Содержание к диссертации
Введение
Глава 1. Статические контактные задачи теории пластин 18
1. Об одном методе решения интегральных уравнений контактных задач 18
2. Построение функции влияния для неосесимметричной деформации круглой пластины 21
3. Контактная задача для круглой пластины при внецентренном положении штампа 24
4. Неосесимметричное взаимодействие круглой пластины с кольцевым в плане. 31
5. Цилиндрический изгиб пластида дри одностороннем контакте с жестким штампом 38
Глава 2. Одномерные динамические контактные задачи 47
6. Динамическая контактная задача для бесконечной пластины 47
7. Вынужденные колебания прямоугольной пластины в условиях цилиндрического изгиба. Учет деформаций поперечного обжатия, сдвига и инерции вращения .. 51
8. Осесимметричные вынужденные колебания круглой пластины с жесткой накладкой 58
9. Цилиндрический изгиб пластины жестким штампом при наличии износа 64
Глава 3. Контактные задачи для пластин, лежащих на упругом основании, с учетом абразивного изнашивания 74
10. Износ пластины в условиях цилиндрического изгиба. Разложение решения в степенной ряд 74
11. Износ пластины в условиях цилиндрического изгиба. Применение преобразования Лапласа 82
12. Осесимметричный износ круглой пластины, лежащей на упругом основании 85
13. Неосесимметричный износ круглой пластины при внецентренном положении штампа 90
14. Односторонний контакт прямоугольной пластины с жестким штампом при наличии износа 95
15. Износ цилиндрической оболочки, взаимодейст вующей с жесткой втулкой 99
Заключение 105
Литература 107
Приложения
- Построение функции влияния для неосесимметричной деформации круглой пластины
- Контактная задача для круглой пластины при внецентренном положении штампа
- Вынужденные колебания прямоугольной пластины в условиях цилиндрического изгиба. Учет деформаций поперечного обжатия, сдвига и инерции вращения
- Износ пластины в условиях цилиндрического изгиба. Применение преобразования Лапласа
Введение к работе
Высокая механическая прочность тонкостенных конструкций при малом удельном весе обусловливает их широкое применение в современной технике. Развитие промышленности и гражданского строительства, химического машиностроения, судостроения, авиа- и ракетостроения немыслимо без использования различных оболочечных конструкций. В реальной конструкции все составляющие ее элементы находятся в сложных условиях взаимодействия между собой и с другими объектами. В связи с этим весьма актуальным является определение реакций взаимодействия между упругими элементами и самой области контакта (если она неизвестна), что и составляет сущность так называемых контактных задач.
Тонкостенные конструкции слабо сопротивляются сосредоточенным силовым воздействиям и на практике обычно подкрепляются ребрами или накладками малых размеров. В этом случае исходными данными являются главный вектор и главный момент реакций взаимодействия или величины смещений, т.е. на одной части поверхности тела задаются напряжения, на другой - смещения. Такие задачи в теории упругости называют смешанными и они относятся к категории наиболее трудных задач.
В связи с тем, что пластинки и оболочки, являющиеся элементами инженерных конструкций, могут находиться в условиях динамического нагружения, возникает необходимость решения динамических контактных задач.
Новым важным и практически не исследованным классом контактных задач теории пластин и оболочек являются задачи взаимодействия тонкостенных элементов между собой или с упругими или жесткими телами при необратимом формоизменении контактирующих поверхностей в результате износа. Потребности в решении такого рода задач определяются требованиями технологии формообразования опти- ческих поверхностей, которая за последние годы оказалась одной из узловых предпосылок прогресса точного машиностроения, электроники ,, лазерной и вакуумной техники, поскольку они существенно связаны с использованием точных оптических элементов, в тон числе сложной конфигурации (линз, призм, зеркал, пластинок из стекла, кристаллов, металлов и т.п.), или прецизионных базовых поверхностей, выполненных с отклонениями, составляющими подчас 0,1 -0,01 длины световой волны.
Контактные задачи теории пластин и оболочек имеют специфические особенности, отличающие их от контактных задач теории упругости. При рассмотрении последних трудности, как правило, связаны с выводом и решением уравнений. Сама же теория, которая используется при формулировке задачи, обычно ясна.
В контактных задачах теории пластин и оболочек нетривиальным является и вопрос выбора теории, существенно влияющей на конечный результат. Так, например, определение нормальных контактных реакций между пластиной и жестким телом без острых кромок с позиции теории Кихгофа-Лява приводит к появлению в составе реакции сосредоточенных сил на границе зоны контакта. Учет поперечных сдвигов позволяет устранить сосредоточенные силы, однако контактные напряжения не обращаются в нуль на границе зоны контакта, а могут достигать там наибольшего значения. Решение той же задачи по теории, учитывающей поперечное обжатие пластины, дает результат наиболее близкий к точному решению теории упругости. Вместе с тем необходимо отметить, что в силу многопараметричности контактных задач теории пластин и оболочек можно, при соответствующем соотношении между параметрами, получить как сильное различие между прикладными теориями и теорией упругости, так и вполне удовлетворительное совпадение хотя бы по ряду характеристик решения.
