Содержание к диссертации
Введение
1 Упругое полупространство, усиленное накладкой 20
1.1 Упругая полуплоскость, усиленная накладкой конечной длины 20
1.2 Упругое полупространство, усиленное круглой накладкой 26
1.3 Упругое полупространство, усиленное эллиптической накладкой 34
1.4 Упругое полупространство, усиленное узкой прямоугольной накладкой 45
1.5 Упругое полупространство, усиленное кольцевой накладкой 55
2 Упругий слой, усиленный накладкой 63
2.1 Упругая полоса, усиленная накладкой конечной длины 63
2.2 Упругий слой, усиленный круглой накладкой 73
3 Упругий слой, усиленный упругой накладкой 83
3.1 Упругая полоса, усиленная упругой накладкой конечной длины 83
3.2 Упругий слой, усиленный круглой упругой накладкой 98
Заключение 114
- Упругое полупространство, усиленное круглой накладкой
- Упругое полупространство, усиленное узкой прямоугольной накладкой
- Упругий слой, усиленный круглой накладкой
- Упругий слой, усиленный круглой упругой накладкой
Введение к работе
Контакт — один из основных способов приложения нагрузки к деформируемому телу, поэтому задачи механики контактных взаимодействий занимают центральное место в механике деформируемого твердого тела. Величина контактных давлений имеет важное значение для определения напряжений и перемещений. Методы, развиваемые в теории контактных задач, позволяют найти распределение давлений в местах контакта, и таким образом ответить на многие важные вопросы о местах концентрации напряжений, износостойкости и о других факторах контактной прочности и жесткости.
Основополагающими в теории механики контактных взаимодействий являются монографии И. Я. Штаермана [93], Л. А. Галина [70], К. Джонсона [75], В. М. Александрова и М. И. Чебакова [51]. Обзорная монография [88] освещает (до 1975 г.) фундаментальные результаты и методы в теории контактных задач; полный обзор методов решения задач механики контактных взаимодействий и основные достижения за последние годы в этой области механики деформируемого твердого тела представлен в книге [82].
Теория контактных задач находит широкое применение в машиностроении. Ведь, как известно, передача усилий в машинах происходит вследствие контактирования деталей, которые в большинстве случаев можно рассматривать как упругие тела. Немалое значение имеют вопросы разрушения материалов в области контакта и долговечность конструкций. Расчет прочности фундаментных сооружений, определение напряжений, возникающих под основаниями и фундаментами, также приводят к задачам об определении контактных давлений между основанием и фундаментной плитой и о нахождении осадок плиты. Достаточно часто используется модель изотропного упругого полупространства или модель многослойного упругого полупространства для описания основания. Появление конструктивных материалов, в состав которых входят полимеры, привело к рассмотрению контактных задач для вязкоупругих тел. Контактные задачи имеют важные приложения и в других областях прикладной механики.
Контактные задачи относят к так называемому классу задач механики сплошной среды со смешанными граничными условиями. Под смешанными задачами понимают те, в которых граница тел разбита на конечное число областей и на каждой из них заданы свои граничные условия. Классическая постановка контактной задачи подразумевает ряд упрощающих предположений: пренебрежение шероховатостью поверхностных слоев и их особыми физико-механическими свойствами и предположение о малости зоны контакта по сравнению с характерными размерами тел. Таким образом, задача в классической постановке сводится к решению некоторой задачи теории упругости со смешанными граничными условиями для изотропных однородных полупространства или полуплоскости. Методы теории функций комплексных переменных, развитые Н. И. Мусхелишвили и его учениками и основанные на использовании конформных отображений и теории сингулярных интегральных уравнений, оказались весьма эффективными и нашли широкое применение в работах таких классиков, как Л. А. Галин, А. И. Каландия, С. Г. Михлин и др. Теория пространственных смешанных задач была исследована А. И. Лурье, И. Я. Штаерманом, Л. А. Галиным и др. Результаты работ, посвященных решению классических контактных задач, представлены в монографиях И. Я. Штаермана [93], А. И. Лурье [81], Я. С. Уфлянда [91], Н. И. Мусхелишвили [84], Л. А. Галина [70] и др.
Проблемы, возникающие в инженерной практике середины прошлого столетия, подводят к решению неклассических контактных задач, то есть к тем задачам контактного взаимодействия, где необходимо принимать во внимание микроструктуру контактирующих поверхностей, а также контактные задачи для неоднородных анизотропных сред. Можно выделить несколько направлений и методов решения в разработке неклассических смешанных задач.
В первом направлении, разрабатываемом Н. Н. Лебедевым, Я. С. Уфлян-дом, И. И. Воровичем, Ю. А. Устиновым и др., задача сводится к некоторым парным интегральным или тройным функциональным уравнениям (рядам, интегральным уравнениям), которые преобразуются к интегральному уравнению Фредгольма второго рода. Его решение находится каким-либо приближенным методом. Второе направление, развиваемое Н. X. Арутюняном, Б. Л. Абрамяном, С. М. Мхитаряном и др., заключается в непосредственном сведении краевой задачи к некоторой бесконечной системе линейных алгебраических уравнений. Другой метод — А. И. Лурье, Г. Я. Попов, Н. А. Ростовцев, В. М. Александров и др. — также связан со сведением к бесконечной системе алгебраических уравнений и основан на разложении решения в ряд по специально выбранной системе ортогональных полиномов. Многочлены выбираются таким образом, чтобы получающиеся бесконечные системы уравнений были почти диагональным. Следующее, четвертое, направление характеризуется применением метода коллокации: контактное давление аппроксимируется конечным числом параметров, которые определяются из условия связи, накладываемого на перемещения в конечном числе точек области контакта. Развитие этого направления связано с работами И. Я. Штаермана, А. И. Ка-ландия, И. И. Воровича, В. М. Александрова, В. М. Фридмана и др. Обзоры работ по всем четырем направлениям были сделаны в свое время Г. Я. Поповым и Н. А. Ростовцевым [87], Б. Л. Абрамяном и А. Я. Александровым [1].
