Содержание к диссертации
Введение
Глава 1 Стабилизация управляемого орбитального движения КА в окрестности коллинеарнои (прямолинейной) точки либрации Li системы Земля-Солнце 10
1.1 Вывод уравнений движения 10
1.2 Исследование линейного приближения 24
1.3 Стабилизация орбитального движения в общем случае 28
1.4 Плоский случай 31
1.5 Стабилизация орбитального движения КА с помощью сил светового давления - 34
1.6 Область стабилизации 37
Глава 2 Построение управления орбитальным движением КА по линейному приближению 44
2.1 Приведение уравнений линейного приближения к системе с разделяющимися переменными с помощью канонического преобразования 44-
2.2 Классификация движений в линейном приближении 50
2.3 Управление по линейному приближению 57
2.4 Теорема стабилизации 60
Глава 3 Управление орбитальным движением КА в виде оптимального демпфирования по отношению к «функции опасности» 65
3.1 Оптимальное демпфирование в линейном приближении 66
3.2 Нормализация Биркгофа 68
3.3 Построение квадратичного приближения для «функции опасности» 71
3.4 Сравнение законов управления и результатов численного моделирования : 83
Заключение 88
Литература 91
- Стабилизация орбитального движения в общем случае
- Стабилизация орбитального движения КА с помощью сил светового давления
- Приведение уравнений линейного приближения к системе с разделяющимися переменными с помощью канонического преобразования
- Сравнение законов управления и результатов численного моделирования
Введение к работе
Одной из распространенных математических моделей, применяющихся для описания движения космического аппарата (КЛ), является модель ограниченной круговой задачи трех тел [46], [56]. Она используется, когда КЛ движется в поле притяжения двух массивных небесных тел, например звезды и планеты, которые, в свою очередь, вращаются вокруг общего центра масс по околокруговым орбитам. При описании полетов в околоземном пространстве на достаточно далекие расстояния (порядка І О6 км) уже требуется учитывать притяжение Солнца, и, хотя эксцентриситет земной орбиты отличен от нуля (е =0.0167), уравнения круговой задачи трех тел достаточно точно описывают движение. Они существенно сложнее уравнений движения в гравитационном поле одного притягивающего центра и не допускают точного аналитического представления. Известны, однако, несколько частных их решений, при которых система трех тел сохраняет свою конфигурацию (так называемые лагранжевые решения). Это коллинеарные (прямолинейные) и треугольные точки либрации.
Первая внутренняя коллинеарная точка либрации Lu определенная в рамках круговой задачи трех тел, находится на отрезке Солнце-Земля на расстоянии около 0,01 а. е. (примерно 1,5 млн. км) от центра Земли. Данная область пространства, обладая замечательными теоретическими свойствами, связана со многими космическими проектами. В окрестности коллинеарной точки либрации можно, например, разместить экраны, локально затемняющие Землю, и таким образом уменьшить развитие парникового эффекта (greenhouse effect) [47]. Можно расположить обсерваторию для слежения за солнечной активностью (и такой проект уже действует - SOHO) или космическую станцию в рамках программы борьбы с астероидной опасностью.
Точка либрации неустойчивая. С одной стороны это затрудняет длительное пребывание КА в ее окрестности без специальной «удерживающей» системы управления. С другой стороны, неустойчивость можно использовать как положительный фактор при полете в Lx или для перехода на другие орбиты [58]. Данное свойство можно также применить для борьбы с астероидной опасностью — большая (по массе и размерам) космическая станция может гораздо эффективнее повлиять на движение астероида опасно сближающегося с Землей [49], чем отдельный;космический корабль. Таким: образом, неустойчивость коллинеарной точки либрации имеет свои плюсы, однако, чтобы их использовать, нужно уметь удерживать КЛ (или космическую станцию) в окрестности этой точки достаточно длительное время.
