Содержание к диссертации
Введение
ГЛАВА 1. Анизотропия физических свойств и кристаллографические методы их описания 10
1.Общие положения геометрической симметрии 11
2. Кристаллографические группы (классы) симметрии 17
3.Предельные группы симметрии (группы симметрии Кюри) 24
4. Симметрия физических свойств. Принцип Неймана 26
ГЛАВА 2. Структура фазовых и относительных фазовых проницаемое гей для двухфазной фильтрации в анизотропных средах 29
1 .Основные соотношения, связывающие тензоры коэффициентов фазовых и абсолютных проницаемостей 29
2. Представление тензоров фазовых и относительных фазовых проницаемостей для анизотропных сред 36
3.Представление функций относительных фазовых проницаемостей для ортотропных и трансверсально-изотропных сред 44
4.Представление функций относительных фазовых проницаемостей для сред с моноклинной и триклинной симметрией фильтрационных свойств 47
5.Анализ связей фазовых и абсолютных проницаемостей для анизотропных сред 56
6.К методике определения симметрии фильтрационных свойств реальных пород коллекторов углеводородного сырья 61
7. Модели теории двухфазной фильтрации в анизотропных средах 65
Основные результаты и выводы по второй главе 69
ГЛАВА 3. Двухфазная фильтрация в трансверсально-изотропной пористой среде: эксперимент и теория 70
1 .Относительные фазовые проницаемости для
трансверсально-изотропной пористой среды 70
2. Модельные задачи лабораторного определения направленной фазовой проницаемости и фильтрационного сопротивления . 76
3.Приближенное решение задачи о притоке к конечной галерее при установившейся Двухфазной фильтрации в анизотропном пласте 84
4.Анализ экспериментальных данных и тестирование приближенного решения 88
5.О представлении функций относительных фазовых проницаемостей при дренировании и пропитке 93
Основные результаты и выводы по третьей главе 100
Заключение 100
Основные научные результаты и положения работы, выносимые на защиту 101
Литература
- Кристаллографические группы (классы) симметрии
- Симметрия физических свойств. Принцип Неймана
- Представление тензоров фазовых и относительных фазовых проницаемостей для анизотропных сред
- Модельные задачи лабораторного определения направленной фазовой проницаемости и фильтрационного сопротивления
Введение к работе
Актуальность работы. Понятие функций относительных фазовых про-ницаемостей является основным в современной подземной гидромеханике при моделировании двухфазных фильтрационных течений. Без функций относительных фазовых проницаемостей невозможно проектирование месторождений углеводородного сырья, определения коэффициента извлечения нефти, подсчета запасов и т.д. Однако, как правило, в современных исследованиях рассматриваются изотропные среды, а в тех редких случаях, когда исследуются анизотропные среды, возникают проблемы интерпретации результатов и построения обобщенных связей для определяющих соотношений. Поэтому задача обобщения классических моделей теории двухфазной фильтрации несмешивающихся жидкостей, использующих фазовые и относительные фазовые проницаемости, для анизотропных фильтрационных свойств относится к числу актуальных задач, поскольку реальные пористые и трещиноватые среды, коллекторы углеводородного сырья, как правило, проявляют анизотропию.
Актуальность рассматриваемой проблемы еще больше возрастает на современном этапе развития нефтяной и газовой промышленности России в связи с изменением структуры запасов углеводородного сырья. В последние годы в нефтегазовом комплексе России открываются или вводятся в разработку месторождения с трудноизвлекаемыми запасами. Поэтому возникают новые технологические и теоретические задачи, решение которых позволит совершенствовать методы разработки месторождений углеводородного сырья с целью повышения степени извлечения углеводородов из недр. Создание новых методов разработки месторождений углеводородного сырья, очевидно, должно быть основано на более адекватном описании процессов, происходящих в пласте, что невозможно без учета анизотропии фильтрационных свойств коллектора.
Цель работы. Построение моделей двухфазной фильтрации несмеши-вающихся жидкостей для анизотропных трещиноватых и пористых сред.