Стоит особо отметить асимптотические методы в механике контактных взаимодействий. Идея о применении последних возникает достаточно часто при решении сложных смешанных задач теории упругости, в которых, как правило, имеется несколько безразмерных геометрических или механических параметров, полностью определяющих задачу. Преимущества асимптотических методов состоят в их универсальности (могут быть использованы в случае плоских задач, пространственных, линейных и нелинейных) и в возможности получения решения смешанной задачи в простой аналитической форме, удобной для последующего качественного и количественного исследований. Асимптотические методы в механике контактных взаимодействий позволяют найти основные характеристики одной и той же задачи в нескольких формах, каждая из которых эффективна в своей области изменения параметров. Как правило, области эффективного применения таких решений перекрывают в общей сложности весь возможный диапазон изменения параметров.
Выделим некоторые из широко применяемых асимптотических методов. Первый из подходов основан на построении асимптотических рядов при больших значениях характерных параметров задачи. Этот метод получил название метода «больших Л». Метод «больших Л» был применен к решению осе-симметричной задачи о вдавливании штампа в упругий изотропный слой, лежащий без трения на жестком основании [68], был использован при решении неосесимметричных контактных задач для слоя [22] и задачи о кручении двухслойной упругой среды штампом [74], где решение ищется в виде ряда по параметру, характерезующему отношение толщины одного из слоев к радиусу штампа . Вообще, метод «больших Л» и различные его модификации применялись при решении ряда плоских и пространственных задач, например, в работах [69], [5], [9], [34], [77], [80]. Построение В. М. Александровым [11] логарифмически-степенной асимптотики позволило использовать метод «больших Л» для решения целого ряда новых задач [19], [45], [44], [64], [89] и др.
Но несмотря на свою эффективность, метод «больших Л» не может быть применен при малых значениях характерных параметров задачи. В этом случае В. М. Александровым [6] и несколько позже В. Т. Койтером [98] был построен метод «малых Л». Этот асимптотический подход основан на использовании метода Винера-Хопфа [85] и идеи приближенной факторизации Койтера [97]. При помощи метода «малых Л» был получен главный член асимптотики решения ряда смешанных задач [11], [9], [21], [42], [45], [67] и др.
В работах В. А. Бабешко [62], [63] предложен общий способ построения полной асимптотики при малых Л интегральных уравнений для некоторых контактных задач для слоя с полосовой и круговой линиями раздела граничных условий. Этот метод заключается в сведении интегральных уравнений к некоторым бесконечным системам линейных алгебраических уравнений и был применен в ряде работ.
В современной технике самое широкое применение нашли композиционные материалы, а также различные конструкции, усиленные или армированные тонкостенными элементами. Кроме того, возникла необходимость решать вопросы тензометрирования. Все это привело к постановке контактных задач и поиску их решений для тел с тонкими покрытиями и прослойками. Этот класс задач является большой областью исследования теории контактных и смешанных задач механики деформируемого твердого тела и непосредственно связан с важными вопросами инженерной практики. К контактным задачам для тел с тонкими покрытиями и прослойками относят как задачи о контакте тел, армированных тонкими покрытиями или прослойками, так и задачи о взаимодействии стрингеров (тонкостенные элементы типа накладок) и включений различных геометрических форм с массивными деформируемыми телами. Стрингеры и включения, также как разрезы и штампы, являются концентраторами напряжений, поэтому нахождение распределения напряжений в таких задачах и разработка методов, направленных на снижение концентрации напряжений, имеют большое теоретическое и практическое значение.
В работе В. М. Александрова, С. М. Мхитаряна [36] представлены воедино результаты многих исследований по контактным задачам для тел с тонкими покрытиями и прослойками. В [36] были выведены основные уравнения тонких покрытий и прослоек, при этом использовались строгие математические методы теории упругости и учитывалась тонкостенность покрытий и накладок. Также было проведено сравнение полученных уравнений с уравнениями известных механических моделей тонкостенных элементов и определены границы применения последних. Используя полученные результаты, контактные задачи, рассматриваемые в книге, сведены к сингулярным интегральным или интегро-дифференциальным уравнениям, которые содержат характерные геометрические и физические параметры контактирующих тел. Исследована структура решений и применены асимптотические методы для нахождения приближенного решения уравнений. В книге исследуются и контактные задачи вязкоупругости для неоднородно-стареющих и нелинейно-стареющих тел.
Вообще, контактные задачи для тонкостенных элементов и массивных деформируемых тел можно разделить на два класса. К первому относятся задачи об изгибе тонкостенных элементов типа балок и плит на деформируемом основании; задачи о взаимодействии тонкостенных элементов, изгибной жесткостью которых можно пренебречь, с массивными телами относят ко второму классу.
Первые исследования по изучению задач второго класса были в работах Э. Мелана (1890-1963), Э. Рейсснера (1913-1996) и В. Т. Койтера (1914-1997) и советских ученых [88].
Важно отметить, что при решении контактных задач для абсолютно гибких тонкостенных элементов и массивных тел широкое применение находят аналитические методы, асимптотические методы и алгоритмы вычислительной математики, приводящие к численной реализации конечных результатов.
Отметим некоторые работы, посвященные изучению задач как первого класса, так и второго.
