Содержание к диссертации
Введение
Глава 1. Математическая модель роста кристалла и е реализация 16
1.1 Основные предположения 16
1.2 Равновесная модель роста кристалла 18
1.3 Неравновесная модель диффузионного роста кристалла 21
1.4 Обезразмеривание системы уравнений диффузии 24
1.5 Переход в подвижную систему координат 25
1.6 Аппроксимация уравнений 26
1.7 Линеаризация уравнений 30
1.8 Программная реализация 30
1.9 Сеточная независимость 32
1.10 Выводы к главе 1 33
Глава 2. Качественный анализ кристаллизации плагиоклаза 34
2.1 Постановка задачи о росте кристалла плагиоклаза 35
2.2 Параметры модели 36
2.3 Анализ размерностей 41
2.4 Равновесная кристаллизация плагиоклаза. Аналитическое решение 44
2.5 Задача Стефана (диффузионный рост кристалла).
Общие закономерности процесса кристаллизации 50
2.6 Закономерности процесса кристаллизации в реакционно-контролируемых процессах 56
2.7 Выводы к главе 2 68
Глава 3. Рост кристалла плагиоклаза в остывающем магматическом расплаве 69
3.1 Постановка задачи и основные предположения 69
3.2 Результаты в случае отсутствия растворения кристалла 72
3.3 Результаты в случае с учетом растворения кристалла 74
3.4 Выводы к главе 3 77
Глава 4. Рост кристалла плагиоклаза при подъме магмы по каналу вулкана 79
4.1 Постановка задачи и основные предположения 79
4.2 Результаты расчетов по равновесной модели 84
4.3 Результаты расчетов по неравновесной модели 88
4.4 Выводы к главе 4 94
Заключение
- Неравновесная модель диффузионного роста кристалла
- Равновесная кристаллизация плагиоклаза. Аналитическое решение
- Результаты в случае отсутствия растворения кристалла
- Результаты расчетов по неравновесной модели
Введение к работе
Диссертация посвящена математическому моделированию роста
одиночного кристалла плагиоклаза из магматического расплава. Плагиоклаз –
один из основных породообразующих минералов и может быть представлен в
виде смеси двух компонент: анортита и альбита. Задача рассмотрена в
равновесной и неравновесной постановках, с различными условиями на
границе кристалл-расплав. Выявлены причины немонотонного изменения
химического состава кристалла (осцилляторной зональности) и
реконструированы условия подъема магмы для вулкана Безымянный.
Актуальность темы. Математическое моделирование процессов
внедрения магмы в земную кору, е подъема к поверхности в процессе
извержения является важным источником информации о явлении,
непосредственное наблюдение которого невозможно. За счет медленной диффузии внутри кристалла плагиоклаза его состав отражает условия кристаллизации магмы. В работе исследуется рост кристаллов в магме как многокомпонентном расплаве в различных внешних условиях. Строятся модели как равновесной (характерное время протекания процесса значительно превышает характерное время диффузии компонент расплава), так и неравновесной кристаллизации. В настоящее время для интерпретации измерений обычно используются равновесные модели, хотя большой массив экспериментальных данных свидетельствует о неравновесности многих природных процессов.
Рост кристаллов в магматическом расплаве происходит под действием многокомпонентной диффузии, изучение которой началось в 40-х годах прошлого века с работ Онзагера, в которых диффузионные потоки массы были выражены в общем виде с помощью диффузионной матрицы (Onsager, 1945, Ann. N. Y. Acad. Sci., v. 46, p.241-65.). В дальнейшем, в работах многих авторов предлагались способы экспериментального и теоретического определения диффузионной матрицы. Для магматического расплава, содержащего большое число компонент, в настоящее время эта задача не решена, поэтому на практике используются более простые выражения для определения диффузионных потоков (Oishi, 1965, J. Chem. Phys., v. 43:5, p. 1611-1620; Lasaga, 1979, Geochim. Cosmochim. Acta, v. 43, p 455-469).
При моделировании роста кристаллов в магматических расплавах ранее использовалась только модель двухкомпонентной диффузии с учетом эмпирически полученных формул для определения температуры равновесия кристалл-расплав и скорости роста кристалла. Состав кристалла определяется коэффициентами распределения, которые могут зависеть от температуры.