В данной работе систематически используется теория, учитыва- - г - ющая местное поперечное обжатие тонкостенных элементов.
Перейдем к краткому обзору работ по проблеме контакта пластин и оболочек между собой и жесткими телами.
Прежде всего следует отметить весьма полный обзор по проблеме контакта тонкостенных элементов с жесткими телами (штампами), содержащийся в статье Г.Я. Попова и В.М. Толкачева [90] , а также большой обзор по контактным задачам теории оболочек в работе [78
Впервые задачу о взаимодейтсвии тонкого бруса и жесткой круговой опоры поставил и решил СП. Тимошенко [ЮО] с позиций теории Кирхгофа-Лява. Он подчеркивал, что в силу переменности области контакта задача является нелинейной, и поэтому нельзя воспользоваться принципом суперпозиции. Аналогичные осесимметричные задачи для круглых пластин, контактирующих с плоским жестким основанием рассмотрены в работах [l25, I26J.
Наибольшие трудности при решении контактных задач вызывает проблема определения границы области контакта. Основополагающей здесь является работа Л.А. Галина [26J , в которой рассмотрена задача о давлении жесткого эллипсоида на защемленную круглую пластинку. Автор показал, что давление, передаваемое штампом на пластинку, будет распределено по эллиптической границе области контакта, а внутри ее будет равно нулю.
Г.П. Черепанов [illj предложил эффективный метод определения области контакта для пластин и мембран, свободно опертых по контуру, состоящему из прямолинейных отрезков.
В.М. Александров [2J рассмотрел задачи о действии штампа на пластины, лежащие на упругом винклеровом основании. Там же на основе математической аналогии получены решения контактных задач для цилиндрической и сферической оболочек.
На примере изгиба стержня по заданной кривой М.М. Филоненко--Бородич [Юб] впервые показал, что для определения контактных напряжений элементарная теория изгиба балок неприменима. Введя в уравнение изгиба стержня дополнительный член, учитывающий влияние перерезывающей силы на кривизну, он получил относительно неизвестного контактного давления дифференциальное уравнение второго порядка, решение которого выражается через гиперболические функции.
Л.А. Розенберг [94J решил задачу осесимметричного контакта круглой пластины с жестким штампом параболического профиля, учитывая эффект поперечного сдвига, и получил контактное давление, выраженное через функцию Бесселя. Здесь же было сделано замечание о необходимости учета поперечного обжатия.
Таким образом, учет поперечного сдвига позволил получить более гладкое распределение контактного давления по области контакта, чем это удавалось сделать на основе классической теории Кирх-гофа-Лява,-
Позднее Эссенбургом [122-124J были получены решения осесим-метричных задач о контакте двух круглых пластин и пластины с жестким телом, на основе теории Рейсснера.
Дальнейшее обобщение этого класса задач на случай трансвер-сально-изотропного материала, податливого поперечному сдвигу было сделано в работах [8I-83J .
Лучшее приближение структуры контактных напряжений к структуре, определяемой по точным трехмерным уравнениям теории упругости было достигнуто после того, как было снято еще одно ограничение гипотезы Кирхгофа-Лява - несжимаемость нормали к срединной поверхности. Впервые местное обжатие тонкостенного элемента было учтено И.А. Биргером [l7j , который, следуя И.Я. Штаерману [і16], вводил фиктивный нелинейноупругий слой на поверхности элемента. Последующее развитие эта идея получила в работах |18, 48J .
М.В. Блох [19] и Э.И. Григолюк, В.М. Толкачев [4і] интерпре- тировали местную деформацию оболочки как перемещение контактной поверхности за счет изменения толщины стенки в результате действия внешней нормальной нагрузки. Г.Я. Попов [86J показал, что такая постановка контактных задач является математически корректной.
Влияние поперечного сдвига и обжатия на распределение контактных напряжений исследовалось С.Н. Карасевым и Ю.П. Артюхиным [53J . В работах [20, 41, 53] решение задачи цилиндрического изгиба пластины жестким глаким штампом сравнивалось со строгим решением теории упругости. Сравнение показало эффективность учета обжатия при определении контактных напряжений.
Б.Л. Пелех и В.И. Швабюк [85] рассмотрели влияние поперечного обжатия на распределение контактных напряжений в случае транс-версально-изотропного материала.
