебание в момент пересечения вещественной оси становится неустойчивым (рис. 3, б). Форма неустойчивого колебания является «смешанной» по сравнению с формами колебаний до слияния частот. Так, при связанном флаттере крыла происходит слияние изгибной и крутильной формы колебаний, а флаттерное колебание имеет вид связанного изгибно-крутильного движения. При панельном флаттере, как правило, сливаются формы коле-
Введение и обзор литературы
А ІІЇ1С0
Re со
->
О
Рис. 3. Качественный вид траекторий движения собственных частот колебаний при увеличении скорости потока и потеря устойчивости: при флаттере с одной степенью свободы (а), флаттере связанного типа (б). Кружками показаны частоты в отсутствии газа, точками — при флаттере.
баний, имеющие одну и две полуволны в направлении потока, а флаттерное колебание имеет переменную длину волны (большую у передней кромки и меньшую — у задней) и амплитуду (меньшую у передней кромки и большую у задней).
В теории флаттера крыла возможно возбуждения обоих типов флаттера. В теории панельного флаттера, где для вычисления давления, действующего на колеблющуюся пластину, как правило используется поршневая теория [10, 11], до сих пор был обнаружен и изучался лишь флаттер связанного типа.
Основным результатом настоящей работы является доказательство существования флаттера пластины с одной степенью свободы, причём он не может быть получен при использовании поршневой теории. Выяснен простой физический механизм возбуждения колебаний, получен критерий флаттера и изучены его свойства. Из огромного числа имеющихся в литературе работ по панельному флаттеру автору известны лишь четыре упоминания о
Введение и обзор литературы
возможности возникновения флаттера с одной степенью свободы при малых сверхзвуковых числах Маха, без каких-либо конкретных сведений и ссылок на открытые публикации [12, 13, 14, 15].
4. Обзор литературы по панельному флаттеру
В приводимом ниже обзоре отмечены ключевые и наиболее интересные, с точки зрения автора, исследования. Подробные обзоры содержатся в работах [16, 13, 17, 18], а также книгах [19, 20].
Уравнение неразрывности
В линейном приближении исследуется устойчивость плоской безграничной по всем направлениям тонкой упругой пластины, сверху и снизу от которой находятся два газа: нижний — покоится, верхний — поступательно течёт с постоянной скоростью и параллельно пластине. Газы считаются невязкими и совершенными с плотностями pi, р2 (индекс «1» означает верхний газ, «2» — нижний) и скоростями звука а\ и ач\ течение считается адиабатическим. Пластина подвержена изотропному растяжению и обладает изгибной жёсткостью. Её толщина h, плотность материала рт, растягивающее усилие N и изгибная жёсткость D считаются постоянными. Массовые силы отсутствуют.
Выберем систему координат xyz так, что оси х и у лежат в плоскости невозмущённой пластины, причём х направлена вдоль вектора скорости и, а ось z перпендикулярна пластине и направлена в сторону верхнего газа (рис. 1.1).
Пусть в начальный момент на систему налагается малое возмущение. Докажем, что для исследования устойчивости движение и верхнего, и нижнего газа можно считать потенциальными. Действительно, в общем случае вектор скорости можно представить в виде суммы потенциальной и вихревой части: v = grad ip + rot А. Первая часть полностью определяется объемным распределением источников є = divv, вторая — распределением вектора вихря ш = - rot v [61, гл. VIII, 26]. Поскольку выполнены все условия теоремы Том-сона [62, гл. VI, 7], то вектор вихря, а следовательно, и вихревая часть возмущения, вморожены в частицы газа. Так как в области, занимаемой газом, в линейном приближении вихревая и потенциальная части возмущений распространяются независимо, то единственная возможность их влияния друг на друга — через взаимодействие с пластиной. Однако действие пластины эквивалентно приложению поверхностных сил к области, занимаемой газом, и в силу теоремы Томсона возмущение газа, вызываемое пластиной, всегда является потенциальным. Следовательно, возникшее вихревое возмущение может через взаимодействие с пластиной возбуждать потенциальное возмущение, но не наоборот.
В системе координат, движущейся вместе с газом (или покоящейся, если рассматривается возмущение нижнего газа), вихревая часть возмущения представляет собой статическую силу, приложенную к пластине. Возмущение прогиба можно представить как сумму статического прогиба, вызванного вихревым возмущением, и добавочного прогиба, вызванного процессом установления статического прогиба из невозмущённого состояния. Этот добавочный прогиб, как показано выше, может порождать только потенциальное возмущение газа. Если каждое потенциальное возмущение будет оставаться ограниченным во времени, то и описанный процесс действия вихревого возмущения на систему будет приводить к суммарному ограниченному возмущению, если же хотя бы одно потенциальное возмущение будет усиливаться, то и суммарное возмущение будет усиливаться. Отсюда следует, что для исследования устойчивости достаточно рассматривать только потенциальные возмущения.