При исследовании кристаллизации плагиоклаза особое внимание уделяется объяснению возникающей в кристаллах периодической (или осцилляторной) зональности по составу. Одной из причин е возникновения может являться колебания температуры системы. В ряде работ (Allegre et al, 1981, Nature, v. 294, p. 223-228; Lasaga, 1982, Amer. J. of Sci., v. 282:8, p. 1264-
1288; Tsune, Toramaru, 2007, Am. Mineral, v. 92, p. 1071-1079) показано, что колебания состава кристалла могут быть вызваны конкуренцией процессов роста и диффузии компонент при монотонном изменении температуры расплава во времени. При этом основной причиной считалась неоднозначность определения скорости роста кристалла в зависимости от состава расплава (Allegre et al, 1981; Lasaga, 1982). Такой закон роста не нашел экспериментального подтверждения. Более того, для двухкомпонентной системы в (Lasaga, 1982) получено, что если скорость роста кристалла -однозначная функция состава расплава, то концентрации компонент в кристалле изменяются монотонно. В (Tsune, Toramaru, 2007) для вычисления скорости роста предлагается формула, учитывающая влияние шероховатости растущей грани кристалла на скорость его роста. Получены периодические режимы про скачкообразном переходе от режима быстрого роста, соответствующего шероховатой стенке, к медленному, соответствующему гладкой стенке. В России кристаллизация магматических расплавов изучалась в работах Френкеля М.Я., Ярошевского А.А., Арискина А.А., Барминой Г.С., Коптева-Дворникова Е.В., Арановича Л.Я., Плечова П.Ю.
Актуальность работы состоит в необходимости интерпретации данных петрологических измерений и экспериментов для восстановления условий внедрения и подъема магмы при вулканических извержениях. Существующие модели роста кристаллов из магматического расплава не учитывали ряд важных параметров: перекрестную диффузию компонент многокомпонентного расплава, реальную зависимость состава кристалла и температуры равновесия кристалл-расплав от состава расплава, зависимость скорости роста от переохлаждения.
Цель и задачи исследования. Целью работы является исследование процесса роста кристалла плагиоклаза на основе решения уравнений многокомпонентной диффузии в магматическом расплаве в процессе его кристаллизации. Были поставлены следующие задачи:
Построение в общем виде математической модели диффузионного роста кристалла в многокомпонентном расплаве для произвольных зависимостей состава кристалла и температуры равновесия от условий кристаллизации и состава расплава. Построение математической модели равновесного роста кристалла из многокомпонентного расплава.
Исследование кристаллизации плагиоклаза в различных условиях (при падении температуры или давления) с использованием модельных и реальных зависимостей, определяющих состав кристалла и температуру равновесия системы кристалл-расплав.
Объяснение на основе построенной модели роста возникающей в кристаллах плагиоклаза зональности.
Научная новизна. В работе получены следующие новые результаты,
выносимые на защиту:
Построена модель диффузионного роста кристалла в многокомпонентном расплаве для произвольной зависимости состава кристалла от состава расплава.
Для модельных зависимостей состава кристалла плагиоклаза и температуры равновесия кристалл-расплав от состава расплава получено аналитическое решение равновесной задачи.
В неравновесном случае исследовано влияние граничных условий на процесс кристаллизации. Показано, что граничные условия в форме Стефана могут быть использованы при моделировании процессов, близких к равновесным. Кристалл при этом растет монотонно по времени, а его состав - монотонная функция расстояния от центра кристалла к периферии.
Если скорость роста однозначно определяется переохлаждением расплава на границе с кристаллом, то кристалл может расти как монотонно, так и со сменой режимов роста и растворения. В последнем случае состав кристалла сложнозонален. Ранее при однозначной зависимости скорости роста от переохлаждения такая зональность кристаллов не обнаружена, поскольку предыдущие модели не учитывали многокомпонентный характер диффузии в магматическом расплаве
Процесс кристаллизации плагиоклаза, вызванный остыванием расплава, исследован для реальных зависимостей состава кристалла и температуры равновесия от состава расплава. В результате численного моделирования получена зависимость средней ширины полос от скорости остывания и критерий возникновения зональности. Эти зависимости важны для интерпретации петрологических данных при изучении изверженных пород.
Исследован процесс роста кайм на кристаллах плагиоклаза при подъеме магмы по каналу вулкана с использованием петрологических данных вулкана Безымянный. Показана необходимость использования неравновесной модели роста кристалла. Реконструированы условия подъема магмы.