В работе [54] рассматривается контактная задача изгиба балочных плит на линейно-деформируемом основании общего вида. Задача нахождения прогиба у(х) и неизвестного контактного давления q(x) сводится к совместному решению дифференциального уравнения для прогиба плиты и интегрального уравнения первого рода с разностным ядром относительно контактного давления. Для решения задачи строится специальная система ор-тонормированных полиномов Qn(x), и приближенное решение дифференциального уравнения ищется в виде линейной комбинации по этим полиномам У(х) Х)п=о AnQn(z)- В силу линейности задачи контактное давление также представляется в виде подобного ряда q(x) = Yln=oAnQn{%)- После подстановки разложений функции прогиба плиты и контактного давления в исходное интегральное уравнение и приравнивая выражения при АП1 можем получить интегральные уравнения относительно функции разложения qn{x). Была исследована структура ядер полученных уравнений и выражена логарифмическая особенность. Решение интегральных уравнений в классе абсолютно суммируемых функций ищется в форме qn{x) = (OJI(X) -\-xt02(x))(y/l — х2)-1, где функции uji(x) — четные и по крайней мере непрерывные. При достаточно большом значении характерного геометрического параметра задачи для приближенного определения Ui(x) предложено два способа сведения интегрального уравнения к линейной алгебраической системе. Один из них основан на представлении неизвестных функций Ш{(х) в виде интерполяционных многочленов Лагранжа по чебышевским узлам; второй способ — с помощью ортогональных полиномов Чебышева [65]. Подобным методом была рассмотрена осесимметричная контактная задача изгиба круглых плит на линейно-деформируемом основании [37]. Также задача об изгибе круглой изотропной пластины, лежащей на линейно-деформируемом основании, исследовалась в [92]. В данной работе задача была сведена к изучению парных интегральных уравнений, для решения которых используется метод однократной и двойной ортогонализации, и в качестве элементов разложения берутся формы собственных неосесимметричных колебаний круглой пластины со свободным краем. В [73] задача изгиба круглой плиты на упругом слое приводится к исследованию интегрального уравнению Фредгольма второго рода. Далее, заменяя ядро уравнения вырожденным с помощью разложения по полиномам Лежандра, задача сводится к решению алгебраической системы двух уравнений с двумя неизвестными. Также, задача изгиба симметрично нагруженной круглой упругой пластины на упругом слое, лежащем на жестком неподвижном основании была решена в [86]. Проблема была сведена к исследованию парного интегрального уравнения относительно неизвестной функции, определяющей контактное давление и прогиб пластинки.
В работе [38], также как и в [37], рассматривался изгиб круглой плиты на линейно-деформируемом основании, но уже с учетом деформации сдвига. Подобно подходу, приведенному в [37], для решения данной задачи строится специальная система ортонормированных многочленов и используется метод сведения интегрального уравнения к бесконечной системе линейных алгебраических уравнений путем разложения в ряды по собственным функциям главной части интегрального оператора.
Задачи цилиндрического изгиба пластин на неоднородном слое, причем закон изменения неоднородности по глубине в слое произволен, исследуются в [3]. Задача сводится к совместному решению дифференциального уравнения изгиба пластины и парного интегрального уравнения, связывающего контактные напряжения под пластиной и прогиб. Используется представление функции прогиба пластинки в виде ряда по формам собственных колебаний пластины при соответствующих граничных условиях, и задача сводится к бесконечной системе линейных алгебраических уравнений.
Работа [8] посвящена контактной задаче о вдавливании гладкого симметричного (осесимметричного) жесткого штампа в балку бесконечной длины (в бесконечную пластину), лежащую на основании Фусса-Винклера. Из дифференциального уравнения изгиба балки (пластины) при соответствующих граничных условиях находятся функция изгиба балки (пластины), нормальное давление под штампом, сосредоточенная реакция, возникающая на границе зоны контакта, и связь между поступательным перемещением штампа и размером области контакта от величины прижимающей силы. В [40] рассматриваются задачи о вдавливании в бесконечную пластину Кирхгофа-Лява, лежащую на основании Фусса-Винклера, одного или двух ребер жесткости. В обоих случаях задачи были сведены к интегральным уравнениям первого рода относительно неизвестного контактного усилия. Считается, что в области контакта осуществлено полное сцепление. Задача описывается системой из дифференциального уравнения изгиба пластины и интегрального уравнения первого рода с разностным ядром относительно контактного давления. Путем интегрирования дифференциального уравнения при соответствующих граничных условиях, подстановки полученного выражения для прогиба в интегральное уравнение и обращения логарифмической части интегрального оператора, задача сводится к интегральному уравнению второго рода относительно контактного давления. Полученное уравнение предлагается решать методом последовательных приближений [65]. Другой подход к решению задачи заключается в сведении первоначальной системы из дифференциального уравнения и интегрального к интегро-дифференциальному уравнению относительно прогиба пластинки, и приближенное решение ищется с помощью специальных ортонормированных полиномов. Также, задача о цилиндрическом изгибе произвольной нормальной нагрузкой пластинки конечной ширины, лежащей на упругом полупространстве была рассмотрена в [47] с помощью метода «малых Л».
Работы [53], [52] рассматривают разные методы расчета изгиба цилиндрической оболочки на упругом цилиндре. Данная задача сводится к совместному решению дифференциального уравнения прогиба оболочки и интегрального уравнения первого рода с разностным ядром относительно контактного давления. В [53] после решения дифференциального уравнения при соответствующих граничных условиях найденная функция прогиба подставляется в интегральное уравнение, которое предлагается решать методом, подобным, что использовался для решения интегральных уравнений в [54] и описанным в [12]. Подход в [52] аналогичен описанному в работе [54], то есть приближенное решение дифференциального уравнения ищется с помощью специальной системы ортонормированных многочленов Qn(x) в виде у{х) = J2n=oAnQn(%), тогда в силу линейности задачи контактное давление также представляется в виде ряда q(x) = 2п=0Лпдп(х). Решение интегральных уравнений относительно qn{x) в классе абсолютно суммируемых функций ищется в форме Qn(x) = п( )(л/1 — я2)-1, где для функций шп(х) строятся интерполяционные многочлены Лагранжа по чебышевским узлам.
Задача продольной устойчивости балочных плит, лежащих на упругом полупространстве без трения при наличии двухсторонних связей, была впервые рассмотрена в работе [49]. Она была сведена к интегро-дифференциальному уравнению относительно прогиба плиты, и приближенное решение для прогиба предлагается искать в виде линейной комбинации по специальным ор-тонормированным полиномам. В [13] был исследован вопрос устойчивости бесконечной пластины (покрытия) под действием продольного усилия, находящейся в условиях цилиндрического изгиба в двухстороннем контакте с упругим слоем, защемленным по основанию. Было найдено критическое усилие потери устойчивости, причем при приближении свойств материала слоя к несжимаемому установлено увеличение критического усилия в случае замены упругого слоя эквивалентным основанием Фусса-Винклера. Эффект снижения величины критического усилия по сравнению с критическим усилием, рассчитанным с заменой упругого слоя эквивалентным основанием Фусса-Винклера при приближении свойств материала слоя к несжимаемому, также установлен в работе [25]. Подобно [13], данная работа посвящена вопросу устойчивости бесконечной пластины под действием продольного усилия, но уже в условиях осесимметричного изгиба, а не цилиндрического, в двухстороннем контакте с упругим слоем, защемленным по основанию.