Важный класс контактных задач о взаимодействии пластин и оболочек с упругими и жесткими линейными элементами подробно исследован Э.И. Григолюком и В.М. Толкачевым [33-40, 103J . В рамках классической теории оболочек были решены некоторые контактные задачи для цилиндрических оболочек с ребрами, не достигающими края. Сингулярные интегральные уравнения относительно контактных реакций путем выделения сингулярной части ядра преобразовывались к интегральным уравнениям второго рода. Было установлено, что в случае ребра, не имеющего на конце угловой точки, реакция имеет на конце корневую особенность. Позднее [90J было показано, что при наличии угловой точки ребра или остролинейного штампа контактная задача в рамках классической теории оболочек не имеет решения в классе интегрируемых функций.
В работах [75-77] методика Э.И. Григолюка и В.М. Толкачева применялась для решения аналогичных задач анизотропных цилиндрических оболочек.
Задача о взаимодействии цилиндрической оболочки и жесткого линейного ложемента несколько большего радиуса решена в работе [l20] также в рамках классической теории. Контактное давление представляется в виде непрерывной нагрузки (полином с неизвестными коэффициентами) и сосредоточенных сил на краях. Величины сосредоточенных сил и неизвестные коэффициенты ищутся из условия сопряжения на линии контакта методом коллокаций.
В работах В. Крупка [127, 128] дано численное решение контактной .задачи для цилиндрической оболочки бесконечной длины, опирающейся на жесткий ложемент того же радиуса, или нагруженной сосредоточенной силой через короткое упругое ребро, расположенное по окружности. Показано, что на границе контакта имеет место резкая концентрация контактных напряжений. Внутри области контакта давление ребра близко к равномерному.
Задача о посадке бандажа на цилиндрическую оболочку исследовалась в работах [II, 42-44, 80, 84] .
Двумерным контактным задачам посвящено значительно меньшее количество работ. Отметим прежде всего уже упоминавшиеся нами статьи Л.А. Галина [26 ] и Г.П. Черепанова [ill] . Двумерные контактные задачи для оболочек с позиций теории Кирхгофа-Лява рассматривались в работах [99] - контакт цилиндрической оболочки с жестким прямоугольным в плане штампом, [іб] - радиальный контакт торообразной оболочки с плоским жестким основанием, [54, 55] - контакт цилиндрической оболочки с твердым телом, [7, 115] - контакт произвольного в плане штампа с оболочкой положительной гауссовой кривизны.
В работе Ю.П. Артюхина и С.Н. Карасева [12] методом сопряжения, в рамках теории П. Нагди решена неосесимметричная контактная задача для сферической оболочки, подкрепленной жесткой накладкой. Центр накладки совпадает с вершиной сферического купола, контакт двусторонний. Та же задача решена в работе 50 методом интегральных уравнений.
Те же авторы рассмотрели [l3J двумерную задачу для круглой пластины, подкрепленной концентрической жесткой накладкой, с учетом поперечного сдвига. Ю.П. Артюхин [9] решил аналогичную задачу в случае подкрепления упругой накладкой с учетом взаимного обжатия пластины и накладки.
С.Н. Карасев [51J рассмотрел неосесимметричную контактную задачу для круглой пластины, лежащей на упругом основании и находящейся под действием системы т кольцевых концентрических с пластиной штампов. Им предложен новый метод решения основного интегрального уравнения, не требующий построения аналитического выражения для функции влияния. Краевые условия удовлетворяются численно на последнем этапе решения задачи.
Динамические контактные задачи для тонкостенных объектов ис-следованы сравнительно мало. Отметим цикл работ Е.Г. Янютина с соавторами [61, 62, 102, 105J , в которых численно решены задачи нестационарного взаимодействия стержней и цилиндрических оболочек. Условия контакта выполнялись дискретно, контактные напряжения предполагались кусочно-постоянными по пространственной координате и кусочно-постоянныии или кусочно-линейными по временной. Задачи контактного взаимодействия оболочек [61, 102] решены с учетом деформаций поперечного сдвига и инерции вращения, однако вопрос о влиянии сдвига и инерции вращения на распределение контактных напряжений не исследовался.
В работе [118] численно решается задача определения контактного давления и области контакта при взаимодействии вращающегося гибкого диска и магнитной головки, применяемых в современных вычислительных машинах.
Ряд задач о колебаниях пластин и оболочек, подкрепленных уп- - -и - ругими ребрами (контакт по линии), решен Л.М. Дмитриевой [46] на основе теории типа СП. Тимошенко.
Большой обзор работ, посвященных колебаниям ребристых пластин и оболочек, дан в статье [47] .
Начало развития нового класса динамических контактных задач теории упругости - контактных задач при наличии износа, - связано с именами Л.А. Галина и М.В. Коровчинского. В 1971 г. М.В. Коров-чинским [бО] была рассмотрена локальная контактная задача для двух упругих тел при наличии износа и получено интегральное уравнение для распределения давления в процессе износа и упругой деформации.
