Содержание к диссертации
Введение
Глава 1. Осесимметричное обтекание конуса сверхзвуковым потоком пористой среды 13
1. Постановка задачи 13
2. Численное решение ... 15
3. Результаты расчетов 18
4. Решение задачи в предположении несжимаемости среды за фронтом ударной волны 20
5. Идеально уплотняющаяся среда 23
6. Расчет глубины проникания 24
Глава 2. Неодномерное движение тела вращения в упругопластическои среде с учётом несимметричного отрыва потока с боковой поверхности тела 26
1. Физическое описание и гипотезы 26
2. Математическая постановка задачи 35
3. Вход тела в полупространство 38
4. Случай тонкого тела 40
Глава 3. Экспериментальная проверка модели и результаты численных расчетов 45
1. Постановка эксперимента 45
2. Результаты 47
Глава 4. Устойчивость прямолинейного движения 49
1. Система уравнений первого приближения 49
2. Критерий устойчивости 52
Заключение 55
Литература
Введение к работе
Задачи о проникании и движении тел в различных средах возникли в механике сплошных сред в самом начале её развития. Классическими задачами такого типа являются задачи гидро и аэродинамики. Проникание и движение в несжимаемой и сжимаемой жидкости рассматривалось в работах [2,30,51]. По теории Вагнера учитывалось увеличение смоченной поверхности тела при входе в среду, вызываемое встречным движением жидкости [29]. Решена задача [51] о вертикальном входе с дозвуковой скоростью тонкого тела вращения в сжимаемую жидкость с учетом уточненного граничного условия на смоченной поверхности тела, что позволило получить аналитическое решение, не имеющее особенности в вершине конуса. Численно рассчитано [2] отрывное осесимметричное обтекание круглого конуса конечной длины с постоянной дозвуковой, трансзвуковой и сверхзвуковой скоростью в набегающем потоке воды. Статическая и динамическая адиабаты задавались в виде уравнения Тета. Расчеты сопоставлялись с результатами решения задач о сверхзвуковом обтекании тонкого конуса в линейной постановке и об отрывном обтекании несжимаемой жидкостью.
Однако гидро и аэродинамикой перечень задач о движении тел в сплошной среде не исчерпывается. Аналогичные проблемы возникают при производстве таких работ, как обработка почвы в сельском хозяйстве, при землеройных работах, при бурении и безусловно в приложениях военно-технического характера. В последнее время опубликован ряд предложений по технологиям, основанным на явлении глубокого проникания ударников. Так, разрабатываются научные станции для изучения физико- химических свойств структур на поверхностях планет [16], выдвинуты предложения по управляемому воздействию на вулканическую и сейсмическую деятельность [59]. С другой стороны, в опытах по внедрению осесимметричных ударников в различные среды часто наблюдались эффекты искривления траектории движения при несимметричной кавитации (иногда такая траектория имела форму петли и происходил выброс ударника из мишени с разворотом 180). Принципиально важными являются вопросы расчета проникания, оптимизации формы тела и анализа устойчивости его движения в прочной среде.