Обозначим: (pj(x,y,z,t) — потенциал скорости j-ro газа, w(x,y,i) — прогиб пластины. В этом разделе индексом «О» будем обозначать невозмущённые значения величин, без этого индекса — их возмущения.
Первые три пункта раздела посвящены выводу уравнений для возмущений газа, четвёртый пункт — выводу кинематического граничного условия для течения газа около пластины — условия непротекания, пятый пункт — выводу динамического граничного условия для течения газа около пластины — уравнения движения пластины.
Для удобства, чтобы выводить уравнения для возмущений сразу и верхнего и нижнего газа, обозначим: щ = и, щ = 0 — скорости невозмущённого движения.
Общее решение задачи с начальными и граничными условиями
Полученный критерий М Mw есть критерий устойчивости длинных волн, в случае неустойчивости каждому к соответствует одно растущее возмущение. При увеличении к образ С всегда имеет такой же вид, как на рис. 1.17, поэтому короткие волны всегда являются устойчивыми.
Рассмотрим влияние пластины на устойчивость. Натяжение, то есть параметр Mw, очевидно, является стабилизирующим фактором. Если же оно недостаточно велико, и система неустойчива (М Mw), то жёсткость D является стабилизирующей в следующем смысле: область волновых чисел к, соответствующих растущим волнам, уменьшается, а те волны, которые остаются растущими, уменьшают скорость роста.
Для возмущений, ориентированных под углом к потоку газа (a - 0), вид дисперсионного уравнения не изменяется; изменение заключается в уменыне Глава 1. Неустойчивость безграничной пластины нии числа М. Поэтому при рассмотрении плоских синусоидальных возмущений, волновой вектор которых произволен, критерий устойчивости совпадает с полученным выше.
К рассмотренному случаю сводится исследование устойчивости пластины, обтекаемой с двух сторон одним и тем же газом с одинаковой скоростью, при этом только надо заменить ц на 2ц. Условие устойчивости этой задачи совпадает с полученным выше критерием М Mw.
Случай малой плотности газа Рассмотрим, аналогично п. 1.5.3, случай д 1в предположении, что к не слишком мало. Тогда корни дисперсионного уравнения (1.6.1) близки к корням первого слагаемого с = Су, = ±y/Dk2 + М2, с = М ± 1. Рассмотрим первую пару корней. При наличии газа они получают приращения: с = Cw + Дсц,, Асш С 1. В линейном приближении из (1.6.1) получаем:
Отсюда видно, что волна, бегущая против потока газа (су, 0), всегда является или нейтральной (при М — cw 1, что означает дозвуковое течение газа относительно волны), или затухающей (при М — Су, 1 — сверхвуко-вое течение газа относительно волны). Волна, бегущая в направлении потока (cw 0), является усиливающейся, нейтральной и затухающей соответственно при Cw М — 1, М — 1 сш М+1исш М + 1. Отсюда получаем критерий устойчивости волн, порождённых пластиной, совпадающий с аналогичным критерием при наличии покоящегося газа (п. 1.5.3): Mw М — 1.
Покажем, что волны, порождённые газом, затухают. Поскольку первое слагаемое в (1.6.1) по порядку величины больше, чем второе, то критерием Глава 1. Неустойчивость безграничной пластины затухания является наличие на отрезке [М — 1; М + 1] хотя бы одной точки с, при которой первое слагаемое отрицательно. Действительно, если это так, то образ С выглядит как на рис. 1.17, и дисперсионное уравнение не имеет корней в верхней полуплоскости, в противном случае вся левая часть (1.6.1) на отрезке положительна, образ всей вещественной оси лежит в правой полуплоскости (качественно — как на рис. 1.9), и уравнение (1.6.1) имеет один корень с положительной мнимой частью. Однако, первое слагаемое в (1.6.1) принимает на отрезке [М — 1; М + 1] отрицательные значения тогда и только тогда, когда Сц, М — 1, что совпадает с критерием устойчивости волн, порождённых пластиной, полученным выше в линейном приближении по /І. Таким образом, только такие волны могут быть растущими.
В отличие от п. 1.5.3, при с « М—1 не происходит «обмена» принадлежностью волн между пластиной и газом, и рост волны переходит в затухание через область нейтральных колебаний.
Рассмотрена задача об устойчивости безграничной упругой пластины, обтекаемой с одной стороны потоком газа при наличии с другой стороны покоящегося газа, а также два частных случая: отсутствие пластины (тангенциальный разрыв) и отсутствие покоящегося газа.
Выведены уравнения движения и граничные условия, получено их общее решение и доказано существование и единственность решения задачи Коши. Показано, что устойчивость системы определяется поведением возмущений вида бегущих волн, которое, в свою очередь, определяется дисперсионным уравнением.