Л.А. Галин [27, 28] рассмотрел две контактные задачи: одномерную - износ упругого полупространства первоначально изогнутой балкой, и двумерную - износ жестким штампом упругого весомого слоя, сцепленного с жестким основанием, с учетом зависимости модуля упругости слоя Е от расстояния у до свободной поверхности (так что Е(у)Ф0 при у -О ). в предположении, что скорость износа пропорциональна контактному давлению и что расстояние между некоторыми направляющими, в которых скользит контактирующее тело, и полупространством (слоем.) неизменно, так что контактное давление с течением времени должно уменьшаться, автор получил в первой задаче интегро-дифференциальное уравнение относительно прогиба, а во второй - интегральное уравнение относительно контактного давления. Разделением переменных проблема была сведена к задаче на собственные значения.
Впоследствии этот метод развивался в работах Л.А. Галина и И.Г. Горячевой [30-32] .
Аналогичный подход применялся В.М. Александровым с соавторами [З-б] при решении одномерных задач износа упругого слоя большой толщины.
В работе [і17J дано описание алгоритма численного анализа - \2 - плоской контактной задачи для скользящих пар с учетом износа и показано приложение предлагаемого алгоритма к поступательной и дисковой парам.
В заключение отметим, что в обзор не включены работы, посвященные решению контактных задач теории пластин и оболочек с учетом физической и геометрической нелинейности, вязко- и термоупругости, слоистости и т.п., не имеющие непосредственного отношения к данной диссертационной работе.
Библиографию по статическим и динамическим пространственным контактным задачам можно найти в книге [92 J , в известных монографиях Л.А. Галина [29] , Я.С. Уфлянда [l04] , И.И. Воровича, В.М. Александрова, В.А. Бабешко [24] , И.И. Воровича и В.А. Бабешко [25] , В.М. Сеймова [98] , В.М. Александрова, СМ. Мхитаряна [б] , B.C. Саркисяна [9б] , Г.Я. Попова [88J , а также в работах [I, 56, 79, 89, 93, ИЗ, 114] и др.
Из приведенного выше обзора видно, что постановка и решение новых статических и динамических контактных задач теории пластин и оболочек с учетом деформаций поперечного обжатия представляет теоретический и практический интерес. Особую важность имеет разработка новых методов расчета контактных напряжений в двумерных контактных задачах, а также корректная постановка и решение контактных задач для тонкостенных объектов при наличии износа.
В I первой главы диссертации предлагается метод решения интегральных уравнений двумерных контактных задач, являющийся обобщением метода, разработанного Ю.П. Артюхиным для одномерных контактных задач.
Во втором параграфе построена функция влияния для неосесим-метричной деформации круглой пластины, лежащей на упругом основании.
В третьем и четвертом параграфах предлагаемым методом полу- чены точные решения двумерных контактных задач для круглой пластины, лежащей на упругом основании и находящейся под действием внецентренно расположенного круглого (3) и кольцевого ( 4) в плане жесткого штампа. При этом используются построенная в предыдущем параграфе-функция влияния и полученные в Приложении I теоремы сложения для функций Кельвина. Показано влияние эксцентриситета штампа на распределение контактных напряжений.
Пятый параграф посвящен решению задачи цилиндрического изгиба пластины плоским штампом с учетом односторонней связи между контактирующими телами. Получено аналитическое выражение для контактного давления, зависящее от неизвестной границы области контакта. Граница области контакта определяется из решения трансцендентного уравнения, содержащего гиперболические и тригонометрические функции. Показана независимость области контакта от прижимающей штамп силы и от жесткого смещения штампа. Числовые результаты представлены графически и таблично.
Во второй главе решены некоторые одномерные динамические задачи .
Процесс взаимодействия бесконечной прямоугольной пластины, находящейся в условиях цилиндрического изгиба, с жестким плоским штампом, движущимся под действием силы, произвольно меняющейся во времени, рассматривается в 6 с позиций уточненной теории, учитывающей деформации поперечного сдвига, обжатия и инерции вращения. В области изображений по Лапласу построено точное решение. Вопрос об обращении преобразования Лапласа должен решаться в зависимости от конкретного закона изменения силы P(w.
В седьмом параграфе решена задача определения напряжений, возникающих между прямоугольной пластиной и жесткой накладкой при установившихся вынужденных колебаниях. Исследовано влияние массивности накладки, деформаций поперечного сдвига и инерции вращения на спектр- собственных частот и распределение контактных напряжений при установившихся вынужденных колебаниях. Показано, что, изменяя относительную массу накладки и относительную толщину пластины, можно изменить спектр собственных частот колебаний пластины с накладкой и тем самым существенно уменьшить амплитуду контактных напряжений .
В 8 решена аналогичная осесимметричная задача для круглой пластины.
