Содержание к диссертации
Введение
1 Постановка задачи о кнудсеновском слое и методы вычисления коэффициентов скольжения 9
1.1 Методы описания граничной области 9
1.2 Получение задачи Крамерса 13
1.3 Основные методы вычисления коэффициентов ГГУ 16
1.4 Некоторые численные методы решения интегральных уравнений 26
2 Газодинамические граничные условия для процессов испарения 31
2.1 Введение 31
2.2 Решение интегральных уравнений кинетической граничной задачи Крамерса 32
2.3 Постановка кинетической задачи 36
2.4 Введение макропараметров 39
2.5 Внутреннее разложение. Кинетические задачи для пограничных функций 41
2.6 Анализ кинетической задачи с точки зрения получения общего вида газодинамических граничных условий 42
2.7 Сведение задачи Крамерса к интегральным уравнениям 44
3 Газодинамические граничные условия для процессов испарения - конденсации и рассеяния 48
3.1 Введение 48
3.2 Постановка кинетической задачи 48
3.3 Кинетические задачи для пограничных функций 50
3.4 Общий вид газодинамических граничных условий . 50
3.5 Интегральные уравнения задачи Крамерса 52
3.6 Результаты численного решения интегральных уравнений 53
Газодинамические граничные условия для вращательно возбужденного двухатомного газа 67
4.1 Введение 67
4.2 Исходная постановка задачи 67
4.3 Описание кнудсеновского слоя методом погранфункций 70
4.4 Постановка задачи для погранфункции 73
4.5 Получение общего вида граничных условий 75
4.6 Коэффициенты разложений 76
4.7 Модельный линеаризованный интеграл столкновений 77
4.8 Интегральные уравнения 81
Газодинамические граничные условия для гетерогенных каталитических реакций 87
5.1 Введение 87
5.2 Постановка кинетической задачи 87
5.3 Внутреннее разложение. Кинетические задачи для пограничных функций 90
5.4 Интегральные уравнения 94
5.5 Метод решения (алгоритмизация) 96
5.6 Результаты тестовых расчетов 101
А Дополнения к главе 4 107
А.1 Коэффициенты разложений 107
А.2 Коэффициенты интегральных уравнений 108
А.З Проектирование модельного оператора 112
В Дополнения к главе 5 113
8.1 Свойства кинетического граничного условия . 113
8.2 Преобразование граничного условия 114
8.3 Модельное представление линеаризованного интеграла столкновений 116
8.4 Получение интегральных уравнений 118
8.5 Вид ядер интегральных уравнений 122
С Пример реализации программы с использованием MPI 124
D Результаты численного расчета к главе 3 132
- Методы описания граничной области
- Решение интегральных уравнений кинетической граничной задачи Крамерса
- Общий вид газодинамических граничных условий .
- Описание кнудсеновского слоя методом погранфункций
- Внутреннее разложение. Кинетические задачи для пограничных функций
Введение к работе
Развитие современной вычислительной газодинамики дает возможность решения множества самых разных задач. Тем не менее, существует класс проблем, решение которых не удается получить в рамках традиционного подхода. Речь идет о ситуациях, когда физические процессы, происходящие на межфазной поверхности, могут существенно изменять параметры газовой системы. Подобные проблемы возникают в различных задачах, связанных с обтеканием тел в средних слоях атмосферы, расчетами химико-технологического и лазерного оборудования, химическими гетерогенными реакциями и теплообменом на поверхности и т.д.
Еще в 1875 году было показано, что простейшие условия прилипания вязкого газа к твердой стенке не соответствуют экспериментальным данным [90] и должны быть заменены на условия скольжения. Дело в том, что уравнения Навье-Стокса не справедливы в начальном, граничном и ударном слоях. С физической точки зрения это означает, что в этих областях термодинамическое равновесие еще не установилось, т.е. макропараметры еще не сформировались. Таким образом, для постановки корректной задачи в рамках газодинамического описания необходимо определить фиктивные значения макропараметров (начальные или граничные). Для этого необходимо решать кинетические уравнения в пограничных слоях.
В последнее время известную популярность приобрели подходы, основанные на прямом численном моделировании (см. например [21],[19]) или численном решении уравнения Больцмана ([78],[79], [80] и др.). Однако, стоит отметить, что и в том и другом случае современная вычислительная техника не может обеспечить расчет с любой, наперед заданной, степенью точности. Таким образом, большой практический интерес (в задачах исследования газодинамических лазеров, структуры и устойчивости сильных ударных волн в реальных газах, динамики взаимодействия газов с реальными поверхностями) представляет получение корректных газодинамических граничных условий (ГГУ) к уравнениям Навье - Стокса взамен условий "прилипания".