Идея удержания К А (или станции) в окрестности коллинеарной точки либрации разрабатывалась многими авторами [31 ]-[33], [36], [42], [47], [50], [52], [53], [58], [62Н67], [69], [71]-[73], [75], [76], [78]-[8б],.[89], [90], [95],. [97], [98]. При этом рассматривались различные постановки задачи управления орбитальным движением: управление с помощью импульсного воздействия [58], управление с помощью непрерывной тяги [42], использование сил светового давления и другие.
Особо следует отметить идею использования сил светового давления для стабилизации орбитального движения КА. Эта заманчивая идея - использовать «бесплатную» силу давления солнечных лучей давно привлекает внимание ученых. Такой интерес вполне объясним, поскольку в этом случае существенно повышается автономность функционирования КА или космических станций. Имеется большое количество работ по управлению геоцентрическим и гелиоцентрическим движением КА с помощью солнечного паруса (обзоры этих работ содержатся в [48], [49]), а также по управлению вращательным движением. В 90-х годах появился ряд фундаментальных работ по управлению поступательно-вращательным движением КА с помощью солнечного паруса [26], [87]. Однако, несмотря на очевидные выгоды, использование сил светового давления в реальной практике космической навигации имеет весьма серьезные препятствия. Во-первых, силы светового давления несравнимо меньше не только реактивных сил, отрабатываемых современными двигателями, но и некоторых возмущающих факторов, например, атмосферных для спутников с низкими орбитами. Это приводит к необходимости рассматривать солнечные паруса с большой площадью. Но тогда возникает другая трудность. Управление такими парусами, в частности развертывание в космическом пространстве паруса большой площади — сложная техническая проблема [48]. Поэтому весьма интересным является рассмотрение таких космических проектов с использованием сил светового давления, когда силы, действующие на КА или космическую станцию, относительно малы, и при этом не требуется управляемого поворота протяженных элементов как, например, в случае, если в качестве управляющего параметра взять отражательную способность КА, которую можно изменять.
Орбитальное движение КА в окрестности коллннеарной точки либрации происходит под действием гравитационных сил, сравнимых по величине с силами светового давления на КА с достаточно большой отражательной способностью [50] (вполне доступной для реализации при современном состоянии космических технологий). Поэтому весьма перспективной в смысле практической реализации и актуальной является задача об управлении орбитальным движением :КА в окрестности коллинеарной точки либрации t с помощью силы, направленной по линии Земля-Солнце. Математическую постановку такой задачи в 70-х годах предложил М. Л. Лидов [32], [36], при этом предполагалось, что КА может двигаться либо в окрестности солнечной, либо лунной коллинеарной точки либрации.
В работе С. С. Лукьянова [36] подробно рассмотрена задача управления орбитальным движением КА для плоского случая задачи трех тел. Рассмотрение проводится для линейного приближения. Понятно, что качественные результаты этой работы легко переносятся и на плоский нелинейный случай, поскольку в плоском линейном случае имеется асимптотическая устойчивость. Однако для пространственного случая в линейном приближении уравнения, описывающие движение пространственных переменных, отделяются и не зависят от управления: Таким образом, для системы пространственных переменных асимптотической устойчивости нет при любом выборе управляющей функции. Это означает, что задача стабилизации в пространственном случае не переносится автоматически с линейного случая, на нелинейный, и требует самостоятельного исследования. Это исследование проведено во второй части главы 1. Удалось построить такую управляющую функцию, что уравнениям управляемого движения оказались гамильтоновыми, а соответствующий гамильтониан оказалось возможным рассматривать в качестве функции Ляпунова. Это и обеспечило устойчивость (но не асимптотическую устойчивость) управляемого движения в окрестности коллинеарной точки либрации.
В работе [42] предложена .оригинальная методика построения закона управления в виде линейного регулятора, обеспечивающего стабилизацию орбитального движения КА в окрестности как солнечной, так и лунной точек либрации. Исследование, как и в работе [36], проведено для плоского линейного случая.