Основные задачи исследования. При построении моделей теории двухфазной фильтрации для всех типов анизотропии фильтрационных свойств:
получить и проанализировать связи между тензорами коэффициентов абсолютных и фазовых проницаемостей;
получить в общем виде выражения для относительных фазовых проницаемостей;
построить в явном виде функции относительных фазовых проницаемостей, учитывающих симметрию фильтрационных свойств;
проанализировать связи, задаваемые тензорами четвертого ранга, между тензорами коэффициентов абсолютных и фазовых и дать интерпретацию эффектов, проявление которых обусловлено анизотропией фильтрационных свойств;
На основе лабораторных экспериментальных данных обосновать тензорную природу связи между абсолютными и фазовыми проницаемостями и возможность обобщения теории двухфазной фильтрации несмешиваю-щихся жидкостей на случай анизотропных сред. В том числе:
получить решение модельных задач (фильтрация через пластину и в длинном стержне), по определению направленных фазовых проницаемостей в анизотропных средах;
получить приближенное решение для установившейся двухфазной фильтрации при произвольном взаимном расположении галереи и главных осей тензора коэффициентов абсолютных и фазовых проницаемостей;
используя полученное приближенное решение сравнить теоретические и экспериментальные данные для контрольных измерений двухфазной фильтрации в анизотропных средах.
Научная новизна.
1. В инвариантном тензорном виде выписаны связи, задаваемые тензорами четвертого ранга, между тензорами фазовых и абсолютных проницаемостей при фильтрации двух несмешивающихся жидкостей для всех точечных кристаллографических и предельных групп симметрии в предположении, что тензоры фазовых и абсолютных проницаемостей имеют одинаковую симметрию (обладают одним типом
2. Еннотрвщиифо относительные фазовые проницаемости для анизотропных сред зависят не только от насыщенности, но и параметров анизотропии, которые представляются в виде отношений главных значений тензора абсолютной проницаемости.
3. Показано, что внешняя симметрия тензоров коэффициентов фазовых проницаемостей может не совпадать с внешней симметрией тензора абсолютной проницаемости. Связь между тензорами коэффициентов фазовых и абсолютных проницаемостей задается тензором четвертого ранга с внешней симметрией совпадающей с внешней симметрией тензоров фазовых проницаемостей.
4. Для триклинных и моноклинных групп симметрии показано, что тензоры коэффициентов фазовых проницаемостей могут быть не со-осны между собой и с тензором абсолютной проницаемости, более того, положение главных осей тензоров коэффициентов фазовых проницаемостей может зависеть от насыщенности.
5. Дано решение модельных задач (фильтрация через пластину и в длинном стержне), и приближенное решение о стационарной двухфазной фильтрации к конечной галерее в анизотропной среде при произвольной взаимной ориентации галереи и главных осей тензора коэффициентов абсолютной проницаемости.
6. Экспериментальное обоснование тензорной природы связи между абсолютными и фазовыми проницаемостями и возможность обобщения теории двухфазной фильтрации несмешивающихся жидкостей на случай анизотропных сред.
Личный вклад. В первом и втором пунктах, перечисленных выше, автором были проведены исследования для групп симметрии триклинных и моноклинных сингоний. Третий пункт автором был выполнен полностью (проведены исследования и их интерпретация). В четвертом пункте автором были проведены теоретические исследования и дан численный пример. Результаты, полученные в пятом пункте, полностью принадлежат автору. Остальные результаты получены при равном участии авторов.
Результаты работы получены при поддержке Российского фонда фундаментальных исследований (№ 02-01-00369, № 05-08-33699 и № 07-08-00733) и Министерства образования РФ (проект Т 00-42-764 по фундаментальным исследованиям в области технических наук).
Достоверность результатов и выводов. Обоснованность и достоверность полученных в работе теоретических результатов следует из того, что они основаны на общих законах и методах механики сплошных сред, кристаллографии и кристаллофизики, теории нелинейных тензорных функций от нескольких тензорных аргументов, подземной гидромеханики и физики пласта. Полученные теоретические результаты содержат, как частный случай, известные закономерности. Модели и описываемые ими результаты и эффекты допускают экспериментальную проверку. В частности, представление функций относительных фазовых проницаемостей для трансвер-сально-изотропных сред было обосновано результатами лабораторных исследований.
