Содержание к диссертации
Введение
Глава 1. Линейная теория кручения анизотропного бруса с винтовыми дислокациями 15
1.1. Основные соотношения теории кручения анизотропного бруса 16
1.2. Обобщение теоремы Бредта (о циркуляции касательных напряжений)
1.3. Мембранная аналогия при наличии дислокаций 20
1.4. Вариационный принцип 23
1.5. Сосредоточенные и непрерывно распределенные дислокации 27
1.6. Общие теоремы теории кручения стержней, содержащих дислокации 29
1.7. Энергия дислокации в стержне прямоугольного сечения . 32
Глава 2. Нелинейная теория кручения призматических упругих тел, содержащих винтовые дислокации 35
2.1. Приведение проблемы кручения к двумерной нелинейно краевой задаче 36
2.2. Уравнения совместности и винтовые дислокации 43
2.3. Краевые условия на торцах бруса 47
2.4. Энергетические соотношения для продольной силы и крутящего момента 53
2.5. Функции напряжений в нелинейной проблеме кручения призматического тела с винтовыми дислокациями 56
2.6. Вариационные постановки нелинейной задачи кручения упругих тел, содержащих винтовые дислокации 59
Глава 3. Некоторые задачи о равновесии кругового цилиндра с осесимметричным полем винтовых дислокаций 63
3.1. Конечная деформация сплошного кругового цилиндра с распределенными дислокациями 66
3.2. Случай полого цилиндра 74
Глава 4. Влияние физической и геометрической нелинейности на энергию дислокации в неограниченном упругом теле 78
4.1. Изолированная винтовая дислокация в неограниченной среде 79
4.2. Энергия винтовой дислокации 85
4.3. Условие Адамара 86
Заключение 89
Литература 91
- Обобщение теоремы Бредта (о циркуляции касательных напряжений)
- Энергетические соотношения для продольной силы и крутящего момента
- Конечная деформация сплошного кругового цилиндра с распределенными дислокациями
- Энергия винтовой дислокации
Введение к работе
Понятие о дислокациях как о специфических дефектах атомно-кристалли-ческой структуры является одним из важнейших в физике твердого тела н в физическом материаловедении. Хотя в основном теория дислокаций занимается механическими свойствами, она способствует более глубокому пониманию и некоторых других свойств твердых тел, например таких химических явлений, как диффузия и химические реакции в кристаллах, рост кристаллов, поверхностный катализ пли таких физических характеристик, как время жизни носителей в полупроводниках, фотопластический эффект в полупроводниках, коэрцитивная сила в магнетиках, электрическая прочность диэлектриков, эффект разупрочнения металлов при фазовом переходе в сверхпроводящее состояние и т. д. Совокупность полученных к настоящему времени данных показывает, что дислокации являются непременной составляющей структуры всех реальных кристаллов. Гипотеза о дислокациях как дефектах кристаллической решетки, определяющих механические свойства кристаллов, превратилась в подтвержденный экспериментами реальный факт.
Многочисленные теоретические и экспериментальные исследования [1] убедительно доказали существенное влияние дислокаций как на механические, так и на электрические, магнитные, тепловые и оптические характеристики твердых тел. Дислокации играют значительную роль в механическом поведении поверхностных кристаллов, тонкопленочных нано-
структур, биологически мембран и других двумерных физических систем. Теория дислокаций является важной и существенной частью механики деформируемых твердых тел.
Вероятно, можно считать, что предположение о существовании дислокаций возникло в XIX веке, когда было выяснено, что пластическая деформация металлов происходит с образованием полос или «пачек» скольжения, в связи с возникновением которых одна часть образца сдвигается относительно другой (см. 1). Решающую роль здесь играют линейные дефекты особого типа, называемые дислокациями.
Направление скольжения
Рис. 1. Скольжение в кристалле, обусловленное движением винтовой дислокации.
Исследуя напряженно-деформированное состояние однородной изотропной среды, ученые рассматривали упругие свойства цилиндра с разрезом, деформируемого различными способами (см. рис. 2)
Дислокации непосредственно связаны с такими процессами, как деформационное упрочнение и рост кристаллов. Известно, что для стсрженя из мягкого металла серия сгибаний и разгибаний приводит к разрушению.
Рис. 2. Дислокации Вольтерры: а - краевая, б - винтовая.
В металле при каждом сгибании-разгибании образуются дислокации. Когда их число становится достаточно велико, металл теряет способность к пластической деформации при дальнейшем воздействии [2].