Достоверность результатов. В работе найдено аналитическое решение для модели равновесной кристаллизации в пределе, когда коэффициенты диффузии компонент стремятся к бесконечности. Результаты расчетов по неравновесной модели получены с помощью численного решения системы уравнений известным методом матричной прогонки с итерациями. Они в предельном случае дают корректное решение, полученное в рамках равновесной модели. Достоверность расчетов подтверждается сопоставлением на качественном уровне с экспериментальными и расчетными данными других авторов, а также с известными решениями уравнений диффузии.
Научная и практическая значимость. Научная значимость работы состоит в том, что построены оригинальные модели равновесного и
неравновесного (диффузионного) роста кристалла из произвольного расплава с учетом перекрестных членов. Впервые проанализировано влияние граничного условия в неравновесной модели на процесс роста кристалла из многокомпонентного магматического расплава на примере кристаллизации плагиоклаза. Результаты численного моделирования показали, что обычно используемое предположение о существовании на границе локального равновесия и по составу, и по температуре (условие Стефана) не дает объяснения явлениям, наблюдаемым при экспериментах и в реальных кристаллах. Тем не менее, это условие может применяться при моделировании процессов, близких к равновесным.
Практическая значимость работы состоит в том, что с помощью предложенных в ней моделей при использовании реальных зависимостей состава кристалла от состава расплава (и других параметров) можно реконструировать условия роста кристаллов в магматическом расплаве, тем самым получая уникальную информацию об условиях внедрения и подъема магмы.
Личный вклад автора. Все представленные в диссертации результаты получены лично автором. Постановки задач, обсуждение и подготовка к публикации некоторых из представленных в диссертации результатов проводилась совместно с соавтором – научным руководителем. Аналитическое решение задачи о равновесном росте кристалла в модельном случае, а также разработка алгоритмов решения нелинейных дифференциальных уравнений и численное моделирование проводились автором единолично. Петрологические данные и модели для определения состава кристалла и равновесной температуры, используемые в работе, получены в сотрудничестве с соавторами – сотрудниками Геологического факультета МГУ.
Соответствие диссертации паспорту научной специальности. В соответствии с областью исследований специальности 01.02.05 – «Механика жидкости, газа и плазмы» диссертация включает в себя теоретическое и с помощью численного эксперимента изучение процесса роста кристалла из магматического расплава. Полученные результаты соответствуют пункту 15 (тепломассоперенос в газах и жидкостях) паспорта специальности.
Апробация работы. Результаты, полученные в работе, были доложены
на следующих научных конференциях: Конференция-конкурс молодых ученых
НИИ механики МГУ (2009, 2010, 2011, 2013), Ломоносовские чтения (Москва,
2010), 16 школа-семинар «Современные проблемы аэрогидродинамики» (Сочи,
2010), Всероссийская научная школа молодых ученых «Механика
неоднородных жидкостей в полях внешних сил» (Москва, 2010), X Всероссийский съезд по фундаментальным проблемам теоретической и прикладной механики «Актуальные проблемы механики» (Нижний Новгород, 2011), XIX Международная конференция студентов, аспирантов и молодых
ученых «Ломоносов» (Москва, 2012), Генеральная Ассамблея Европейского общества геологических наук (Вена, Австрия, 2012).
Результаты работы были также доложены и обсуждены на
специализированном научном семинаре по механике сплошных сред под руководством академика РАН А.Г. Куликовского, проф. В.П. Карликова, члена-корреспондента РАН О.Э. Мельника (НИИ механики МГУ, Москва, 2012, 2013).
Публикации по теме диссертации. Основные результаты работы изложены в 11 научных публикациях, из которых 2 [] – статьи в журналах, входящих в Перечень ВАК на момент публикации, и 5 – тезисы докладов. В работах [], опубликованных в соавторстве с научным руководителем и сотрудниками геологического ф-та МГУ ], автор участвовал в постановке задачи, обработке петрологических данных, данных экспериментов и результатов расчетов.
Структура и объем работы. Диссертация содержит введение, четыре главы, заключение и список литературы. В работе имеется 41 рисунок и 70 библиографических ссылок. Общий объем диссертации составляет 106 страниц.