Практическая ценность исследований. Практическая ценность работы обусловлена ее прикладной направленностью и определяется задачами совершенствования методов разработки месторождений углеводородного сырья, в том числе, повышения степени их извлечения из недр. Предложенные связи между тензорами абсолютной и фазовой проницаемости и функции относительных фазовых проницаемостей открывают большие возможности для изучения особенностей двухфазных фильтрационных течений в анизотропных коллекторах углеводородного сырья.
Так как реальные коллекторы углеводородного сырья, как правило, проявляют анизотропию фильтрационных свойств, то результаты, полученные в работе, позволяют более адекватно описывать фильтрационные течения, моделировать процессы двухфазной фильтрации в пористых и трещиноватых пластах.
Таким образом, полученные в диссертационной работе результаты расширяют теоретические знания и возможности моделирования процессов двухфазной фильтрации.
Основные результаты, полученные в работе освещались на межвузовских студенческих научных конференциях, Всероссийской конференции молодых ученых, специалистов и студентов по проблемам газовой промышленности России, Всероссийской научно-технической конференции «Актуальные проблемы состояния и развития нефтегазового комплекса России»; 1-ой Международной научной конференция "Современные проблемы нефтеотдачи пластов», Международной конференции «Фундаментальные проблемы разработки нефтегазовых месторождений, добычи и транспортировки углеводородного сырья», Международной конференции «International Gas Research Conference" (Vancouver, Canada), Международной конференции "EAGE 68th conference and exhibition" (Vienna. Austria, 2006), IX Всероссийском съезде по теоретической и прикладной механике (Нижний Новгород, 2006); Фундаментальный базис новых технологий нефтяной и газовой промышленности. Теоретические и прикладные аспекты. Всероссийской конференции (24-26 апреля 2007 г. Москва); Международном симпозиуме 12th European Symposium on Improved Oil Recovery" (Cairo-Egypt, 2007); на научно-методических семинарах кафедр нефтегазовой и подземной гидромеханики и разработки и эксплуатации газовых и газоконденсатных месторождений РГУ нефти и газа им. И.М. Губкина.
В полном объеме диссертация доложена на научно-методическом семинаре кафедры нефтегазовой и подземной гидромеханики РГУ нефти и газа им. И.М. Губкина (2007).
Содержание диссертации отражено в 23 публикациях, Диссертация состоит из введения и трех глав, приложения, заключения и списка цитируемой литературы.
Диссертант благодарен своему научному руководителю В.В. Кадету и коллективу возглавляемой им кафедры нефтегазовой и подземной гидромеханики РГУ нефти и газа им. И.М. Губкина. Сотрудникам ИПНГ РАН, плодотворное сотрудничество с которыми способствовало выполнению этой работы и, особенно, В.М. Максимову. Диссертант также искренне благодарен своим многочисленным учителям в РГУ нефти и газа им. И.М. Губкина, за знания, полученные за шесть лет обучения по двухступенчатой системе образования (бакалавр, магистр) и три года в аспирантуре.
Кристаллографические группы (классы) симметрии
Любой операции симметрии можно поставить в соответствие преобразование системы координат. Свяжем с геометрической фигурой декартову систему координат с началом в неподвижной точке и рассмотрим два положения системы координат - до и после преобразования симметрии. Положение системы координат до преобразования симметрии примем за "«старую"» систему координат, а после преобразования симметрии - за «новую». Тогда преобразованию симметрии можно поставить в соответствие матрицу преобразования &у, которая задает переход от "«старой"» системы координат к «новой». Совокупность всех матриц преобразования [Ofy], соответствующих операциям симметрии геометрической фигуры, образует группу, называемую группой (классом) симметрии фигуры. В самом деле, определив операцию на множестве элементов Ц,-, как произведение матриц, получим множество, которое удовлетворяет всем аксиомам группы. При этом единичным элементом группы является единичная матрица [е = SjjJ, а обратные элементы определяются как матрицы обратных
Число групп симметрии конечных фигур бесконечно. Однако в кристаллах из-за требования, чтобы кристаллические многогранники заполняли все пространство непрерывно без промежутков, возможны только 32 группы (класса) симметрии.