В критерии устойчивости входят шесть безразмерных параметров, опре Глава 1. Неустойчивость безграничной пластины деляющих свойства системы: М — число Маха движущегося газа, Mw — отношение скорости распространения длинных изгибных волн в пластине к скорости звука в движущемся газе, D — безразмерная изгибная жёсткость пластины, [i\2 — отношения плотностей газов к плотности пластины, \ отношение скорости звука покоящегося газа к движущемуся.
Для тангенциального разрыва в предположении, что скорость звука в покоящемся газе меньше, чем в движущемся (что не ограничивает общности), получены достаточные условия устойчивости и неустойчивости по отношению к плоским возмущениям системы (п. 1.4.2 и 1.4.3). Качественно построена область устойчивости в трёхмерном пространстве параметров (М, X, к = №ІУ \)- В частном случае х%2 = 1 критерий устойчивости имеет вид М (1 + х2//3)3 2- Изучено влияние поверхностного натяжения. При М х + 1 оно стабилизирует короткие волны (хотя длинные при этом остаются растущими), а при М х + 1 оно приводит к дестабилизации системы в случае, когда она была устойчивой без учёта поверхностного натяжения, и к усилению роста возмущений — когда она была неустойчивой. Показано, что по отношению к возмущениям, произвольно ориентированным к потоку газа, тангенциальный разрыв всегда неустойчив.
Система из пластины, с одной стороны от которой газ движется, а с другой покоится, неустойчива при любых параметрах задачи, причём растущими являются длинные волны. Поведение других волн и влияние параметров зависит от числа Маха. Если М х + 1, то коротковолновые возмущения устойчивы, а пластина обладает стабилизирующим действием: с увеличением параметров Mw и D произвольное возмущение с заданной длиной волны становится устойчивым, хотя при этом всё равно найдутся растущие возмущения с достаточно большими длинами волн.
Вывод уравнения движения пластины
В предыдущей главе была исследована устойчивость пластины, имеющей форму полосы, обтекаемой сверхзвуковым потоком газа. Исследование проведено асимптотически при ширине пластины L — со. Было обнаружено два типа неустойчивости — высокочастотный и низкочастотный флаттер. Низкочастотный флаттер является классическим и возникает при взаимодействии двух форм колебаний пластины через аэродинамическую связь, он был подробно исследован в многочисленных работах по флаттеру пластин. При высокочастотном флаттере колебания происходят по одной форме и являются следствием отрицательного аэродинамического демпфирования, этот тип флаттера был теоретически обнаружен впервые.
Условие L —» со использовалось дважды. Во-первых, в методе глобальной неустойчивости [70,71, 65], использованном при решении задачи на собственные значения, считалось, что из .четырёх бегущих волн, существующих при заданной частоте в системе пластина - газ, существенными являются только две волны. Во-вторых, давление, действующее на колеблющуюся пластину, вычислялось не по точной формуле, а считалось суперпозицией давлений, действующих на гармонические волны в воображаемой безграничной пластине.
Настоящая глава посвящена оценке ширины пластин, к которым применимы результаты этого исследования. Кроме того, выясняется влияние конструкционного демпфирования и диссипации энергии в материале пластины, а также влияние покоящегося газа в области z 0.
Поскольку низкочастотный флаттер в литературе изучен достаточно хорошо, основной интерес в этой главе будет представлять высокочастотный флаттер. Считается, что выполнено условие М Mw + 1, которое является критерием высокочастотного флаттера пластин достаточно большой шири 142
Критерий глобальной неустойчивости, имеющий место для одномерных систем большой, но конечной протяжённости, применялся в предыдущей главе для системы пластина - газ, в которой конечную протяжённость имеет пластина, а газ течёт вдоль всей оси х. Собственные формы колебаний пластины строились в виде суперпозиции бегущих по безграничной пластине волн вида w(x,t) = е кх-"г\ х оо, (3.1.1) удовлетворяющей граничным условиям на кромках х = ±L/2, а давление газа считалось суперпозицией давлений ф, t) = » (" - Ш)2 -J , (3.1.2) у/ к2 -{и- Мк)2 действующих на эти волны. В результате удовлетворяются все уравнения и граничные условия (2.1.1), кроме условия отсутствия возмущений при X —L/2 (вторая строка в системе (2.1.1)). Для его удовлетворения нужно было бы строить решения из волн вида w(x, t) = \{х)е іші, \х\ L/2, w(x, t) = 0, x -L/2, удовлетворяющих уравнению движения пластины. Давление, действующее на такие волны, в окрестности передней кромки пластины (х = — L/2) может существенно отличаться от (3.1.2), что, вообще говоря, может привести
Оценка точности решения задачи о флаттере как к изменению форм собственных колебаний, так и к изменению области устойчивости в пространстве параметров системы. При этом, так как поток сверхзвуковой, отличие давлений, порождаемое задней кромкой, не оказывает влияния на колебания пластины. Вывод уравнения движения пластины Для оценки допущенной погрешности сначала получим из системы (2.1.1) замкнутое интегродифференциалыюе уравнение движения пластины, обтекаемой сверхзвуковым потоком газа [19, 4.7].