Подобные работы, основывающиеся на получении математически корректного решения в кнудсеновском слое (приповерхностной области, имеющей толщину порядка нескольких длин свободного пробега) известны давно. Однако, в большинстве своем, несмотря на правильность самих ГГУ численные значения коэффициентов в этих формулах вычислялись либо лишь оценочно либо для простейших моделей взаимодействия газа с поверхностью ([55],[136] и др.), что явно недостаточно для решения современных прикладных задач. Тем не менее, возможности вычислительной техники на сегодняшний день позволяют получать коэффициенты ГГУ с заданной точностью для произвольных моделей взаимодействия газа с поверхностью.
Основной целью данной работы является построение точных граничных условий для уравнений Навье - Стокса в переходном режиме течения (Кп < 1, рассматриваются медленные течения, Re^ йі) для сложных процессов взаимодействия газ - поверхность, где эти эффекты важны, а также расчет коэффициентов этих граничных условий с заданной точностью с применением современной высокопроизводительной вычислительной техники.
Работа состоит из введения, пяти глав, заключения, четырех приложений и списка литературы. Содержание каждой главы, вкратце, состоит в следующем.
В первой, обзорной, главе рассмотрена постановка задачи о слое Кнуд-сена и методы получения ГГУ. Также дано краткое описание численных методов решения интегральных уравнений Фредгольма второго рода, применяемых в данной работе.
Во второй главе рассмотрена задача об испарении-конденсации одно-компонентного простого газа. Получены математически корректные газодинамические граничные условия к уравнениям Навье-Стокса и вычислены их коэффициенты. Также на примере решения модельного уравнения обсуждаются методы решения интегральных уравнений возникающих при решении задачи о получении коэффициентов ГГУ.
В третьей главе рассмотрена задача об испарении - конденсации и рассеянии однокомпонентного простого газа. Получены ГГУ для уравнений Навье-Стокса и вычислены их коэффициенты для различных ядер рассеяния, приведенных в работе Черчиньяни и Лэмпис 1997 года. Исследовано поведение коэффициентов ГГУ в зависимости от изменения температуры и параметров, характеризующих данную модель.
В четвертой главе рассмотрена задача о взаимодействии однокомпонентного двухатомного газа с поверхностью. Получены газодинамические граничные условия к уравнениям Навье-Стокса и полностью поставлена численная задача по нахождению коэффициентов этих ГГУ.
В пятой, заключительной, главе рассмотрено взаимодействие многокомпонентного газа с поверхностью и получены ГГУ в случае каталитических реакций на поверхности. Поставлена и решена задача о нахождении коэффициентов этих ГГУ для произвольного вида граничного ядра рассеяния. Проведены тестовые расчеты с ядром оператора каталитических реакций предложенном в [138]. Разработан параллельный алгоритм для решения подобных систем интегральных уравнений. Проведен анализ эффективности этого алгоритма при использовании компьютеров разных архитектур, при этом расчеты проводились как на суперкомпьютере, так и с помощью вычислительной техники, доступной на сегодняшний день в рядовых лабораториях.
В приложениях приведен подробный вывод и полный вид некоторых преобразований, результаты численного расчета для задачи об испарении- конденсации и рассеянии и детальное описание параллельного алгоритма с использованием технологии MPI на примере тестовой задачи.
Основные результаты, выносимые автором на защиту, состоят в следующем: построены газодинамические граничные условия и рассчитаны их коэффициенты для задачи об испарении - конденсации однокомпонентного простого газа; построены газодинамические граничные условия для задачи об испарении - конденсации и рассеянии однокомпонентного простого газа, рассчитаны их коэффициенты для различных ядер рассеяния на поверхности; получены газодинамические граничные условия для однокомпонентного двухатомного газа, поставлена вычислительная задача для получения коэффициентов этих условий; получены газодинамические граничные условия для случая гетерогенных каталитических реакций, рассчитаны их коэффициенты с использованием модельного ядра оператора, описывающего гетерогенные каталитические реакции на поверхности; построен параллельный алгоритм решения системы интегральных уравнений Фредгольма второго рода; данный алгоритм перенесен на платформу МРІ, что позволило протестировать его производительность на компьютерах разных архитектур.
Основные результаты были опубликованы в работах [106], [107], [108]
Методы описания граничной области
Известно, что методы Гильберта или Чепмена - Энскога при малых числах Кнудсена позволяют получить уравнения сплошной среды. В этих методах функция распределения может быть представлена функциональным рядом, члены которого зависят от макропараметров(скорость, температура, плотность). При этом сами макропараметры подчиняются уравнениям Эйлера, Навье - Стокса или Барнетта — в зависимости от используемого разложения.
Указанный класс решений (т.н. класс нормальных решений, как его назвал Г.Грэд [30]) не справедлив в начальных, ударных и граничных слоях (см. например [55]. Причина этого состоит в том, что уравнения Больц-мана для функции распределения (интегро - дифф. уравнение) является сингулярно возмущенным при малых числах Кнудсена.