Неравновесная модель диффузионного роста кристалла
Для описания многокомпонентной диффузии с возможной возвратной диффузией Y.Oishi для трехкомпонентной смеси предложена система уравнений, учитывающая перекрестную диффузию компонент [41]. Перекрестные члены в выражениях потоков массы возникают в случае различных скоростей диффузии компонент. В [41] проводится анализ решений системы в зависимости от соотношения коэффициентов диффузии компонент. В [40] проводится анализ модели Y.Oishi, получены критерии возникновения возвратной диффузии на примере конкретного расплава.
Проблема выбора диффузионной матрицы в настоящее время не решена. В диссертации модель [41] адаптирована для моделирования многокомпонентной диффузии в системе, состоящей из произвольного числа компонент.
В работе исследуется рост одиночного кристалла плагиоклаза – одного из основных породообразующих минералов. Плагиоклаз состоит из молекул двух типов: анортита (An - CaAl2Si2O8) и альбита (Ab - NaAlSi3O8). При понижении температуры или давления кристалл начинает расти за счет диффузии своих компонент (альбита и анортита) из расплава к границе кристалла. При этом другие компоненты расплава, наоборот, диффундируют от границы кристалла. Этот минерал был выбран по той причине, что диффузия компонент внутри кристалла на несколько порядков медленнее, чем в расплаве. Поэтому распределение компонент внутри кристалла сохраняется на значительных временах после окончания кристаллизации, а анортитовый номер плагиоклаза – величина An=Ca/(Ca+Na) (содержание анортита в кристалле) – важный индикатор условий кристаллизации магмы. Для многих изверженных пород существуют детальные измерения этого параметра.
Моделирование неравновесной кристаллизации магматических расплавов (когда скорость диффузии компонент в расплаве оказывает существенное влияние на процесс роста кристалла) началось в 70-х годах прошлого века. Наиболее простая модель, описывающая диффузионный рост кристалла в двухкомпонентной системе, предложена в [30]. Предполагается простая линейная зависимость концентрации компоненты в кристалле от ее концентрации в расплаве (их отношение называется коэффициентом распределения). Важность этой работы в том, что в ней предложены основанные на экспериментальных данных формулы для вычисления температуры равновесия кристалл-расплав и скорости роста кристалла. Температура равновесия и скорость роста определены в зависимости от состава расплава в пограничном слое и температуры системы. В работах [37,38] проводится исследование применимости предложенной в [30] формулы для вычисления скорости роста в сравнении с экспериментами.
Большой интерес представляет наблюдаемая в изверженных породах и при проведении экспериментов осцилляторная зональность (немонотонное изменение состава концентрации анортита в кристалле) химического состава ([27], рис.1), в кристаллах плагиоклаза. Существуют различные точки зрения на происхождение этой зональности. Классическим является представление, связанное с колебаниями температуры, вызванными магматической конвекцией в очаге извержения [22]. В [46] в двухкомпонентной системе моделируется кристаллизация, вызванная скачком температуры на границе кристалл-расплав. Решаются одновременно уравнения теплопроводности и диффузии, из решения которых при этом находится состав кристалла. Процесс контролируется диффузией компонент и выделением скрытой теплоты кристаллизации. Показано, что в такой системе возможно возникновение периодически-зональных кристаллов. Проведено исследование в зависимости от безразмерных параметров (определяемых коэффициентами диффузии компонент и скрытой теплотой кристаллизации). В результате определены области параметров, в которых образуются кристаллы разных типов зональности. Недостатком работы является то, что при моделировании не учитывается зависимость состава кристалла и скорости роста от состава расплава и других параметров. Кроме того, как будет показано ниже, для характерных значений размеров ячеек магматического расплава, из которых растут кристаллы плагиоклаза, коэффициент температуропроводности на шесть порядков больше коэффициента диффузии, поэтому выравнивание температуры внутри ячейки на временах роста кристалла происходит мгновенно. Предложенный в [46] механизм не может объяснить зональности природных плагиоклазов.
Равновесная кристаллизация плагиоклаза. Аналитическое решение
В этой главе предполагается, что коэффициенты диффузии компонент постоянны; в главе 3 будет рассмотрен случай, когда коэффициенты диффузии зависят от температуры. При этом D1,D2 10 13м2/с. Основным параметром, определяющим взаимную диффузию анортита и альбита, является отношение коэффициентов диффузии CD=D2/D1, которое может принимать значения как большие 1, так и меньшие. Коэффициент диффузии анортита Д и отношение CD могут принимать различные значения, коэффициент диффузии остаточного расплава считается малым по сравнению с коэффициентами диффузии анортита и альбита (D3 = 10"17 м2/с) и в данном исследовании не варьировался.
