Содержание к диссертации
Введение
1 Задачи и кинетические подходы в теории неоднородных релаксирующих сред. 13
1.1 Описание смесей с существенно различающимися массами компонентов 13
1.2 Нестационарные задачи конденсации 23
1.3 Методы расчета констант скоростей колебательно-вращательных переходов 26
2 Двухкомпонентные смеси с существенно различающимися массами частиц. Кинетический подход . 38
2.1 Классификация моделей многокомпонентных сред 39
2.2 Эффекты анизотропии в многокомпонентных средах 47
2.3 Анализ струйных течений многокомпонентных сред 56
2.4 Выводы к главе 2 61
3 Двухкомпонентные смеси с существенно различающимися массами частиц. Смешанный подход. 62
3.1 Характеристика режимов течений при сплошносредном описании несущего компонента 63
3.2 Расчет параметров течения двухфазной смеси при обтекании сферы с учетом столкновений частиц между собой 64
3.3 Упрощенное описание ударного слоя в примесной фазе 71
3.4 Фрудовский слой в примесной фазе 81
3.5 Выводы к главе 3 84
4 Нестационарные эффекты в теории нуклеации . 86
4.1 Постановка задачи о нахождении функции распределения кластеров по размерам 86
4.2 Анализ основного уравнения 88
4.3 Время задержки формирования квазистационарной функции распределения кластеров по размерам. 95
4.4 Квазистационарный ток зародышеобразования 98
4.5 Время задержки формирования квазистационарного тока зародышеобразования 100
4.6 Доля конденсата 104
4.7 Особенности дискретного подхода 106
4.8 Выводы к главе 4 109
5 Расчет сечений и констант скоростей колебательно-вращательных переходов . 111
5.1 Модель гамильтониана 113
5.2 Приближение варьируемых диаметров 116
5.3 VT-переходы 123
5.3.1 Двухатомные молекулы 129
5.3.2 Многоатомные молекулы 138
5.4 VV-переходы 144
5.4.1 Двухатомные молекулы 146
5.4.2 Многоатомные молекулы 151
5.5 RT-переходы 152
5.5.1 Двухатомные молекулы 152
5.5.2 Многоатомные молекулы 167
5.6 RR-переходы 187
5.7 VR-переходы 194
5.8 Выводы к главе 6 203
Заключение. 206
Приложение 1. 208
- Методы расчета констант скоростей колебательно-вращательных переходов
- Эффекты анизотропии в многокомпонентных средах
- Расчет параметров течения двухфазной смеси при обтекании сферы с учетом столкновений частиц между собой
- Время задержки формирования квазистационарного тока зародышеобразования
Введение к работе
Актуальность темы. В последнее время спектр задач газовой динамики значительно расширился. Это связано с необходимостью адекватного описания реальных газодинамических процессов с учетом сложных физико-химических явлений, фазовых превращений, межфазных взаимодействий, эффектов неравновесности и т.д. В результате возникают задачи на стыке различных областей физики, таких как механика сплошных сред, термодинамика, теория фазовых переходов, кинетическая теория (газовых и конденсированных сред), молекулярная физика, теория элементарных процессов, теория рассеяния и многие другие. Все это обуславливает необходимость привлечения широкого спектра методов теоретической и математической физики, позволяющих решать возникающие вопросы.
Исследование течений неоднородных (многокомпонентных, многофазных) сред связано с необходимостью решения большого числом задач природного и техногенного происхождения. К ним относятся задачи обтекания космических и воздушных летательных аппаратов, атмосферных явлений, моделирования технологических установок и биологических систем. Для построения моделей таких течений требуется создание адекватного описания процессов переноса. При достаточно высокой концентрации примесного компонента при использовании традиционных постановок этих задач возникает необходимость учета многих особенностей, обусловленных присутствием примесной фазы. Исследование таких систем затрагивает фундаментальные аспекты реологии и описания систем при наличии крупномасштабных (обусловленных наличием несущей среды) межчастичных корреляций.
Получение материалов с заданными свойствами является в последнее время одной из актуальнейших задач. Одним из перспективных направлений создания таких материалов является их получение в процессе конденсации или прикла-стерном напылении. Управление этими процессами требует описания процесса нестационарной нуклеации. При этом принципиальным оказывается вопрос о влиянии скорости изменения газодинамических параметров на процесс нуклеа ции.
Моделирование релаксационных процессов в неоднородных средах, связанных с обменом колебательной, вращательной и поступательной энергией, требуется при решении многих задач газовой динамики. Такие процессы оказываются существенными, например, при описании полетов летательных аппаратов (особенно на высотах 80-100 км), при моделировании плазмохимических и лазерных установок и многих других. При этом для замыкания кинетических уравнений требуется знание соответствующих сечений рассеяния, а для замыкания уравнений поуровневой кинетики - констант скоростей в широком диапазоне температур и квантовых чисел. В настоящее время для расчета этих характеристик используются либо крайне простые модели, не описывающие всего многообразия процесса обмена внутренней энергией, либо аппроксимационные данные, получаемые на основе сложных квантовомеханических расчетов выполненных в ограниченном числе точек и мало пригодные для использования в газодинамических расчетах.
Актуальность указанных задач механики неоднородных сред обусловлена как внутренними потребностями теории (расширение возможностей, совершенствование методов), так и многочисленными практически важными приложениями.
Таким образом, разработка подходов математического описания процессов в неоднородных средах является актуальной и важной в практическом отношении задачей.