В 9 рассмотрен цилиндрический изгиб пластины жестким штампом при наличии износа в двух вариантах: I) предполагается, что в результате соударения микронеровностей на штампе и пластине в процессе движения штампа пластина совершает установившиеся вынужденные колебания, 2) пластина неподвижна. Применение метода сведения интегрального уравнения к краевой задаче и преобразования Лапласа по времени позволяет получить в области изображений точное решение. Обращение преобразования Лапласа проводится приближенно-аналитическим методом, основанным на разложении изображения в фак-ториальный ряд, для двух случаев: а) постоянной прижимающей штамп силы, б) заданного линейного закона жесткого смещения штампа.
В третьей главе получены решения ряда задач абразивного изнашивания тонких пластин, лежащих на упругом основании, а также задачи об абразивном изнашивании цилиндрической оболочки, взаимодействующей с жесткой втулкой.
В 10 и II решается задача износа прямоугольной пластины при цилиндрическом изгибе. Основное интегральное уравнение методом Ю.П. Артюхина приводится к интегродифференциальному уравнению относительно вспомогательной функции при некоторых условиях, налагаемых на эту функцию на границе области контакта. Обсуждаются два возможных пути решения интегродифференциального уравнения: разложение искомой функции в степенной ряд по временной координате (10) и применение преобразования Лапласа ( II). Проведенные численные эксперименты показали, что оба способа одинаково эффективны в начальный период времени, однако при больших t предпочтительнее применение преобразования Лапласа в сочетании с численными методами обращения. Числовые результаты представлены в виде таблиц и рисунков.
В 12 решена осесимметричная контактная задача для круглой пластины, лежащей на упругом основании, при наличии износа.
В 13 неосесимметричная контактная задача, рассмотренная в 3, обобщена на случай изнашивания поверхности пластины под действием вращающегося штампа. Получено решение, из которого как частные случаи следуют решения, построенные в 3 и 12.
В 14 задача, износа прямоугольной пластины при цилиндрическом изгибе решается в уточненной постановке, учитывающей явление отлипания пластины от штампа. Показано, что в процессе изнашивания область контакта постепенно увеличивается и со временем может занять всю ширину штампа. Исследована зависимость контактного давления, а также скорости изменения контактного давления в фиксированной точке и скорости изнашивания от скорости жесткого смещения штампа.
В последнем параграфе решена осесимметричная контактная задача для бесконечной цилиндрической оболочки, взаимодействующей с жесткой втулкой, при наличии износа. Рассмотрены два варианта постановки задачи: а) в предположении о безотрывном контакте и б) с учетом односторонней связи оболочки и втулки. Во втором варианте делается допущение о разделении области контакта на две зоны, прилегающие к краям втулки. При проведении численных экспериментов обнаружено, что при некоторых соотношениях между радиусом оболочки и длиной втулки эта гипотеза не отражает действительной картины контактного взаимодействия и необходимо, по-видимому, учитывать - \в - контакт и в некоторой окрестности центральной части втулки. В пределах же применимости гипотезы о двусвязности области контакта показано влияние учета многоконтактности на величины максимальных контактных напряжений. В таблицах и на графиках представлены результаты расчетов контактного давления и относительного износа в различные моменты времени.
Таким образом, на защиту выносится:
Метод решения двумерных статических контактных задач.
Постановка и метод решения динамических контактных задач для тонкостенных элементов при наличии износа.
Результаты решения ряда новых задач: неосесимметричное взаимодействие круглой пластины с внецентренно расположенным круглым или кольцевым в плане штампом; исследование с учетом деформаций поперечного сдвига, обжатия и инерции вращения контактных напряжений, возникающих при установившихся вынужденных колебаниях круглой и прямоугольной пластин с жесткими накладками; исследование контактного взаимодействия пластин и оболочек с жесткими телами при наличии износа.
Диссертационная работа выполнена в Лаборатории механики оболочек Научно-исследовательского института математики и механики имени Н.Г. Чеботарева Казанского университета. Тема диссертации связана с плановой темой Лаборатории механики оболочек "Статика и динамика оболочек и пластин", являющейся составной частью основного научного направления КГУ "Краевые задачи и их приложения в механике" и выполняющейся в соответствии с Координационным планом АН СССР по проблеме I.I0.2. "Механика деформируемого тела" (раздел I.10.2.II - тонкостенные конструкции). Регистрационный номер темы 81007676. - \7 -
Основные результаты диссертации были опубликованы в работах [14, 66-71J и доложены на научных семинарах по теории оболочек, руководимых заслуженным деятелем науки и техники ТАССР, проф. К.З. Галимовым и проф. А.В. Саченковым (1978 - 1983 г.г.),
Итоговых научных конференциях Казанского государственного университета им. В.И. Ульянова-Ленина (1978 - 1983 г.г.),
Всесоюзном симпозиуме по нелинейной теории оболочек и пластин (Казань, 1980),
П Всесоюзной конференции "Смешанные задачи механики деформируемого тела" (Днепропетровск, 1981),
Республиканской научно-технической конференции "Механика сплошных сред" (Брежнев, 1982),
Всесоюзной школе "Актуальные проблемы механики оболочек" (Казань, 1983), семинаре кафедры сопротивления материалов Камского политехнического института (Брежнев, 1983).