Отечественными и зарубежными авторами был решён большой класс задач по прониканию и движению тел в прочной среде [66]; помимо классических моделей сплошных сред [37], появились новые, в частности различные модели грунтов [31,32,52]. Наиболее ранними являются работы Ньютона, где он впервые предложил использовать метод локального взаимодействия и Эйлера [65], где предложены основы проникания в предположении постоянства силы сопротивления, а также [1,68], где изложены теоретические и экспериментальные исследования механики проникания. Рассматривался прямой и наклонный вход, а так же движение тела в грунтовой среде [24-27,30,35-37,53,54], проведён численный расчёт плоскопараллельного движения конуса с отрывом потока Велдановым В.А. [27], сформулированы и решены задачи о форме тел минимального сопротивления при проникании в деформируемые среды [17-22,50]. Изучались плоское движение тела вращения в упругопластическои среде с учетом влияния несимметричного отрыва потока среды и устойчивость прямолинейного движения [55-57]. Большой объём экспериментальных работ по прониканию выполнен под руководством Бивина Ю.К.: изучались каверна при входе твёрдых тел в упругопластическую среду [4], прямое и косое проникание тела или группы тел [5-7], движение ударника вблизи свободной поверхности жидкости или пластической среды [8], проведена сравнительная оценка проникания звездообразных и конических тел [9], исследовалось движение в глинистой среде [10]. На основе экспериментов Бивина Ю.К. построены математические модели, описывающие изгибные колебания упругих тел при их внедрении в упругопластическую среду [58], осесимметричное и плоское движения жёсткого удлинённого ударника при входе в упругопластическую среду с отрывом потока [15], проникание в грунтовые среды при сверхзвуковых скоростях входа [11], а также предложены методы для определения динамических свойств грунтов методом пенетрации [12,13].
В большинстве работ задачи решались численными или полуаналитическими (приближёнными) методами. Это вызвано тем, что их решение в точной постановке, как правило, вызывает непреодолимые трудности [30]. Аналитические результаты были получены только в некоторых частных случаях. Так Флитманом Л.М. была решена задача осесимметричного обтекания тонкого тела упругопластическим потоком [61]. В последнее время быстро развиваются разностные методы и разрабатываются программные комплексы (Бураго Н.Г. [73-75]), которые позволяют решать более сложные задачи. Однако из-за большого числа параметров и определяющих функций такие расчеты оказываются мало пригодными для выявления общих закономерностей процесса проникания. Кроме того, нестабильность динамических свойств грунтов снижает требования к точности моделирования, поэтому здесь оправданы приближенные подходы. Наиболее часто используются следующие:
Предположение, что частицы среды движутся по траекториям, совпадающими с траекториями примыкающих к телу частиц. Оно основано на том, что для многих видов неводонасыщенных грунтов был замечен неупругий характер воздействия проникающего тела на грунт. В процессе проникания происходит неупругое столкновение частиц грунта с проникающим телом, в результате чего частицы, прилегающие к поверхности тела, приобретают скорость равную нормальной составляющей скорости проникания в точках столкновения. При этом происходит пластическое (необратимое) сжатие частиц. Последние сталкиваются с соседними частицами, расположенными в направлении нормали к телу, которые также претерпевая необратимую деформацию сжатия, сталкиваются со следующими частицами и т.д. Принимая тонкость возмущённого слоя грунта между ударной волной и телом и анализируя экспериментальные траектории, Сагомонян А.Я. предположил, что отклонение траекторий всех частиц грунта от траекторий поверхностных частиц невелико и им можно пренебречь [53]. Используя это приближение был решен ряд задач осесимметричного проникания тел в пластически сжимаемую жидкость [53,54].
Цилиндрическое или сферическое представление движения среды. В этом случае давление в каждой точке боковой поверхности ударника находится из решения одномерной задачи о расширении цилиндрической или сферической полости [64]. В случае сферического приближения головная часть ударника представляется в виде набора шаров переменного радиуса, цилиндрическая часть - шаров одинакового радиуса. Давление в каждой точке боковой поверхности ударника отождествляется с давлением на внутреннюю поверхность полого шара (или внутреннюю поверхность сферической полости), полученным из решения одномерной задачи о расширении полости или шара от нулевого радиуса. Главный вектор F и главный момент М сил, действующих на проникающий ударник, найдутся интегрированием давления по всей поверхности ударника. Известные на каком-либо шаге F и М позволяют проинтегрировать уравнения движения ударника и вычислить его новое положение, скорости (центра масс и угловую) на следующем шаге. Решение проводится вплоть до полной остановки ударника или до момента его выхода из преграды.
