Содержание к диссертации
Введение
1. Математические модели процессов в сверхзвуковых МГД-генераторах 14
1.1. Уравнения газовой динамики 16
1.2. Модели турбулентной вязкости 20
1.3. Граничные условия для вязкой постановки 23
1.4. Уравнения Эйлера 27
1.5. Уравнения электродинамики 28
1.6. Численный метод решения уравнений газовой динамики 32
1.6.1. Общие замечания 32
1.6.2. Построение конечно-разностной сетки 36
1.6.3. Преобразование координат и конечно-разностная схема для решения уравнений газовой динамики 39
1.6.4. Использование алгоритмов монотонизации схемы 43
1.7. Численный метод решения уравнения для потенциала 46
1.8. Алгоритм совместного решения уравнений газовой динамики и электродинамики 49
1.9. Результаты тестирования методов расчета на тестовых задачах 51
1.9.1. Обтекание пластины сверхзвуковым потоком газа 51
1.9.2. Взаимодействие ударной волны с пограничным слоем 53
1.9.3. Течение газа вдоль поверхности угла сжатия 57
1.9.4. Турбулентное обтекание пластины 59
2. Исследования течений в действующих МГД-генераторах 61
2.1. Анализ крупномасштабного импульсного МГД-генератора «Сахалин» 62
2.1.1. Конструкция и описание установки 62
2.1.2. Результаты численных расчетов МГДГ «Сахалин» 66
2.2. Анализ компактной МГД-установки для генерации мощных электрических импульсов 83
2.2.1. Описание установки 85
2.2.2. Результаты численных расчетов 87
2.2.3. Интегральные характеристики МГД-установки 95
2.3. Выводы 98
3. Построение оптимального МГД-генератора с учетом дополнительных ограничений 100
3.1. Постановка задачи оптимального проектирования 101
3.2. Результаты оптимизации канала КМГДУ 106
3.3. Оптимизация параметров МГДГ «Сахалин» 111
3.4. Выводы, полученные при решении задачи оптимизации 115
Заключение 117
Литература
- Граничные условия для вязкой постановки
- Численный метод решения уравнений газовой динамики
- Результаты численных расчетов МГДГ «Сахалин»
- Результаты оптимизации канала КМГДУ
Введение к работе
Актуальность работы.
На сегодняшний день для исследования течения в газодинамическом тракте импульсных МГД - генераторов используются современные подходы в моделировании и численных расчетах. Однако эти подходы пока не легли в основу процесса проектирования и разработки МГД-генераторов, где используются работы 10-15-ти летней давности. Вместе с тем, при создании МГД-генераторов, в основе которых заложено применение новых материалов, топлив и технологий, расширение требований экологического и экономического характера, приводит к необходимости решения, как новых задач, так и уточнению постановок уже рассмотренных задач.
Также зачастую оказываются необходимыми новые подходы в проектировании и решении вопросов конструирования. Реализация новых методов напрямую связана с использованием современных подходов к численному решению задач расчета течения продуктов сгорания в канале МГДГ, распределения электромагнитных параметров, решения сопряженных задач теплопроводности с учетом износа стенок канала и т.д.
Вообще, моделирование сложных процессов в импульсных МГД -генераторах, не имеет альтернативы по сокращению материальных затрат и времени при их разработке.
Поэтому современные полные подходы к исследованию в области математического моделирования взаимодействия продуктов сгорания с внешним электромагнитным полем являются одной из актуальных задач на сегодняшний день.
Вклад в исследования и разработку импульсных МГД-генераторов в нашей стране в разное время внесли Е.П.Велихов, Ю.М. Волков, А.В.Губарев, А.Б.Ватажин, Г.А.Любимов, В.А.Битюрин, В.А.Зейгарник, В.П.Панченко, А.А.Якушев, Д.Д. Малюта, Ю.П. Бабаков, Б.Г. Ткаченко,
И.М.Васенин и др. За рубежом исследования процессов в МГДГ проводили Маквелл К.Д., Деметриадес СТ., Ишикава, М., Танака Д. и др.
В последнее время серьезными исследованиями и расчетами турбулентных течений в МГДГ в двумерной и трехмерной постановках занимались коллективы японских исследователей в составе Ишикавы М., Сугита X., Юшира М. и др.
Область исследования. В диссертационной работе рассматриваются вопросы моделирования и численного исследования течений плазмы в импульсных сверхзвуковых МГД-генераторах с использованием моделей, основанных на двумерных системах уравнений Эйлера и осредненных по Рейнольдсу уравнениях Навье-Стокса с привлечением к-ю-модели турбулентности для описания движения газа, совместно с уравнениями Максвелла и обобщенным законом Ома для описания электродинамических характеристик.