Исследование линейного приближения, проведенное в работах [36] и [42] хорошо описывают качественный характер управления, орбитальным движением КА в окрестности точек либрации. Однако для численного моделирования такого движения нужно рассматривать пространственный случай. Первые численные результаты по моделированию неуправляемого движения (см. рис. 4 (гл. 1), рис. 14 (гл. 3)) показали, что при смещении положения КА по нормали к плоскости эклиптики наблюдается быстрый уход из окрестности точки либрации. Таким образом, для обеспечения адекватности математической модели требуется изучение нелинейного пространственного случая. Здесь возникают следующие задачи. Во-первых, можно ли вообще стабилизировать орбитальное движение КА в окрестности коллинеарной точки либрации в общем пространственном случае. Эта задача решена в главе 1,-где указан конкретный стабилизирующий закон управления и доказана устойчивость по Ляпунову стационарного решения для соответствующей управляемой системы.
Вторая, естественным образом возникающая задача: можно ли перенести результаты исследования линейного приближения на:нелинейный пространственный случай. Эта задача решается положительным образом в главе 2. Теорема доказанная в конце главы 2 утверждает, что управление построенное по линейному приближению стабилизирует орбитальное движение КА в пространственном- нелинейном случае и обеспечивает асимптотическую устойчивость по части переменных (точнее по переменным плоского движения).
Наконец, третья задача, исследованная в главе 3, заключается в отыскании эффективного (оптимального в определенном смысле) закона управления. Эта задача решается на основе сведения нелинейной гамильтоновой системы к линейной с помощью нормализации Биркгофа и построения неустойчивого инвариантного многообразия в фазовом пространстве переменных. Эта нормализация позволила ввести в рассмотрение так называемую «функцию опасности», которая обращается в нуль на неустойчивом инвариантном многообразии. Оптимальное демпфирование по отношению к модулю этой функции (который имеет смысл «расстояния» до неустойчивого инвариантного многообразия) и дает эффективный стабилизирующий закон управления. В третьей; главе дается приближенное построение «функции опасности», а также приводятся результаты численного моделирования. Оказалось, что использование «функции опасности» в первом приближении дает весьма удовлетворительные результаты. Квадратичное приближение «функции опасности» позволило учесть влияние пространственных переменных. Таким образом, рассмотрение нелинейного пространственного случая управляемого орбитального движения КА в окрестности коллинеарной точки либрации показало, что результаты исследования линейного приближения могут быть использованы и в общем случае, с той только разницей, что управление с помощью силы, направленной по линии Земля-Солнце, уже не может обеспечить асимптотическую устойчивость и мы должны, довольствоваться только устойчивостью по Ляпунову.
Стабилизация орбитального движения в общем случае
Идея удержания К А (или станции) в окрестности коллинеарной точки либрации разрабатывалась многими авторами [31 ]-[33], [36], [42], [47], [50], [52], [53], [58], [62Н67], [69], [71]-[73], [75], [76], [78]-[8б],.[89], [90], [95],. [97], [98]. При этом рассматривались различные постановки задачи управления орбитальным движением: управление с помощью импульсного воздействия [58], управление с помощью непрерывной тяги [42], использование сил светового давления и другие.
Особо следует отметить идею использования сил светового давления для стабилизации орбитального движения КА. Эта заманчивая идея - использовать «бесплатную» силу давления солнечных лучей давно привлекает внимание ученых. Такой интерес вполне объясним, поскольку в этом случае существенно повышается автономность функционирования КА или космических станций. Имеется большое количество работ по управлению геоцентрическим и гелиоцентрическим движением КА с помощью солнечного паруса (обзоры этих работ содержатся в [48], [49]), а также по управлению вращательным движением. В 90-х годах появился ряд фундаментальных работ по управлению поступательно-вращательным движением КА с помощью солнечного паруса [26], [87]. Однако, несмотря на очевидные выгоды, использование сил светового давления в реальной практике космической навигации имеет весьма серьезные препятствия. Во-первых, силы светового давления несравнимо меньше не только реактивных сил, отрабатываемых современными двигателями, но и некоторых возмущающих факторов, например, атмосферных для спутников с низкими орбитами. Это приводит к необходимости рассматривать солнечные паруса с большой площадью. Но тогда возникает другая трудность..Управление такими парусами, в частности развертывание в космическом пространстве паруса большой площади — сложная техническая проблема [48]. Поэтому весьма интересным является рассмотрение таких космических проектов с использованием сил светового давления, когда силы, действующие на КА или космическую станцию, относительно малы, и при этом не требуется управляемого поворота протяженных элементов как, например, в случае, если в качестве управляющего параметра взять отражательную способность КА, которую можно изменять.