Отметим, что диффузия в магматическом расплаве определяется движением катионов, а не отдельных молекул анортита или альбита, которые, однако, образуют устойчивые образования в кристалле, поэтому предложенная схема во многом является упрощенной, однако недостаток экспериментальных данных не позволяет заполнить диффузионную матрицу для системы катионов, составляющих магматический расплав. Это также является причиной, почему в расчетах коэффициенты диффузии варьируются в широких пределах. Граничное условие на границе кристалл-расплав.
Классическим считается представление граничных условий в форме Стефана: вместо одного из Кт-1 граничных условий (1.3.2) на границе кристалл-расплав ставится условие равенства равновесной температуры температуре расплава, то есть предположение об отсутствии локального переохлаждения на границе растущего кристалла:
Тогда остальными Кт-2 условиями на границе кристалл-расплав будут условия, выражающие законы сохранения массы на разрыве для любых Кт-2 компонент. Таким образом, граничные условия на границе кристалл-расплав имеют вид (при x=s):
Отсутствие локального переохлаждения означает, что компоненты кристалла встраиваются в его решетку существенно быстрее, чем подходят в диффузионный пограничный слой, так что любое локальное переохлаждение мгновенно компенсируется переходом вещества в кристалл с изменением состава пограничного слоя и, соответственно, температуры равновесия. Таким образом, фактором, лимитирующим кристаллизацию, является диффузия компонент как более медленный процесс [54, 56].
Если же скорость встраивания частиц в растущий кристалл является лимитирующим фактором (осуществляется реакционный рост кристалла), то состав приграничного слоя может отличаться от равновесного с кристаллом, а равновесная температура не будет равна температуре расплава. Тогда в качестве Кт-\ граничных условий на границе кристалл-расплав берутся условия сохранения массы компонент, а скорость роста кристалла определяется из дополнительного соотношения: Здесь AT = Тeq - переохлаждение расплава, а АТи = const - переохлаждение, при котором скорость роста достигает максимума V0 (фиксированная величина). Teq - температура равновесия. Если температура выше температуры равновесия, кристалл растворяется, если ниже - растет. Зависимость скорости роста от переохлаждения представлена на рис. 2.1. При этом на величину скорости роста существенно влияет лишь переохлаждение расплава, а влияние температуры расплава пренебрежимо мало. Формула (2.2.6) для определения скорости выведена путем адаптации выражения, полученного из термодинамических соображений для магматических расплавов [20,35] (АТи = -62К для плагиоклаза). Рис.2.1: зависимость скорости роста от переохлаждения
При этом при положительных переохлаждениях, когда температура расплава больше температуры равновесия, скорость роста кристалла равна нулю. Во многих задачах необходимо учитывать растворение кристалла при температурах, больших равновесной температуры [47]. Тогда в вычислениях скорость роста полагается отрицательной при положительном переохлаждении. В этом случае считается, что при 0 ЛГ Д7 скорость растворения по модулю равна скорости роста при таком же по модулю переохлаждении расплава. При АГ ДГІ скорость растворения максимальна и равна по модулю V0. Когда кристалл растворяется, состав расплава на границе с кристаллом определяется содержанием компонент в растворившемся слое кристалла.
Состав кристалла В простейшем случае состав кристалла плагиоклаза определяется долей анортита в расплаве на границе с кристаллом - величиной Xan = C1(C1 +С2). В этой главе не учитывается зависимость состава кристалла от других параметров: температуры, давления и доли остаточного расплава. Зависимость концентрации анортита в кристалле от величины Хап можно описать квадратичной функцией (рис. 2.2):
При малом содержании анортита в расплаве по сравнению с альбитом (Хап мал) кристалл растет преимущественно из альбита и наоборот. Такое приближенное описание хорошо аппроксимирует зависимости, представленные в гл. 3, при незначительном изменении валового состава расплава (степени его кристаллизации).