Целью диссертационной работы является:
построение 2D модели течения в газодинамическом тракте МГДГ;
разработка алгоритмов расчета режимов безотрывного и отрывного течения в МГД-канале со сплошными электродами при различных уровнях воздействия на движущийся поток плазмы со стороны внешнего электромагнитного поля;
разработка и реализация алгоритма построения МГДГ с оптимальными параметрами;
проведение параметрических исследований локальных и энергетических характеристик действующих и проектируемых МГДГ;
выработка рекомендаций по улучшению конструкции МГДГ.
В ходе работы над диссертацией были получены следующие новые научные результаты:
На основе нестационарных уравнений газовой динамики и стационарных уравнений электродинамики была доработана существующая модель течения плазмы в МГДГ, позволяющая получать
решения, качественно и количественно согласующиеся с экспериментальными данными в широком диапазоне параметров взаимодействия электромагнитного поля с потоком плазмы;
Разработаны методика, алгоритм и комплекс программ численного расчета течений в МГДГ, позволившие получить более полные энергетические характеристики, в том числе учитывающие режим отрывного течения;
Впервые разработан алгоритм решения задачи оптимального профилирования стенок МГД-канала в двумерной постановке.
Получены результаты расчетов типичных МГДГ,
свидетельствующая о несимметричности формы оптимального МГД-канала, когда анодная стенка имеет более существенные изломы по сравнению с изломами катодной, величиной которых можно пренебречь.
Достоверность и обоснованность полученных результатов обеспечивается применением точных моделей магнитной газовой динамики и электродинамики, сравнением с экспериментальными данными, сравнениями с аналитическими и численными решениями для вязких безотрывных и отрывных течений, а так же средствами внутреннего контроля.
Практическая значимость. Проведенные исследования течений могут быть использованы в практике создания новых и совершенствования созданных импульсных сверхзвуковых МГДГ на этапах их проектирования и отработки.
Работа выполнялась в соответствии с исследованиями в рамках НИР Томского госуниверситета, проводимых по заданию Федерального агентства образования «Исследования пространственной многофазной газодинамики и тепломассообмена в ракетно-космической технике и энергетических установках» (2001-2005гг) и «Исследования физико-химической многофазной гидромеханики, тепломассообмена и
оптимизации процессов и конструкций» фундаментальное исследование (2006г.).
На защиту выносится:
Математические модели нестационарного течения
низкотемпературной плазмы в импульсном МГДГ в невязкой и вязкой турбулентной постановках, позволяющие рассчитывать течения при наличии больших отрывных зон.
Методика численного решения уравнений газовой динамики, использующая конечно-разностную схему Мак-Кормака с TVD-коррекцией по методу Дэвиса-Роу совместно с методом конечных объемов для уравнений электродинамики на единой, существенно неравномерной сетке.
Постановка задачи в двумерном приближении о построении оптимального МГД-канала учетом инженерно-физических ограничений.
Результаты численного исследования режимов работы крупномасштабного импульсного сверхзвукового МГДГ «Сахалин» и разрабатываемой компактной МГД-установки.
Публикации. Основное содержание работы отражено в 8 печатных работах.
Структура и объем работы. Диссертация состоит из введения, трех глав и заключения, изложенных на 120 страницах машинописного текста, включая 75 рисунков и 110 ссылок на литературные источники.
Граничные условия для вязкой постановки
Довольно большое семейство двухпараметрических моделей является, наверное, основным способом учета турбулентных эффектов. Применительно к использованию двухпараметрической для описания двумерного течения проводящего газа в канале МГД-генератора «Памир-ЗУ», одной из первых работ, рассматривающей полную математическую постановку, включающую к-а модель турбулентности, была работа [58]. В данном случае к представляет собой кинетическую энергию турбулентности, а со является скоростью диссипации турбулентности на единицу энергии. В этой работе рассматривался, в том числе и отрывной режим течения, возникающий при сильном МГД-воздействии на движущийся газ со стороны электромагнитного поля. Помимо к-со модели, в этой работе проводилось сравнение с алгебраической моделью, основанной на теории пути перемешивания. Сравнение показывает, что при наличии зоны отрыва, вызванной возникшей косой ударной волной, алгебраическая модель дает положение зоны возвратного течения выше по потоку, чем к-со модель. Кроме того, алгебраическая модель дает значение полного тока примерно на 5% больше. К сожалению, отсутствие сравнения вольтамперной характеристики, построенной по результатам расчетов с реальными данными по этому типу генератора, делает сложной оценку достоверности вывода о приемлемости той или иной модели. Кроме того, как показывает практика, в отрывной области проходят достаточно сложные физико-химические процессы, связанные с изменением режима протекания электрического тока. Поэтому объяснять разность полученных значений только лишь применением разных моделей турбулентности было бы не совсем правильно.