Орбитальное движение КА в окрестности коллннеарной точки либрации происходит под действием гравитационных сил, сравнимых по величине с силами светового давления на КА с достаточно большой отражательной способностью [50] (вполне доступной для реализации при современном состоянии космических технологий). Поэтому весьма перспективной в смысле практической реализации и актуальной является задача об управлении орбитальным движением :КА в окрестности коллннеарной точки либрации t с помощью силы, направленной по линии Земля-Солнце. Математическую постановку такой задачи в 70-х годах предложил М. Л. Лидов [32], [36], при этом предполагалось, что КА может двигаться либо в окрестности солнечной, либо лунной коллннеарной точки либрации.
В работе С. С. Лукьянова [36] подробно рассмотрена задача управления орбитальным движением КА для плоского случая задачи трех тел. Рассмотрение проводится для линейного приближения. Понятно, что качественные результаты этой работы легко переносятся и на плоский нелинейный случай, поскольку в плоском линейном случае имеется асимптотическая устойчивость. Однако для пространственного случая в линейном приближении уравнения, описывающие движение пространственных переменных, отделяются и не зависят от управления: Таким образом, для системы пространственных переменных асимптотической устойчивости нет при любом выборе управляющей функции. Это означает, что задача стабилизации в пространственном случае не переносится автоматически с линейного случая, на нелинейный, и требует самостоятельного исследования. Это исследование проведено во второй части главы 1. Удалось построить такую управляющую функцию, что уравнениям управляемого движения оказались га-мильтоновыми, а соответствующий гамильтониан оказалось возможным рассматривать в качестве функции Ляпунова. Это и обеспечило устойчивость (но не асимптотическую устойчивость) управляемого движения в окрестности коллинеарной точки либрации.
В работе [42] предложена.оригинальная методика построения закона управления в виде линейного регулятора, обеспечивающего стабилизацию орбитального движения КА в окрестности как солнечной, так и лунной точек либрации. Исследование, как и в работе [36], проведено для плоского линейного случая.
Исследование линейного приближения, проведенное в работах [36] и [42] хорошо описывают качественный характер управления, орбитальным движением КА в окрестности точек либрации. Однако для численного моделирования такого движения нужно рассматривать пространственный случай. Первые численные результаты по моделированию неуправляемого движения (см. рис. 4 (гл. 1), рис. 14 (гл. 3)) показали, что при смещении положения КА по нормали к плоскости эклиптики наблюдается быстрый уход из окрестности точки либрации. Таким образом, для обеспечения адекватности математической модели требуется изучение нелинейного пространственного случая. Здесь возникают следующие задачи. Во-первых, можно ли вообще стабилизировать орбитальное движение КА в окрестности коллинеарной точки либрации в общем пространственном случае. Эта задача решена в главе 1,-где указан конкретный стабилизирующий закон управления и доказана устойчивость по Ляпунову стационарного решения для соответствующей управляемой системы.
Вторая, естественным образом возникающая задача: можно ли перенести результаты исследования линейного приближения на:нелинейный пространственный случай. Эта задача решается положительным образом в главе 2. Теорема доказанная в конце главы 2 утверждает, что управление построенное по линейному приближению стабилизирует орбитальное движение КА в пространственном- нелинейном случае и обеспечивает асимптотическую устойчивость по части переменных (точнее по переменным плоского движения).