Решение проблемы роста кристаллов было получено лишь после того, как была принята во внимание возможность существования винтовых дислокаций. Предположим, что мы выращиваем большой кристалл, поместив маленький кусочек кристалла в пары соответствующего вещества. Атомам пара легче всего занять те узлы решетки, которые окружены уже заполненными узлами. Поэтому атом сравнительно непрочно связан с плоской поверхностью идеального кристалла (За). Более сильной оказывается связь со ступенькой, образованной двумя плоскостями (36), а наибольшую величину сила связи имеет, когда атом расположен в углу (Зв). Если в кристалле имеется винтовая дислокация (Зг), то при добавлении атомов локально плоская структура может образовывать бесконечную спираль вокруг дислокации.
Рост кристалла таким способом происходит значительно быстрее, т. к. при этом не требуется образования зародыша новой плоскости, как на (За).
Рис. 3. Рост нитевидного кристалла.
При описанном выше способе роста могут образовываться очень длинные тонкие нитевидные кристаллы, которые навиваются па одну винтовую дислокацию и тем самым продолжают ее на очень большую длину. Такие кристаллы могут содержать только одну дислокацию (саму затравочную винтовую дислокацию) и обнаруживают прочность, сравнимую с предсказываемой в модели идеального кристалла.
В рамках линейной теории упругости математическая теория дислокаций возникла в работах В. Вольтерры [130], Г. Вейнгартена, К. Сомильяны и А. Лява [81] в начале XX столетия.
Развитие и становление линейной теории изолированных (дискретных) и непрерывно распределенных дислокаций (т.е. чисто трансляционных дефектов) связано с именами Дж. Эшелби [115, 121, 122, 123], Е. Кренера [69|, А. Зеегера [36, 37], В. Гюнтера, Р. Де Вита [12], Ф. Набарро, Дж. Мая, Дж. Лоте [105], К. Теодосиу [98], А. А. Вакуленко [9, 10], В. Л. Инденбома, А. М. Косевича [65, 66], А. Н. Орлова, А. Коттрела |68, 67], Л. Д. Ландау
и Е. М. Лифшица [73] и другими.
Нелинейная теория непрерывно распределенных дислокаций, основанная на представлениях дифференциальной геометрии, была развита Б. Бил-би, В. Л. Бердичевским [5, 6], К. Кондо, Е. Кренером, И. А. Куниным [72], Л. И. Седовым [93] и другими.
Существенные результаты по теории дислокаций в упругих телах получены Г. В. Бережковой [7], В. И. Владимировым, М. Ю. Гуткиным [21 - 25], В. А. Еремеевым [29 - 34], Л. М. Зубовым [44, 47, 48, 60, 131, 132], М. И. Ка-рякиным [55, 63], И. А. Овидько, Ю. Н. Работновым [92], Т .Судзуки [95], Ю. А. Устиновым [101], К. Ф. Черныхом [107 - 111] и другими (см., на-пример, [4], [8], [11], [77], [78], [97], [106], [113]).
Значительный вклад в развитие нелинейной теории упругости внесли Э. Л. Аэро [3], В. Л. Бидерман, А. Н. Гузь [20], М. А. Гузев [85], Е. А. Гур-вич [26, 27], В. А. Еремеев, П. А. Жилин [13], Б. А. Жуков [35], Н. В. Зво-линский, Л. М. Зубов [38 - 42, 49, 56 - 59], А. М. Кривцов [70, 71, 127], В. И. Кондауров [64], В. А. Левин [74, 75], А. И. Лурье [80, 79], В. В. Новожилов [87], В. А. Пальмов [89, 90], Г. Н. Савин, Н. Ф. Морозов [83], В. П. Мясников [86], Л. И. Седов, Л. А. Толоконников, А. Б. Фрейдпн [102, 103, 104, 124], К. Ф. Черных, Л. И. Шкутин [112], Дж. Адкинс [14], С. Ант-ман, М. Гартин, А. Грин [14], Ж. Можен, В. Нолл [129], Р. Огден [128], Р. Ривлин, К. Трусделл [100], А. Эрипген [117], Дж. Эриксен [114, 118, 119, 120] и их ученики.
Современное состояние теории дислокаций отражено в монографиях [22, 23], [98], [61], [91],[116], нелинейная теория изолированных дислокаций изложена в книге [131].
Понятие изолированного дефекта (дислокации Вольтерры) в нелинейно упругой среде введено в [45, 46]. Более подробно дислокации Вольтерры в плоской нелинейной теории упругости изучены в работе [54].
