Содержание к диссертации
Введение
Глава 1. Нестационарный ламинарный динамический, диффузионный и тепловой пограничные слои несжимаемой жидкости в окрестности критической точки при торможении внешнего потенциального потока с учетом архимедовой силы в среде с переменной плотностью 31
1.1 Постановка задачи 31
1.2 Метод обращенных рядов в задаче диффузии 39
1.3 Анализ результатов 51
1.3.1 Анализ результатов численного моделирования влияния торможения а/А, скорости вдува (отсоса) н>о, параметра изменения плотности среды S и архимедовой силы на характеристики динамического, диффузионного и теплового пограничных слоев в окрестности критической точки 51
1.3.2 Анализ результатов расчета методом обращенных рядов в задаче диффузии 62
Глава 2. Нестационарный ламинарный динамический, диффузионный и тепловой пограничные слои несжимаемой жидкости в окрестности критической точки «двоякой» кривизны при торможении внешнего потенциального потока с учетом влияния архимедовой силы в среде с переменной плотностью 64
2.1 Постановка задачи 64
2.2 Анализ характеристик нестационарного ламинарного динамического, диффузионного и теплового пограничных слоев несжимаемой жидкости в окрестности критической точки двояки кривизны при торможении внешнего потенциального потока с учетом архимедовой силы в среде с переменной плотностью 71
Глава 3. Сублимация (испарение) теплозащитного материала в окрестности критической точки и критической точки двояки кривизны при торможении внешнего потенциального потока с учетом архимедовой силы в поле переменной во времени плотности 81
3.1 Сублимация (испарение) теплозащитного материала в окрестности критической точки при торможении внешнего потенциального потока с учетом архимедовой силы в поле переменной во времени плотности 81
3.1.1 Постановка задачи 81
3.1.2 Определение концентрации на фронте сублимации при торможении внешнего потока 90
3.1.3 Анализ результатов 98
3.1.3.1 Анализ результатов численного моделирования влияния торможения а/А и плотности среды S на характеристики динамического, диффузного и теплового пограничных слоев, определяющих процесс сублимации 98
3.1.3.2 Анализ результатов численного моделирования влияния архимедовой силы на характеристики динамического, диффузного и теплового пограничных слоев в задаче сублимации 103
3.1.3.3 Анализ результатов численного моделирования влияния торможения а/Х, плотности среды S и архимедовой силы N на скорость продвижения фронта сублимации 105
3.2 Сублимация (испарение) теплозащитного материала в окрестности критической точки двоякой кривизны при торможении внешнего потенциального потока с учетом архимедовой силы в поле переменной плотности 106
3.2.1 Решение задачи сублимация твердого тела в окрестности критической точки двоякой кривизны при торможении внешнего потока в поле переменной плотности 109
3.2.2 Анализ результатов 118
3.3 Расчет сублимации некоторых веществ 119
Заключение 125
Литература 130
Приложение 1 135
Приложение 2 160
Приложение 3 200
- Метод обращенных рядов в задаче диффузии
- Анализ результатов численного моделирования влияния торможения а/А, скорости вдува (отсоса) н>о, параметра изменения плотности среды S и архимедовой силы на характеристики динамического, диффузионного и теплового пограничных слоев в окрестности критической точки
- Анализ характеристик нестационарного ламинарного динамического, диффузионного и теплового пограничных слоев несжимаемой жидкости в окрестности критической точки двояки кривизны при торможении внешнего потенциального потока с учетом архимедовой силы в среде с переменной плотностью
- Анализ результатов численного моделирования влияния торможения а/А и плотности среды S на характеристики динамического, диффузного и теплового пограничных слоев, определяющих процесс сублимации
Введение к работе
В авиационной и ракетной технике основную роль играют течения газа при больших значениях числа Рейнольдса. Решение уравнений Навье - Стокса, описывающих течение вязкого газа, представляет до сих пор значительные трудности даже при использовании современной вычислительной техники. В этом направлении имеются определенные успехи. Однако, именно для течений при больших значениях числа Рейнольдса Re , численное решение задач оказывается сложным и трудным. Поэтому обычным путем является использование классической теории пограничного слоя Прандтля [19,39]. В этом случае предполагается, что поскольку число Re велико, вязкие члены уравнений Навье - Стокса несущественны почти во всем потоке, кроме узкой области течения, толщина которой уменьшается при возрастании числа Re. Внешнее невязкое течение описывается системой уравнений Эйлера. Её решение дает часть краевых условий для уравнений пограничного слоя.
Теории пограничного слоя посвящено большое число работ, содержащих результаты теоретических и экспериментальных исследований. Обширная библиография представлена, например, в [19,39]. Важное место в теории пограничного слоя занимают математические методы. Математические исследования системы уравнений Прандтля вскрывают природу явлений, управляющих движением жидкости или газа в пограничном слое, и, тем самым, позволяют установить количественные и качественные закономерности движения.