В работах [69,71] предложена модель в которой материал мишени делится на жёстко-пластическую область вблизи тела и упругую область вдали от пенетратора. При этом поле скоростей в жёстко-пластической области считается таким же как при стационарном движении в несжимаемой жидкости. В модели учитывается влияние свободной поверхности, что позволяет использовать её для расчёта пробивания плит и моделирования рикошета.
Метод локального взаимодействия. В этом случае движение среды не рассматривается, а напряжения действующие на поверхности некоторой элементарной площадке тела считаются зависящими только от движения этой площадки. Впервые этот метод был предложен еще Ньютоном для определения сопротивления движению тел в газах и жидкостях. В настоящее время метод используется для решения многих задач [22,43]. Аналитические результаты по обтеканию тонких тел [61] и эксперименты Бивина Ю.К. [12] подтверждают, что пользуясь методом локального взаимодействия можно с хорошей точностью вычислять глубину проникания осесимметричных тел в упругопластическую среду, силы воздействия и напряжения, действующие на ударник, его перегрузку.
Каждый из представленных методов имеет свои достоинства и недостатки. Цилиндрическое и сферическое представление среды, а также метод локального взаимодействия не рассматривают непосредственно движение среды в процессе проникания, зато отличаются простотой и позволяют аналитически решать довольно сложные задачи. Предположение, что частицы среды движутся по траекториям, совпадающим с траекториями примыкающих к телу частиц непригодно при близких к критическим или дозвуковых скоростях проникания, а также если отошедшая ударная волна расположена далеко от тела.
Диссертация состоит из четырёх глав. В первой главе рассматривается симметричное обтекание конуса плотной средой с присоединенной ударной волной. Среда описывается уравнением состояния жидкости с нелинейной диаграммой сжимаемости, отвечающей реальному поведению мягких грунтов при интенсивных нагрузках. Пластическое сопротивление сдвигу учитывается лишь на поверхности конуса для вычисления поправки к сопротивлению. Проведен анализ критических чисел Маха и критического угла фронта волны при переходе к режиму с отсоединенной ударной волной, построены зависимости коэффициента сопротивления и безразмерного давления от угла конуса и числа Маха. Результаты сопоставлялись с решениями в предположении несжимаемости среды за фронтом ударной волны и обтекания тонкого конуса при очень больших числах Маха. Дана оценка глубины проникания конуса конечной длины в рассматриваемом режиме.
Результаты, полученные в первой главе, могут быть использованы для определения глубины проникания в пористую среду в сверхзвуковом режиме, а так же для задания коэффициента сопротивления Сх при расчёте траектории сложного движения тела в пористой среде по методу локального элемента (глава 2).
Во второй главе изучается пространственное движение тела вращения в упругопластической среде с учетом влияния несимметричного отрыва потока среды. Постулируется связь кинематических и силовых факторов на площадке контакта тела и среды на основе метода локального взаимодействия при использовании точных решений [61,62] и научного эксперимента [4,12,13]. Гипотеза отрыва основана на наблюдениях движения тел в малопрочных средах: идеальный отрыв происходит в миделевом сечении при малых скоростях; с ростом скорости, а также при наличии начальных напряжений вводится эмпирический угол отрыва. Получена система дифференциальных уравнений, описывающая вход тела в полупространство и его проникание. Заменой переменных её удалось свести к стандартной динамической системе вида х = А[\), где оператор А(х) включает операции интегрирования. Для тонких тел была показана возможность аналитического интегрирования по полярному углу в выражениях для равнодействующих сил и моментов, что существенно упрощает численное решение системы. В отличии от работ Симонова И.В. [55-57], где рассматривалось плоское движение, построенная модель позволяет рассчитывать пространственные траектории движения тел при больших возмущениях.
Третья глава посвящена проверке математической модели, изложенной во второй главе диссертации. Были проведены эксперименты по прониканию сплошных стальных конусов полураствора у = 8.167" в пластилин с начальным углом атаки.