Точные решения сингулярных задач о винтовой дислокации в бесконечной среде в строгой нелинейной постановке впервые найдены Л. М. Зубовым в [46]. Эти решения показывают, что точный учет нелинейности качественно меняет характер сингулярности напряжений на оси дислокации и дисклинации по сравнению с линейной теорией упругости.
В [28] предложен способ перехода от дискретного набора дислокаций к их непрерывному распределению в плоской задаче нелинейной теории. Дано дифференциально-геометрическое истолкование плоской среды с распределенными дефектами.
Линейная теория кручения призматических упругих стержней, содержащих винтовые дислокации, оси которых параллельны оси стержня исследуется в [15], рассмотрены как сосредоточенные (изолированные), так и непрерывно распределенные винтовые дислокации.
Работы [43, 50, 133] содержат решение нелинейных задач Сен-Венана о кручении призматических тел при больших деформациях.
Нелинейное поведение призматических тел с винтовыми дислокациями, параллельными оси стержня, иследовано в [53].
Для проведения численных расчетов в диссертационной работе использовались методы и подходы [62, 84, 88, 96].
Дислокации являются распространенным элементом микроструктуры твердых деформируемых тел. Наряду с другими дефектами кристаллической решетки, они в значительной мере определяют пластичность и прочность твердых тел. Расчет полей напряжений и упругой энергии, создаваемых дислокациями, играет важную роль при объяснении ряда особенностей поведения реальных кристаллов, при анализе механизмов пластичности, ползучести, разрушения, а также роста кристаллов. Имеющиеся в литературе решения задач теории упругости при наличии дислокаций относятся в основном к бесконечно протяженным телам, без учета границ.
Краевые задачи теории упругости для тел с дислокациями исследованы недостаточно.
Важным частным случаем трансляционных дефектов являются винтовые дислокации. Такие дефекты могут возникать в процессе роста нитевидных кристаллов (металлических «усов»), а также могут существовать в многосвязных цилиндрических конструкциях. В частности, известно [82]. что винтовая дислокация Вольтерры, существующая в хиральных пано-трубках и обусловливающая их закручивание, существенно влияет на прочность этих трубок.
Краевые задачи кручения анизотропных призматических упругих тел, содержащих винтовые дислокации, до настоящего времени не были исследованы.
Для описания ряда явлений при деформировании твердых тел с дислокациями определенную роль могут играть нелинейные эффекты. В этой связи представляет интерес выяснить, как влияют винтовые дислокации на изменение длины упругого цилиндра при кручении, называемое эффектом Пойнтинга. Решение данного вопроса требует применения нелинейной теории кручения призматического тела с дислокациями. Кроме того, учет нелинейности при расчете энергии винтовой дислокации может приводить к результатам, качественно отличающимся от линейной теории упругости.
Этим определяется актуальность линейной и нелинейной теории кручения призматических упругих тел, содержащих винтовые дислокации.
Диссертация состоит из четыре глав, списка литературы и приложения, в котором предложен список обозначений, используемых в работе. В первой главе рассматривается задача о напряженном состоянии призматического анизотропного стержня, содержащего винтовые дислокации, оси которых параллельны оси стержня. Сначала исследуется кручение анизотропного упругого бруса с многосвязным поперечным сечением в предположении
об однозначности напряжений и деформаций, но при отказе от требования однозначности функции депланации. Краевая задача сформулирована относительно функции напряжений Прандтля, которая, в отличие от функции депланации, является однозначной в многосвязной области. Дана вариационная постановка краевой задачи для функции напряжений. Из полученного вариационного принципа выводится формулировка краевой задачи кручения при наличии сосредоточенных или непрерывно распределенных дислокаций. Предложена модификация мембранной аналогии для проблемы кручения, учитывающая присутствие дислокаций. Сформулированы общие теоремы теории кручения стержней, содержащих дислокации. Выведена эффективная формула для угла закручивания бруса, обусловленного заданным распределением дислокаций. Решены задачи о дислокациях в тонкостенном стержне и прямоугольном анизотропном брусе.