Гипотеза пограничного слоя позволила получить физическое объяснение теплопередачи, процессов массопереноса вещества, а также дала возможность преодолеть математические трудности, возникающие при решении уравнений вязкого и теплопроводного газа или жидкости, с учетом явления массопереноса вещества - тех уравнений, которые, даже в случае учета только вязкости, приводят к значительным трудностям их решения.
Теория пограничного слоя (динамического, теплового, диффузионного) является одним из важнейших разделов механики жидкости и газа, позволяющая решать важнейшие прикладные задачи взаимодействий - силового, теплового, химического и других задач взаимодействия, встречающихся в практике.
Движение жидкости и газа в пограничных слоях и его внешнем потоке в действительности неразрывно связаны между собой. В большинстве работ эта связь рассматривается односторонне, т.е. считается, что внешний поток существует независимо от пограничного слоя и задается, как известный потенциальный поток. В этом случае характер течения жидкости и газа в пограничном слое определяется по характеру заданного распределения давления внешнего течения.
Одним из способов активного воздействия на характеристики пограничного слоя является искусственная организация вдува, или отсоса жидкости, или газа через проницаемую поверхность. Еще Л. Прандтль подметил это влияние на характер течения в пограничном слое. В дальнейшем отсос широко использовался для управления точкой отрыва пограничного слоя, так как преждевременный его отрыв уменьшает подъемную силу и увеличивает лобовое сопротивление обтекаемого тела, например, профиля крыла или иной несущей поверхности.
Во всех многочисленных работах по изучению влияния вдува или отсоса на характеристики пограничного слоя [19,39] предполагается, что
V і ,
— 0,001, где v I - абсолютная величина скорости вдува или отсоса, ик характерная скорость - скорость набегающего потока. Оказано, так - же,
что vw u KJ,, где Rew - число Рейнольдса для набегающего потока. Это условие и определяет понятие «слабого» вдува или отсоса. При столь малой скорости не оказывается влияние вдува или отсоса на характер внешнего течения, т.е. предполагается, что градиент давления в случае «слабого» вдува или отсоса не меняется.
В результате все допущения, лежащие в основе теории пограничного слоя, выполняются.
Таким образом, при «слабом» вдуве или отсосе имеет место, как и при их отсутствии, строго разграниченное проявление влияния вязкости, приводящее к возможности разделения области обтекаемого тела на две: внешнее течение, где не проявляется вязкость и вдув (отсос), и течение в тонком пограничном слое, в котором проявляется влияние вязкости и «слабого» вдува (отсоса) и используются те же уравнения Прандтля, но с учетом поперечной составляющей скорости на поверхности тела, т.е. v = vw Ф О. Введя таким способом определение понятия «слабого» вдува или
отсоса, следует отметить, что «сильный» вдув или отсос уже оказывают влияние на внешнее течение и его проявление приводит к ослаблению влияния вязкости.
Возникает естественный вопрос: изменится ли математическая модель, описывающая течение вязкой жидкости, т.е. возможно ли сохранение влияния вязкости в слое малой толщины при «сильном» вдуве или отсосе, и как скажется их влияние на характер внешнего течения. Другими словами, возможно ли при «сильном» вдуве или отсосе представление области течения вязкой жидкости, состоящей из внешнего течения и течения в пограничном слое.
В работе [27] на поставленный вопрос была сделана попытка дать ответ, исходя из оценки величин членов уравнений Навье-Стокса. Предполагалось, что массовые силы отсутствуют, течение несжимаемой жидкости установившееся.
В результате при определенных условиях в уравнениях, как обычно, были выделены члены различных порядков малости и решения представлены в виде разложений по малому параметру. Так как заранее неизвестно, к каким последствиям приведет «сильный» вдув или отсос, то нельзя предполагать «анизотропию» пограничного слоя, т.е. малость поперечных размеров в этой области движения вязкой жидкости по сравнению с продольными и малость поперечной скорости по сравнению с продольной.
Приведенный анализ показал, что при «сильном» вдуве, отсосе, когда скорость вдува соизмерима со скоростью набегающего потока, пограничный слой отсутствует, и влияние вязкости при больших числах Рейнольдса не оказывают сильного воздействия на характеристики течения. Поэтому поток жидкости находится, в основном, под воздействием градиента давления. Это, по-видимому, будет справедливым до тех пор, пока вдув не приведет к отрывному характеру течения.
Далее отметим, что одно из основных предположений Прандтля о пограничном слое состоит в том, что слой настолько тонок, что на его структуру не влияет структура внешнего течения. Если же завихренность во внешнем течении достаточно велика, то она может влиять на структуру пограничного слоя.
Если методы изучения характеристик плоско - параллельного пограничного слоя достаточно развитии при решении обычных задач, то изучение трехмерного пограничного слоя развито недостаточно, что объясняется сложностью математической модели.