После проведения эксперимента мишень разрезалась по плоскости движения центра масс тела и фотографировалась остаточная криволинейная каверна. Для сравнения с результатами экспериментов, после калибровки модели, был проведён численный расчёт траекторий движения конусов при их проникании в пластилин. Сопоставление результатов расчётов и экспериментов показало, что после калибровки предложенная модель позволяет с хорошей точностью рассчитывать сложные движения твёрдых тел.
В четвёртой главе исследовалась устойчивости по Ляпунову прямолинейного движения тонкого выпуклого тела вращения, имеющего образующую ненулевой кривизны. Используется подход аналогичный плоскому случаю [55]. Разложив правые части системы, описывающей движение тела в подвижной системе координат, в ряд Тейлора в окрестности точки о = ц = О с точностью до бесконечно малых первого порядка была построена система уравнений первого приближения.
В случае квадратичной зависимости коэффициента сопротивления от угла атаки элементарной площадки и отсутствия касательных напряжений были найдены критерии устойчивости прямолинейного движения тела.
Рассмотрены два варианта:
1) Безотрывное обтекание, когда при малых возмущениях относительно прямолинейного движения отрыв на боковой поверхности тела не происходит.
2) Когда при любом бесконечно малом возмущении на боковой поверхности тела возникает малая зона несимметричного отрыва.
Оказалось, что при безотрывном обтекании и в случае малой зоны несимметричного отрыва система дифференциальных уравнений поперечного движения распадается на две независимых системы второго порядка, описывающих движение тела в двух взаимоперпендикулярных плоскостях, причём обе эквивалентны системе, полученной при изучении устойчивости плоского движения [55,57]. Отсюда следует, что критерии устойчивости [55,57] остаются справедливыми и в пространственном случае.
Численное решение
Для замкнутой системы обыкновенных дифференциальных уравнений (1.2.3), (1.2.4) граничные условия следуют из (1.1.2), (1.1.5) и (1.1.6): V;=MCOS/}, р+= Р {в р) (125) (A-l)Msiny3 + l к v;=0 (в = а) (1.2.6) "Лишнее" условие (1.2.6) служит для определения параметра /?. Задача (1.2.3) — (1.2.5) решалась численно методом Рунге - Кутта четвертого порядка при некотором заданном угле фронта /? из интервала Д /7 я/2, где Д = max{arcsin(l/M),aJ. Расчет начинался от фронта волны и завершался на конусе. Если в области [а в р) подкоренное выражение становилось отрицательным, то далее до конуса функции vr(6) и р(в) продолжались по параболическому закону. При этом в точке стыковки соблюдались непрерывность функций, их первых и вторых производных. Такое продолжение не имеет физического смысла, но удобно при нахождении утла фронта и критического числа Маха.
Расчет становится решением нелинейной краевой задачи (1.2.3) — (1.2.6), когда удовлетворяется условие непротекания на конусе. Как оказалось, для всех рассмотренных в работе сред и вариаций скоростей набегающего потока функция f{P) = ve(P 9) (ПРИ 0-ос) имеет один максимум, по обе стороны от которого она строго монотонна. Если этот максимум обращается в нуль, то решение единственно и отвечает критическому режиму при некотором (критическом) значении числа Маха М = М,. Если М М,, то максимум /(/?) становится отрицательным, а решение не существует. Физически это соответствует переходу к режиму с отошедшей ударной волной.