Целью работы является создание методов более адекватного описания неоднородных сред путем расширение арсенала соответствующих моделей, что подразумевает:
1. Вывод уравнений переноса неоднородной среды и их замыкание в рамках кинетического подхода, исследование областей их применимости. Поиск новых эффектов, описываемых с использованием этих моделей. Установление связи описания полученного из первых принципов с существующими феноменологическими или полуфеноменологическими моделями с целью создания достаточно полного набора адекватных моделей.
2. Построение моделей газодинамических особенностей, возникающих при взаимодействии потока смеси газа с твердыми частицами или газовых смесей с существенно различающимися массами частиц с поверхностями, установка области их применимости.
3. Создание метода описания процесса нестационарной нуклеации, определение характерных этапов этого процесса и вывод замкнутых уравнений для доли конденсата.
4. Построение метода расчета характеристик, замыкающих кинетические уравнения и уравнения поуровневой кинетики, а именно сечений и констант скоростей процессов обмена колебательной, вращательной и поступательной энергиями, позволяющего рассчитывать их в очень широком диапазоне энергий и квантовых чисел. Исследование физических процессов, определяющих механизмы обмена внутренней энергией при молекулярных столкновениях. Создание на его основе пакета программ для расчета этих характеристик.
Научная новизна.
В диссертации получены следующие научные результаты:
1. На основе концепции сокращенного описания и понятия о приближенных столкновительных инвариантах предложен метод получения уравнений переноса двухкомпонентной смеси и их замыкания. Получены критерии применимости различных моделей. Впервые обнаружены режимы сильного влияния примесной фазы, приводящие к новым реологическим соотношениям: возникновению дополнительного анизотропного релаксационного давления, определяемого относительной скоростью компонент, и тензорному характеру коэффициентов переноса в уравнениях, описывающих поведение несущей фазы. Выполнена классификация моделей струйных течений двухкомпонентных смесей.
2. Предложен новый подход к описанию течений газовзвесей, основанный на выделении особенностей в примесной фазе, характеризующихся повышенной концентрацией примесной фазы и имеющих различное происхождение. Построены модели различных типов особенностей и определены области их применимости.
3. Предложен подход к описанию нестационарного процесса нуклеации, основанный на переходе к сокращенному описанию путем разделения быстрых и медленных процессов. Определены основные временные этапы этого процесса и рассчитаны его основные характеристики: квазистационарная функция распределения кластеров по размерам, квазистационарный ток зародышеобразования и соответствующие времена индукции. Выявлен основной управляющий параметр системы, ответственный за отклонение решения от классического стационарного и за форму квазистационарного распределения. Получены уравнения, описывающие эволюцию доли конденсата. Впервые все этапы эволюции как функции распределения, так и доли конденсата описаны в рамках единого подхода.
4. Построен метод расчета сечений и констант скоростей процессов обмена колебательной, вращательной и поступательной энергиями, основанный на квазиклассическом описании внутримолекулярных движений и процесса столкновения и позволяющий рассчитывать эти характеристики в очень широком диапазоне энергий и квантовых чисел. Выявлен новый механизм, определяющий поведение соответствующих сечений и констант скоростей, связанный с резонансом классических частот. Впервые в рамках квазиклассического подхода получены оценки молекулярного диаметра сильно вращательно и колебательно возбужденных двухатомных молекул. Получено новое приближенное правило отбора, названное адиабатическим. Впервые произведено квазиклассическое квантование молекул типа асимметричного волчка и рассчитаны соответствующие сечения.
Перечисленные результаты были получены в диссертации впервые и являются определяющими при решение крупной научной проблемы создания методов более адекватного описания неоднородных сред путем расширения арсенала соответствующих моделей с использованием кинетических и согласованных комбинированных подходов.
Практическая ценность работы обусловлена широким кругом решавшихся в ней задач и характером полученных результатов. Вывод более общих уравнений неоднородных сред и определение места имеющихся феноменологических моделей чрезвычайно важны в связи с широкой областью их применения при исследовании природных явлений и описании технологических процессов. Вывод уравнений с новыми реологическими соотношениями дает новые средства развития математической теории и решения практических задач, связанных с изучением неоднородных сред. Классификация течений неоднородных сред, выделение имеющихся газодинамических особенностей и построение иерархии упрощенных моделей важны для практических приложений.
Описание процесса нуклеации и выделение ключевого параметра, регулирующего форму квазистационарного распределения, играет важную роль в управлении процессом нуклеации с целью получения материалов с заданными свойствами.
Построенный метод расчета сечений и констант скоростей колебательно-вращательных переходов, а также метод расчета молекулярного диаметра вращательно и колебалельно возбужденных молекул позволяют использовать полученные результаты в расчетах системы уравнений поуровневой кинетики и в расчетах течений широко распространенным методом прямого статистического моделирования (ряд таких расчетов реализован). Выявление механизмов, определяющих обмен внутренней энергией при молекулярных столкновениях имеет, как фундаментальное значение для понимания физики процессов, так и прикладное - для адекватного описания этих процессов. Построение квазиклассического гамильтониана асимметричного волчка является важным этапом в развитии квази классической теории. Созданный пакет программ позволяет быстро и наглядно получать информацию о характеристиках процесса энергообмена. Полученные выражения для сечений были использованы для проведения массовых расчетов при решении задачи обтекания разреженным газом методом прямого статистического моделирования.
Апробация работы. Основные результаты работы докладывались и обсуждались на следующих конференциях
- 13h International Symposium on Rarefied Gas Dynamics, Novosibirsk USSR, 1982, July.