Основное отличие гидродинамики трехмерного течения в пограничном слое от двумерного заключается в появлении поперечного или, так называемо, вторичного течения. Линии тока внешнего течения искривлены. Внутри пограничного слоя существует градиент давления, перпендикулярный к линиям внешнего течения, наряду с градиентом вдоль этих линий тока. При обычных предположениях теории пограничного слоя давление поперёк пограничного слоя постоянно, т.е. совпадает со значением на внешней ее границе. Так как скорость в пограничном слое уменьшается по мере приближения к поверхности тела, то центробежные силы, действующие против сил давления, уменьшаются вблизи стенки.
Поэтому результирующее направление внутри пограничного слоя отличается от направления на внешней границе. Поперечный градиент давления создает поперечный поток и вызывает поперечные искривление. Внутри пограничного слоя развивается вторичное течение, направленное в центр кривизны линий тока.
Понимание физической картины «отрыва» - устойчивого или неустойчивого характера течения - явление перехода ламинарного течения в турбулентное связано, на наш взгляд, с пониманием трехмерных вязких течений [22,38].
В пространственном пограничном слое возникает целый ряд явлений, которые не могут быть исследованы даже качественно на основании решения задач о плоском пограничном слое [39,19].
Предположим, что создаваемый внешним потоком градиент давления направлен не по скорости внешнего потока (как в случае плоского течения), а полностью или частично поперёк скорости внешнего потока. При этом возникают центробежные силы за счет кривизны линий тока внешнего потока, рассматриваемых в плоскости, параллельной поверхности тела. В случае пространственного потока следует ожидать, что вследствие малой инерции жидкости вблизи поверхности поперечный градиент давления вызовет увеличение кривизны линий тока, внутри пограничного слоя по сравнению с кривизной линий тока вне слоя.
Если поверхность тела имеет поперечную кривизну, то пограничный слой распространяется вширь по поверхности по мере продвижения вдоль нее. В результате такого развития пограничный слой может оказаться тоньше, чем в случае плоского потока.
На основании сказанного следует, что направление течения в пределах пространственного пограничного слоя меняется по нормали к обтекаемой поверхности. Вектор скорости поворачивается поперек пограничного слоя от поверхности до внешней границы слоя. Если направление внешнего течения принять за основное, то составляющую скорости, нормальную к этому направлению называют скоростью вторичного течения.
Описанный механизм появления в пространственном пограничном слое вторичного течения можно считать правдоподобным, если градиент давления в пограничном слое возрастает при движении вдоль тела. Однако, если при этом градиент давления уменьшается и меняет знак, что происходит, если кривизна линий тока внешнего течения уменьшается или меняет знак в точке перегиба, то картина сильно усложняется. Уменьшение, исчезновение градиента давления или изменение его знака не приводит сразу же соответственно к уменьшению, исчезновению или перемене знака вторичного течения. Эта перестройка происходит в течение некоторого времени. В теории были установлены условия отсутствия вторичных течении в пространственном пограничном слое. Физической предпосылкой для этого условия является отсутствие бокового градиент давления во всех точках пограничного слоя, что препятствует появлению вторичного течения [3].
При расчете пространственного пограничного слоя важное значение имеют, так называемые, линии растекания. Эти линии образуются и наветренной стороне тела, и в окрестности этих лини трения достигает наибольшее значение. Линии вдоль которых всюду составляющие полного вектора скорости лежат в одной плоскости, как и при двумерном течении, называются линиями растекания [3].
Метод обращенных рядов в задаче диффузии
Автомодельные движения среды принадлежат к такому классу течений, для которых характеристики движения меняются так, что распределение любой из них остается подобной самой себе.
Условия автомодельности течения характеризуются определенными соотношениями между независимыми переменными (играющими роль новых переменных), число которых меньше числа исходных независимых переменных. Это в значительной мере упрощает уравнения и позволяет иногда найти аналитические решения. Эти решения принято называть точными.
Задача о диффузии впервые решается при условии торможения внешнего потока и переменной во времени плотности среды, что приближает постановку задачи и полученные результаты к натурным, моделирующим задачу входа тела в плотные слои атмосферы. Вводится следующее основное допущение - процесс диффузии не оказывает влияние на распределение давления в окрестности критической точки и кинематический коэффициент вязкости не зависит от диффузии.