В [39] при исследовании вопросов устойчивости в задаче для круглой пластины на линейно-деформируемом основании при наличии двухсторонних связей под действием продольных сжимающих усилий применяется аналогичный метод как и в работах [54], [37], [53], [52]. А именно, предлагается разложить по специальной системе ортонормированных полиномов функцию прогиба, в силу линейности задачи представить контактное давление в виде соответствующего ряда, PI полученные интегральные уравнения решать методом сведения к бесконечной алгебраической системе с помощью ортогональных многочленов Лежандра.
В плоской, осесимметричной и пространственной постановках в [26] была исследована задача об устойчивости бесконечной плиты под действием продольных сжимающих усилий, находящейся в двухстороннем контакте с упругим несжимаемым полупространством, преднапряженным силами тяжести. В [27] рассматривался вопрос устойчивости в условиях двухстороннего контакта продольно сжатой бесконечной упругой плиты на двухслойном упругом основании, верхний слой которого описывается моделью изотропной сжимаемой упругой средой, нижним является изотропное несжимаемое преднапря-женное силами тяжести упругое полупространство. В [27] было показано, что значение критического усилия при полном сцеплении между плитой и основанием примерно в десять раз меньше в случае не учета сил трения между плитой и основанием.
В [35] была рассмотрена задача изгиба бесконечной тонкой пластинки, лежащей на гидравлическом основании, сосредоточенной силой. Считается, что материал пластинки несжимаем и описывается соотношениями, часто принимаемыми для описания напряженно-деформируемого состояния конструкций изо льда в условиях развитой установившейся ползучести, а именно, что интенсивности девиатора скоростей деформаций и девиатора напряжений связаны степенной зависимостью (закон Глена). Основание моделируется вязкоупругим винклеровским основанием. В работе были получены асимптотические разложения для прогиба при большом и малом времени. Подобная задача для ледяного покрова на гидравлическом основании при сосредоточенном воздействии, но в рамках нелинейной неустановившейся ползучести была рассмотрена в [57]. В [58] была рассмотрена плоская задача об установившейся ползучести ледяного покрова, лежащего на мерзлом грунте, при сосредоточенном воздействии. Считается, что материал покрова и материал грунта несжимаемы и описываются степенной зависимостью между интенсивностью скоростей деформаций сдвига и интенсивностью касательных напряжений с различными показателями нелинейности. Деформации грунта описываются моделью нелинейно ползучего винклеровского основания. Учитывая это и используя гипотезы Кирхгофа, задача в [58] сводится к нелинейному дифференциальному уравнению относительно скорости прогиба плиты. Приближенное решение полученного уравнения находится методом пристрелки.
Некоторые контактные задачи для тел с тонкими покрытиями в условиях нелинейной установившейся ползучести исследовались в [30], [18]. В данных работах были рассмотрены задачи о вдавливании без трения жесткого штампа в поверхность слоя, лежащего на гидравлическом основании, на стержневом основании, подстилаемым жестким основанием, или в упругий слой, лежащий на жестком основании и покрытый стержневым слоем. Физико-механические свойства слоя описываются уравнениями нелинейной теорией ползучести со степенной связью между интенсивностью девиатора скоростей деформаций и интенсивностью девиатора напряжений. Контактные задачи в [18] сведены к уравнениям, которые содержат интегральные операторы по координате и дифференциальные по времени. Во всех задачах получены асимптотические решения для контактного давления при малом и большом времени.
В [56] рассматривается задача о нелинейной неустановившейся ползучести ледяной плиты, частично покрывающей гидравлическое основание, моделируемое основанием Фусса-Винклера. Один из концов плиты жестко защемлен по длине, а другой нагружен перерезывающим усилием и изгибающим моментом. Для описания реологии льда использована зависимость между деформацией ползучести и напряжением, стоящим в некоторой степени под знаком временного оператора вольтеровского вида с неразностным ядром. Задача была сведена к нелинейному интегро-дифференциальному уравнению относительно изгибающего момента в плите, решение которого ищется в виде ряда по некоторому малому временному параметру.
В [17] были исследованы плоские задачи о вдавливании и движении штампа с постоянной скоростью вдоль поверхности слоя льда, лежащего на гидравлическом основании, и о квазистатическом вдавливании штампа в слой льда на гидравлическом основании. В случае движущегося штампа, задача решается в рамках теории упругости и сводится к интегральному уравнению первого рода с разностным ядром относительно контактного давления. В зависимости от значений относительной толщины слоя строится асимптотическое решение задачи. Было показано, что для слоя большой толщины критической скоростью движения штампа будет скорость распространения волны Рэлея; в случае слоя малой толщины критическая скорость движения штампа превышает рэлеевскую. В случае квазистатического вдавливания штампа учитывается эффект ползучести слоя, и при больших значениях относительной толщины слоя приближенное решение задачи ищется с помощью принципа обобщенных перемещений. Для малых значений относительной толщины слоя решение задачи ищется в виде ряда, и получают асимптотику решения при большом времени.
Также плоские контактные задачи о динамическом взаимодействии упругого штампа с упругой полуплоскостью через накладку или тонкий слой идеальной жидкости были рассмотрены в [16]. В данной работе изучалась упругая полуплоскость, либо усиленная по всей границе тонкой накладкой, либо покрытая тонким слоем идеальной несжимаемой жидкости, и предполагалось, что штамп вдавливается без трения в границу накладки или слоя жидкости и при этом движется с постоянной скоростью вдоль этой границы. Задачи были сведены к интегральным уравнениям первого рода с сингулярными ядрами относительно неизвестного контактного давления. Была исследована структура решений, и при больших значениях безразмерного характерного параметра задачи асимптотическое решение задачи ищется с помощью метода «больших Л».