- 15h International Symposium on Rarefied Gas Dynamics, Italy, 1986.
- 17h International Symposium on Rarefied Gas Dynamics, Aachen, Germany, 1990.
- 18h International Symposium on Rarefied Gas Dynamics, 1992, Canada.
- 19h International Symposium on Rarefied Gas Dynamics, Oxford, UK, 1994, July, 25-29.
- 20h International Symposium on Rarefied Gas Dynamics, Beijing, China, 1996, August 19-23.
- 21h International Symposium on Rarefied Gas Dynamics, Marseille, France, 1998, July 26-31.
- 22h International Symposium on Rarefied Gas Dynamics, Sydney, Australia, 2000, July 9-14.
- Высокотемпературная газодинамика, ударные трубы и ударные волны. Международная школа-семинар. Минск, БССР, 1983, май.
- Численные методы решения задач математической физики. Всесоюзная школа молодых ученых. Львов, УССР, 1983, май-июнь.
- Третье всесоюзное совещание по детонации. Таллин, ЭССР, 1985, ноябрь 11-14.
- VIII Всесоюзная конференция по динамике разреженных газов. Москва, Россия, 1985, сентябрь.
- VI Всесоюзный съезд по теоретической и прикладной механике. Ташкент, УзССР, 1986, сентябрь 24-30.
- IX Всесоюзная конференция по динамике разреженных газов. Свердловск, Россия, 1987, июль.
- X Всесоюзная конференция по динамике разреженных газов. Москва, Россия, 1989, июль 27-30.
- XI Всесоюзная конференция по динамике разреженных газов. Ленинград, Россия, 1991, июль 8-13.
- 3-я Школа-конференция "Кинетические и газодинамические процессы в неравновесных средах", Москва, Россия, 1986, март.
- X Школа по моделям механики сплошной среды. Хабаровск - Комсомольск-на-Амуре - Николаевск-на-Амуре - Хабаровск, СССР, 1989, июнь 12-23.
- II Международная школа по моделям механики сплошной среды. Владивосток - Сахалин - Курилы - Владивосток, СССР, 1991, сентябрь 19-29.
- XIh European Sectional Conference on the Atomic and Molecular Physics of Ionized Gases ESCAMPIG-92, St.Petersburg, Russia, 1992, August 25-28.
- II Международный Форум по тепло-массопереносу - ММФ-92, Минск, 1992.
- Vh International Workshop on Interaction of Gases with Streamlined Surfaces. Aero-and gasdynamic Aspects. Elbrus-94, Itkol, USSR, 1994, May 16-20.
- EUROMECH Colloquium 331. Flows with phase transitions. Gottingen, Germany, 1995, March 13-16.
- 5h EPS Conference on Atomic and Molecular Physics. Edinburgh, UK, 1995, April 3-7.
- 20h International Symposium on Shock Waves. Pasadena, California, 1995, July 23-28.
- 22-nd International Conference on Phenomena in Ionized Gases. Hoboken, New Jersey, USA, July 30 - August 4, 1995, July 30 - August 4.
- 32-nd Thermophysics Conference, Atlanta, USA, 1997, June 23-25.
- EUROMECH Colloquium 363. Mechanics of laser ablation. Novosibirsk, Russia, 1997, June 23-26.
- 2-nd International Conference on nonequilibrium processes in nozzles and jets. St.Petersburg, Russia, 1998, June 5-9.
- High-Performance Computing and Networking. 7th International conference. Amsterdam, Netherlands, 1999, April 12-14.
Публикации.
По результатам диссертации опубликовано 61 работа.
Структура и объем диссертации.
Диссертация состоит из введения, 5 глав, заключения, 7 приложений, списка литературы и содержит 244 страниц текста, 34 рисунка и 15 таблиц.
В первой главе обсужден ряд проблем, стоящих перед физической газовой динамикой и связанных с течениями неоднородных релаксирующих сред. К ним относятся: (1) описание неоднородных (многокомпонентных) сред, (2) описание происходящих в процессе течений фазовых переходов, особенно при их нестационарном протекании, (3) расчет соответствующих характеристик рассеяния:
сечений и констант скоростей упругих и неупругих столкновений, необходимых для замыкания релаксационных уравнений (кинетических уравнений и уравнений поуровневой кинетики). В этой главе дан обзор подходов и методов, используемых различными авторами для решения этих проблем, указаны встречающиеся трудности и сформулированы направления исследований, выполненных в последующих главах.
Во второй главе рассматривается вопрос о различных выриантах перехода к сокращенному описанию двухкомпонентнои смеси. При этом решаются две задачи: определение критерия для выделения медленных (газодинамических) переменных, в терминах которых будет описываться система, и замыкание соответствующей системы уравнений. Замыкание осуществляется исходя из кинетического подхода. При этом полагается, что двухкомпонентная смесь может быть описана двумя уравнениями Больцмана. Обращается внимание на то, что вывод уравнений переноса для двухкомпонентнои смеси существенно отличается от случая однокомпонентной наличием четырех внутренних временных масштабов. В основу анализа положена концепция сокращенного описания, базирующаяся на введении быстрых (кинетических) и медленных (гидродинамических) переменных. Для их разделения используется понятие приближенных сумматор-ных инвариантов. Выделено промежуточное долгоживущее (квазистационарное) состояние системы, отличающееся от максвелл-больцмановского. В результате удается получить новые реологические соотношения, а также дать новую интерпретацию известных двухжидкостных моделей и указать пути их уточнения. Подробно рассмотрен случай, когда для легкого компонента удается получить гидродинамическое описание, а тяжелый требует кинетического описания. При этом выделены случаи сильного и слабого возмущения функции распределения легкого компонента, вызванного присутствием второго компонента. В заключение этой главы анализ струйных течений двухкомпонентных сред выполнен с точки зрения построения для этого типа течений упрощенных моделей и рассмотрено влияние кинетических эффектов на характеристики струи.