При М Mt максимум больше нуля и существует два решения задачи, удовлетворяющих условию /(/?) = 0. Второе решение соответствует большему углу фронта, скачку величин за фронтом и давлению на конусе. Схожая ситуация наблюдается и в аэродинамике ([41], стр. 60-65). Как показывают опыты [41], реальным является первое решение, удовлетворяющее условию выхода нестационарного течения на стационарный режим. По-видимому, второе решение неустойчиво, но это требует специального анализа. Из этого соображения выбирался наименьший из двух углов фронта, удовлетворяющих решению краевой задачи. Для определения этого угла и неизвестных функций р и vr был выбран сходящийся процесс многократного решения задачи (1.2.3) — (1.2.5), задавая каждый раз величину (5 путем деления некоторого отрезка на оси /? пополам. Сначала так находилась точка максимума /?2 = max [/(/?)], затем — корень /(/7) = 0 определялся исходя из знания начального отрезка [Д,Д], на концах которого функция /(/?) принимает разные знаки. Аналогичный сходящийся процесс использован для нахождения критического значения числа Маха М, и, соответственно, критического угла фронта Д путем деления некоторого отрезка на оси М пополам. На фиг. 1 и 2 представлены графики зависимости критического числа Маха М. и критического угла фронта волны Д в зависимости от угла полураствора конуса а для трех сред, параметры ударных адиабат которых измерены в работах [34,42,44]: Среда 1 — песок: D0 = 500м/с, Я = 2.4, р0 = 1.66x103 кг/м3, ps = 2.65x103 кг/м3 (0Л Р 5ГПа) Среда 2 — кварцевая крошка: D0= 1250м/с, Я = 1.375, р0 = 1.75x103 кг/м3, ps = 2.65х 103 кг/м3 (2.28 Р 15.4ГПа) Среда 3 — глина (влажность w = 4%): Z)0 =1600л /с, Я = 1.47, р0 « ps = 2.15х103 кг/м3; где ps — плотность твердой фазы. Из графиков видно, что М, возрастает по закону близкому к квадратичному, а угол Д убывает по тому же закону с ростом полураствора конуса а. Критический угол Д для конечных углов полураствора а существенно меньше я/2 и, например, для среды 3 при а 0.4 стремится к нижнему пределу «1.08. Как следует из результатов [69], в изучаемом диапазоне давлений роль тепловой составляющей давления за фронтом ударной волны в средах 1 - 3 невелика и дает поправку менее 10%. Это оправдывает принятое адиабатическое описание всего процесса нагружения в частице среды. На фиг. 3, 4 показаны безразмерное давление р на конусе и коэффициент 2? сопротивления Сх = j-, нормированные на а в зависимости от числа Маха М Лго для среды 1 при значениях а = 0.1; 0.2; 0.4 (кривые 1-3) и для сопоставления пунктиром приведены графики для среды 2 при а = 0.4 (кривая 4). При расчете Сх для простоты полагалось Р0=0. Резкое увеличение коэффициента сопротивления Сх наблюдается при М - М, + 0, а относительная стабилизация наступает при М 2. Графики Cja2 при различных значениях угла а расположены весьма близко друг от друга в указанной области стабилизации. Величина р/а2 также весьма слабо реагирует на изменение угла конуса во всем диапазоне изменения числа М: М, М 10. Для конуса а = 0.2 (полный угол 23) при М = 2 будет Сх « 0.15, что является довольно малой величиной.
Идеально уплотняющаяся среда
При относительно малых скоростях наблюдаются вязкие пристеночные эффекты; при умеренных (для влажных глинистых сред при скоростях 1 м/с) и высоких скоростях материал уже скользит вдоль стенок ударника, происходит срезка слоев среды, а результаты теории и эксперимента согласуются при выборе закона пластического трения [12, 13]. Каверна хорошо сохраняет свою первоначальную форму в упругопластических мишенях при низких и умеренных скоростях, а отрыв происходит близко к краям миделева сечения фигуры. Таким образом, пока не начнет превалировать инерция, можно считать, что отрыв происходит по линиям касания вектора скорости потока среды на бесконечности поверхности тела: Vn=0 - S = 0 — обращенная к потоку часть поверхности тела является смоченной, затененная — свободна от напряжений. Назовем это условие критерием идеального отрыва.