В зависимости от геометрической симметрии кристалла (формы элементарной ячейки, элементов симметрии и т.д.), группы симметрии кристаллов разделяются на категории, системы, и сингонии. Каждая группа симметрии имеет специальное обозначение, в котором указываются основные элементы симметрии кристалла, и название .
Все точечные группы симметрии кристаллов с их названиями, обозначениями по А.В. Шубникову, и делением на сингонии, с указанием для каждой сингонии метрики элементарной ячейки, приведены в таблице 1.2.
В кристаллических терминах и названиях используются, как правило, греческие слова: моно-1, ди-2, три-3, тетра-4, пента-5, гекса-6, гепта-7, окта-8, дека-10, додека-12, эдра-грань, гониа-угол, пинакс-доска, клино-наклонно, скалена-косой, трапеца-стол, син-сходный.
Введенные ранее кристаллографические системы координат удобно использовать для описания кристаллографической симметрии задания направлений, плоскостей симметрии и т.д. Однако, во-первых, кристаллографическая система координат в общем случае имеет косоугольный базис, и во-вторых, не всегда введение кристаллической системы координат может быть произведено однозначно. Для устранения неоднозначности выбора осей X,Y,Z приняты стандартные правила установки кристаллографического базиса (см. рис. 1.2.), а для удобства описания физических свойств и полей наряду с кристаллографическими системами координат вводятся декартовы, условленным образом ориентированные относительно осей X,Y,Z и называемые кристаллографическими системами координат. Оси кристаллографической системы координат обозначаются через Хх,Х2,Хг. Правила установки кристаллографических осей таковы: "когда кристаллографическая система координат прямоугольна, оси Хх,Х2,Хг совпадают с осями X,Y,Z, соответственно; в кристаллах гексагональной сингонии оси Хг и Х] совпадают, соответственно, с осями Z и X; в кристаллах моноклинной сингонии оси Х2 и Хъ совпадают соответственно с осями Z и X; наконец, в кристаллах триклинной сингонии ось Х3 совпадает с осью Z, а ось Х1 лежит в плоскости XI".
В работах по кристаллографии и тензорному анализу [12,63,69,71] было показано, что все преобразования симметрии кристаллов могут быть реализованы 15 матрицами, которые вместе с их обозначениями приведены в таблице 1.3. Все матрицы выписаны в кристаллографической системе координат. В таблице 1.4. приведены группы преобразований для всех 32 классов.
Симметрия физических свойств. Принцип Неймана
Вопросами определения фазовых проницаемостей и функций относительных фазовых проницаемостей занимались многие отечественные и зарубежные исследователи. Значительный вклад в изучение фазовых проницаемостей и функций относительных фазовых проницаемостей принадлежит: М.Т. Абасову, К.С. Басниеву, М.И. Вайнеру, А.Т. Горбунову, Н.М. Дмитриеву, В.М. Добрынину, А.Е. Евгеньеву, В.А. Иванову, В.В. Кадету, А.Г. Ковалеву, В.Ф. Колмогорову, A.M. Кузнецову, С.А. Кундину, А.К. Курбанову, В.М. Максимову, В.Н. Николаевскому, М.Б. Панфилову, С.Г. Рассохину, В.И. Селякову, А.Я. Хавкину, И.А. Чарному, В.Н. Черноглазо-ву, Д.А. Эфросу, М. Маскету, М. Мересу, Р. Викову, Г. Ботсету, С. Бакли и М. Леверетту, Л. Рапопорту и В. Лису и многим, многим другим.