В третьей главе рассмотрены смешанные подходы к построению моделей течений газовзвесей и смесей газов с существенно различающимися массами частиц, когда для замыкания соответствующих уравнений используются как результаты кинетических подходов, так и феноменологических. Кроме того, в этой главе рассмотрен ряд примеров возможного упрощения описания течений двухкомпонентных сред. Особое внимание уделяется анализу необходимости учета собственного давления примесного компонента вблизи обтекаемых поверхностей.
Предложен метод исследования многокомпонентных сред, основанный на выделении газодинамических особенностей в примесной фазе. Рассмотрены особенности, возникновение которых обусловлено взаимодействием примесной фазы с поверхностью и межфазным взаимодействием. Для некоторых газодинамических структур построено локально-упрощенное описание, существенно облегчающее решение задачи о течении двухкомпонентной среды.
В четвертой главе исследуется процесс формирования кластеров. Предлагается метод нахождения функции распределения кластеров по размерам, основанный на переходе к сокращенному описанию системы путем разделения быстрых и медленных процессов и выделении промежуточного долгоживущего квазистационарного состояния. Проанализировано временное поведение функции распределения при приближении к своему квазистационарному значению. Выделены основные этапы этого процесса и найдены индивидуальные (парциальные) времена задержек формирования квазистационарного распределения кластеров и определена их связь с временем задержки формирования квазистационарного тока зародышеобразования. Рассмотрено его поведение в широкой области размеров кластеров. Предложены варианты различной точности описания поведения доли конденсата. Путем сопоставления дискретного и непрерывного описаний оценена точность последнего. Показано, что при непрерывном описании не удается получить правильного описания поведения доли конденсата.
В пятой главе предложен метод расчета сечений и констант скоростей колебательно-вращательных переходов, основанный на квазиклассическом описании процессов столкновения. Рассматриваются вопросы построения модельных поверхностей потенциальной энергии, решаются задачи, связанные с влиянием внутримолекулярных движений на параметры упругого рассеяния (выполнены расчеты молекулярного диаметра как функции колебательного и вращательного состояния для большого числа двухатомных молекул). Исследуются эффекты различной природы, приводящие к особенностям температурного поведения констант скоростей. Описан новый механизм обмена внутренней энергией, связанный с резонансом классических частот внутримолекулярных движений. Предложен метод квазиклассического квантования молекул типа асимметричного волчка. Подробно изучаются особенности процесса колебательного возбуждения двухатомных молекул и причины отклонения температурной зависимости соответствующих констант скоростей от модели Ландау-Теллера (учет трехмерности столкновений, притягивающей части межмолекулярного взаимодействия, пороговых эффектов). Анализируются первопричины, приводящие к новым, при ближенным правилам отбора, названным адиабатическими. Выполнены расчеты сечений и констант скоростей для большого числа сталкивающихся частиц.
Методы расчета констант скоростей колебательно-вращательных переходов
Важной особенностью рассмотрения двухкомпонентной смеси с существенно различающимися массами частиц является существенное ограничение области применимости метода Чепмана-Энскога вследствие медленной внутренней релаксации в системе, обусловленной слабым обменом энергией между компонентами. Однако эффективная релаксация каждой из компонент к своему равновесному состоянию позволяет построить теорию, содержащую большее число медленных переменных и тем самым расширить область применимости сокращенного описания таких систем.
В связи с этим следующим чрезвычайно важным шагом в изучении смеси легкого и тяжелого газов является шаг, сделанный В.В.Струминским [11,12]. Принципиальным моментом этих работ является введение в качестве медленных переменных двух гидродинамических скоростей. При этом подразумевалось следующее соотношение между введенными выше параметрами: Shg = Shp = 1, Kng = о:ёр = Knp = ojpg = є. В результате были получены уравнения переноса в нулевом (аналог уравнений Эйлера) и в первом (аналог уравнений Навье-Стокса) приближении по числу Кнудсена. Несколько иной вариант процедуры замыкания соответствующих уравнений переноса был предложен в последующей работе автора [13].
Голдмен и Сирович, а также Гёбел, Гаррис и Джонсон [14] для анализа этой задачи использовали метод моментов. Рассматривая максвелловские молекулы, авторы остановились на тринадцатимоментном приближении. Преимущество такого подхода заключается в том, что все полученные выражения являются точными.
Метод кинетических моделей для рассмотрения этой же задачи был предложен Сировичем, Морзе и Хамел ем [15]. Эти авторы использовали модель Крука для аппроксимации интегралов столкновений. В работе [16] используется разложение интеграла межфазных столкновений по параметру є2, что позволило характеризовать процесс рассеяния легких частиц на тяжелых трансформантой неупругого рассеяния. В этой работе уравнения двухскоростной двухтемпературной газодинамики получены для случая диффузного рассеяния легких частиц. Там же предложено обобщение этой модели на случай обмена зарядами.