Во второй главе на основе точных трехмерных уравнений нелинейной теории упругости исследуется напряженно-деформированное состояние призматического бруса, содержащего винтовые дислокации, оси которых параллельны оси стержня. Рассмотрены как изолированные дислокации Вольтерры в многосвязных цилиндрах, так и винтовые дислокации непрерывно распределенные по объему тела с заданной плотностью. Исходная пространственная задача нелинейной эластостатики сведена к двумерной краевой задаче для плоской области в форме поперечного сечения цилиндрического бруса. Решение полученной двумерной задачи позволяет точно удовлетворить уравнениям равновесия в объеме тела и граничным условиям на боковой поверхности. Краевые условия на торцах бруса выполняются в интегральном смысле Сен-Венана [94]. Предполагается, что форма сечения стержня и распределение дислокаций обладают центральной симметрией, а по торцам стержень нагружен крутящим моментом и продольной силой, приложенной в центре сечения. Даны различные формулировки
двумерной задачи на сечении бруса, отличаюпщеся друг от друга выбором неизвестных функций. Указаны вариационные постановки двумерной краевой задачи. Общая теория проиллюстрирована количественными и качественными результатами решения задачи о кручении и растяжении кругового цилиндра с осесимметричным распределением винтовых дислокаций.
В третьей главе исследованы некоторые нелинейные задачи о равновесии кругового цилиндра с осесимметричным полем винтовых дислокаций. Для несжимаемого изотропного материала определен относительный угол закручивания цилиндра при известном распределении дислокаций и нулевом крутящем моменте (закручивание Эшелби).
В случае неогуковского материала получены аналитические формулы для крутящего момента и осевой силы. С их помощью проанализировано влияние винтовых дислокаций на изменение длины кругового цилиндра в зависимости от относительного угла закручивания. Как известно, если кручение кругового цилиндра из неогуковского материала осуществляется крутящим моментом при нулевой продольной силе, то длина цилиндра увеличивается. Показано, что если кручение цилиндра обусловлено распределением винтовых дислокаций при отсутствии продольной силы и крутящего момента, то длина цилиндра уменьшается. Другими словами, эффект Пойнтинга, обусловленный винтовыми дислокациями, имеет обратный знак по сравнению с эффектом Пойнтинга, обусловленным крутящим моментом. Рассмотрена задача об изолированной дислокации в полом цилиндре и влияние радиуса полости на основные характеристики напряженно-деформированного состояния, эффект Пойнтинга и закручивание Эшелби.
Четвертая глава посвящена задаче о винтовой дислокации в упругом теле с учетом геометрической и физической нелинейности. Основное внимание уделено вычислению энергии дислокации. В рамках линейной тео-
рий упругости энергия дислокации, приходящаяся на единицу ее длины, бесконечна по двум причинам: из-за расходимости интеграла энергии на оси дефекта и расходимости его на бесконечном удалении от оси дефекта. В [46] был указан класс несжимаемых упругих материалов, для которых энергия винтовой дислокации имеет конечное значение в полуограниченном теле — цилиндре, ось которого совпадает с осью дислокации. Здесь предложена модель несжимаемого нелинейно упругого материала, удовлетворяющего условию Адамара и обладающая тем свойством, что винтовая дислокация имеет конечную энергию не только в цилиндрическом теле, но и в неограниченной среде.
В заключении предлагаются основные результаты, полученные в диссертационной работе.
Основные положения и результаты диссертационной работы докладывались и обсуждались на: международной конференции «Математические модели и методы их исследования» (Красноярск, 1999); 1st Canadian Conference on Nonlinear Solid Mechanics (Victoria, British Columbia, Canada, 1999); второй научно-технической конференции «Проблемы машиноведения» (Нижний Новгород, 2001); всероссийской конференции «Дефекты структуры и прочность кристаллов» (Черноголовка, 2002); XXXII International Summer School-Conference «Advanced Problems in Mechanics» (АРМ). (Russia, St. Petersburg, Repino, 2004); международной школе-семинаре «Математическое моделирование и биомеханика в современном университете» (пос. Абрау-Дюрсо, 2005); всероссийской школе-семинаре «Математическое моделирование, биомеханика и информационные технологии в современном университете» (Ростов-на-Дону, 2006).
В полном объеме диссертация докладывалась на семинарах кафедр теории упругости и математического моделирования Ростовского госуниверситета (ныне Южный федеральный университет), объединенного отдела
физико-математических и технических проблем Южного научного центра РАН.
На различных этапах данная работа поддерживалась грантами РФФИ (№№96-01-01283, 96-01-01427, 02-01-00529, 05-01-1683), Президента РФ НШ-2113.2003.1, ФЦП «Интеграция» (Я0061/1358), выполнялась по госконтракту от 05.09.2005 №02.04.445.11.7042 шифр РИ-112/001428.