Проблема применимости и обобщения классических моделей теории двухфазной фильтрации несмешивающихся жидкостей, использующих тензоры коэффициентов фазовых проницаемостей, составляет предмет многочисленных теоретических исследований, в которых используются как методы неравновесной термодинамики [46,58], теории перколяции [77], осреднения [67], современные численные методы [45,95,96]. Однако, как правило, рассматриваются изотропные фильтрационные свойства. В тоже время, наиболее актуальным является случай анизотропных фильтрационных свойств, поскольку, как уже отмечалось выше, реальные пористые и, особенно, трещиноватые и трещиновато-пористые среды, коллекторы углеводородного сырья, как правило, проявляют анизотропию [2,11,66,110].
В работах [33,34,59] была установлена структура связей для тензоров коэффициентов абсолютных, фазовых и относительных проницаемостей для сред, проявляющих анизотропные фильтрационные свойства, выписаны и проанализированы тензоры фазовых и относительных проницаемо стей, установлен общий вид функций относительных фазовых проницае-мостей. Однако были рассмотрены только наиболее простые типы анизотропии, когда априори известно положение в коллекторе всех главных направлений тензора коэффициентов абсолютной проницаемости: обобщенные законы Дарси для сред с трансверсально-изотропными и ортотропны-ми фильтрационными свойствами. В тоже время при задании материальных свойств тензорами четвертого ранга (в рассматриваемом случае относительных фазовых проницаемостей) число различных вариантов значительно больше [78,79]. Кроме того, представляет практический интерес и случаи с моноклинными и триклинными фильтрационными свойствами, когда известно положение лишь одной главной оси (группы моноклинной симметрии) или неизвестно положение всех трех главных осей (группы триклинной симметрии). Поэтому рассмотрим и проанализируем обобщенный закон Дарси для всех возможных типов анизотропных сред [13,14,15,18,19,36,37].
В феноменологической теории двухфазной фильтрации несмешиваю-щихся жидкостей (например, нефть и вода) полагается, что закон Дарси выполняется для каждой из фаз где w? - компоненты векторов скорости фильтрации фаз, Щ компоненты симметричных тензоров второго ранга, задающих проницаемость фаз при их одновременном наличии в пласте, хотя обычно полагается при одновременном движении обоих фаз в пласте, jua - коэффициенты динамической вязкости фаз, ра - давления в фазах.
В (2.1) и далее греческие индексы обозначают номер фазы, а латинские - компоненты векторов и тензоров, по повторяющимся латинским индексам подразумевается суммирование, по греческим индексам суммирование не производится, для удобства обозначения тензоры и векторы выписаны только в декартовой системе координат.
Таким образом, наряду с тензором коэффициентов абсолютной проницаемости к ц , который задает материальные свойства в законе Дарси при фильтрации одной однородной жидкости, вводятся еще дополнительные материальные характеристики в виде тензоров фазовых проницаемостей где индекс а= 1,2 здесь и далее, как было сказано выше, задает номер фазы, при этом индекс а=\ присваивается воде и а=2 - нефти или газу.
Обычно считается, что фазовые проницаемости зависят от насыщенности и абсолютной проницаемости [3-6]
Для изотропных пористых сред экспериментально установлено [3-6, 58-60,86,87,89-91], что между тензорами фазовых и абсолютных проницаемостей имеется связь где 8 у - дельта Кронекера, к и к а - коэффициенты абсолютной и фазовых проницаемостей соответственно, f \S\, s2 ) - относительные фазовые проницаемости, которые являются функциями только от насыщенностей Si,s2 пористой среды фазами. Так как насыщенности в сумме равны единице, то в качестве аргумента можно принять только одну из них. Обычно за аргумент принимается водонасыщенность, которая обозначается через S.