Система уравнений и граничные условия в безразмерном виде, описывающая данный процесс, имеет вид: ди ди ди др дги — +и — + V— = —— + —-, дх дх ду дх ду йИпр ди dv . - +— + — = 0, dx дх ду дс дс дс д2с . ч — + и — + v— = —- + т(с), дх дх ду ду у = 0 : и = 0, v = vw(x,x), с = const; у - со : и - ие(х,х),с -» 0. Из уравнений (1.1.8) , (1.1.9) и граничных условий (1.1.12), если архимедова сила отсутствует, получим систему уравнений, описывающих данный процесс в окрестности критической точки при торможении внешнего потока и переменной во времени плотности среды: ал А 2 dx\ \di\) A dn (1.2.1) Т + (Ф + = м + 5л) + (/) = 0, m(f) = m0fk, ar\ А 2 dr т0 где w = 1 + ат т = 0: ф = -w0 = const,— = 0, f = f= const, т0 = const, (1.2.2) dn ч-»оо: — - 1, /- 0. dr Полученная система обыкновенных дифференциальных уравнений -нелинейная система пятого порядка. Причем, первое уравнение третьего порядка автономно от уравнения диффузии. Общее решение этих уравнений в виду их нелинейности получить в замкнутой форме весьма затруднительно, если не отметить, что вообще не может быть получено в настоящее время.
Поэтому для нахождения решений этих уравнений с граничными условиями (1.2.2) прибегают к обычным методам решения уравнений пограничного слоя, т.е. либо к разложению в ряды, либо к методам последовательных приближений или к численному интегрированию.
Используя метод численного интегрирования при наличии нескольких произвольных параметров, как в уравнениях, так и в граничных условиях, обычно сталкиваются с трудностью, заключающейся в том, что типичные уравнения пограничного слоя, как уравнения (1.2.1) с граничными условиями (1.2.2), не принадлежат к классу задач Коши. При решении задач, моделирующих своими уравнениями течения в пограничном слое, сталкиваются с трудностью «двухточечной» проблемы, так как граничные условия задаются на двух концах при rj = 0 и т - со. Поэтому при решении используется метод «пристрелки» т.е. необходимо задание условий при т = 0 и удовлетворение условиям при ц - оо в процессе интегрирования.
В связи с этим возникает потребность нахождения области значений, недостающих граничных условий при т = 0, ссужающих область параметров в методе «пристрелки» при наличии нескольких произвольных параметров.
Такими методами, предшествующим численному интегрированию, позволяющим установить качественную связь между произвольными параметрами и недостающими, участвующими в методе «пристрелки», граничными условиями, могут быть и методы разложения решения в ряды и методы последовательных приближений.
Использование метода обращенных рядов позволяет, как показывает практика его применения, найти практически точное решение задачи. Такая быстрая сходить аналитического решения к точному была подробно исследована Мексиным в ряде его работ, в которых оценка точности проводилось с применением к уравнениям Фолкнэр - Скэн и сводилось к оценке интеграла[46]. 1 = J е - Ф(л) dr
В этом интеграле Ф(г) медленно меняющаяся функция, а (т) положительная функция, при этом (ц) Т при малых Ц и (ч) Л при больших т. С этим связано, во-первых, быстрое уменьшение экспоненциального члена по мере отхода от обтекаемой поверхности. Во -вторых, функция тока раскладывается в ряд по степеням т)3"1"1, где т -число учитываемых членов ряда, что является особенностью рассматриваемых задач и обуславливает относительно малое влияние высших членов разложения на результаты расчетов Рассмотрим метод нахождения решения уравнений (1.2.1) при граничных условиях (1.2.2), основанный на использовании разложений решений в виде рядов, сходящихся в окрестности ц -» 0.
В результате будут найдены значения а2и р,, которые и определяют ниже приведенные коэффициенты рядов (1.2.3). Далее распространим метод обращенных рядов [46] на решение уравнений (1.2.1) и проведем сравнения результатов с численным интегрированием. Подставляем решение в виде (1.2.3) в уравнения (1.2.1) и приравниваем нулю суммы слагаемых при одинаковых степенных переменной г. В результате получаем связь коэффициентов рядов (1.2.3) с параметрами, входящими в уравнения и граничные условия. Получаем следующие значения коэффициентов: а3 = (а-і)-ф0а2 , а4 = а2( --a-SJ-a3 ф0, (1.2.4) а5 =а -ф0а4-2а3(а + 8), где - a а=г а Р2=-(то/о + ФоРі)» Рз =[Фо - 0---5 1Р,+Ф0Ш0/0,Р4 =-a2p, + + (/я0+а + 5)(т0/0+фД)-фХ/-Фо Фо- о-- Р і (1.2.5) Используя этот метод в расчете пограничных слоев динамического и диффузионного в окрестности критической точки при торможении и переменной во времени плотности, получим значения а2 и р, не прибегая к смыканию решения вида разложения в ряды в окрестности точки г -» О и асимптотического разложения в окрестности т - оо.