Динамическая плоская контактная задача о движущемся жестком штампе с постоянной скоростью по границе тонкого покрытия слоя идеальной жидкости была изучена в [29]. Также штамп вдавливается в верхнюю грань покрытия, силы трения в области контакта предполагаются отсутствующими. Для описания покрытия пользуются моделью мембраны, а течение жидкости считается установившимся и потенциальным. Задача сведена к интегральному уравнению первого рода типа свертки, исследована структура ядра, и было показано, что полученное интегральное уравнение корректно разрешимо лишь в классе обобщенных функций медленного роста.
В работе [31] с помощью асимптотического анализа были выведены разрешающие уравнения пластин, описывающие внутреннее напряженно-деформируемое состояние и удобные при решении динамических контактных задач для тел с покрытиями. Также, используя асимптотический анализ решения первой основной задачи теории упругости для слоя, в [2] были выведены уточненные уравнения осесимметричного деформирования тонкостенных упругих элементов и уточненные уравнения деформирования тонких пластин в [79]. Полученные уравнения удобны при решении контактных задач для тел с покрытиями и содержат в себе как частный случай уравнения классических теорий.
В [14] рассматривается задача о вдавливании жесткого штампа в полуплоскость, состоящую из двух различных сред. Для определения нормального контактного давления из интегрального уравнения, к которому сводится данная смешанная контактная задача, предлагается несколько подходов: после аппроксимации ядра, решение уравнения ищется в виде ряда по степеням функционального параметра; с помощью метода «больших Л» решение ищется в виде ряда по степеням Л-1 In Л; используется метод ортогональных многочленов и решение интегрального уравнения ищется в виде ряда по полиномам Чебышева; другой способ состоит в применении метода коллокаций по чебышевским узлам; и последний, задача решается с помощью двухстороннего асимптотического метода.
Модифицированный метод Мультоппа-Каландия [41] нашел широкое применение при решении интегральных уравнений первого рода с разностным ядром, имеющим логарифмическую особенность. Например, с его помощью была решена задача о взаимодействии упругой плоскости с круговым отверстием и упругого диска меньшего радиуса, когда их поверхности имеют тонкие усиливающие покрытия [55].
Вообще, многие контактные задачи теории упругости сводятся к уравнениям первого рода с разностным ядром, например контактные задачи для упругой полосы. В работе [10] изучаются интегральные уравнения именно такого типа. Исследуется структура ядра. Решение ищется в пространстве абсолютно суммируемых функций, и интегральное уравнение сводится к эк 13
Бивалентному интегральному уравнению второго рода. При больших значениях характерного геометрического параметра задачи для решения уравнения предложен метод последовательных приближений или метод «больших Л». Для произвольных значений характерного геометрического параметра полиномом аппроксимируется регулярная часть ядра, PI решение ищется в виде соответствующего ряда; находится решение при малых значениях геометрического параметра. Указаны границы рационального использования каждого способа.
В работе [78] на примере контактной задачи о вдавливании штампа в упругую полосу, покрытую «винклеровскими» пружинами и лежащую без трения на жестком основании, исследуются интегральные уравнения второго рода на конечном интервале с разностными ядрами. К подобным уравнениям сводится ряд плоских контактных задач для линейно-деформируемого основания, поверхность которого усилена тонким упругим покрытием. В данной работе исследована структура ядра, показана разрешимость такого типа уравнений в классе 1 2 и построено решение в виде ряда Фурье по полиномам Лежандра. Динамический аналог задачи для упругой полосы, с покрытием винклеров-ского типа и лежащей на жестком основании, был рассмотрен в [32].
В [59] рассматривается плоская контактная задача для упругой полуплоскости с упругой накладкой конечной длины и постоянной толщины. Считается, что жесткость накладки на изгиб пренебрежимо мала, и к одному из её торцов приложено растягивающее усилие. Задача сводится к решению интегро-дифференциального уравнения типа Прандтля, из которого находится касательное напряжение в области контакта упругой накладки и границы полуплоскости. Задача для упругой полуплоскости с упругим конечным креплением также исследовалась в работе [83], в которой решение полученного интегро-дифференциального уравнения Прандтля сводили к бесконечной системе алгебраических уравнений с помощью метода ортогональных многочленов.
В работах [20] и [7] рассмотрены плоские контактные задачи о вдавливании жесткого штампа в упругую полосу, усиленную на границе тонким упругим покрытием. Причем в [20] упругая полоса лежит на жестком основании, в [7] — защемлена по основанию. Задачи сводятся к решению интегральных уравнений первого рода с разностным ядром относительно контактного давления. В [7] исследуется структура решения полученного интегрального уравнения и строится разрешающее интегральное уравнение. В [20] для решения интегрального уравнения используются различные асимптотические методы, а именно, аппроксимация ядра гиперболическим тангенсом, при соответствующих свойствах ядра; метод «больших А» при больших значениях характерного геометрического параметра, метод приближенной факторизации Койтера — при малых значениях этого параметра.
В работе [50] исследуется плоская задача о контактном взаимодействии стрингера, деформируемого усилиями, с упругой полуплоскостью. В данной работе приводится вывод интегрального уравнения относительно контактных касательных напряжений между накладкой и полуплоскостью, исследована возможность построения асимптотического решения при большой и малой относительной жесткости накладки. Получено интегро-дифференциальное уравнение относительно деформации срединной плоскости, решение которого ищется с помощью специальной системы ортонормированных полиномов.
Как известно, решение задачи о полуплоскости с упругим креплением содержит особенности, которые характеризуют напряженное состояние в окрестности концов упругой накладки. В работе [33] для задач о полуплоскости с упругим креплением исследуется вопрос о решениях ограниченных на краях накладки. Было показано, что такие решения существуют в случаях, когда накладка соответствующим образом нагружена, и обращаются в нуль в соответствующих концевых точках. И в случае ограниченного решения на одном крае, и в случае ограниченного решения на двух краях исследуется интегро-дифференциальное уравнение, которое с помощью метода ортогональных многочленов сводится к решению бесконечной алгебраической системы.