Представление тензоров фазовых и относительных фазовых проницаемостей для анизотропных сред
При построении связей (2.6) для различных типов симметрии будем полагать, что все тензоры в уравнении соответствуют одному и тому же классу (группе) симметрии. Кубическая сингония. В случае симметрии групп кубической сингонии тензоры ky и FуШ имеют следующий вид [56,57] kirkSy, F?kl= !ха8у8И+ /г{з&8]1+8ц8]к)+f?{h)ijki , (2.7) где к - абсолютная проницаемость, /(а- функции от насыщенности, 0(h)ijki простой (базисный) тензор, задающий симметрию групп кубической сингонии. Здесь и далее обозначения базисных тензоров и представ ление материальных тензоров, если это не будет специально оговорено, принимается таким же, как и в [57]. Подстановка тензоров (2.7) в равенст-. во (2.6) приводит к соотношениям
Получаем, что тензоры коэффициентов фазовых проницаемостей, как и тензор абсолютной проницаемости, изотропные, но отличаются от случая изотропных фильтрационных свойств наличием еще одной материальной функции f", которая появилась вследствие анизотропии тензора четвертого ранга. Данное обстоятельство еще раз, теоретически, подтверждает отсутствие универсальных функций для относительных фазовых проницаемостей. Анизотропные текстуры и группы симметрии гексагональной син-гонии. Если тензоры имеют симметрию анизотропных текстур и групп симметрии гексагональной сингонии, то тензоры к- и Fщ имеют следующий вид
Подстановка тензоров (2.9) в равенство (2.6) приводит к соотношениям В соотношениях (2.10) материальные функции и тензоры определяются равенствами где B - базисный тензор, задающий симметрию анизотропных текстур. В [57] дано иное представление связи (2.10), но оба представления эквивалентны и получаются одно из другого переопределением вида материальных функций Fp (т.е. использованием разных базисных тензоров).
Тетрагональная сингония. В случае симметрии тетрагональной синго-нии для групп симметрии 4-т,4- 2А-т,т-4:т (обозначение групп симметрии здесь и далее дается по А.В. Шубникову) тензоры ktj и F "к1 имеют вид
Для представления тензора четвертого ранга принято следующее обозначение: первое слагаемое в (2.12) представляет собой правую часть равенства, задающего тензор четвертого ранга в (2.9). Аналогичные обозначения будут использованы и далее. Подстановка тензоров (2.12) в равенство (2.6) приводит к соотношениям вида (2.11), но с другими материальными функциями Fp . (2.13) Для групп симметрии 4,4,4: т тетрагональной сингонии тензор четвер того ранга имеет вид где Qtj- базисный тензор. Представление тензора ку остается таким же, как в (2.9). Подстановка тензора (2.14) в равенство (2.6) приводит к равенствам (2.10), с видом материальных функций (2.13).
Выписанные тензоры (2.20) отличаются от тех, которые представлены для групп симметрии моноклинной сингонии в [57] установкой координатных осей [68]. При написании тензоров (2.20) была использована кри-сталлофизическая установка. При кристаллофизической установке осей системы координат XYZ ось Y совпадает с осью симметрии второго порядка для групп симметрии 2 и 2:ш, или перпендикулярна плоскости симметрии для группы симметрии т. В работе [57] система координат ориентирована так, что вместо оси Y направлена ось Z. Однако для решения прикладных задач больший интерес представляет случай, когда предельные насыщенности отличны от нуля и единицы. Поэтому рассмотрим обобщение явного вида функций относительных фазовых проницаемостей на данный случай. Общий вид полученных в (2.16) функций относительных фазовых проницаемостей представляется выражениями: КОТОрые уДОВЛеТВОрЯЮТ УСЛОВИЯМ: При S = S(j) р( = О И При S = S (j) (р( = 0. Предположив, что все функции Fy одного порядка, выражения (2.31) можно преобразовать к следующим равенствам: в которых суммирование по і отсутствует. Множители [s - ,57л.) и Щл - SJ при F.j гарантируют выполнение приведенных выше условий и соответствуют общепринятой аппроксимации относительных фазовых проницаемостей для изотропных пористых сред [5,40,62,87]. Множитель Ix[k)lкп где /, [к) - первый инвариант тензора коэффициентов абсолютной проницаемости, обусловлен анизотропией. Далее, при построении аппроксимации функций (р", необходимо учесть условие на другой границе интервала изменения насыщенности. Изначально функции относительных фазовых проницаемостей строились в интервале s, s 1 (для воды) и 0 s s (для нефти или газа). В этом случае значения р" на границах интервала были фиксированы: , (l) = 1 (для воды) и (pf(6) = 1 (для нефти или газа). Но в последнее время измерения стали проводить в интервале подвижности обеих фаз - 5 5 5 . Поэтому значения \s = s) (для воды) и (pt \s = St) (для нефти или газа) превращаются в значения «на свободной границе» и определяются экспериментально. Таким образом исходное простейшее представление функций относительных фазовых проницаемо стей для изотропных сред в виде (p = (s-sty/({-я ) необходимо заменить на выражение Pj = at(s-s )є /(s -s y).