Работы [14, 70, 71] написаны в соавторстве с научным руководителем доктором физико-математических наук Ю.П. Артюхиным, которому принадлежит постановка задач и обсуждение полученных результатов.
Автор выражает глубокую благодарность своему научному руководителю докт. физ.-мат. наук Юрию Павловичу Артюхину и заведующему Лабораторией механики оболочек докт. физ.-мат. наук Юрию Геннадьевичу Коноплеву за постоянное внимание и помощь в работе.
Построение функции влияния для неосесимметричной деформации круглой пластины
Прежде всего следует отметить весьма полный обзор по проблеме контакта тонкостенных элементов с жесткими телами (штампами), содержащийся в статье Г.Я. Попова и В.М. Толкачева [90] , а также большой обзор по контактным задачам теории оболочек в работе [78
Впервые задачу о взаимодейтсвии тонкого бруса и жесткой круговой опоры поставил и решил СП. Тимошенко [ЮО] с позиций теории Кирхгофа-Лява. Он подчеркивал, что в силу переменности области контакта задача является нелинейной, и поэтому нельзя воспользоваться принципом суперпозиции. Аналогичные осесимметричные задачи для круглых пластин, контактирующих с плоским жестким основанием рассмотрены в работах [l25, I26J.
Наибольшие трудности при решении контактных задач вызывает проблема определения границы области контакта. Основополагающей здесь является работа Л.А. Галина [26J , в которой рассмотрена задача о давлении жесткого эллипсоида на защемленную круглую пластинку. Автор показал, что давление, передаваемое штампом на пластинку, будет распределено по эллиптической границе области контакта, а внутри ее будет равно нулю. Г.П. Черепанов [illj предложил эффективный метод определения области контакта для пластин и мембран, свободно опертых по контуру, состоящему из прямолинейных отрезков. В.М. Александров [2J рассмотрел задачи о действии штампа на пластины, лежащие на упругом винклеровом основании. Там же на основе математической аналогии получены решения контактных задач для цилиндрической и сферической оболочек. На примере изгиба стержня по заданной кривой М.М. Филоненко--Бородич [Юб] впервые показал, что для определения контактных напряжений элементарная теория изгиба балок неприменима. Введя в уравнение изгиба стержня дополнительный член, учитывающий влияние перерезывающей силы на кривизну, он получил относительно неизвестного контактного давления дифференциальное уравнение второго порядка, решение которого выражается через гиперболические функции. Л.А. Розенберг [94J решил задачу осесимметричного контакта круглой пластины с жестким штампом параболического профиля, учитывая эффект поперечного сдвига, и получил контактное давление, выраженное через функцию Бесселя. Здесь же было сделано замечание о необходимости учета поперечного обжатия. Таким образом, учет поперечного сдвига позволил получить более гладкое распределение контактного давления по области контакта, чем это удавалось сделать на основе классической теории Кирх-гофа-Лява, Позднее Эссенбургом [122-124J были получены решения осесим-метричных задач о контакте двух круглых пластин и пластины с жестким телом, на основе теории Рейсснера. Дальнейшее обобщение этого класса задач на случай трансвер-сально-изотропного материала, податливого поперечному сдвигу было сделано в работах [8I-83J . Лучшее приближение структуры контактных напряжений к структуре, определяемой по точным трехмерным уравнениям теории упругости было достигнуто после того, как было снято еще одно ограничение гипотезы Кирхгофа-Лява - несжимаемость нормали к срединной поверхности. Впервые местное обжатие тонкостенного элемента было учтено И.А. Биргером [l7j , который, следуя И.Я. Штаерману [і16], вводил фиктивный нелинейноупругий слой на поверхности элемента. Последующее развитие эта идея получила в работах 18, 48J . М.В. Блох [19] и Э.И. Григолюк, В.М. Толкачев [4і] интерпре-тировали местную деформацию оболочки как перемещение контактной поверхности за счет изменения толщины стенки в результате действия внешней нормальной нагрузки. Г.Я. Попов [86J показал, что такая постановка контактных задач является математически корректной. Влияние поперечного сдвига и обжатия на распределение контактных напряжений исследовалось С.Н. Карасевым и Ю.П. Артюхиным [53J . В работах [20, 41, 53] решение задачи цилиндрического изгиба пластины жестким глаким штампом сравнивалось со строгим решением теории упругости. Сравнение показало эффективность учета обжатия при определении контактных напряжений. Б.Л. Пелех и В.И. Швабюк [85] рассмотрели влияние поперечного обжатия на распределение контактных напряжений в случае транс-версально-изотропного материала.