Очень подробное описание модели, способа определения эмпирических констант, а так же сравнения этой модели с другими двухпараметрическими моделями представлено в работе Д.К. Уилкокса [25]. Можно заметить, что эмпирические константы в модели, используемые авторами работы [58] несколько отличаются от оригинальной. Дело, скорее всего, в том, что авторы второй работы сделали попытку адаптировать используемую модель к применению именно для расчета МГД-течений.
Согласно выбору геометрии канала МГДГ, в расчетной области используются только три типа граничных условий. Постановка граничных условий для случая течения вязкого газа не всегда достаточно проста. Особенно это касается выходных границ расчетной области, представляющей собою газодинамический тракт МГД-генератора.
На входной границе не возникает никаких сложностей, поскольку в нашем предположении, на входе в канал число Маха М 1 (как правило, для выбранных нами типов МГДГ Мич колеблется в пределах 1.9-КЗ). Поэтому на входе в вычислительной области задаются значения всех параметров
На твердых стенках в случае ламинарного течения для компонентов скорости ставится условие прилипания uw = vw = 0, Tw= 2300 К, что соответствует температуре плавления шлака, состоящего из частиц А12Ог, дР попадающих на стенку. Для давления ставилось условие — = 0. По поводу постановки этого условия могут быть споры, т.к. это естественное условие для пограничного слоя при безотрывном течении. Но задаваясь вопросом о корректности определения давления на стенке таким образом необходимо учесть, что при его численной реализации оно работает только для определения давления Р на узле, соответствующем самой стенки относительно ближайшего к ней узла в направлении нормали. Кроме того, это условие было использовано Мак-Кормаком в своих работах [6,8], а так же явное упоминание об использовании этого граничного условия есть в работе [18], где показано хорошее согласование с имеющимися практическими экспериментами и ранее проведенными расчетами. Так же ниже будут показаны результаты расчетов, проведенных в рамках данной работы, результаты которых также имеют хорошее согласование с экспериментами и работами предыдущих авторов [17-19].
В турбулентных течениях в ближайшей окрестности твердой стенки имеют место большие градиенты скорости и температуры в направлении нормали к поверхности. Чтобы понять способ постановки граничных условий в случае турбулентного течения, удобно ввести локальное обезразмеривание при помощи переменных:
Численный метод решения уравнений газовой динамики
Если рассматривать достаточно общую постановку задачи, основанную на полных уравнениях Рейнольдса, замкнутых моделью турбулентности, (система уравнений 1.2 совместно с 1.9 и 1.10), то она в принципе позволяет получить исчерпывающую информацию о структуре течения. Наличие надежных численных алгоритмов позволило бы весьма эффективно проводить исследования в области гидрогазодинамики и отказаться от проведения экспериментальных работ, которые зачастую весьма сложны и дорогостоящи. Кроме того, очень часто определить значения интересующих нас параметров в натурных или модельных экспериментах не представляется возможным. За последние годы было предложено большое число методов численного решения как полной системы уравнений, так и более простых, основанных на уравнениях Эйлера, которые в своей идеологии используют концепцию TVD монотонизации. Эта концепция основана на условии уменьшении полной вариации (TVD - сокращенно от английского выражения Total Variation Deminition). Использование таких схем не приводит к образованию нефизических осцилляции, и в области гладкого изменения решения может быть получен второй порядок точности. Один из обычных способов получения более высокого порядка точности состоит во введении т.н. «антидиффузионных потоков», которые и обеспечивают выполнение условий TVD [4,18]. Необходимость монотонизации при расчетах сжимаемых течений при сверхзвуковых скоростях играет важную роль, поскольку характерной особенностью таких течений является наличие больших градиентов в решении, таких как ударные волны. Использование этих алгоритмов на гладких течениях совместно с алгоритмами, дающими осциллирующие решения на разрывах, позволяет не просто улучшить точность и качество результатов, но и в некоторых случаях просто получить решение. Одной из широко используемых разностных схем для решения сжимаемых уравнений Навье-Стокса является явная схема Мак-Кормака [1,8]. Эта схема представляет собой двух шаговый алгоритм, при котором на первом шаге (предикторе) вычисляется промежуточное значение, которое затем подправляется на втором шаге (корректор). Для более удобной записи аппроксимирующих выражений, а так же в силу некоторых особенностей самой схемы, о которых будет упомянуто ниже, удобно представить систему уравнений (1.2) в несколько ином виде. Разобьем каждый из векторов F и G на два вектора, F = F + R и G = G + S. Новые вектора F и G содержат только невязкие слагаемые, a R и S содержат только компоненты тензора вязких напряжений и слагаемые, отвечающие за теплопроводность. В дальнейшем для упрощения будем писать F и G без звездочек, подразумевая именно этот вид векторных слагаемых. Тогда система уравнений импульса совместно с уравнением неразрывности и уравнением энергии будет выглядеть так:
Другим преобразованием этой системы уравнений будет преобразование, связанное с переходом в криволинейную систему координат. Дело в том, что в данном случае приходится рассматривать расчетные границы, не совпадающие в физическом пространстве с координатными линиями. Для конечно-разностных методов это приводит к тому, что при постановке граничных условий требуется применять сложную интерполяцию на линии локальной сетки, что напрямую влияет на точность получаемого решения, как правило, снижая ее. На рисунке 1.1а представлена расчетная область канала МГД-генератора. Граница AD является входной, ВС - выходной, а АВ и DC -твердыми стенками канала.