По теме диссертации опубликованы 10 работ: [15] - [19], [51] - [53], [125], [126]. Из них три статьи [15, 17, 53] помещены в журналах из «Перечня ведущих рецензируемых научных журналов и изданий, в которых должны быть опубликованы основные научные результаты диссертации на соискание ученой степени доктора и кандидата наук», утвержденного ВАК РФ.
В совместных работах научному руководителю профессору Л. М. Зубову принадлежат постановки задач и рекомендации по выбору метода решения. Вывод разрешающих систем уравнений, разработка и реализация численных методов, численные результаты принадлежат автору диссертации.
Автор выражает глубокую благодарность научному руководителю профессору Леониду Михайловичу Зубову за внимание и огромную помощь в работе и считает также своим приятным долгом поблагодарить коллективы кафедры математического моделирования и кафедры теории упругости ЮФУ: А. В. Белоконя, О. А. Беляк, А. О. Ватульяпа, С. В. Дере-зина, В. А. Еремеева, М. И. Карякина, А. М. Колесникова, Н. В. Курбатову, А. В. Наседкина, К. А. Надолина, А. В. Соколова, А. Н. Соловьева, А. С. Скалнуха, Ю. А. Устинова за успешное сотрудничество и всестороннюю поддержку.
Обобщение теоремы Бредта (о циркуляции касательных напряжений)
Пусть поперечное сечение бруса а представляет собой многосвязную область, гомеоморфную кругу с круговыми отверстиями. Внешний контур области а обозначим Го, а контуры отверстий — Г (t = 1, 2,..., N). В силу (1.10) функция напряжений F однозначна в области а и принимает постоянные значения Со, Ct на каждой из замкнутых кривых Го, IV Так как добавление произвольной постоянной к функции F не влияет на напряженное состояние бруса, без ограничения общности рассуждений можно положить Со = 0, что приводит к известным [80] краевым условиям в задаче кручения мпогосвязного цилиндрического тела 1г, = 0 F\r, = Ct С = 1.2.-.-«О- (111)
При выполнении уравнения совместности (1.8) криволинейный интеграл в (1.12) не зависит от пути интегрирования, если область т односвязна. В случае многосвязной области выражение (1.12) дает, вообще говоря, многозначную функцию. Неоднозначность можно устранить, превратив область а в односвязиую путем проведения необходимого числа разрезов.
Отличие от нуля постоянных bt означает существование в многосвязном цилиндре винтовых дислокаций, т.е. трансляционных дислокаций Вольтср-ра с векторами Бюргерса, параллельными образующей цилиндра и имеющими длину bt. Из (1.5), (1.7), (1.13) получаем fn-L- gradFds + bt + 2ajSt = 0, (t = 1,2,..., N). (1.14) Здесь n — нормаль, внешняя по отношению к области, занятой отверстием. Соотношения (1.14) служат для определения неизвестных постоянных Ct и являются обобщением теоремы Бредта [80] о циркуляции касательных напряжений, состоящим в учете винтовых дислокаций и анизотропии материала. Крутящий момент М, который необходимо приложить к торцам многосвязного бруса, чтобы обеспечить заданный угол закручивания LU, выражается формулой [80].
Известную [80] мембранную аналогию Прандтля для задачи кручения можно модифицировать, учтя наличие дислокаций и анизотропию материала. Представим себе весьма тонкую упругую пластинку (мембрану), в которой создано однородное плоское напряженное состояние, описываемое тензором напряжений, с точностью до постоянного множителя совпадающим с тензором податливостей L из (1.9).
Уравнение для прогиба мембраны и можно получить из уравнения изгиба предварительно напряженной пластинки [99], устремив к нулю ее цилиндрическую жесткость. В результате для случая односвязной области получим краевую задачу, идентичную задаче для функции напряжений F div(L- gradu) = -р, и\ = 0. (1.17) Для моделирования многосвязного цилиндрического тела без дислокаций к натянутой мембране в областях, ограниченных контурами Г(; приклеиваются жесткие горизонтальные диски, для которых допускаются только поступательные вертикальные перемещения.
Если в многосвязном цилиндре присутствуют дислокации, то согласно (1.14) к каждому диску следует приложить дополнительно сосредоточенную силу, совпадающую (с точностью до некоторого размерного множителя) с длиной вектора Бюргерса, соответствующего данной дислокации.
Как видно из (1.21), необходимые и достаточные условия стационарности функционала П состоят из уравнения (1.9) и соотношений (1.14). Свойство минимальности функционала в стационарной точке следует из положительной определенности тензора L. Для изотропного материала без учета дислокаций вариационная формулировка задачи кручения изложена ранее [80].