Модельные задачи лабораторного определения направленной фазовой проницаемости и фильтрационного сопротивления
В предыдущем параграфе были выписаны все возможные варианты связи (2.6) в предположении, что все три материальных тензора обладают одной и той же внешней симметрией, которая соответствует рассматриваемой группе симметрии. При этом, естественно, оказалось, что симметрия тензора фазовых проницаемостей совпадает с симметрией тензора абсолютной проницаемости. Однако не сложно показать, что симметрия тензоров абсолютной проницаемости может оказаться выше, чем симметрия тензора коэффициентов фазовой проницаемости. Подобная ситуация, с возможностью изменения симметрии фильтрационных свойств рассматривалась, например, в [28-30]. Для доказательства рассмотрим случай моноклинной сингонии [20]. Из соотношений (2.23) легко видеть, что симметрия тензоров не изменится, если тензор ку будет иметь более высокую симметрию, вплоть до изотропной.
В самом деле, для групп симметрии ромбической сингонии (ортотроп-ные фильтрационные свойства) в равенстве (2.22) для компонент тензора абсолютной проницаемости т.е. имеем, что к"3 Ф О и А; к21 Ф к"3 и моноклинная внешняя симметрия тензоров Щ сохраняется.. Для трансверсально-изотропных фильтрационных свойств в (2.22) нужно положить - к13 = 0 и &и = &33, для изотропных фильтрационных свойств - кп = 0 и кп =к22 = к33. Но, наложив соответствующие условия на вид компонент ку, и в этих случаях из равенств (2.22) имеем, что к"3 Ф О и к"х Ф к22 Ф к33.
Следовательно, моноклинная внешняя симметрия тензоров Щ сохраняется. Таким образом, при переходе от тензора абсолютных проницаемостей к тензорам фазовых проницаемостей симметрия фильтрационных свойств может не сохранится. При этом при переходе к двухфазному течению от тензоров абсолютной проницаемости с более высокой симметрией
(с известным положением всех трех главных осей) в тензорах фазовых проницаемостей остается известным положение только одной главной оси. При моноклинной симметрии тензоров абсолютной и фазовых проницаемостей направление априори известной главной оси сохраняется, но положение двух других главных осей у тензоров абсолютной и фазовых проницаемостей может быть различно. Рассмотрим доказательство сделанного утверждения.
Тензор коэффициентов абсолютной проницаемости с моноклинной симметрией может быть приведен к главным осям поворотом вокруг оси OY на угол (р, величина которого определяется из равенства [12,63,71]
Аналогично, для приведения к главным осям тензоров фазовых проницаемостей ktj необходимо повернуть систему координат вокруг оси OY на углы (р , значения которых равны
Однако, если в равенстве (2.43) значения ки, кп,к33 являются константами и угол р фиксирован, то в равенстве (2.44) значения компонент тензоров фазовых проницаемостей к"3, к"х, к"3 зависят от насыщенности и изменяются, поэтому и значения углов qf также могут изменяться. В самом деле, как следует из соотношений (2.23), коэффициенты fn являются безразмерными величинами, которые представляются в виде функций насыщенности. Однако проверить выполнение условий (2.46) путем сопоставления с экспериментальными данными в настоящее время не представляется возможным в силу отсутствия таковых исследований для кернов с установленным типом анизотропии фильтрационных свойств [27]. Поэтому смоделируем возможный вариант поведения тензора фазовых проницаемо-стей. Для этого рассмотрим сечения указательных поверхностей тензора плоскостью OXZ. Указательная поверхность фильтрационных свойств определяется равенством