Обычной практикой является использование в качестве граничных условий для уравнений Навье - Стокса условий прилипания. Однако еще в прошлом веке А. Кундтом и Е. Варбургом было экспериментально показано, что в слаборазреженном газе значения скорости и температуры газа испытывают скачки на границе раздела фаз [90].
Для построения равномерно пригодного решения необходимо находить внутреннее разложение функции распределения (т.е в окрестности границы раздела фаз), для чего необходимо искать решение кинетических уравнений в данных областях.
Исторически первым методом позволяющим получить оценку скачков макропараметров на границе раздела фаз (без решения кинетических уравнений) является метод Максвелла. Он основан на законах сохранения (постоянство потока импульса и энергии в газе), аналогично тому, как это делается при выводе условий Рэнкина - Гюгонио в ударных волнах. Чтобы обойтись без решения уравнения Больцмана в кнудсеновском слое, неизвестную функцию распределения падающих на поверхность молекул принимают равной ее асимптотическому значению на внешней границе кнудсеновского слоя [207, 41]. Максвелл использовал этот подход при расчете вязкого и теплового скольжения, проявляющегося при движении неоднородно нагретого газа вблизи твердой поверхности. В дальнейшем эта методика была развита рядом авторов.
Грэд получил более общие условия скольжения с использованием для функции распределения приближение 13и моментов [173, 174]. В дальнейшем эта схема применялась для течений смеси и многоатомных газов (см. например [40, 41]).
Решение интегральных уравнений кинетической граничной задачи Крамерса
Задачи с конденсацией и испарением уже исследовались рядом авторов [198], [94], [238], [230], [216], [132], [1]. С теоретической точки зрения наиболее последовательным является подход, развитый в работах [238], [230], [216]. Этот подход был обобщен в работе [111], где при получении функционального вида граничных условий использовался метод пограничных функций и теорема о представлении решения граничной задачи Крамер-са. Все другие из указанных работ имеют определенные недостатки. Например, в работах [198, 132] не исследуется корректность постановки стационарных задач. Это приводит, вообще говоря [99] , к отсутствию стационарных режимов с испарением и конденсацией. Проблематичным с асимптотической точки зрения является сращивание с рядом Чепмена-Энскога, взятого в качестве внешнего разложения [94, 132, 1].
Основным результатом этого раздела, принадлежащим лично автору, является расчет коэффициентов умеренно сильных газодинамических граничных условий. Полученные автором результаты опубликованы в [106, 107].
Общий вид газодинамических граничных условий
Полученная система интегральных уравнений была решена численно методом квадратур (подробнее алгоритм и метод реализации с использованием технологии MPI рассмотрен в главе 5 стр. 96).
Для описания взаимодействия с поверхностью были использованы следующие ядра — Черчиньяни - Лэмпис ( CL - model ) [136], Черчиньяни - Лэмпис - Лентати (Cercignani - Lampis - Lentati, CLL - model) [158] и новая модель Черчиньяни - Лэмпис [158].
Приведем функциональный вид этих моделей. ап — коэффициент аккомодации той части кинетической энергии, которая соответствует движению по нормали к стенке, аа(- коэффициент аккомодации касательной компоненты импульса.
Описание кнудсеновского слоя методом погранфункций
Уравнение Ванг Чанг — Уленбека при малых числах Кнудсена является сингулярно возмущенным, что приводит к тому, что асимптотика: неравномерна в слое толщины порядка є, расположенного около границы Е. Для построения равномерной асимптотики для / и, тем самым, определения граничных условий к уравнениям Навье — Стокса, воспользуемся методом составных асимптотических разложений.
Этот метод предполагает введение в (4.2.1) слагаемого, называемого пограничной функцией, исчезающего вне кнудсеновского слоя и исправляющего асимптотику внутри него до требуемой точности. Примем следующий вид для функции распределения с точностью до О (є2) внутри слоя: где s = z/e(z — нормальная координата ), a j — характеризует квантовое состояние, lim II(s) = 0. Если предположить, что vs = 0(є), Ts = Tw+0(e) , где величины с индексом s обозначают значения "фиктивных" макропараметров вблизи стенки, то можно показать [72], что функция распределения f s удовлетворяет граничному условию с точностью до 0(e), так что погранфункция порядка единицы равна нулю.
Внутреннее разложение. Кинетические задачи для пограничных функций
При этом, матрицы GaA234 56 78 9) имеют порядок п. Номер каждой из матриц (7(1..9) однозначно определяется по индексам а,Ь, которые связаны с индексами 1,р общей матрицы при помощи соотношений:
Такой, несколько усложненный, механизм построения вычислительных формул позволяет довольно просто менять число компонент в системе, а также быстро изменять программу при изменении исходной системы интегральных уравнений (например, изменении числа неизвестных). Рассмотрим, в качестве примера семейство матриц Gl :