Применим вариационный принцип для решения задачи кручения тонкостенной трубы, содержащей дислокацию. Сечение стержня в этом случае представляет собой двусвязную область, причем контуры Го и Г\ близки друг к другу. Винтовая дислокация в таком теле может быть создана путем разрезания трубы вдоль образующей, продольного сдвига краев разреза на расстояние bi и склеивания их в новом положении. Описанный дефект может возникнуть в конструкции в процессе ее изготовления. Предположим, что кривая Гі задана уравнениями х\ — Xi(s),x-2 — Х2(s), где s — текущая длина дуги. Положение точки области о будем задавать координатами s и , где С — расстояние, отсчитываемое по нормали к Гі, причем ( — 0 на Гі и С = h на Г0. Толщину стенки h считаем постоянной.
Рассмотрим пример пятисвязной тонкостенной трубы, сечение которой представляет собой тонкое круговое кольцо радиуса TQ с двумя ортогональными диаметральными переборками (рис. 9). Толщина кольца и переборок равна h.
В качестве примера рассмотрим задачу кручения односвязного призматического тела при постоянной плотности дислокаций ((3 = / = const) и при отсутствии внешнего крутящего момента. В соответствии с (1.32), (1.11) и (1.15) данная задача имеет единственное решение F = 0, ш = —Ро/2. Таким образом равномерное распределение винтовых дислокаций не создает напряжений в стержне с односвязным сечением, хотя и вызывает его закручивание. Этот результат представляется очевидным в свете мембранной аналогии
При помощи (1.34) и свойства положительности функции V доказывается теорема единственности решения задачи кручения упругого тела с дислокациями. Теорема единственности остается в силе также для задачи с неизвестным углом закручивания w, нос заданным крутящим моментом М.
Таким образом, для определения закручивания бруса, обусловленного заданным распределением дислокаций, нет нужды решать краевую задачу (1.36), которая содержит произвольную функцию в правой части обобщенного уравнения Пуассона, а достаточно решить более простую стандартную задачу кручения (1.37), для которой правая часть обобщенного уравнения Пуассона постоянна.
Энергетические соотношения для продольной силы и крутящего момента
Как доказано в предыдущем разделе, наличие винтовых дислокаций в стержне приводит к деформации, реализация которой требует приложения к торцам бруса с центрально симметричным сечением системы сил, статически эквивалентной силе F% и моменту Мз, действующим в точке оси симметрии бруса и направленным вдоль той осп. После решения двумерной краевой задачи на сечении, сформулированной в параграфах 2.1, 2.2 продольная сила и крутящий момент становятся известными функциями параметров ф и Л F3 = FftM), М3 = М(ф,Х). (2.49) Обращение функций F и М позволяет определить параметры по заданным значениям силы F% и момента М3. Функции (2.49) обладают следующим свойством 9F дМ щ = ж- (2-50) для доказательства которого рассмотрим функционал П погонной (т.е. рассчитанной на единицу длины) потенциальной энергии деформации упругого бруса, вычисленный на решении иа(хі,х2,фХ).
Свойство потенциальности (2.55) остается справедливым и в случае многосвязного сечения, содержащего винтовые дислокации Вольтсрры. Тогда из уравнения совместности (2.36) вытекает существование дважды дифференцируемой функции депланации w, которая неоднозначна в силу соотношений (2.28). Неоднозначность можно устранить, превратив многосвязную область а в односвязную проведением определенного числа разрезов (перегородок). На противоположных берегах каждого из разрезов значения функции w будут связаны равенством w+ — W- = bt. Поскольку длины векторов Бюргерса bt — заданные постоянные, они не зависят от ф и Л.
Здесь ds — элемент длины дуги на да. Последнее равенство вытекает из уравнений равновесия (2.11) и граничных условий (2.29). Точно также доказывается равенство нулю интеграла / / Da {dCa l дХ) da в (2.53). а Таким образом, вторые интегралы в (2.52) н (2.53) равны нулю, что и доказывает справедливость соотношений (2.55) в случае многосвязной призмы с дислокациями Вольтерры. Без учета дислокаций представления (2.55) были выведены в [133] способом, отличным от изложенного выше. Эти представления играют важную роль при изучении прямого и обратного эффектов Пойнтинга [50] в упругих цилиндрах.