При высоких скоростях, когда инерционные силы сравнимы или превосходят силы прочностного сопротивления, и/или в среде с большими начальными напряжениями т поток отрывается с сечения меньшей площади. Наблюдается значительное расширение каверны за телом, как в гидродинамике, но относительное изменение поперечного размера каверны при возвратном движении остается весьма малым, пропорциональным параметру та/ц, из-за эффекта свода [30]. На величины результирующих сил это уменьшение площади заметно повлияет не сразу, так как погрешность будет связана с интегрированием по площадкам, почти касательным к вектору скорости V: вклад нормальных напряжений компенсируется, а касательные напряжения не так важны при анализе. Эти обстоятельства учтем введением критического угла отрыва у,, зависящего от начальных напряжений, скорости и формы тела, и примем критерий отрыва общего вида (T=sin -sinr.=0, yt=y,{cjl,V,..) (2.1.2)
При идеальном отрыве у, = 0. Можно привести качественные соображения по поводу угла отрыва /, и предложить экспериментальный метод его определения. Он возрастает с увеличением скорости и убывает с ростом начального давления в среде р0. Если р0 достаточно велико, то yt 0 и на гладком теле отрыв может не возникнуть — исчезнет инерционное сопротивление (парадокс Даламбера), останется только квазистатическое лобовое прочностное сопротивление и трение. Присоединение струй следует рассматривать исходя из кинематики движения каверны и фигуры. Этот вопрос находится вне данного рассмотрения и ниже считаем, что эффект присоединения отсутствует.
Приближенный метод изолированного элемента не позволяет определять положение точек отрыва потока по строгому условию ап = 0. Впрочем, выполнение этого условия еще не означает единственности: в точной постановке это задача с односторонними ограничениями и требуется удовлетворить дополнительным условиям типа неравенств. Это показано на примере точного решения одной задачи обтекания тонкого тела упругой средой [60]. Ввиду сложности фундаментальная проблема отрыва потока от тела не решена теоретически и в гидродинамике [3]. Остается опора на эксперимент.
Обратим внимание на следующие факты. Форма каверны за телом в воде при условии квазистационарности не меняется в интервале дозвуковых скоростей входа 60—700 м/с [14], поскольку силы сопротивления при очень больших числах Рейнольдса и силы инерции растут пропорционально друг другу с ростом скорости, обе » v2. В твердом теле это не так: существенна прочностная составляющая, а ее относительное влияние на форму каверны, а также влияние скорости и формы тела, определяется безразмерным параметром /c = Td/(Cxp0v2), где Сх— коэффициент гидродинамического сопротивления. Например, ширина остаточной каверны, равная углу конусности каверны Г на длине, равной пяти диаметрам тела, как показали эксперименты [4], изменяется в три раза при вариации этого параметра в интервале 0.1 к 0.3 и становится близкой к величине Г для воды только при к 0.01.
В данном контексте предполагается построение модели движения для изучения траекторий и устойчивости, т.е считается, что тело до остановки совершает длинный (в калибрах) путь. Это означает квазистационарность движения и образование каверны, близкой к стационарной. Тогда из геометрических соображений можно высказать гипотезу о подобии изменения угла отрыва у, и ширины стационарной каверны Г. Экспериментальные точки Г, =1 ( ,) в области 0.1 /с 0.3 [4], аппроксимируются линейной зависимостью. Тогда из этой гипотезы, удовлетворяя очевидному, экспериментально подтвержденному неравенству ytl yt 0, 0 к ад, эту линейную зависимость можно экстраполировать экспоненциальной функцией /, =/„ехр(-й;0к-), а0«2.5, 0 к со (2.1.3) производная которой в области малых значений к совпадает с углом наклона указанной линейной зависимости.