Анализ результатов численного моделирования влияния торможения а/А, скорости вдува (отсоса) н>о, параметра изменения плотности среды S и архимедовой силы на характеристики динамического, диффузионного и теплового пограничных слоев в окрестности критической точки
Получены точные решения уравнений (1.1.11) с граничными условиями (1.1.12) при условии зависимости скорости массообразования от концентрации вещества газовой смеси при торможении внешнего потока в среде с переменной плотностью с учетом архимедовой силы. Результаты численного интегрирования системы уравнений (1.1.11) с граничными условиями (1.1.12) представлены в виде графиков в приложении 1. В результате численного моделирования были установлены наибольшие значения касательного напряжения на поверхности тела, и установлено явление смещения наибольших значений касательного напряжения ф"(т) с поверхности т = 0 в слой т 0- внутрь пограничного слоя для определенных значений параметров а/А и w0, что приводит к возникновению точки перегиба в профиле скорости ф (т). В результате этого ламинарный пограничной слой может потерять устойчивость и может развиться турбулентный слой. Ниже, на рис. 4 и в таб. 5 представлены области значений параметров а/А и wo при разных значениях параметра S, соответствующие параметрам, при которых существует безотрывный пограничный слой и область тех параметров, которые приводят к отрыву пограничного слоя в окрестности критической точки при торможении внешнего потока. \
Интересно отметить, что параметр S, характеризующий переменность плотности внешнего потока, явно не влияет на величину и знак ф" (0). Видно, что для различных значении а/А т.е. для различных значении градиента давления Щ и значений скорости w0 вдува (отсоса) изменяется не только значение ф" (0), но и её знак, что характеризует распределение касательного напряжения не только на поверхности тела в окрестности критической точки, но и характер изменения касательного напряжения внутри пограничного слоя.
Если торможение внешнего потока происходит более интенсивно, и параметр, характеризующий отношение локальной составляющей к конвективной (а/А) 3,1623 , то при отсутствии вдува (отсоса) происходит отрыв пограничного слоя, и это приводит к возникновению турбулентности, что, в конечном итоге, приводит к увеличению сопротивления трения в окрестности критической точки. Для предотвращения этого процесса, т.е. для увеличения диапазона параметров торможения внешнего потока, необходимо увеличить интенсивность отсоса wo О, и чем больше параметр а/А, тем больше \wo\ , т.е. тем больше величина отсоса.
Важность полученных результатов заключается в том, что указан диапазон изменения WQ - как одного из способов управления безотрывностью течения в соответствии с диапазоном изменения интенсивности торможениях в трёх областях изменения градиента давления, т.е. если увеличивается интенсивность торможения, то для сохранения ламинарного течения, необходимо увеличивать отсос w0. Результаты показывают, что при значениях (а/л) 1, соответствующих ускоренному течению вблизи критической точки, т.е. при др/дх 0, ламинарной слой сохраняется в широком диапазоне wQ 0 и w0 0. В таб.4 представлены значения фт(0), характеризующие изменение касательного напряжения на поверхности, в окрестности критической точки для различных значении параметров а/А и w0. Отметим, что наибольшему значению ф"(0) соответствует условие "(0) = 0, т.е. из соотношения (1.3.1) имеем 0ф"(0) + (а/А)-1 = 0. Тогда можно установить соотношение между а/А и w0, соответствующих наибольшему значению ф"(0).
Таким образом, существует диапазон параметров а/А и w& при которых ф"(л) не является монотонно изменяющейся функцией. Характер изменения ф"(л) как показывает численный эксперимент, или монотонно падает до нуля при т) - оо или сначала увеличивается, а потом падает до нуля при Т— оо. Увеличивая торможения внешнего потока, увеличивается противодавление др/дх 0 и если w0 0,то при сохранении безотрывного течения наибольшее значение касательного напряжения сдвигается с поверхности тела внутрь пограничного слоя. Это вытекает из рассмотрения зависимостей ф"(ті) и ф"(0).
Рэйли [48] удалось получить важные выводы об устойчивости ламинарного профиля скорости, выясняющие роль наличия точки перегиба на профиле скорости. Согласно теореме Рэйли, профили скорости, имеющие точку перегиба, могут быть неустойчивы.
Рэйли вывел этот критерий, т.е. роль точки перегиба-точки, как необходимое условие для возникновения неустойчивых колебаний. Впоследствии В. Толмин доказал, что этот критерий дает также достаточное условие для существования нарастающих колебаний.
Практически весьма важно следующее обстоятельство: существование точки перегиба у профиля скоростей непосредственно связанно с градиентом давления течения. Согласно теории пограничного слоя, профили скоростей в области падения давления др/дх 0 не имеют точки перегиба, в области же повышения давления др/дх О, они могут всегда иметь точку перегиба. Условия, связанные с влиянием отсоса, торможения, изменения плотности или затягивают точку перегиба профиля скорости на большие градиенты давления, либо приводит к появлению этих точек при меньших градиентах. Но всегда должно выполняться условия др/дх 0, т.е. возможность возникновения неустойчивости течения в ламинарном пограничном слое при нарастающем давлении.