Подобные трудности служат поводом для введения отображения (преобразования) физического пространства (х, у) (в двумерном случае) на пространство обобщенных криволинейных координат (,г}). Область в обобщенных координатах строится так, чтобы границы в физическом пространстве совпадали с координатными линиями в пространстве обобщенных координат (рисунок 1.16) Преобразуя, таким образом, расчетную область, мы должны соответствующим образом записать уравнения. Они должны быть записаны с использованием в качестве независимых переменных обобщенных координат ( f, TJ). Следовательно, и дискретизация должна проводиться в этом пространстве.
Результаты численных расчетов МГДГ «Сахалин»
Исследование характера течения при изменении нагрузочных характеристик МГДГ вызывает весьма значительный интерес среди разработчиков такого рода устройств. Ограниченные возможности эксперимента по изучению процессов, происходящих в потоке плазмы в МГД-канале, не позволяют на данном этапе составить достаточно точную и правдоподобную картину распределения газодинамических и электродинамических параметров. Использование же численного расчета для описания процессов в МГДГ во многом может помочь в этих исследованиях.
Рассматривая характер изменения течения продуктов сгорания при увеличении нагрузочных характеристик, основное внимание уделялось возникновению отрывных зон в расчетной области и скачков уплотнения, связанных с увеличением сил, действующих со стороны электромагнитного поля. Ранее проведенный анализ экспериментальных данных для МГДГ мощностью 10 20 МВт [70] в сравнении с численными расчетами, проведенными согласно одномерной теории, показывает, что в области сверхзвуковых течений распределения давлений вдоль анодной и катодной стенок несколько различаются (в пределах 15%). При дальнейшем увеличении МГД-взаимо действия, начиная с определенного сечения канала, отстоящего на некотором расстоянии от входа, наблюдается резкое повышение давления вдоль анодной и катодной стенок. Данный эффект можно трактовать как образование ударной волны.
Рассмотрим типичную картину изменения параметров потока при увеличении электромагнитных сил, действующих на движущийся в канале газ.
На рисунках 2.4, 2.5 представлены распределения изолиний чисел Маха и давления для случая, когда разность потенциалов на электродах составляет 4000В. При этом значении разности потенциалов Дф МГДГ работает в режиме близком т.н. режиму холостого хода, т.е. когда воздействия на поток пренебрежимо мало нет. При этом картина течения практически симметрична.
Таким образом, можно заключить, что по мере увеличения МГД взаимодействия волна сжатия смещается вверх по потоку и трансформируется в систему косых ударных волн и связанную с ней область отрывного течения (т.н. «псевдоскачок»). За ударной волной поток оказывается сильно неоднородным в поперечном сечении канала, причем давление на катоде в отдельных случаях (для некоторых МГД-установок) может в «2 раза превышать давление на аноде. Предельное положение «псевдоскачка» в газодинамическом тракте МГДГ соответствует режиму короткого замыкания. Для большинства генераторов это положение составляет 1 -2 калибра от начала электродной зоны [70].
На рисунках 2.16, 2.17 показано распределение газодинамических и электромагнитных параметров при достижении разности потенциалов на электродах 600 В. На них видно, что положение скачков уплотнения достаточно хорошо согласуется с описанными ранее экспериментальными наблюдениями.