В работе [17] газовзвесь предлагалось рассматривать как систему с развитой поверхностью и использовать ее как среду для получения лазерного эффекта (создания гетерогенного лазера). Более строго кинетика газовзвеси, у которой каждый из компонентов обладает внутренними степенями свободы (структурная га зовзвесь), была рассмотрена в работе [18], где была построена соответствующая кинетическая модель. При этом взаимодействие легкого и тяжелого компонентов рассматривается как рассеяние "легкой" частицы на элементе поверхности "тяжелой", определяемое соответствующей трансформантой рассеяния. Рассмотрен ряд модельных трансформант. Для трансформанты, описывающей околозеркальное рассеяние с учетом перекачки энергии между колебательной и поступательной степенями свободы [19], получены аналитические выражения для членов, описывающих межфазный обмен импульсом и энергией и входящих в соответствующие уравнения переноса.
Галкин и Макашев [20] не только построили уравнения двухскоростной и двух-температурной газодинамики в "эйлеровском" и "навье-стоксовском" приближении, но и получили ряд оценок касательно области их применения. Тимом [21] была предпринята попытка построить моментные уравнения двухскоростной и двухтемпературной гидродинамики в постановке, предложенной Петитом и Дерозе [22], в рамках которой устанавливалась функциональная зависимость между двумя малыми параметрами: числом Кнудсена Кп и отношениеми-ем масс компонентов є2 = mgfmv\ є2 = const -Кп. Однако вследствие неправильной процедуры обезразмеривания (предполагалось, что Shg = Shp = 1) автор сделал вывод о невозможности реализации двухскоростного режима течения, поскольку отличие скоростей компонент оказалось меньше основного малого параметра теории - числа Кнудсена. Необходимость проведения более детальной процедуры обезразмеривания обсуждалась в работе [23]. Этот вопрос подробнее будет рассмотрен ниже в Главе 1.
В работах [24,25] авторы применили уравнения двухскоростной, двухтемпературной газодинамики к задаче о дисперсии звука в газовых смесях с существенно различающимися массами. Хорошее согласие с теорией подтвердило обоснованность введения числа медленных переменных, превышающих число точных сум-маторных инвариантов, т.е. справедливость идей приближенных сумматорных инвариантов.
Авторы работы [26] рассмотрели как распространение звука в смеси газов, так и структуру ударной волны. В [27] для описания процесса распространения ударных волн в смесях предложено вместо одной температуры тяжелой компоненты ввести две - продольную и поперечную. Такого сорта функции распределения (иногда называемые эллиптическими) часто используются при рассмотрении гиперзвуковых течений газа (особенно при описании струйных течений). Авторам удалось объяснить немонотонное поведение плотности легкой компоненты и про дольной температуры тяжелой компоненты как проявление эффектов межфазного обмена импульсом и энергией соответственно.
Указанное в [4] влияние поступательной неравновесности на константы скорости пороговых реакций продемонстрировано на примере задачи о структуре ударной волны в смеси тяжелого и легкого молекулярных газов как экспериментально, так и с помощью численных расчетов методом прямого численного моделирования в работе [28]. В работе [29] на основе теоретического анализа, основанного на подходе, развитого Резибуа [30], и экспериментов по дисперсии звука в газовых смесях с существенно различающимися массами, определяли силовые коэффициенты межфазного взаимодействия. Полученные результаты подтверждают правильность рассматриваемого описания газовых смесей. Наблюдаемый эффект затухания звука в смеси объясняется наличием объемной вязкости, обусловленной обменом импульсом и энергией между фазами.
Шавалиев в своих работах рассмотрел случай газовых смесей с существенно различающимися массами с числом компонент более двух [31]. Исследование случая тройной смеси с массами компонент т\ С гп2 = гпз привело, с одной стороны, к неожиданному, а с другой, очень важному выводу: возможно существенное (не зависящее от числа Кнудсена) разделение компонент 2 и 3 по скоростям и температурам, порожденное их взаимодействием с легким компонентом. При этом диффузия между тяжелыми частицами состоит из двух частей. Первая часть зависит от градиента давления Vp;, і = 2,3 и пропорциональна числу Кнудсена, в то время как вторая - это новый вид диффузии, обусловленный различием газодинамических скоростей компонент легкого газа и бинарной смеси тяжелых частиц и не имеющей аналога в одно скоростном однотемпературном случае. Эта часть диффузии обусловлена различием масс и сечений рассеяния при столкновении с легкими частицами. После многих столкновений результат выглядит как пространственное разделение компонентов 2 и 3. Столкновение тяжелых компонентов разных сортов уменьшают эту диффузионную скорость. Аналогично обстоит дело и с теплопроводностью. Разность температур тяжелых компонент вызвана двумя причинами. Первая - это различие в теплообмене между легким газом и тяжелыми компонентами. Вторая - это изменение температур вследствие изменения кинетической энергии диффузионного движения (который можно отнести к перекрестным эффектам).
Эффекты анизотропии в многокомпонентных средах
В заключение следует отметить, что вводимое при анализе двухкомпонентной смеси большинством авторов предположение Shg = Shp = 1 является неправомерным. Действительно, в этом случае сд{1 + Sg) = ср(1 + Sp) (см. определение Shg,p). Если выбрать систему отсчета, связанную с тяжелым компонентом, то Sp — 0, с другой стороны, Sg = \ид — up/c5 С 1. Тогда получим є(Тд/ТРу/2 = 1, что противоречит соотношению е(Тд/Тр)1/2 С СдСр/Ядр 1) являющемуся следствием (2.1.18).