Для течения в пограничном слое падение давления благоприятствует устойчивости течения, повышение же давления, наоборот способствует неустойчивости. Таким образом, при (a/AJ 1 имеем др/дх О. Результаты численного интегрирования системы уравнений (1.1.11) с граничными условиями (1.1.12) представлены в виде графиков в приложении (1). На рисунках (1.1-1.24) представлены влияния различных значений w0, а/А и параметра S на характеристики диффузионного и теплового пограничных слоев. Необходимо специально подчеркнуть, что в данной постановке задачи, описываемой системой уравнений (1.1.11) с граничными условиями (1.1.12), положительные значения w0 будут соответствовать вдуву газа в пограничный слой. Из рис. 1.1, 1.2 очевидно, что постепенное увеличение значения скорости w0 от 0 до 1,5 приводит к увеличению толщины диффузионного пограничного слоя, а при отсосе w0, изменяющегося от 0 до -2, толщина диффузионного слоя уменьшается. Видно, что концентрация увеличивается по мере возрастания .
Анализ характеристик нестационарного ламинарного динамического, диффузионного и теплового пограничных слоев несжимаемой жидкости в окрестности критической точки двояки кривизны при торможении внешнего потенциального потока с учетом архимедовой силы в среде с переменной плотностью
Решение уравнений (2.1.7) с граничными условиями (2.1.8) для случая отсутствия вдува (отсоса) ф(0) = g(0) = 0 проведено в широком диапазоне изменения параметров а/А, S и С - параметров, характеризующих интенсивность торможения а/А 0, изменение плотности среды во времени (S 0 - плотность увеличивается и S 0 -падает), параметра С, характеризующего отношение радиусов кривизны тела в окрестности критической точки в вертикальной и горизонтальной плоскостях. Численное моделирование позволило провести анализ характеристик пограничного слоя в окрестности критической точки двоякой кривизны, определить области изменения параметров а/А , S для тел с критическими точками заданных соотношений радиусов кривизны, т.е. для заданных параметров С. Полученные результаты позволили провести анализ изменения величин, характеризующих касательные напряжении при т=0 в проекциях на оси х и z на поверхности тела, а также их изменения по толщине пограничного слоя, т.е. ф"(0), ф"(л)5 g"(0), &"0і) Ф О), g (0). Особо уделялось внимание анализу параметров, при которых ф"(0) = 0, g"(0) = 0 - что соответствует отрыву пограничного слоя. Из уравнения (2.1.7) при ф(0) = g(0) = 0 и cos(y) = 0 следует, что ее (X ф" (0) = =-1, gw(0) ==-C, т.е. параметр S не влияет на величину и А А знак производных фт(0), gM(0). Отметим также, что для критической точки двоякой кривизны при любых значений параметра С, значение ф О) и её знак, не зависят от соотношений радиусов кривизны в критической точке. Видно, что экстремальное значение ф (0) имеет место только при — = \, т.е. при — = 0, а экстремальное значение g"(0) А дх достигается у тел, для которых С = а/А, т.е. каждому телу свое соотношение параметров а/А, а так как а/А 0, то экстремум g"(0) достигает для всех 0 С 1 при а/А = С. Можно сделать вывод: характер изменения касательного напряжения в окрестности л 0, полностью определяется соответствующими перепадами давления вдоль осей х иг. Если ф" (0) 0, что соответствует а/А 1, то в этом диапазоне имеет место нарастание (перемещение) наибольшего значения касательного напряжения внутрь пограничного слоя (рис.2.2а).
Если а/А -С 0 т.е. gm(0) 0, то касательное напряжение в проекции на оси z достигает своего экстремального значения внутри пограничного слоя. Если ф "(0) 0, что соответствует \а/А) 1 (— 0-течение вдоль оси х на внешней границе пограничного слоя дх ускоренное, противодавление падает), т.е. происходит уменьшение касательного напряжения по нормали. Изменения касательного напряжения g"(0) при ц -» 0 может проходить как с уменьшением своего значения, так и с увеличением, так как а/А 1,а 0 С 1, т о может быть gm(0) 0 при а/А С. Например, а/А =0,5, С = 0,25, то gm(0) 0 или а /А = 0,5, С = 0,57, то gm(0) 0. Если а/А=С т.е. gw(0) = 0, то каждую телу соответствует свое соотношение параметров а/А- это показано на рис. 2.26. ф "(0) 1.5 1 0,5 -0,5 -1 -1, . s=o е(0)=0ч Ь\"/ u у /У /У yS 0.5 1.5 а/А а/А Рис.2.2а Рис.2.26 Таким образом, если течение вдоль оси х происходит с падением давления и отсутствует смещение наибольшего значения составляющей касательного напряжения ф"(г) внутрь пограничного слоя, то характер изменения касательного напряжения g"(r]) зависит от значений параметра торможения а/А и кривизны в критической точке, т.е. параметра С. Установлена область параметров a/A, S и С, соответствующих безотрывному течению пограничного слоя - области возможного использования модели безотрывного трёхмерного пограничного слоя. Результаты представленные рис. 2,1-2,14 (Приложение 2), показывают области значений параметров a/A, S и С, при которых ф"(0) 0, g"(0) 0 и ф"(0) = 0, g"(0) = 0. Для заданных значений С и S производные ф"(0) и g"(0) падают по мере увеличения торможения внешнего потока. При одном и том же значений параметра а/А значения производных ф"(0) и g"(0) увеличиваются, но интенсивность роста производных ф"(0) и g"(0), т.е. соответствующих касательных напряжений, неодинакова. Так, наблюдается значительный рост g"(0) для заданного торможения при различных значениях параметра С по сравнению с незначительным увеличением ф"(0).