Наконец, третья задача, исследованная в главе 3, заключается в отыскании эффективного (оптимального в определенном смысле) закона управления. Эта задача решается на основе сведения нелинейной гамильтоновой системы к линейной с помощью нормализации Биркгофа и построения неустойчивого инвариантного многообразия в фазовом пространстве переменных. Эта нормализация позволила ввести в рассмотрение так называемую «функцию опасности», которая обращается в нуль на неустойчивом инвариантном многообразии. Оптимальное демпфирование по отношению к модулю этой функции (который имеет смысл «расстояния» до неустойчивого инвариантного многообразия) и дает эффективный стабилизирующий закон управления. В третьей; главе дается приближенное построение «функции опасности», а также приводятся результаты численного моделирования. Оказалось, что использование «функции опасности» в первом приближении дает весьма удовлетворительные результаты. Квадратичное приближение «функции опасности» позволило учесть влияние пространственных переменных.
Стабилизация орбитального движения КА с помощью сил светового давления
Система уравнений:(1.107) совершенно аналогична системе (1.69) и для нее справедлива теорема стабилизации. Это означает, что с помощью изменения отражательной способности поверхности солнечного паруса можно=стабилизировать орбитальное движение КА в окрестности фотогравитационной коллинеарной внутренней точки либрации Lx.
Закон управления щ(х,у) = а(хі-\) стабилизирует орбитальное движение КА в некоторой окрестности точ ки либрации (х ,у ). Другими словами, стационарное решение системы дифференциальных уравнений (1.86), описывающих управляемое движение КА, устойчиво по Ляпунову. Это означает, что существует некоторая окрестность точки либрации в фазовом-пространстве, инвариантная-относительно,сдвигов-вдольтраек-торий управляемой системы (1.86). Т. е., если в некоторый момент времени траектория управляемого движения оказалась в рассматриваемой окрестности, то и в любой следующий момент времени эта траектория будет принадлежать этой окрестности.
Естественный вопрос, который часто возникает в сложившейся ситуации: насколько широким является множество в фазовом пространстве, обладающее подобными свойствами, т. е. насколько можно расширить эту окрестность, или как построить область стабилизации. При описании;такой области следует учитывать два фактора, которые могут помешать стабилизации движения., Во-первых, управляемое движение остается- гамильтоновым и траектории; целикомг принадлежат изоэнергетической поверхности, задаваемой интегралом энергии
Если начальная точка траектории находится вблизи точки либрации, С "»У ) то значение энергетической константы h близко к значению гамильтониана в точке: либрации, т. е. h »-4.5; а; соответствующая изоэнергетическая: поверхность ограничивает, в силу положительной; определенности- квадратичной формы Нцп(х,у), некоторое множество, принадлежащее облас ти стабилизации. Вели же энергетическую константу h увеличивать, то при достаточно больших отклонениях от значения -4.5 соответствующая изоэнергетическая поверхность уже не будет препятствовать уходу траектории от точки либрации (это будет видно из приведенных дальше графиков). Во-вторых, на траекториях управляемого движения должно выполняться условие допустимости у правления или для выбранного закона управления; щ(х,у) = a(xj- \) Поэтому при достаточно больших отклонениях величины Xj от единицы управления перестает быть допустимым. Учет обоих этих факторов приводит к задаче определения такой константы й+, что область и является областью стабилизации. Это в свою очередь ставит вопрос о связи между параметром а, задающим закон управления щ (х,у) = а(хь-1), предельным значением7 управления и0, и размерами области стабилизации, которые можно охарактеризовать с помощью энергетической константы h+ или, например, промежутком возможных значений координаты xl. Пусть, например, требуется определить, при каких значениях и0 множество значений, которые принимает координата хх на допустимых траекториях, описывается неравенством Понятно; что между значениями параметров:а и «0 выполняется-соотношение Используем это неравенство для нахождения минимального значения параметра и0, необходимого для стабилизации движения КА. Зафиксируем а и посмотрим, какое множество на действительной оси заполняет координата Ху у различных траекториях с энергетической константой /z+. Для этого введем в рассмотрение функцию hmin, определяемую по формуле д Нетрудно видеть, что минимум в правой части (1.115) достигается при Понятно, что на траекториях с энергетической константой h выполняется неравенство hmin h. (1.118) Поведение функции /zmin при а -9 на промежутке (0,) легко исследуется, исходя из следующих свойств этой функции.