Важный класс контактных задач о взаимодействии пластин и оболочек с упругими и жесткими линейными элементами подробно исследован Э.И. Григолюком и В.М. Толкачевым [33-40, 103J . В рамках классической теории оболочек были решены некоторые контактные задачи для цилиндрических оболочек с ребрами, не достигающими края. Сингулярные интегральные уравнения относительно контактных реакций путем выделения сингулярной части ядра преобразовывались к интегральным уравнениям второго рода. Было установлено, что в случае ребра, не имеющего на конце угловой точки, реакция имеет на конце корневую особенность. Позднее [90J было показано, что при наличии угловой точки ребра или остролинейного штампа контактная задача в рамках классической теории оболочек не имеет решения в классе интегрируемых функций.
Контактная задача для круглой пластины при внецентренном положении штампа
Контактными задачами теории оболочек принято называть задачи о взаимодействии тонкостенных элементов между собой и с упругими или жесткими телами (штампами).
Искомыми величинами в этих задачах являются контактные напряжения и, в общем случае, область контакта. Существуют два основных подхода к решению контактных задач. Первый заключается в интегрировании уравнений равновесия каждого объекта в области контакта и вне ее и стыковке решений на границе и поверхности контакта. Второй подход состоит в построении и решении интегральных уравнений относительно искомых контактных напряжений. Второй путь является более простым при условии, что мы можем построить функцию влияния для каждого объекта.
Предлагаемый метод решения интегральных уравнений контактных задач является естественным продолжением и распространением на двумерные и динамические контактные задачи метода сведения интегрального уравнения к краевой задаче, предложенного Ю.П. Артюхиным ,10 ,И] для одномерных контактных задач.
Как известно, принятие гипотез Кирхгофа-Лява для контактных задач теории оболочек приводит к решению математически некорректной задачи [13 , SO] . Некорректность проявляется в ряде противоречий: при гладкой форме объектов возникают разрывы на границе области контакта в усилиях, моментах и напряжениях контакта; точечному контакту соответствует ненулевая реакция взаимодействия; прижимающая штамп сила неограниченно возрастает, если область контакта занимает всю длину элемента; невозможно удовлетворить нулевому условию для напряжения на границе контакта для объекта не имеющего угловой точки и т.д.
Проведенные рядом авторов исследования [ZO , И , 53] для плоских тонкостенных элементов показали, что учет сжимаемости нормами к срединной поверхности позволяет получить контактные напряжения мало отличающиеся от соответствующих напряжений, вычисляемых по точным уравнениям теории упругости.
В настоящей работе рассматриваются контактные задачи без учета касательного взаимодействия между объектами. Для таких задач наиболее простой и в то же время достаточно строгий способ учета поперечного обжатия состоит в построении функции влияния как суперпозиции функции влияния, полученной(для изотропных оболочек) по теории Кирхгофа-Лява или (для анизотропных оболочек) по какой-либо уточненной теории и дающей перемещения оболочки в результате изгиба и растяжения, и функции влияния для слоя постоянной толщины k/2. , характеризующей местную деформацию элемента, его сжимаемость в поперечном направлении [10] . Построив таким образом функцию влияния и сформулировав условие контакта в перемещениях, мы сведем задачу взаимодействия тонкой оболочки с жестким штампом к решению интегрального уравнения Фредгольма второго рода где . &(х,у) - искомое контактное давление, К0 - коэффициент обжатия, /(Х/У/ - функция формы и жесткого смещения оболочки и штампа, &(Х,У,х0/у0) - функция влияния, удовлетворяющая уравнению ( LtLt - дифференциальные операторы) и соответствующим краевым условиям
Вынужденные колебания прямоугольной пластины в условиях цилиндрического изгиба. Учет деформаций поперечного обжатия, сдвига и инерции вращения
Рассмотрим неосесимметричную контактную задачу о вдавлива нии жесткого штампа в тонкую круглую пластину, лежащую на упру гом винклеровом основании, при внецентренном положении штампа (рис. І.І). При этом учтем, что в результате вращения штампа с угловой скоростью и) поверхность пластины изнашивается, при- чем износ имеет абразивный характер. Согласно принятой нами постановке задача определения контак тного давления &(fi 2v сводится к решению интегрального урав нения . где p , X - полярные координаты с полюсом в центре штампа, SL - область контакта, tfft) - жесткое смещение штампа, -ffeXj-- функция, описывающая форму подошвы штампа. Пусть край пластины свободен, тогда для функции влияния (т(%1, VJ То) можно использовать полученное нами ранее представление (2.9). В данном случае, так же как и при решении неосе-симметричной статической задачи (3), прямой переход от координат 1 , у к координатам р , нецелесообразен. Удобнее работать в биполярной системе координат. Вводя вспомогательную функцию Tlffi % k) с помощью ин- тегро-дифференциальных соотношений
Однако, такое разложение представляет лишь теоретический интерес, т.к. получение численных результатов требует построения производных достаточно высоких порядков, что приводит к быстрому увеличению погрешностей вьтчислительного характера. Для практических целей более удобен приближенный метод обращения преобразования Лапласа - метод Tep-Xaapa [і21] : Нетрудно видеть, что начальное значение GcJ , 0) совпадает с решением соответствующей статической задачи полученным в 3, а решение осесимметричной задачи (12) получается из решения данного параграфа при Є 0 .