Температура равновесия
Равновесная температура также определяется долей анортита в расплаве на границе с кристаллом. Предполагается, что температура равновесия линейно зависит от Хап и определяется формулой Teq = ТеЧо + К ІХап - Хап0). (2.2.8) Здесь Те 0 - начальная температура равновесия, Хап0 - доля анортита в начальный момент времени, kT - параметр, задающий наклон прямой. При любом kT начальная температура расплава равна начальной температуре равновесия (расплав начинает кристаллизоваться из состояния равновесия).
Результаты в случае отсутствия растворения кристалла
В процессе растворения граница кристалла сдвигается обратно внутрь кристалла, и в расплав идет поток компонент из растворившихся слоев кристалла. При этом продолжается рост концентраций компонент в расплаве на границе кристалла. Концентрация альбита растет быстрее за счет того, что перепад его концентрации в ячейке еще достаточно большой, тогда как анортит, за счет более быстрой диффузии, достаточно быстро уравновешивается. Постепенно процесс диффузии замедляется, и в какой-то момент диффузия компонент в пограничном слое начинает идти в обратную сторону за счет поступления вещества из растворившихся слоев в пограничный слой, и концентрации компонент в расплаве на границе уменьшаются. За счет медленного изменения концентраций, скорость изменения температуры равновесия мала, и при постоянной скорости остывания наступает момент, когда переохлаждение становится отрицательным и снова начинается рост кристалла уже с другим составом, соответствующим новому составу расплава в пограничном слое (переход к следующему периоду).
Для сравнения двух случаев: без учета и с учетом растворения – были проведены расчеты при одних и тех же начальных условиях и одинаковых значениях определяющих параметров. Сравнительные графики зависимостей концентрации анортита и альбита в расплаве и в кристалле на границе от положения границы и зависимости размера кристалла от времени приведены на рисунке 2.12.
Эти графики отражают уже описанные выше процессы, происходящие во время роста и растворения кристалла. График на рисунке 2.11-а также показывает распределение концентраций в образующемся кристалле в обоих случаях. Для случая с учетом растворения на графике присутствуют возвратные линии: участки, соответствующие смещению границы внутрь кристалла при его растворении. Если их не учитывать, то получим окончательное распределение концентрации анортита в кристалле. В реальных условиях и при проведении экспериментов наблюдается растворение кристалла, когда температура выше температуры равновесия. Если растворение кристалла не учитывается при моделировании, то получено, что периоды отсутствия роста достаточно продолжительны, поэтому предположение об отсутствии растворения приводит к значительному искажению результатов и противоречит наблюдениям.
На рисунках 2.13-15 показано влияние различных параметров на процесс кристаллизации (для случая, когда скорость роста определяется в зависимости от переохлаждения расплава, растворение кристалла учитывается). Результаты расчетов сравниваются с аналитическим решением для равновесного роста кристалла (п. 2.4). Расчеты приближаются к равновесному решению при уменьшении VT и увеличении параметров Ст, CD (рис. 2.13, 2.15). При этом, в отличие от предыдущего случая (п. 2.7), существенное влияние на процесс кристаллизации оказывает параметр Ст, при неизменном максимуме скорости роста отвечающий за величину числа Пекле (в этом случае число Пекле можно представить в виде: ре.=2— = — = т ). Когда Ст растт, А А-Оэз 0)з диффузионное число Пекле убывает. Для Ст=\05 число Пекле равно Ped=OA, и решение близко к равновесному, приближаясь к нему с убыванием VT (рис. 2.13-б) и ростом CD (рис. 2.15-б).
В случае сильно неравновесного решения при некоторых значениях Ст (например, Ст =104) и CD возможен рост кристалла со ступенчатым профилем (сложнозонального). Кристалл растет немонотонно при значениях безразмерной скорости остывания VT\ меньших некоторого максимального значения. При уменьшении VT количество полос в кристалле увеличивается, а профиль анортита, в среднем, приближается к равновесному решению (рис. 2.13-а). При отрицательных VT кристалл также монотонно растет, в отличие от результатов, полученных для задачи Стефана. Влияние параметра А Ти , отвечающего за величину углового коэффициента кт, менее существенно: при его росте незначительно увеличивается число полос в кристалле с сохранением профиля анортита в среднем (рис. 2.14). Параметр CD не влияет на процесс кристаллизации при CD \ (рис. 2.15), когда CD \ решение приближается к равновесному с ростом этого параметра. При значениях CD, близких к 1, кристалл растет монотонно; при меньших значениях CD возможен рост кристалла со сложной периодической зональностью.