Приведение уравнений линейного приближения к системе с разделяющимися переменными с помощью канонического преобразования
Из классификации движений в линейном приближении, приведенной в предыдущем параграфе, видно, что основная опасность для длительного пребывания КА в окрестности точки либрации заключается в отличии от нуля значений функции
Зависимость функции qx на траекториях линейного приближения неуправляемой системы экспоненциальная, т. е. если в начальный момент f = 0,
И поскольку Хх 0; то при qf # 0 наблюдается достаточно быстрый уход из окрестности точки либрации. Если же qx = 0, то наблюдается асимптотическое приближение к условно-периодическим траекториям, как это проиллюстрировано в 2.2. Итак, необходимым условием стабилизации движения КА является попадание на неустойчивое многообразие q = 0.
В главе 3 мы разовьем эту идею для общего случая; а теперь рассмотрим вопрос об асимптотической устойчивости точки либрации. Принципиальное отличие управления, обеспечивающего асимптотическую устойчивость от управления гарантирующего только устойчивость по Ляпунову заключается в том, что при асимптотической устойчивости величина управляющего воздействия уменьшается и асимптотически стремится к нулю, чег го нет в другом случае. В нашей задаче асимптотическая устойчивость в линейном приближении рассматривается лишь для плоского случая, поскольку пространственное движение в линейном приближении неуправляемо. В главе 1 рассмотрена задача стабилизации в плоском случае с помощью регулятора
Исследование, проведенное в 1.4 показало, что можно так подобрать коэффициенты (к\,к2-,кз,к4,к5), чтобы точка либрации (1,0,0,0,1,0) была стационарным решением, а система (1.69) имела бы произвольный наперед заданный набор собственных чисел. В частности с отрицательными действительными частями, что обеспечивает асимптотическую устойчивость. Предположим теперь, что коэффициенты (к к2,к3,к4,к5) подобраны именно так, и попробуем на основе управления и2(я, у) построить управление м3( У)- для общего нелинейного пространственного случая. В качестве такого управления возьмем управление и$(х у)\ определяемое по формуле
Отличие управления и2{х,у) от и2(х,у) заключается в том, что в формуле(2 69) функция х: зависит и от пространственной переменной л-3. Нелинейная управляемая система (1.69) с управлением (2.69) примет видИз формулы (2:71) видно, что по сравнению с линейным приближением правьте части для хх, уг, х2, х3 остались неизменными. Однако, управление щ(х,у) уже не является линейным регулятором (формула (2.71) содержит: нелинейный член, j) и отличается от линейного регулятора членами второго и более высоких порядков..Управление щ(х,у), как и управление «2(х,у)., назовем управлением, построенным по линейному приближению. В следующем параграфе мы покажем, что такое управление обеспечивает стабилизацию орбитального движения в общем нелинейном пространственном случае.
Управление щ(х,у), построено в 2.3 по линейному приближению, т. е. с использованием коэффициентов Щ, к2,к$,к4 и к5, задающих стабилизирующий закон управления для линейной системы (1.94).. Ясно, что этот закон управления остается стабилизирующим и в плоском нелинейном случае, как это видно из теоремы 2 главы. 1. Однако весьма важно выяснить, а как изменится ситуация для общего нелинейного пространственного случая? Ведь в нелинейном: пространственном случае пространственные переменные не отделяются от остальных, на их движение влияет поведение переменных xx(t) и x2(t) через функцию д:(/)!, входящую в правую часть уравнения дляуу в системе (2.71). Будет ли это влияние способно существенно отдалить пространственные координаты х уу от нулевых значений, или оно достаточно ограничено - вот основной вопрос, при качественном исследовании системы (2.71) с управлением к3(д;,у), построенным по линейному приближению. Ответ на этот вопрос дает следующая теорема. Теорема 3. Стационарное решение (х ,у ) управляемой системы (2.71) с управлением щ(х,у), построенным по линейному приближению, устойчиво по Ляпунову.
