Введение к работе
Актуальность тематики. В современной прикладной математике актуальной задачей является создание пакетов прикладных программ для решения различных классов математических задач. С одной стороны при создании таких программ должна учитываться специфика рассматриваемой задачи, а с другой стороны методы исследования должны носить универсальный характер.
В работе предлагается численный метод исследования решений дифференциальных уравнений, проходящих через окрестность неустойчивой точки равновесия. Этот метод применяется к построению орбитальных маневров в окрестности коллинеарной точки либрации L\ и в околоземном пространстве.
Орбитальные маневры космического аппарата (КА) происходят в сложном гравитационном поле под влиянием управляющих воздействий различного типа. Исследование такого маневрирования требует применения специальных методов.
Траектории перелета КА между коллинеарными точками либрации могут быть полезны как для наблюдения и контроля околоземного космического пространства, так и для его исследования, например, для обнаружения и анализа объектов, которые пересекают окрестность орбиты Земли и представляют собой потенциальную угрозу для человечества.
Известно, что коллинеарная точка либрации является неустойчивой, поэтому КА расположенный вблизи данной точки может со временем покинуть ее окрестность. Задача удержания КА в окрестности точки либрации разрабатывалась многими авторами: Вашковьяк М. А., Лидов М. Л., Лукьянов С. С, Маркеев А. П., Шмыров А. С, Шмыров В. A., Llibre J., Gomes G., Martinez R., Masdcmont J. J., Mondclo J. M., C. Simo, T. J. Stuchi и др., тем не менее многие аспекты задачи стабилизации К А в окрестности коллинеарной точки либрации остаются актуальными. С другой стороны, поскольку точка либрации является неустойчивой, то с помощью сколь угодно малого управляющего воздействия можно добиться существенного изменения траектории. Т. е. неустойчивость может рассматриваться как положительный фактор, способствующий минимизации необходимых на маневр ресурсов управляющего воздействия.
Однако, для реализации этой идеи необходима алгоритмизация орбитального управляемого движения КА и подробный численный анализ, позволяющий получить конкретные характеристики таких маневров. Исследованию этих вопросов и посвящена диссертация.
Цель диссертации. Целью работы является разработка вычислительного алгоритма построения траекторий возвращения в окрестность точки неустойчивого равновесия системы дифференциальных уравнений и при-
менение данного алгоритма к задаче орбитального движения КА в окрестности L\\ построение стабилизирующих законов управления; численное исследование задачи орбитального управляемого движения КА с найденными законами управления; получение численных характеристик совершаемых маневров.
Научная новизна. В работе предложена новая методика численного исследования решений управляемой системы дифференциальных уравнений с применением к орбитальному маневрированию КА в окрестности L\. Получены числовые характеристики таких маневров, оценены энергетические затраты и время маневрирования.
Методология исследования. В диссертации предлагается метод нахождения решений системы дифференциальных уравнений, проходящих через окрестность точки неустойчивого равновесия. Идея алгоритма основана на рассмотрении расширенной системы уравнений, включающей уравнения в вариациях. Численное интегрирование расширенной системы позволяет определить необходимое дополнительное воздействие и перейти к новой системе с улучшенными свойствами. При необходимости описанная процедура повторяется.
Данная методика применяется к задаче построения траекторий возвращения К А в окрестность коллинеарной точки либрации L\ или L2, после реализации маневра КА типа «встречи» с небесным телом (искусственным или естественным) в околоземном космическом пространстве. После возвращения предполагается стабилизировать движение в окрестности одной из этих точек.
Для решения проблемы возвращения КА в окрестность коллинеарной точки либрации и последующей стабилизации используются современные методы небесной механики, качественная теория дифференциальных уравнений и специальные свойства гамильтоновых систем. Используя современные численные методы, проводятся эксперименты, позволяющие получить информацию о параметрах совершаемых маневров.
Теоретическая и практическая значимость. Предложена новая методика исследования решений дифференциальных уравнений, проходящих через окрестность неустойчивого положения равновесия. Построены законы управления, обеспечивающие возвращение К А в окрестность коллинеарной точки либрации после совершения маневра типа «встречи» и последующую стабилизацию. Реализованное численное моделирование управляемого движения позволило оценить энергетические и временные затраты на выполнение маневров такого типа. Теорема об устойчивости по Ляпунову дает теоретическое обоснование для использования специального вида управлений, при которых оказывается воздействие на движение только плоских переменных.
Результаты работы могут быть полезны при численном исследовании
траекторий проходящих в окрестности неустойчивого положения равновесия. Практическое применение результаты могут найти при проектировании полетов КА в окрестность коллинеарной точки либрации и разработке проектов, предполагающих пребывание КА в ее окрестности.
Апробация результатов работы. Основные результаты диссертации представлены автором на международных конференциях:
XXXIX, XL, XLI научные конференции факультета прикладной математики-процессов управления СПбГУ «Процессы управления и устойчивость» (2008-2010).
Международная научная конференция «Пятые Поляховские чтения», Санкт-Петербург, Россия, 3-6 февраля 2009 г.
Всероссийская конференция посвященная 80-летию со дня рождения В. И. Зубова «Устойчивость и процессы управления».
По материалам диссертации опубликовано 6 работ. Список работ приведен в конце автореферата.
Личный вклад автора. Автор принимал непосредственное участие во всех этапах представленной диссертации, включая постановку задачи, теоретическое обоснование и анализ всех численных расчетов в рассматриваемых экспериментах. Все изложенные в диссертации результаты получены автором самостоятельно или на равных правах с соавторами.
Вклад автора заключается: в постановке проблемы [1-4], идеи решения [1-4,6], теоретическом обосновании [2,5,6], проведении и анализе численных экспериментов [5,6].
Структура и объем диссертации. Диссертационная работа состоит из введения, четырех глав, заключения, списка цитируемой литературы из 65 наименований и приложения. Общий объем диссертации 138 страниц.