Граничные условия (2.29) двумерной краевой задачи на сечении бруса, в которой за неизвестные функции приняты компоненты градиента деформации С, являются нелинейными. Очевидно, они станут линейными, если вместо компонент градиента деформации за неизвестные функции принять компоненты Dmn тензора напряжений Пиолы. Чтобы записать уравнения совместности (2.23), (2.24) через напряжения, необходимо выразить градиент деформации С через тензор D. Считая материал изотропным и следуя методу [41], сначала выражением положительно определенный тензор рас-тяжения через симметричный тензор напряжений Яуманна S = D А , где А = (С Ст)-1/2 С — собственно ортогональный тензор поворота, сопровождающего деформацию.
Хотя в сечениях бруса ж з = const, достаточно удаленных от сечения х% = 0, повороты материальных волокон могут быть очень большими, можно утверждать, что если угол закручивания ір не слишком велик, то углы поворота материальных волокон в каждой точке сечения не будут превышать 90. Тогда, как показано в [41], единственное решение уравнения (2.59) относительно Ао выделяется из совокупности (2.60) при помощи неравенств detA0 0, trA0 l. (2.61) Итак, при учете условий (2.61) существует единственное представление компонент градиента деформации Ськ через напряжения Dmn, что позволяет сформулировать двумерную краевую задачу (2.11), (2.21), (2.23), (2.29), (2.30), (2.34) в напряжениях Dmn. тп
Дальнейшее преобразование двумерной краевой задачи на сечении бруса состоит в тождественном удовлетворении уравнений равновесия (2.11) при помощи функций напряжений. Последнее вытекает из того, что функции Фар (а, (3 = 1,2) определяются по заданным в односвязной области СУ напряжениям однозначно, а функция х с точностью до произвольной аддитивной постоянной, не влияющей на напряженное состояние тела. Величины х Фар называемые функциями напряжений, остается подчинить уравнениям совместности (2.23), уравнению несовместности (2.34), соотношениям (2.21), (2.30) и краевым условиям (2.29). Последние записываются через функции напряжений следующим образом = 0, паФар = 0 (,5 = 1,2). (2.63) Если поперечное сечение бруса а многосвязно, то согласно (2.63) функция напряжений х принимает постоянные значения \о, Xt (t = 0,1, 2 ... N) на каждой из замкнутых кривых Го, IV Так как добавление произвольной постоянной к функции х не влияет на напряженное состояние бруса, без ограничения общности можно положить хо = 0. Дополнительными условиями для определения неизвестных постоянных Xt служат интегральные соотношения (2.28). Следует иметь в виду, что в общем случае, когда плотность дислокаций (3 не равна тождественно нулю, интегралы в должны вычисляться по контурам отверстий IV Отметим, что отсутствие внешней нагрузки на контурах отверстий Г влечет за собой однозначность функции напряжений х в многосвязной области а.
Конечная деформация сплошного кругового цилиндра с распределенными дислокациями
При исследовании реальных физических объектов мы обычно имеем дело с наложением и взаимодействием (суперпозицией) большого количества дислокаций. Предположим в случае сплошного цилиндра радиуса го, что дислокации распределены внутри поперечного сечения по некоторой круглой площадке радиуса 6 (О 5 го), центр которой совпадает с центром поперечного сечения.
Большой интерес в нелинейной механике сплошных сред представляет исследование моделей материалов, способных не допускать некоторых деформаций. В частности, моделей несжимаемых материалов, в которых объем любой части тела остается неизменным при деформации. При определенных допущениях физическим эквивалентом несжимаемого материала может служить резина, которая, как известно [79], не поддается исследованию средствами линейной теории упругости.
Рассмотрим более подробно некоторые классические модели несжимаемых материалов. Решая систему двух нелинейных уравнений {Р = 0, М — 0} относительно двух неизвестных {Л, ф}, можно определить влияние дислокации на деформацию цилиндра при отсутствии внешних нагрузок. Считая плотность дислокаций j3 постоянной и равной / = 106, получим ф = — .01. Л = 0.99. Таким образом, наличие поля дислокаций при отсутствии внешних нагрузок обеспечивает укорачивание цилиндра. Ненулевой относительный угол закручивания ф — так называемое закручивание Эшелби, которое подтверждено экспериментально [82, 115, 121, 122, 123]. Влияние плотности дислокаций на решение {Л, ф} линейно, при уменьшении (3 наблюдается стремление ф к нулю, а Л к единице.