Дока з а те ль с т во. Доказательство теоремы основано на следующих соображениях. Во-первых, точка хх = I, х2 = 0, у = О, у2 = I. является стационарным решением системы из первых четырех уравнений. Отсюда можно сделать вывод, что при незначительных возмущениях величины x(t)\\ плоская компонента движения асимптотически устойчива. Более того, по переменным Xj -1,х2,у\,у2 -1 имеет место экспоненциальная устойчивость [6], [23].
Сравнение законов управления и результатов численного моделирования
Классификация движений линейной неуправляемой системы, проведенная в главе 2, показывает, что существует пятимерное, инвариантное, неустойчивое по терминологии книги [23], многообразие { i =0}. Если целью управления является только обеспечение нахождения КА в окрестности точки либрации и не ставится более определенная краевая задача (например, перейти на некоторую заданную галоорбиту), то естественной задачей управления можно считать переход на неустойчивое инвариантное многообразие. Такая же ситуация имеет место ив нелинейном случае, с той разницей, что аналитическое описание такого многообразия: требует довольно сложной вычислительной процедуры [9], [17], [39], Однако и в этом случае, как показал Биркгоф, дело сводится к построению некоторой функции G фазовых переменных, а множество, доставляющее нулевые значения этой функции составляют неустойчивое многообразие. Таким образом, задача перехода на неустойчивое многообразие сводится к обеспечению в конечный момент равенства (7 = 0, что естественным образом приводит к задаче оптимального демпфирования по отношению к функции \G\ [23], которую естественно назвать «функция опасности», поскольку от ее значений зависит быстрота ухода К А из окрестности точки либрации. Сначала мы опишем оптимальное демпфирование в линейном приближении, затем с помощью метода Биркгофа дадим приближенное выражение для функции G, позволяющее уточнить закон управления для нелинейного случая, и сравним оба закона управления по результатам численного моделирования. была сделана каноническая замена переменных, в результате: которой неуправляемое движение в линейном приближении было представлено как прямая сумма трех независимых движений. Другими словами, система для шести переменных (х(,Х2,Хз,у1Уу2,УзУ разделилась на три системы для переменных (xi,y{)i (х2 Уг)і ( з»Уз) Движение по двум последним парам переменных было колебательным с гамильтонианами (2:40) и (2.42) что гарантирует устойчивость по этим переменным в соответствии с интегралом энергии. Гамильтониан первой пары переменных имел вид (2.44)
Здесь интеграл энергии не обеспечивает устойчивость нулевого решения, и движение происходит в общем случае по гиперболе (см. рис. 11 главы 2). Если оставить систему неуправляемой, положив к = 0, то именно из-за поведения первой пары переменных КА покинет окрестность точки либрации. Более того, причина ухода заключается в том, что некоторая линейная комбинация переменных jc, и у, принимает значения отличные от нуля. Это видно, если сделать каноническую замену (3:,,3 ) на (q\,P\) по формулам (2.48). Тогда для новых канонических переменных {q\,P\) движение будет гамильтоновым с гамильтонианом Соответствующая система уравнений будет иметь вид Решение первого уравнения имеет вид - значение переменной; в начальный момент времени / = 0. № (3.3) видно, что если1 qx Ф0 , то переменная qx экспоненциально растет (по модулю). С ростом времени г именно это и является причиной неустойчивости. Для сопряженной переменной pi имеем Где рх = рх(0) — начальное значение переменной рх. Из (3.4) видим, что переменная рх асимптотически стремится к нулю при 7.- со вне зависимости от начального значения рх, т. е. поведением переменной рх не нужно управлять, при отключении управления эта переменная будет стремиться к нулю. Таким образом, если в начальный момент времени t = 0: управление отключается (и = 0), то необходимым и достаточным условием для нахождения КА в некоторой конечной окрестности точки либрации на бесконечном промежутке времени является равенство rf=0- (3.5) Отсюда возникает идея «одномерного управления» (по терминологии работы [36]), т. е. управления поведением одной переменной qx, при этомпове дение остальных переменных не учитывается. Уравнения управляемого, движения для переменной qv записываются в виде