Результаты расчетов по неравновесной модели
В равновесном приближении можно выделить две стадии роста кристалла. Сначала кристалл растет за счет падения давления в результате подъема магмы, а затем решение системы (4.2.9) ведет к росту давления. Такая ситуация маловероятна в реальных системах, поэтому предполагается охлаждение магмы при последующем росте кристалла. Результаты моделирования существенно зависят от начального давления и, особенно, от начальной температуры. Рассчитанное изменение температуры не может быть объяснено выделением скрытой теплоты кристаллизации: в большинстве случаев рост равновесной температуры значительно превышает изменение температуры системы. Можно дать несколько возможных объяснений несоответствия результатов. Во-первых, может происходить одновременная кристаллизация других минералов, что ведет к дополнительному выделению скрытого тепла. Петрологический анализ образцов из извержений вулкана Безымянный показывает, что она дает незначительный эффект, который приводит к 5-10 % роста температуры. Во-вторых, образцы могли быть взяты из периферийной зоны канала, где нагревание за счет трения ведет к росту температуры. В [10] показано, что толщина этой внешней зоны может быть порядка метра, таким образом, в объемах всей магмы проявление такого нагревания относительно мало. Вероятность того, что все три образца из разных извержений подвергались нагреванию за счет трения, пренебрежимо мала. Ниже будет показано, что неравновесная модель позволяет объяснить измеренные профили и получить ограничения на времена подъема магмы.
Результаты расчетов по неравновесной модели. Математическая модель диффузионного (неравновесного) роста кристалла описана в п. 1.3. Вычисления проводились, так же как и раньше, для размера ячейки L = 0.35 мм, но, чтобы была возможность учесть растворение кристалла, было принято начальное положение границы s0 = 0.2 мм (кайма нарастает на уже существующем кристалле), т.е. использовалось значение L = (0.3 5 + 0.2) мм = 0.55 мм. Были заданы следующие начальные условия: Anso =0.74, Ге(?0=850С, р0 = 100 МПа, начальный расплав равновесен кристаллу при этих условиях. Начальная температура расплава равна начальной температуре равновесия (Т0=Т 0), температура расплава изменяется по закону L (s-s ) Т it=TQ+— —; а если учитывается остывание, то по закону cv L L (s-s ) Т lt =Т0 -max(0,VT(t0)) + — — (здесь время измеряется в часах, а /0 cv L момент времени, соответствующий началу остывания).
Было исследовано влияние различных условий подъема магмы для оценки параметров модели. Изменение давления в процессе подъема магмы определяется действием силы тяжести и силой сопротивления канала вулкана, зависящей от площади его поперечного сечения, расхода и вязкости магмы. Для стационарного течения изменение давления можно определить из следующего уравнения: — =- хрVг dy p Рg 2d где y - вертикальная координата, р - плотность магмы, g - ускорение свободного падения, X - коэффициент трения канала, V - скорость подъема и d - диаметр канала. Для ламинарного течения Л = 64/Re, где Re = pVd/ju - число Рейнольдса, р - вязкость магмы. Если все коэффициенты в правой части уравнения постоянны, то давление будет падать с высотой с постоянной скоростью до атмосферного давления. В случае взрывного извержения давление для некоторой порции магмы может резко измениться с относительно высокого до атмосферного. При изменении расхода в частице магмы темп падения давления также изменится.
Очевидно, что близость профилей концентрации анортита до s = 0.22 мм свидетельствует о близости условий подъема магмы на определенном участке канала вулкана. Далее условия подъема для различных кристаллов различаются. Для моделирования индивидуальных процессов кристаллизации изменялась скорость падения давления, а также рассматривается возможность остывания расплава.
Коэффициенты диффузии компонент варьируется в достаточно широком диапазоне: их отношение CD = 0.1, 0.3, 1, 10 (CD =DAb/DAn), характерное значение коэффициента диффузии D=1, 10, 100-10"14 м2/с (D = DAn). Сначала исследовалось влияние скорости диффузии и отношения коэффициентов диффузии компонент на процесс кристаллизации. На рисунке 4.8-а показаны вычисленные профили анортита в сравнении с измеренными при скорости падения давления 100 МПа за 15 дней. На рисунке 4.8-б - зависимость размера кристалла от времени при разных параметрах.