В связи с широкой распространенностью так называмой модели вложенных континуумов выясним ее место в приведенной схеме. Этой модели соответствует ситуация, отличная от рассмотренной выше: ShgKng 1, a ShpKnp 1. В этом случае для тяжелого компонента наступает бесстолкновительный режим, а функция /р на временах характерного изменения fg является медленной переменной. Поэтому если начальное распределение / близко к -образному, то оно останется таковым во всей области течения. Такая функция распределения приводит к обращению в ноль тензора напряжений и средней энергии внутреннего движения в тяжелом компоненте, а следовательно, для первых четырех моментов пр и Up имеем замкнутую систему уравнений (содержащую медленные переменные - параметры легкого компонента). В результате получаем двухжидкостную модель Рахматулина, характеризующуюся отсутствием давления в тяжелом компоненте [50] (случай достаточно крупных частиц, когда реализуется газодинамический режим их обтекания и используемый подход неприменим, разумеется, исключается из проводимого рассмотрения (см. [164])).
Более общая ситуация заключается в том, что функкция распределения / имеет такой вид, при котором ее несколько первых моментов отличны от нуля, а остальные или обращаются в ноль, или являются малыми порядка некоторой величины 7 1. Тогда уравнения для этих моментов асимптотически отщепляются. В результате получим систему, в которую в качестве неизвестных будут входить медленные переменные для легкого компонента и несколько первых моментов от /.
Примером рассмотренной ситуации, помимо описанного выше случая с сообразным распределением, может служить течение, когда / имеет максвеллов-ский вид fm. В этом случае тяжелый компонент будет описываться пятью ее моментами пр, ир,Тр, не меняющимися на тех же временах, что и /. В этом смысле можно говорить о двухскоростных, двухтемпературных моделях. Если, как было рассмотрено выше, / = / + 0(f), то условие применимости двухжидкост-ной модели ShpKrip можно существенно расширить, поскольку IPP(fm) = 0 и, следовательно, Ipp(f) = 0( ). В результате искомое условие можно записать в виде ShpKnp 7 + 2Oigp- Если удается сделать 7 достаточно малым (7 є2ард), то последнее условие примет вид ShpKnp 2apg и его нельзя будет ослабить. Если ShpKnp С 1, то скорости ир и ид окажутся эквивалентными во введенном выше смысле.
Сказанное выше означает, что при попытке уточнения описанных моделей следует строго различать случаи ShpKnp 1 и ShpKnp 1. В первом из них необходимо применять метод решения сингулярных уравнений - обобщение метода Чепмена-Энского (см., например, [20]). В противоположном случае мы имеем дело с необходимостью описания тяжелого компонента в переходном режиме. В настоящее время решение этой задачи возможно только с использованием достаточно мощной компьютерной техники. Упрощающим обстоятельством здесь является наличие малого параметра є, позволяющего использовать разложения по этому параметру, предложенные, например в [20,25]. Численное решение этой задачи наиболее перспективно, по-видимому, с использованием методов, основанных на решении для тяжелого компонента многочастичной задачи [165,163,41-45]. Заметим, что тяжелый компонент может существенным образом искажать функцию распределения легкого компонента, приводя тем самым к существенному изменению переносных свойств последней. Эти особенности поведения двух-компонентной смеси будут рассмотрены в следующем параграфе этой главы.
2.2 Эффекты анизотропии в многокомпонентных средах.
Обзор работ, посвященных исследованию свойств двухкомпонентных сред, базирующихся на кинетическом подходе, выполненный во введении, позволил выявить множество особенностей в свойствах многокомпонентных сред, однако только использование понятия приближенных сумматорных инвариантов позволило выявить проявляющиеся при некоторых условиях анизотропные свойства коэффициентов переноса и определить эти условия.
Для выяснения этих свойств воспользуемся конечно-кратной аппроксимацией интегралов столкновений, т.е. построим кинетическую модель. Несмотря на то, что в рамках такого подхода несколько сложнее контролировать точность получаемых результатов, чем в рамках модифицированного на случай многокомпонентной смеси метода Чепмена-Энскога [11,20], он значительно проще в реализации и легче дает понять структуру получаемых результатов. Различные варианты кинетических моделей для описания смесей использовались в работах [18,166-168]. В этом параграфе мы ограничимся построением кинетической модели для уравнения, описывающего поведение легкого компонента и анализом ее при достаточно произвольной функции распределения тяжелой.
В основу положена система уравнений (1.1.8, 1.1.9) с интегралами столкновений, записанными в симметризованном виде. Построение кинетической модели состоит из двух этапов: нахождение квазистационарного распределения / и разложение функции распределения и интеграла столкновений по полному набору функций {фа}. Как уже обсуждалось во введении, квазистационарные распределения /f определяются набором медленных переменных, являющихся средними от приближенных сумматорных инвариантов, определяемых соотношением (1.1.4). При построении кинетической модели для легкого компонента остановимся на ситуации, когда он может быть описан в терминах обычных медленных (гидродинамических) переменных Пд,ид,Тд (плотность, скорость и температура). В качестве функции, вблизи которой будем производить линеаризацию функции распределения легкого компонента при построении модели, возьмем максвелл-больцмановское распределение fg0 (tpg С 1) Из условий, налагаемых на функцию распределения, и свойств /эо следуют соотношения Прежде чем перейти к непосредственной записи модельного кинетического уравнения, заметим, что при его решении методом Чепмена-Энскога функция рд разлагается в ряд по малому параметру Kg = ShgKng вида Вопрос о том, с какого члена начинается это разложение, зависит от решения уравнения для квазистационарного распределения Если межкомпонентное взаимодействие, определяемое членом Jgp в (2.2.4), приводит к сильному отклонению fg от fgo в том смысле, ЧТО 1 (рд0 = (fg—fgo)/fgO Э Kg (причем tfgQ удовлетворяет соотношениям (2.2.2)), то ряд (2.2.3) начнется с члена с q = 0, а в соответствующих уравнениях газодинамики произойдут изменения уже в нулевом порядке по параметру Kg. Если же межкомпонентное взаимодействие вносит малые возмущения, то отклонение от равновесной функции /ао будет малым (0(Kg)), и поправки в уравнениях газодинамики возникнут лишь в навье-стоксовском приближении.