Далее, предположим, что продольная сила в (3.16) равна пулю. Зададим некоторый фиксированный набор (упорядоченное множество) {\У1 (здесь и далее п конечно). Решая уравнение Р(ф) = 0 при каждом Лг-, получаем фиксированный набор {фг}г- Подставив соответствующие пары [Х{,фі) в соотношение М(ф,Х) (3.16), можно получить фиксированный набор значений {МІ}. Зависимость Л(М) иллюстрирует прямой эффект Пойнтинга.
Аналогично, решая уравнение М(ф) = 0 при фиксированном наборе {ХІ}І получаем набор значений {фі}. Подстановка соответствующих пар (Хі,фі) в соотношение Р(ф,Х) (3.16) дает {Д}і- Зависимость ф{Р) иллюстрирует обратный эффект Пойнтинга (рис. 18).
Очевидно, что задание фиксированных значений Л по сравнению с заданием фиксированных значений ф существенно проще и физически нагляднее. Численные расчеты показали, что имеет место влияние на эффект Пойитинга поля дислокаций {(5). Эффект Пойнтинга, обусловленный винтовыми дислокациями, имеет обратный знак по сравнению с эффектом Пойнтинга, обусловленным крутящим моментом. Характер влияния, как и в случае закручивания Эшелби, линейный.
Одним из основных понятий в механике сплошных сред является тензор напряжений Копій Т, который определен в актуальной конфигурации деформируемого твердого тела. Описание напряженного состояния с помощью Т естественно и физически наглядно.
Рассмотрим задачу об изолированной дислокации в полом цилиндре из неогуковского материала, сечение цилиндра будем считать круговым кольцом. Предположим, что соотношение внешнего радиуса г і кольца внутреннему го не превосходит 2.
Решение уравнений (3.23) - (3.25) обозначим си, нетрудно убедиться, что оно существует и единственно. Так, при b = Ю-4 закручивание Эшелби ш принимает значение, равное —0.0019. Численные расчеты показали, что влияние полости в цилиндре на закручивание Эшелби, а также на прямой и обратный эффекты Пойнтинга, незначительно.
Энергия винтовой дислокации
Запишем выражение энергия винтовой дислокации, приходящаяся на единицу ее длины, в интегральной форме. При а, стремящихся к границам отрезка [1;2], энергия дислокации стремится к бесконечности . Таким образом, модель упругого материала, задаваемая упругим потенциалом (4.3), приводит к конечному значению энергии винтовой дислокации в неограниченной среде.
Функция удельной энергии упругого материала не может быть выбрана произвольно, она должна удовлетворять определенным ограничениям, вытекающим из физических соображений. Наиболее важным и обоснованным из таких ограничений является условие Адамара [26, 27], представляющее собой требование вещественности скоростей распространения плоских волн малой амплитуды в однородно напряженной упругой среде. Докажем, что функция удовлетворяет условию Адамара при любых деформациях, если а 1. Для этого воспользуемся теоремой 9 работы [57].
Таким образом, упругий потенциал W(Ji), определяемый соотношением (4.3), удовлетворяет условию Адамара при а 1. Заключение В рамках линейной теории упругости исследована задача Сен-Венана о равновесии анизотропного призматического стержня, нагруженного крутящим моментом и содержащего как изолированные, так и непрерывно распределенные винтовые дислокации, оси которых параллельны оси стержня. Мембранная аналогия Прандтля распространена на случай присутствия дислокаций. Сформулированы и доказаны общие теоремы линейной теории кручения стержней, содержащих дислокации.
Найдены решения задач о равновесии тонкостенных многосвязных стержней, содержащих винтовые дислокации, и задачи о дислокации в сгержис прямоугольного сечения. Путем анализа энергии изолированной дислокации в зависимости от ее расположения в прямоугольном брусе установлено, что центральное положение винтовой дислокации устойчиво.
Для анизотропного бруса произвольного поперечного сечения выведена эффективная формула, определяющая угол закручивания стержня, обусловленный заданным распределением дислокаций.
Построена нелинейная теория кручения призматических упругих тел с винтовыми дислокациями. Исходная трехмерная задача нелинейной теории упругости сведена к двумерной краевой задаче для плоской области в форме поперечного сечения стержня. 5. Получено решение задачи о больших деформациях кручения и растяжения кругового цилиндра с осесимметричным распределением винтовых дислокаций. Проанализировано влияние дислокаций на эффект Пойнтин-га.
Предложена модель несжимаемого нелинейно упругого материала, удовлетворяющего условию Адамара и обладающая тем свойством, что винтовая дислокация имеет конечную энергию не только в цилиндрическом теле, но и в неограниченной среде.