Динамический краевой эффект
Рассмотрим пару волн &2,з( ) движущихся в противоположные стороны и образующих глобальную собственную функцию. В п. 2.4.2 главы 2 на основе изучения сдвига фаз между волной, бегущей по пластине и давлением, действующим на неё со стороны движущегося газа, было установлено, что под влиянием этого газа волна, бегущая против потока (&з) всегда затухает, а волна, бегущая по потоку () усиливается при с М — 1, сохраняет амплитуду при М — 1 с М + 1,и затухает при О М +1, здесь с — фазовая скорость волны. Рассматривая сдвиг фаз между волной и давлением покоящегося газа, легко увидеть, что его влияние на рост этих волн следующее: при \с\ х волны не меняют амплитуды, а при \с\ х затухают.
Отсюда видно, что рост бегущей по потоку волны (а значит, и всей собственной функции) может происходить только под влиянием движущегося газа, и частота, соответствующая максимальному росту, остается той же, что и без учёта покоящегося газа: с(ситах) = М-1 = ow = {М- 1)у/{{М - I)2 - Ml)ID
Пользуясь качественными свойствами влияния покоящегося и движущегося газов на волны, бегущие по пластине, легко получить свойства зависимо 157
Оценка точности решения задачи о флаттере сти Smax(M) = S(umax(M)). При с = М — 1 х показатели роста, вычислен ные без учёта и при учёте покоящегося газа совпадают, поскольку последний не даёт вклада в изменение амплитуд бегущих волн. Если с = М — 1 х т0 покоящийся газ обладает демпфирующим свойством — показатель роста под его влиянием уменьшается. Максимальному демпфированию с его стороны соответствует случай М — 1 = х, поскольку фазовая скорость волн в этом случае совпадает со скоростью звука в покоящемся газе, и влияние последнего на амплитуды волн максимально. В зависимости от соотношений между //і, /І2 и х возможны ситуации, когда демпфирование покоящегося газа не может подавить флаттер при М — 1 х полностью его подавляет, или подавляет только при М — 1 « X) а ПРИ больших М флаттер возникает вновь. По аналогии с п. 2.4.5 главы 2 можно получить явное выражение 6тах(М) при М — 1 х, Л — 1 ХиМ — 1 хи найти условия, при которых один случай сменяется другим.
В частном случае, когда скорости звука в покоящемся и движущемся газе совпадают, то х = 1, и при М 2 покоящийся газ не оказывает влияния на рост собственных функций при высокочастотном флаттере.
Отметим, что, как и в случае отсутствия покоящегося газа, условия пространственного роста отдельных волн и усиления всей собственной функции совпадают с условиями временного роста волн (п. 1.5.3 главы 1).
Проведена оценка ширины пластин, к которым применимы результаты исследования высокочастотного флаттера, проведённого в главе 2. Рассмотрены четыре источника погрешности: неточность в определении давления, действующего на колеблющуюся пластину, использование метода глобальной
Оценка точности решения задачи о флаттере неустойчивости при решении задачи на собственные значения для пластины конечной ширины, пренебрежение демпфированием колебаний пластины и наличием покоящегося газа с другой стороны от обтекаемой поверхности.
Неточность в определении давления, действующего на колеблющуюся пластину, пренебрежимо мала и не накладывает ограничений на её ширину Получена оценка ширины пластины, при которой для исследования задачи на собственные значения можно применять теорию глобальной неустойчивости, то есть считать собственные функции состоящими из двух бегущих волн и пренебрегать затухающими волнами. На практике она достаточно мала — минимальное отношение ширины пластины к её толщине имеет порядок нескольких десятков.
Исследовано влияние рассеяния энергии в материале пластины и конструкционного демпфирования на собственные функции и получено условие их роста. Достаточно большое рассеяние в материале предотвращает флаттер пластин любой ширины, в то время как конструкционное демпфирование при достаточно большой ширине может быть сделано сколь угодно малым, и поэтому для достаточно широких пластин оно не может подавить флаттер.
Учёт покоящегося газа, находящегося около поверхности пластины, противоположной обтекаемой, при М — 1 х, где М — число Маха, х — отношение скорости звука покоящегося газа к движущемуся, не оказывает влияния на рост собственных функций, а при М — 1 х обладает демпфирующим действием и может частично или полностью подавить флаттер.