Эти выводы подтверждаются и численными результатами. Решим задачу абразивного изнашивания тонкой прямоугольной пластины, рассмотренную в 10—II, в уточненной постановке, учитывающей отлипание пластины от плоского штампа. Как и в 5, предположим, что центральная часть пластины отходит от штампа, т.е. фактически областью контакта SL является область і ІХІ Сі Математически корректная постановка контактных задач теории пластин при наличии износа с учетом многосвязности области контакта приводит в данном случае к решению интегрального уравнения В случае линейного закона изменения во времени жесткого смещения штампа: if d) — ifo + $ " можно обратить преобразование Лапласа, разложив изображение Є (X, р) в факториальный ряд frj]. Получим Постоянные fli являются решением системы (14.8) при Пор - По Нетрудно видеть, что начальное значение (э(хО) = $ (эо(х) совпадает с решением соответствующей статической задачи, рассмотренной в 5. Причисленной реализации выяснилось, что при малых значениях времени і достаточно удержать в ряду (14.9) члены до пер вой производной включительно. При больших " целесообразнее пользоваться для обращения преобразования Лапласа приближенным методом Тер-Хаара:
Износ пластины в условиях цилиндрического изгиба. Применение преобразования Лапласа
Численная реализация решения (II.4) осуществлялась с помощью "оптимальной формулы численного дифференцирования" [і19] . Выяснилось, что при малых значениях времени т достаточно удерживать в ряду (II.4) члены до первой производной включительно. При больших Т пользоваться рядом (II.4) неудобно, т.к. требуется удерживать большое число слагаемых, а с увеличением порядка производной быстро возрастают ошибки численного дифференцирования. Сходимость ряда (10.19) также исследовалась численно. При малых - достаточно удержать 1-3 члена ряда, при больших і число членов ряда, которые необходимо удержать для получения решения с приемлемой точностью, быстро возрастает. Это приводит к быстрому увеличению требуемого объема памяти (при каждом ҐІ требуется решать систему ЦП уравнений) и времени счета. В связи с вышеизложенным нами была исследована возможность обращения преобразования Лапласа с помощью методов Тер-Хаара:. Как отмечено в работе [121] метод Тер-Хаара применим к задачам, в которых искомые функции изменяются со временем не слишком быстро. Так как на практике скорости изнашивания обычно весьма малы, то, вероятно, напряжения меняются со временем медленно, и метод Тер-Хаара вполне применим к данному классу задач.
Проведенные расчеты показали, что прималых результаты , полученные методами Тер-Хаара, Алфрея и Виддера, совпадают с результатами, полученными по формулам (10.19) и (II.4). При больших т методы Тер-Хаара, Алфрея и Виддера дают близкие результаты. Представляется поэтому целесообразным использовать для приближенного обращения преобразования Лапласа метод Тер-Хаара, .требующий минимальной вычислительной работы. Результаты расчетов относительного контактного давления прижимающей штамп силы РМ(Н/м) и относительного максимального износа \J d) JQ(Q. t)dxTvgvi. Ж -JO" мгН С&К 1 » /h 20 представлены в таблице I и на рис. 3.2 - для малых относительных размеров штампа (CL/П = 2), в таблице 2 и на рис. 3.3 - для больших ( OL/n =5). Кроме этого нами были получены аналогичные числовые результаты и для других значений физических и геометрических параметров пластины, жесткос-тей упругого основания, скоростей жесткого смещения штампа у , что позволило сделать следующие выводы: - относительное контактное давление G (Х/У не зависит от Ту скорости жесткого смещения штампа; - при чистом износе (lfi 0) и при малых скоростях жесткого смещения штампа максимальные контактные напряжения постепенно умень шаются, распределение напряжений вдоль области контакта становится fipena%—. более равномерным и при достаточно большокг \Э уже практически не зависит от X ; прижимающая штамп сила также уменьшается; при боль- ших скоростях ( J0 tAt/C&K/ сила со временем растет, контактные напряжения также увеличиваются; - зоны отрыва пластины от штампа \(э 0) , возникающие в начальный момент времени, постепенно уменьшаются и при малых fi могут совсем исчезнуть; - при малых ifi скорость изменения во времени контактного давления в фиксированной точке, скорость изменения силы ( Р) и скорость изнашивания (№ ) уменьшаются, т.е. происходит процесс притирания трущихся поверхностей; при больших У скорость изменения силы постоянна, скорость изменения контактного давления уменьшается, скорость изнашивания возрастает.