Математическая постановка задачи
Были проведены эксперименты по прониканию сплошных стальных конусов полураствора / = 8.167" в пластилин. Конуса имели диаметр 7 мм, длину 23 мм, диаметр затупления носовой части 0.47 мм., массу 2.354 - 2.5 гр. Разгон тела производился пневматической метательной установкой. Вектор скорости был направлен по нормали к поверхности мишени. Для разгона и приближенного задания угла атаки, конус фиксировался пробкой или клинышком из бальсы в деревянном стакане из бальсы или липы, наружный диаметр которого был 10 мм, а внутренний 7 мм. Толщина донышка стакана составляла 4-5 мм, длина 18-19 мм, масса 0.34 - 0.4 гр. Точность задания угла атаки бьша невысокой и он мог изменяться при входе из-за взаимодействия с осколками стаканчика, поэтому в расчетах это был варьируемый параметр и производилась его подгонка. Скорость соударения измерялась с помощью фотодиодов, установленных вдоль оси стрельбы на фиксированном расстоянии. Внедрение происходило в один или два (поставленных последовательно без зазора) пластилиновых блока толщины 100 - 120 мм. Для снятия остаточных напряжений пластилин выдерживался до эксперимента не менее 8 часов. Фотографировалась остаточная каверна после разреза мишени по плоскости движения центра масс тела. Предел текучести Td определялся по измерению температуры пластилина Т и известной из динамических экспериментов Бивина Ю.К. зависимости rd = rd (Г). Эксперимент 7: V = 325.7 м/с, rd 710000 Н/м2.
Для сравнения с результатами экспериментов был проведен расчет траекторий движения конусов по модели (2.2.2), (2.3.1), (2.3.3), (2.3.4), (2..4.2) при их проникании в пластилин. Критический угол отрыва потока принимался равным нулю. Модель содержит два плохо определяемых параметра Сх и коэффициент прочностного лобового сопротивления b0, поскольку в предыдущих работах конусы такого угла не испытывались. На основе экспериментов [12] по прониканию конусов с углами / = 15, 30, 90 в пластилин коэффициент инерционного сопротивления экстраполировался по формуле Сх =0.77 sin 8. Коэффициент прочностного лобового сопротивления bQ определялся из калибровочного эксперимента (фиг. 9), где конус двигался по слабоискривленной траектории. Из условия совпадения длин траекторий в эксперименте и аналитическом расчете прямого проникания было получено Ь0 = 11.4. Это значение не противоречит ранее полученным результатам и находится между коэффициентом прочностного сопротивления для бесконечно тонкого конуса Ьй = 5.9, которое можно вычислить по асимптотически точной формуле b0 =\n(4ju/rd)-\ из статьи [61] и Ь0=243, рассчитанным из эксперимента по прониканию конуса полураствора 15 градусов в пластилин [12].
Фотографии остаточной каверны в экспериментах 1-7 по прониканию конусов показаны на фиг. 9-15. Видно, что существует два типа траекторий. На Фиг. 9-13 траектория конуса после входа в среду постепенно выпрямляется. На фиг. 14,15 возмущения возрастают и в конце траектории происходит "кувырок" конуса согласно классификации [72]. Сплошной линией на фотографиях нанесены расчетные траектории. Здесь а0 - начальный угол атаки при котором проводился расчет. В модели предполагалось, что проекция вектора скорости на ось х больше нуля, поэтому в случае "кувырка" расчет проводился до момента разворота оси конуса перпендикулярно вектору скорости.
На фиг. 16,17 пунктирными линиями 2 -7 показаны траектории движения центра масс конуса в экспериментах 2-7, которые находилось по остаточной каверне. Соответствующие экспериментам расчетные траектории обозначены сплошными линиями 2-7. Стрелками показано направление оси симметрии конуса (ось х).
Как отмечалось выше, в экспериментах 1-5 наблюдается выпрямление траектории. Однако расчёты показывают, что устойчивой траекторией в этих случаях является не прямолинейное движение конуса, а движение по окружности большого радиуса. Кроме того в процессе численного решения обнаружено, что при входе конуса в пластилин с углом атаки большем некоторого предельного значения происходит нарастание возмущений, которое завершается "кувырком", что согласуется с результатами экспериментов (траектории 6,7).