Расчет параметров течения двухфазной смеси при обтекании сферы с учетом столкновений частиц между собой
В отличие от рассмотренных в предыдущем разделе струйных течений, в задаче обтекания тел двухкомпонентной смесью может возникнуть гораздо более сложная картина, обусловленная взаимодействием примесного компонента с обтекаемыми поверхностями (см. обзоры [32,33,52]). Известно, например, что попытка учесть отраженные от поверхности частицы в рамках гипотезы о взаимопроникающих континуумах [50] приводит к некорректности постановки задачи Коши [172]. Однако как эксперименты, так и расчеты, проведенные в рамках более сложных моделей, показали, что отраженные частицы могут приводить к существенному изменению концентрации твердых частиц у поверхности обтекаемого тела, что неизбежно влияет на параметры потока. Этому вопросу посвящена обширная литература, в которой рассматриваются различные, в основном феноменологические, модели. Преимущество таких моделей заключается в большой свободе подбора параметров, позволяющей достаточно точно описывать ситуацию в рамках данной конкретной задачи, а недостаток заключается в необходимости осуществлять такой подбор при переходе к другим задачам. Как и в любой другой области, теоретический подход направлен на поиск параметров, которые являются наиболее устойчивыми инвариантами в достаточно широком классе задач. Сложность задач делает оправданным смешанные подходы, когда ряд закономерностей выводится, например, из кинетической теории, а ряд - определяется на основе феноменологических подходов. Такой подход будет продемонстрирован на примере задач обтекания.
Рассмотрим течения, ограничиваясь наиболее широким классом задач, когда обтекание несущим (легким) компонентом осуществляется в режиме сплошной среды, то есть, когда max{Kng, (.} Kg 1 (см. Главу 2). При этом режимы течений определяются соотношением четырех членов кинетического уравнения (1.1.11) для тяжелого компонента: нестационарного, задаваемого временной производной и определяемого параметром Кр, конвективного, определяемого параметром Кпр, интегралом внутрикомпонентных столкновений 1РР и интегралом межкомпонентных столкновений 1рд, определяемого параметром ард. В этом случае в качестве основного временного масштаба удобно выбрать величину т = L/U, где U = Ugoo = Upoo, a Ugoo и Upoo - скорости набегающих потоков компонентов. Тогда оказывается Shg = Mgoo и Shp = 1, где Mgoo - соответствующее число Маха. Последнее условие означает, что Кр = Кпр, то есть все члены в левой части кинетического уравнения (В.8Ь) имеют одинаковый порядок. При Кпр 1 имеем свободномолекулярное течение для примесного компонента. Поскольку ард = е2 - - Р, то при рассматриваемых значениях параметров Kg и Knp, Qpg может оказаться любым, то есть межфазное взаимодействие будет существенным при ард Кпр (что может быть переписано в виде є2 KgO-gp/o-g) или несущественным при ард С Кпр. В любом случае влияние отраженных от поверхности обтекаемого тела частиц примеси будет мало. Это позволяет не прибегать к таким мощным методам, как прямое статистическое моделирование, а ограничиваться траекторными моделями или даже моделью [50].
При Кпр 1 и ард С Кпр картина течения будет примерно такой же, что описана выше, а следовательно, и моделировать его можно теми же средствами.
Существенная перестройка течения может произойти при увеличении межкомпонентного взаимодействия. При Кпр 1 и ард Кпр такое взаимодействие будет препятствовать удалению частиц от поверхности обтекаемого тела и вдоль поверхности образуется слой повышенной концентрации примесных частиц, который будет утоньшаться с усилением взаимодействия. В результате значение Кпр в слое может оказаться значительно меньше, чем вне его, то есть примесная фаза может быть описана как сплошная среда. В связи с тем, что формирование этого слоя обусловлено взаимодействием фаз, будем называть его фрудовским. Подход к описанию такой газодинамической структуры будет изложен в разделе 3.4.
При повышении концентрации примесного компонента, то есть при Кр С 1 существенным становится взаимодействие примесных частиц друг с другом, что приводит к формированию ударного слоя в примесной фазе. Модель описания этой ситуации изложена в разделе 3.2. Там же рассмотрен вопрос о влиянии собственного объема частиц на формирование картины течения. При возрастании числа Маха Мр течение примесного компонента становится гиперзвуковым, что позволяет упростить описание ударного слоя примеси, пользуясь его малой толщиной. Эти вопросы будут рассмотрены в разделе 3.3.
За основу предлагаемого подхода примем сплошносредное описание несущей фазы и кинетическое описание примесной фазы. Динамику несущей фазы будем описывать системой уравнений типа Эйлера, описывающей законы сохранения массы, импульса и энергии с учетом межфазного взаимодействия: где Л, pg, Pg, Eg - газовая постоянная, плотность, давление и внутренняя энергия несущей среды, Fg, Qg, qp - члены, учитывающие силовое и тепловое межфазные взаимодействия.