Интересно отметить, что возрастание плотности S 0 или замедление S 0 оказывает существенное влияние на область безотрывного течения. Область параметров торможения для безотрывного течения возрастает по мере роста 5 0 и падает с уменьшением параметра S. При S 0, что соответствует падению плотности, наблюдается уменьшение области значений параметров а/А и С, при которых возможно использование концепции безотрывного пограничного слоя. Анализ зависимостей, характеризующих изменения параметров ф (л), g 0l) Ф"(л), g"0l) Ф "(л) "(л). представленных на рис. 2.15-2.26 , показывает динамику изменения этих характеристик с изменением параметров a/A, S и С. Параметр торможения ос/А оказывает существенное влияние на характер изменения ф"(л)» #"(л) По мере увеличения параметра а/А при заданных значениях S и С происходит смещенного наибольшего значения касательного напряжения внутрь пограничного слоя. Таким образом, чем выше параметр торможения внешнего потока, тем интенсивнее происходит смещения наибольшего значения касательного напряжения внутрь слоя, т.е. точка перегиба профиль скорости смещается.
Результаты расчётов ф"(л) и #"(л) показывают существование области изменения параметров a/A, S и С при которых эти характеристики имеют точку перегиба, т.е. ф "(гі) = 0, g "(r[1) = 0, при значениях ті = Лі»т1 = тІ2 гДе Ф"(Лі) и "(Л2)Дстигают наибольших значений.
Сравнение характера изменения вторых производных ф"(г) и g"(r\) по толщине пограничного слоя показывает, что смещение наибольших значений этих производных неравномерно. Если параметр S 0, то в этом случае плотность среды во времени уменьшается, и при S 0 плотность среды возрастает. Случай S = 0 соответствует постоянной плотности среды, не изменяющейся во времени, т.е при увеличение параметра S от - 0,5 до 1 температура внутри пограничного слоя уменьшается. Из рисунки 2,39, 2,40, 2,41 также видно что, при росте параметра С от 0,5 до 1,5 температура внутри пограничного слоя уменьшается. На рис. 2,42-2,44 показано влияние торможения внешнего потока на характер изменения безразмерной температуры по толщине пограничного сдоя. Показано что, при увеличении параметра а/А, температура уменьшается, и при увеличение параметра С от 0,5 до 1,5 температура также уменьшается. Для изучения влияния архимедовой силы на характеристики динамического, диффузного и теплового пограничных слоев, проводится интегрирования уравнения (2.1.7) с граничными условиями (2.1.8) при числе Фруда Fr =1, а/А = 0, Ф(0) = -0,5,5=0 и при С 1, С 1. На рис. 2,45-2,80 представлены результаты численного интегрирования уравнений (2.1.7), для различных значений параметра N от -0,8 до 0,8 и при С=0,5 , 01,5 и скорость вдува (отсоса) ф(0) = —0,5, ф(0)=0,5. Видно что, параметр N почти не влияет на характеристики изменения профиля скорости и касательного напряжения вдоль оси z, но влияет на характеристики изменения профиля скорости и касательного напряжения вдоль оси х. Также видно, что параметра N слабо влияет на характеристики теплового пограничного слоя. Концентрация вещества внутри диффузного пограничного слоя зависит от параметра N при С 1 и незначительно зависит от параметра N при С 1.