Критерий устойчивости
В случае квадратичной зависимости коэффициента сопротивления от угла атаки элементарной площадки (Cx=Cfsin2S) и отсутствия касательных напряжений (т = 0) был найдены критерии устойчивости прямолинейного движения. Рассмотрены два варианта:
1. Безотрывное обтекание, когда при нормированных малых возмущениях ц + а : 1 отрыв на боковой поверхности не происходит.
2. Возникновение малой зоны несимметричного отрыва, когда при прямолинейном движении гладкого тела на параллели / = /0 образуется отрыв потока от тела. Оказалось, что при безотрывном обтекании и в случае малой зоны несимметричного отрыва система дифференциальных уравнений поперечного движения в большом распадается на две независимых системы второго порядка, описьюающих движение тела в двух взаимоперпендикулярных плоскостях, причем обе эквивалентны системе уравнений, полученной при изучении устойчивости плоского движения [55]. Отсюда следует, что критерии устойчивости [55] остаются справедливыми и в пространственном случае.
Теорема: Прямолинейное движение тонкого тела вращения будет устойчивым в смысле Ляпунова при расположении центра масс lc ls и неустойчивым при lc ls, где критическая длина ls задается формулами: (а). При безотрывном обтекании боковой поверхности тела ls=lg; (b). В случае малой зоны несимметричного отрыва:
1. Рассмотрено симметричное обтекание конуса плотной средой с присоединенной ударной волной. Проведен анализ критических чисел Маха и критического угла фронта волны, построены зависимости коэффициента сопротивления и безразмерного давления от угла конуса и числа Маха. Результаты сопоставлялись с решениями в предположении несжимаемости среды за фронтом ударной волны и обтекания тонкого конуса при очень больших числах Маха. Дана оценка глубины проникания конуса конечной длины в сверхзвуковом режиме.
2. Получена система дифференциальных уравнений, описывающая вход и движение тела вращения в полупространстве с учетом несимметричного отрыва потока среды. Система удовлетворяет условию Липшица в любой конечной области фазового пространства, за исключением окрестностей складок, поэтому задача Коши корректна. Это, а также автономность системы означает, что предложенная математическая модель удобна для проведения качественного и численного анализа движений тел в прочных средах.
Основную трудность при численном решении задачи представляет интегрирование выражений для получения равнодействующих сил и моментов, т.к. там под знаком интеграла находятся функции с разрывами. Для упрощения численного решения задачи были введены дополнительные ограничения на радиус тела и модуль вектора угловой скорости. В этом случае удалось провести интегрирование по полярному углу в выражениях для равнодействующих сил и моментов, что позволяет значительно сократить время численного расчёта. Для проверки модели были проведены эксперименты по прониканию сплошных стальных конусов полураствора 8.167 в пластилин при варьировании главным образом начального угла атаки. После проведения эксперимента мишень разрезалась по плоскости движения центра масс тела и фотографировалась остаточная каверна. Экспериментальные траектории сопоставлялись с результатами численных расчётов. Сравнение показало, что после калибровки предложенная модель позволяет с хорошей точностью рассчитывать плоское движение твердых тел вплоть до начала "кувырка" (разворота оси тела перпендикулярно вектору скорости). Хотя для случая пространственного движения сопоставление с экспериментом не проводилось из-за сложности его постановки, есть основания полагать, что и в этом случае модель позволит с приемлемой точностью моделировать процесс проникания.
Аналитически была исследована устойчивость по Ляпунову прямолинейного движения тонкого тела. Построена система уравнений первого приближения.
В случае квадратичной зависимости коэффициента сопротивления от угла атаки элементарной площадки и отсутствия касательных напряжений были найдены критерии устойчивости прямолинейного движения тела. Оказалось, что в этом случае система дифференциальных уравнений поперечного движения распадается на две независимых системы второго порядка, описывающих движение тела в двух взаимоперпендикулярных плоскостях, причем обе эквивалентны системе, полученной ранее Симоновым И.В. при изучении устойчивости плоского движения. Поэтому критерии устойчивости, полученные для плоского движения, остаются справедливыми и в пространственном случае.