В [48] была рассмотрена контактная задача для упругого полупространства, усиленного на поверхности тонкой круглой пластинкой, которая нагружена симметричным образом на верхней границе касательными усилиями. Решение задали свелось к интегро-дифференциальному уравнению относительно радиального перемещения точек накладки. Была построена специальная система ортонормированных полиномов, с помощью которой находится приближенное решение для радиального перемещения, а по формуле, связывающей радиальное перемещение и касательное контактное напряжение, находится последнее.
Целью диссертации является исследование вопросов о контактном взаимодействии тонких накладок с упругими телами, нагруженными на бесконечности, а именно, нахождение распределения касательных напряжений на поверхности упругих тел в области контакта. Определение закона изменения контактного касательного напряжения позволяет затем исследовать напряженно-деформированное состояние в упругих телах. Приведем краткое изложение результатов, содержащихся в данной работе.
Первая глава посвящена изучению задач о контактном взаимодействии тонких накладок различных геометрических в плане форм с упругим полупространством, нагруженным на бесконечности равномерным растягивающим усилием. Предполагается, что накладки являются жесткими на растяжение и не сопротивляются изгибным деформациям.
В первых двух частях в плоской и осесимметричной постановках была рассмотрена задача о контактном взаимодействии тонкой накладки с упругим полупространством, нагруженным на бесконечности равномерным растягивающим усилием. Предполагается, что накладка является жесткой на растяжение и не сопротивляется изгибным деформациям, и между накладкой и границей полупространства осуществляется полное сцепление. С помощью стандартных методов операционного исчислешія задачи были сведены к интегральным уравнениям относительно неизвестного контактного касательного напряжения. Аналитические решения полученных уравнений приводятся в [28]. Подобные задачи в другой постановке были рассмотрены в [90], [36].
Третья часть посвящена решению задачи о контактном взаимодействии жесткой на растяжение, но абсолютно гибкой накладки, имеющей в плане эллиптическую форму, с упругим полупространством при условии их полного сцепления. Упругое полупространство растягивается на бесконечности равномерно распределенными усилиями, направленными параллельно одновременно двум координатным осям. Задача была сведена к системе двумерных интегральных уравнений относительно неизвестных контактных касательных напряжений. Решение системы было получено в замкнутом виде [65]. Ранее подобная задача была исследована в [65], [43], [46]. В последней работе также рассматривались задачи о взаимодействии жесткой на растяжение, но абсолютно гибкой эллиптической накладки с упругим полупространством, когда накладка сдвигается касательной силой, проходящей под углом к её большей полуоси, и когда накладка скручивается моментом, ось которого перпендикулярна поверхности полупространства.
В четвертой части изучалась задача о контактном взаимодействии тонкой накладки, не сопротивляющейся изгибным деформациям, но жесткой на растяжение, с основанием в виде узкого прямоугольника с упругим полупространством, нагруженным на бесконечности равномерным растягивающим усилием, направленным параллельно границе полупространства. Считается, что между накладкой и упругой средой осуществляется полное сцепление. С помощью предположения, аналогичного предположению Л. А. Галина [71] о распределении давления под штампом в поперечном направлении, задача была сведена к интегральному уравнению первого рода с разностным ядром относительно неизвестного контактного касательного усилия. Полученное уравнение предлагается решить с помощью модифицированного метода Мультоппа-Каландия. Применяя данный метод, получены формулы для контактного касательного напряжения. Подобные задачи были рассмотрены другими методами в описанных ранее работах [36], [61].
В пятой части рассматривалась осесимметричиая контактная задача о равновесии упругого полупространства, усиленного на границе тонкой кольцевой накладкой. Считается, что накладка является жесткой на растяжение и не сопротивляется изгибу. На бесконечности к упругому полупространству приложены равномерные растягивающие усилия. Задача сводится к интегральному уравнению первого рода с сингулярным ядром относительно неизвестной функции распределения контактных касательных напряжений. Аналогичная задача для упругого полупространства с кольцевой областью граничных условий была рассмотрена в [43], [45], и при больших значениях параметра А = 2(1п(6/а))-1, где а,Ъ - внутренний и внешний радиусы кольца соответственно, приближенное решение ищется с помощью метода «больших А». В данной работе приближенное решение интегрального уравнения относительно неизвестного контактного касательного напряжения предлагается найти с помощью модифицированного метода Мультоппа-Каландия и сравнить с асимптотическим решением. В [45] были также рассмотрены случаи, когда упругое полупространство скручивается кольцевым штампом, жестко сцепленным с его граничной поверхностью, и случай вдавливания кольцевого штампа в упругое полупространство.
Во второй главе были рассмотрены контактные задачи для упругого слоя и упругой полосы, усиленных на одной из своих границ тонкой накладкой.
В двух частях данной главы в плоской и осесимметричной постановках исследуется задача о контактном взаимодействии тонкой накладки с упругим слоем, нагруженным па бесконечности равномерным растягивающим усилием, направленным параллельно границам слоя. Предполагается, что накладка жесткая на растяжение, но не сопротивляется изгибным деформациям, и между накладкой PI границей слоя осуществляется полное сцепление. С помощью интегрального преобразования Фурье в плоском случае и интегрального преобразования Ханкеля в осесимметричном, задача сводится к решению соответствующего интегрального уравнения первого рода с нерегулярным ядром относительно неизвестной функции контактного касательного напряжения. Асимптотическое решение уравнений при больших значениях геометрического параметра задачи (относительная толщина слоя) находится с помощью метода «больших Л». Подобные задачи ранее исследовались в [4], [43], [36].
В третьей главе рассматривались плоская и осесимметричная задачи о контактном взаимодействии тонкой упругой абсолютно гибкой накладки с упругим слоем и возможность приложения полученных результатов к вопросам тензометрирования. Считается, что между накладкой и одной из границ слоя осуществляется полное сцепление.