Одними из основных интегральных характеристик, характеризующих эффективность работы МГД-генератора, являются вольтамперная и нагрузочная характеристики. На рисунках 2.20, 2.21 представлены вольтамперные, нагрузочные и ряд других интегральных характеристик МГД-генератора "Сахалин", полученные численным моделированием согласно одномерной теории [55]. В этих расчетах выбирались данные для различных значений внешнего магнитного поля, в том числе и с учетом индуцированного магнитного поля. Видно, что максимальная мощность при индукции 1.3 Тл ограничена появлением отрывных течений. Характерно, что расчётные максимальные значения электрической мощности соответствуют предотрывному или близкому к нему отрывному режиму нагружения МГД-генератора. Полученные результаты удовлетворительно согласуются с экспериментальными данными [55]. Пунктиром на рисунках 2.20, 2.21 показано предполагаемое поведение характеристик при возникновении и развитии отрывной области в канале.
Для сравнения, на рисунке 2.22 представлены результаты экспериментальных исследований МГД-генератора «Урал». Явно прослеживается изменение в поведении вольт-амперной характеристики в областях сильного взаимодействия. Надо отметить, что это распределение является типичным для МГДГ.
Результаты оптимизации канала КМГДУ
Как уже было сказано раньше, использование МГД-генераторов находит достаточно широкое применение. Переход от лабораторных установок к созданию промышленных образцов, обладающих длительным ресурсом работы, потребовал решения задач, связанных с оптимизацией параметров МГДГ для достижения наиболее эффективных режимов генерации энергии. В число этих параметров входят значения газодинамических величин в камере сгорания, которые с одной стороны определяют расход плазмы, а с другой необходимы для численного моделирования течения в газодинамическом тракте МГДГ. Кроме того, важную роль играет профилирование электродных и изоляционных стенок МГД-канала и выбор параметров магнитной системы.
К настоящему времени опубликовано большое количество работ, посвященных построению оптимальных МГД-генераторов. В основном они опубликованы 20-30 и более лет назад и отражают уровень того времени в моделировании процессов, протекающих в ИМГДГ и возможности вычислительной техники. Однако важность этих работ заключается и в том, что эти результаты, полученные при помощи таких моделей, позволили уточнить постановки вариационных задач, выяснить структуру оптимального решения, и благодаря ним были созданы методы проектирования ИМГДГ.
В то же время, рост производительности компьютерной техники и, что не маловажно, развитие численных методов, пока не сказались с положительной стороны на использование в решении оптимизационных задачах применительно к МГД-установкам. На данный момент получается, что наиболее практически важные решения в области проектирования до сих пор основаны на решении уравнений в одномерном приближении.
В настоящей работе была проведена попытка решить данную задачу о построении оптимального МГД-генератора основываясь на двумерной постановке для уравнений газовой динамики и электродинамики.
Одним из основных этапов проводимых при проектировании импульсных сверхзвуковых МГД-генераторов (ИМГДГ) является выбор оптимальной формы газодинамического тракта (ГТ) и распределения коэффициента нагрузки (или его значение на входе в МГД-канал), определяющего режим истечения продуктов сгорания металлизированных плазмообразующих твердых топлив. К этому этапу также относится выбор конкретного топлива, задание значений параметров торможения в генераторе плазмы, необходимых для расчета массового расхода продуктов сгорания, выбор типа магнитной системы, коммутации электродов, задание максимального значения напряженности магнитного поля.
При решении оптимальной задачи для практического применения МГД-генератора нельзя не учитывать различные ограничения, вызванные причинами технического или физического характера. К ним могут относиться ограничения на конструкцию установки, ее габаритные размеры. С физической точки зрения требуется соблюсти равномерность поля газодинамических параметров. В частности, безотрывный режим течения в канале генератора, что связано с равномерностью распределения давления по электродным стенкам. Ограниченные прочностные и термические характеристики материалов, используемые в создании такого рода устройств, приводят к необходимости учета и контроля тепловых потоков в стенки.
В целом, все эти требования определяют диапазон изменения управлений задачи оптимизации и могут быть связаны с неполнотой используемой модели процесса преобразования энергии в ИМГДГ.
Для решения задач оптимизации ИМГДГ использовались методы оптимального управления [73]. Однако, также как и при использовании методов вариационного исчисления, их реализация затруднительна в случае сложных ограничений на управления вариационной задачи.
В данной работе в рамках модели двумерного плоского равновесного течения электропроводного газа рассматривается задача о построении МГД-канала максимальной мощности. При этом в качестве критерия оптимального решения было взято требование достижения максимальной мощности. Кроме того, учитывалось техническое требование на невозрастание давления вдоль стенок, которое можно интерпретировать как выполнение условия безотрывности течения.
Рассматривая различные методы поиска минимума многомерных функций, необходимо остановиться на алгоритмах, разработанных и используемых для этих целей.