Анализ результатов численного моделирования влияния торможения а/А и плотности среды S на характеристики динамического, диффузного и теплового пограничных слоев, определяющих процесс сублимации
Результаты численного интегрирования системы уравнений (3.1.18), (3.1.19) с граничными условиями (3.1.20) при торможении внешнего потока в среде с переменной плотностью с учетом архимедовой силы, представлены в виде графиков в приложении (3). На рис. 3.1 представлено влияние интенсивность сублимации ф0 на характеристики динамического пограничного слоя. Очевидно, что скорость ф достигает максимального значения при увеличении интенсивности сублимации ф(0) для различных т. Например, если л = г2 при ф(0) = -2 и г = тіі при (0) = -1, т.е. л, л2. Видно, что градиент скорости внутри пограничный слой ф при х\= const уменьшается по мере возрастания ф(0), т.е. увеличения интенсивность сублимации приводит к увеличенью толщину пограничного слоя. Рис. 3.2 показывает изменение касательного напряжения фронте сублимации. Видно, что ф"(0) уменьшается по мере увеличение интенсивность сублимации ф(0), что соответственно приводит к увеличению толщины динамического пограничного слоя. На рис 3.3 и 3.4 показана зависимость концентрации / при наличии скорости массобразовании и функции температуры со от т для различных значений интенсивности сублимации. Видно, что при увеличении интенсивности сублимации ф(0) концентрация увеличивается, и максимальное значение концентрации перемешается внутрь диффузного пограничного слоя. Увеличение концентрации внутрь диффузного пограничного слоя происходит из-за массообразования, которое представлено последним слагаемым в уравнении диффузии. Температура со увеличивается и толщина теплового слоя также увеличивается. На рис. 3.5-3.7 показана зависимость величины концентрации вещества /от п для различных значений ДО) при значениях ф(0) от 0 до 1. Видно, что при увеличении ДО) от 0,2 до 1 концентрация увеличивается, и при увеличении ф(0), максимальные значения концентрации увеличиваются и перемещаются внутрь диффузного пограничного слоя. На рис. 3.8-3.19 показано влияние торможения внешнего потока на характеристики динамического и диффузного пограничных слоев при заданной ф(0). Видно, что увеличение параметра а/А приводит к возможности потери устойчивости пограничного слоя, в соответствии с теоремой Рейли [35], т.к. профиль скорости ф и имеет точку перегиба. Увеличение торможения приводит к уменьшению касательного напряжения на фронте сублимации ф"(0) и наибольше значение ф"(т) сдвигаться внутрь пограничного слоя. Увеличение торможения а/А приводит к уменьшению концентрации и толщины диффузного пограничного слоя.
Из рис. 3.20-3.23 при S=0, ф(0) = 0, -0,5,-1 , -1,5- Видно что, увеличение торможения проводит к увеличению интенсивности падения температуры и уменьшению толщины температурного пограничного слоя. Также видно, что по мере увеличения скорости вдува температура и толщина теплового пограничного слоя увеличиваются.
На рис. 3.24-3.31 представлено влияние изменения плотности среды (параметр S) на характеристики динамического и диффузного пограничных слоев при а/А=0, здесь параметр S меняется от -1 до 1,5.
Видно, что скорость внутри пограничного слоя увеличивается по мере увеличения параметра S, т.е. толщина пограничного слоя при увеличении параметра S уменьшается. Касательное напряжение на фронте сублимации увеличивается по мере увеличения параметра S, т.е. графически отражено, что толщина диффузного слоя зависит от плотности и уменьшается по мере возрастания параметра S. Также анализ результатов численного моделирования изменения температура смеси по толщине температурного слоя показывает, что увеличения параметр S проводит к уменьшению толщины теплового слоя. В приложение (3) вынесены результаты влияния параметров а/А и S, толщину потери импульса 8 = —- 1— dr). При значении параметра S=0 и изменении интенсивности сублимации (0) от 0 до -1,5 , наблюдается увеличение толщины вытеснения 5 при увеличении параметра а/А, но происходит слабое падение толщины потери импульса 5 от параметра а/А. По мери роста параметра S, как для S 0 и S 0 происходит уменьшение основных толщин 8 и 5 (рис.3.32-3.37).
На рис. 3.38-3.40 показано влияния констант т0 на изменение концентрации внутри пограничной слой при разных значениях торможение и ф0. Видно что, концентрация достигает наибольшее значение при т0 = \. Также видно, что увеличения интенсивности сублимации ф0 приводит к увеличению концентрацию для значений т0 = 1 и т0 = 0. Увеличение торможения приводит к уменьшению концентрации внутри диффузионного пограничного слоя.
Отметим, что при наличии массообразования m{f) концентрация внутри пограничного слоя имеет большее значение, чем при отсутствии массообразования. На рис. 3.41 показано влияние степени п для m(f) = m0f" на скорость продвижения фронта сублимации. Видно, что при увеличении степени п скорость продвижения фронта сублимации уменьшается. Это объясняется тем, что концентрация уменьшается при увеличении п. Для изучения температуры внутри тела проводиться численное интегрирование уравнения теплопроводности в твердом теле (3.1.19) с граничными условиями (3.1.20). Результаты представлены в виде графиков на рис. 3.58-3.55. На рис. 3.58-3.55. представлено распределение безразмерной температуры в твердом теле со, для различных значений числа Прандтля Ргі=0,5-2 торможения внешнего потока а/А = 0-2 и скорости продвижения фронта сублимации D0 =0,4-4. Видно, что увеличение, указанных параметров приводит к уменьшению безразмерной температуры в твердом теле по ее толщине и уменьшению производной —-, т.е. в твердом теле можно выделить область существования dr температурного пограничного слоя.