Примесную фазу в расширенном фазовом пространстве, включающем внутреннюю температуру частиц, будем описывать кинетическим уравнением с интегралом столкновений 1рР, учитывающим нелокальность столкновений, то есть собственный объем частиц (вывод силового члена приведен в Приложении 3.,
Время задержки формирования квазистационарного тока зародышеобразования
Замыкание уравнений (3.3.10)-(3.3.12) требует постановки граничных условий. При этом возможны два случая.
При обтекании затупленных тел в окрестности точки торможения в слое реализуется зона дозвукового течения (скорость звука в слое определяется выражением (3.3.14)). Тогда граничные условия для уравнений (3.3.10)-(3.3.12) следует ставить в точке (на линии) вхождения нулевой линии (поверхности) тока в слой. В этой точке (на линии) скорость Upo = 0, а плотность рАо и внутренняя энергия или энтальпия К\о оганичены. Заметим, что в случае отсутствия давления в слое /9ро обращается в бесконечность. Это означает невозможность описания сжатого слоя частиц в терминах поверхностной плотности при наличии дозвуковых зон течения в слое и вообще, невозможность существования в этом случае так называемых "пелен" [183,186]. Последнее обстоятельство существенно сужает применимость перечисленных " бездавленческих" моделей.
Второй случай соответствует обтеканию заостренных тел, когда в вершине реализуется сверхзвуковое течение. Поскольку частицы не могут скапливаться в вершине, их плотность там должна обращаться в ноль: рр\о = 0, а величины Upo, Кр\о или /t o должны быть ограничены. При увеличении угла раствора вершины скорость Кр0, уменьшаясь, достигнет местной скорости звука, а затем течение в вершине станет дозвуковым. Это явление является аналогом возникновения отошедшей ударной волны в обычной газавой динамике, а в нашем подходе проявляется как возникновение конечной величины поверхностной плотности в точке (линии) торможения. В этом случае граничные условия для слоя следует ставить так же, как в вышеописанном случае затупленных тел. Отметим различные проявления влияния тонкого слоя с повышенной концентрацией примесной фазы на внешнее течение. Если несущая фаза моделируется идеальным газом, то единственно возможный механизм влияния слоя на внешний поток - это изменение его параметров оторвавшимся слоем. При достаточной концентрации примесных частиц оторвавшийся слой может приводить к возникновению циркуляционных течений несущего газа. Заметим, что оторвавшийся слой начинает расплываться под воздействием силы межфазного взаимодействия и может существовать в виде тонкой пелены лишь на расстояниях от точки отрыва, значительно меньших длины релаксации скорости. Если несущая фаза моделируется вязким газом, то условия прилипания следует ставить не к поверхности обтекаемого тела, а к слою, что приведет к эффективному проскальзыванию газа вдоль поверхности со скоростью слоя. Проиллюстрируем предложенную модель на примере обтекания сферы в режиме lv L, когда падающий на поверхность поток частиц практически однороден (ирп = ироо cos г?, рр = рроо, где а - угол между нормалью к поверхности и направлением ироо). Будем пренебрегать трением и обменом-энергией (/ = q = 0). Тогда уравнения (3.3.10), (3.3.11), (3.3.15), записанные для случая слоя на сфере, примут вид Здесь х, и, ht - безразмерные величины: х = up, р = p/(ppoR), и = Up/upo, ht = М/ирої РрО, иро -значения плотности и скорости примесного компонента внешнего потока в критической точке. Эти уравнения дополняются граничнымиусловиями в точке торможения Уравнения (3.3.21) и (3.3.24) с учетом (3.3.25) дают Второе из этих равенств, означающее сохранение полной энтальпии вдоль слоя, следует из пренебрежения трением и притоком тепла и является существенной характеристикой рассматриваемого течения. Если ввести переменные то решение уравнения (3.3.23) можно получить в форме где га - произвольная точка слоя, отличная от критической. Такой выбор связан с тем, что величина q не определена в критической точке. Подынтегральное выражение в (3.3.27) имеет единственную неинтегрируемую особенность в нуле. Используя метод доказательства "от противного", легко убедиться в том, что q0 = q(fl = 0) является ограниченной величиной, отличной от нуля. Тогда единственное решение, определяемое (3.3.27) и удовлетворяющее условию щ = 0, Это значение совпадает с величиной угла отрыва гиперзвукового ударного слоя от поверхности сферы [190]. До сих пор мы рассматривали гладкие течения в слое. Если вернуться к уравнениям (3.3.3)- (3.3.5), то можно построить и разрывные течения с линиями разрывов, названными в [187] ньютоновскими линиями, а несколько позже в [183] -"шнурами". В этом разделе мы рассмотрели модель сжатого слоя в примесной фазе, образовывающегося в условиях слабого межфазного взаимодействия вследствие процессов внутри самой примесной фазы. Следующий параграф будет посвящен процессу образования слоя частиц, формирование которого обусловлено межфазным взаимодействием. 3.4 Фрудовский слой в примесной фазе. Рассмотрим ситуацию, когда концентрация частиц примеси недостаточно велика, чтобы образовался ударный слой Knp 1, а межфазное взаимодейсвие достаточно велико, чтобы разворачивать отраженные от обтекаемой поверхности частицы на достаточно малом ( С L) расстоянии, но не настолько, чтобы частицы были "вморожены" в поток несущего газа Frp 1.