В первой части исследовалась плоская контактная задача для тонкой упругой накладки с упругой полосой, нагруженной на бесконечности равномерным растягивающим усилием, направленным параллельно границам полосы. Во второй части рассматривалась осесимметричная задача о контактном взаимодействии тонкой упругой накладки с упругим слоем, нагруженным на бесконечности равномерным растягивающим усилием. В обоих случаях предполагается, что накладка сопротивляется только растяжению (абсолютно гибкая). Задачи приведены к интегральным уравнениям первого рода с нерегулярными ядрами относительно неизвестного контактного касательного напряжения. Эти интегральные уравнения решаются совместно с дифференциальными уравнениями, описывающими продольные деформации накладок. Для нахождения решения задач построены специальные системы ортонормированных многочленов, по которым раскладываются продольные перемещения накладок. При больших значениях относительной толщины полосы (слоя) при помощи метода «больших Л» находятся решения интегральных уравнений, соответствующие указанным ортонормированным многочленам. В результате связывания решений интегральных и дифференциальных уравнений относительно коэффициентов разложений продольных перемещений накладок получаются бесконечные алгебраические системы уравнений. Приближенные решения этих систем находятся методом редукции, и определяется коэффициент искажения деформации полосы (слоя) вследствие наличия накладки. Подобные задачи исследовались ранее другими методами в [48], [24], [15], [44], [36], [43]. Задачи об упругой полуплоскости с упругими креплениями рассматривались в [59], [60].
В работе [24] был впервые исследован вопрос об упрочняющем влиянии тензопреобразователей в зоне наклейки для деталей из низкомодульных материалов. В данной работе была рассмотрена следующая контактная задача: к границе упругой полуплоскости, на бесконечности нагруженной равномерными растягивающими усилиями, жестко прикреплена абсолютно гибкая упругая накладка. Задача нахождения функции распределения касательного усилия в области контакта была сведена к решению интегрального уравнения Прандтля. Приближенное решение полученного интегрального уравнения ищется с помощью метода коллокаций, где в качестве точек коллокаций берутся корни полипома Чебышева. После нахождения решения находится коэффициент искажения деформации к по формуле к = —, где е$ — неиска женная деформация границы упругой полуплоскости, є — искаженная деформация (средняя по длине деформация пластинки).
В [15] исследуется тот же вопрос, что и в работе [24], но тут уже тензодатчик моделируется тонкой двухслойной пластинкой. Из уравнений, описывающих напряженно-деформируемое состояние двух тонкостенных элементов, из которых состоит пластина, определяется искаженная деформация через неизвестное контактное касательное напряжение между нижним слоем накладки и границей полуплоскости. Это напряжение находится из интегрального уравнения Прандтля, и можно вычислить поправочный коэффициент к показаниям датчика. В работах [94] , [96] с помощью теоретических расчетов установлено, что тензодатчик может оказывать значительное усиливающее воздействие при креплении его на материале с малым модулем упругости, например 7ГПа и менее. Экспериментальному анализу напряжений в пластмассовых изделиях посвящена работа [95].
Плоские задачи о растяжении упругой бесконечной полосы, усиленной на одной из границ тонкой упругой накладкой, и применение полученных результатов в вопросах тензометрирования, были рассмотрены и в [44]. Также считается, что полоса на бесконечности нагружена равномерными растягивающими усилиями. Между накладкой и поверхностью полосы осуществлено полное сцепление. Как и в работе [15], накладка рассматривается, как двухслойная тонкая пластинка при условии полного сцепления её слоев. И считается, что накладка сопротивляется растяжению, но не сопротивляется изгибным деформациям. Задачи сводятся к интегральным уравнениям относительно контактного касательного напряжения. При больших значениях относительной ширины полосы и относительно большой жесткости на растяжение верхней пластинки по сравнению с относительной жесткостью на растяжении полосы строится асимптотическое решение интегральных уравнений. Используя полученные результаты, можно найти коэффициент искажения деформации низкомодульных материалов при их тензометрировании.
В заключении сформулированы основные выводы и результаты, полученные в диссертационной работе и выносимые на защиту.
Проблемы, возникающие в различных областях машиностроения и строительства - помимо упомянутых выше, - такие как проектирование различных тонкостенных конструкций, практика сварных соединений, вопросы предотвращения роста трещин в конструкциях, вопросы тензометрирования, а также ряд задач из других отраслей прикладной механики подводят к решению неклассических контактных задач. Поэтому актуальность темы диссертации обуславливается важностью изучения вопросов контактного взаимодействия тонкостенных элементов в виде накладок различных геометрических форм и покрытий с массивными деформируемыми телами в теоретическом и прикладном плане.
Упругое полупространство, усиленное круглой накладкой
Контакт — один из основных способов приложения нагрузки к деформируемому телу, поэтому задачи механики контактных взаимодействий занимают центральное место в механике деформируемого твердого тела. Величина контактных давлений имеет важное значение для определения напряжений и перемещений. Методы, развиваемые в теории контактных задач, позволяют найти распределение давлений в местах контакта, и таким образом ответить на многие важные вопросы о местах концентрации напряжений, износостойкости и о других факторах контактной прочности и жесткости. Основополагающими в теории механики контактных взаимодействий являются монографии И. Я. Штаермана [93], Л. А. Галина [70], К. Джонсона [75], В. М. Александрова и М. И. Чебакова [51]. Обзорная монография [88] освещает (до 1975 г.) фундаментальные результаты и методы в теории контактных задач; полный обзор методов решения задач механики контактных взаимодействий и основные достижения за последние годы в этой области механики деформируемого твердого тела представлен в книге [82]. Теория контактных задач находит широкое применение в машиностроении. Ведь, как известно, передача усилий в машинах происходит вследствие контактирования деталей, которые в большинстве случаев можно рассматривать как упругие тела. Немалое значение имеют вопросы разрушения материалов в области контакта и долговечность конструкций. Расчет прочности фундаментных сооружений, определение напряжений, возникающих под основаниями и фундаментами, также приводят к задачам об определении контактных давлений между основанием и фундаментной плитой и о нахождении осадок плиты. Достаточно часто используется модель изотропного упругого полупространства или модель многослойного упругого полупространства для описания основания. Появление конструктивных материалов, в состав которых входят полимеры, привело к рассмотрению контактных задач для вязкоупругих тел. Контактные задачи имеют важные приложения и в других областях прикладной механики. Контактные задачи относят к так называемому классу задач механики сплошной среды со смешанными граничными условиями. Под смешанными задачами понимают те, в которых граница тел разбита на конечное число областей и на каждой из них заданы свои граничные условия.
Классическая постановка контактной задачи подразумевает ряд упрощающих предположений: пренебрежение шероховатостью поверхностных слоев и их особыми физико-механическими свойствами и предположение о малости зоны контакта по сравнению с характерными размерами тел. Таким образом, задача в классической постановке сводится к решению некоторой задачи теории упругости со смешанными граничными условиями для изотропных однородных полупространства или полуплоскости. Методы теории функций комплексных переменных, развитые Н. И. Мусхелишвили и его учениками и основанные на использовании конформных отображений и теории сингулярных интегральных уравнений, оказались весьма эффективными и нашли широкое применение в работах таких классиков, как Л. А. Галин, А. И. Каландия, С. Г. Михлин и др. Теория пространственных смешанных задач была исследована А. И. Лурье, И. Я. Штаерманом, Л. А. Галиным и др. Результаты работ, посвященных решению классических контактных задач, представлены в монографиях И. Я. Штаермана [93], А. И. Лурье [81], Я. С. Уфлянда [91], Н. И. Мусхелишвили [84], Л. А. Галина [70] и др. Проблемы, возникающие в инженерной практике середины прошлого столетия, подводят к решению неклассических контактных задач, то есть к тем задачам контактного взаимодействия, где необходимо принимать во внимание микроструктуру контактирующих поверхностей, а также контактные задачи для неоднородных анизотропных сред. Можно выделить несколько направлений и методов решения в разработке неклассических смешанных задач. В первом направлении, разрабатываемом Н. Н. Лебедевым, Я. С. Уфлян-дом, И. И. Воровичем, Ю. А. Устиновым и др., задача сводится к некоторым парным интегральным или тройным функциональным уравнениям (рядам, интегральным уравнениям), которые преобразуются к интегральному уравнению Фредгольма второго рода. Его решение находится каким-либо приближенным методом. Второе направление, развиваемое Н. X. Арутюняном, Б. Л. Абрамяном, С. М. Мхитаряном и др., заключается в непосредственном сведении краевой задачи к некоторой бесконечной системе линейных алгебраических уравнений. Другой метод — А. И. Лурье, Г. Я. Попов, Н. А. Ростовцев, В. М. Александров и др. — также связан со сведением к бесконечной системе алгебраических уравнений и основан на разложении решения в ряд по специально выбранной системе ортогональных полиномов. Многочлены выбираются таким образом, чтобы получающиеся бесконечные системы уравнений были почти диагональным. Следующее, четвертое, направление характеризуется применением метода коллокации: контактное давление аппроксимируется конечным числом параметров, которые определяются из условия связи, накладываемого на перемещения в конечном числе точек области контакта.
Развитие этого направления связано с работами И. Я. Штаермана, А. И. Ка-ландия, И. И. Воровича, В. М. Александрова, В. М. Фридмана и др. Обзоры работ по всем четырем направлениям были сделаны в свое время Г. Я. Поповым и Н. А. Ростовцевым [87], Б. Л. Абрамяном и А. Я. Александровым [1]. Стоит особо отметить асимптотические методы в механике контактных взаимодействий. Идея о применении последних возникает достаточно часто при решении сложных смешанных задач теории упругости, в которых, как правило, имеется несколько безразмерных геометрических или механических параметров, полностью определяющих задачу. Преимущества асимптотических методов состоят в их универсальности (могут быть использованы в случае плоских задач, пространственных, линейных и нелинейных) и в возможности получения решения смешанной задачи в простой аналитической форме, удобной для последующего качественного и количественного исследований. Асимптотические методы в механике контактных взаимодействий позволяют найти основные характеристики одной и той же задачи в нескольких формах, каждая из которых эффективна в своей области изменения параметров. Как правило, области эффективного применения таких решений перекрывают в общей сложности весь возможный диапазон изменения параметров. Выделим некоторые из широко применяемых асимптотических методов. Первый из подходов основан на построении асимптотических рядов при больших значениях характерных параметров задачи. Этот метод получил название метода «больших Л». Метод «больших Л» был применен к решению осе-симметричной задачи о вдавливании штампа в упругий изотропный слой, лежащий без трения на жестком основании [68], был использован при решении неосесимметричных контактных задач для слоя [22] и задачи о кручении двухслойной упругой среды штампом [74], где решение ищется в виде ряда по параметру, характерезующему отношение толщины одного из слоев к радиусу штампа . Вообще, метод «больших Л» и различные его модифи- кации применялись при решении ряда плоских и пространственных задач, например, в работах [69], [5], [9], [34], [77], [80]. Построение В. М. Александровым [11] логарифмически-степенной асимптотики позволило использовать метод «больших Л» для решения целого ряда новых задач [19], [45], [44], [64], [89] и др. Но несмотря на свою эффективность, метод «больших Л» не может быть применен при малых значениях характерных параметров задачи.
Упругое полупространство, усиленное узкой прямоугольной накладкой
В работе В. М. Александрова, С. М. Мхитаряна [36] представлены воедино результаты многих исследований по контактным задачам для тел с тонкими покрытиями и прослойками. В [36] были выведены основные уравнения тонких покрытий и прослоек, при этом использовались строгие математические методы теории упругости и учитывалась тонкостенность покрытий и накладок. Также было проведено сравнение полученных уравнений с уравнениями известных механических моделей тонкостенных элементов и определены границы применения последних. Используя полученные результаты, контактные задачи, рассматриваемые в книге, сведены к сингулярным интегральным или интегро-дифференциальным уравнениям, которые содержат характерные геометрические и физические параметры контактирующих тел. Исследована структура решений и применены асимптотические методы для нахождения приближенного решения уравнений. В книге исследуются и контактные задачи вязкоупругости для неоднородно-стареющих и нелинейно-стареющих тел. Вообще, контактные задачи для тонкостенных элементов и массивных деформируемых тел можно разделить на два класса. К первому относятся задачи об изгибе тонкостенных элементов типа балок и плит на деформируемом основании; задачи о взаимодействии тонкостенных элементов, изгибной жесткостью которых можно пренебречь, с массивными телами относят ко второму классу. Первые исследования по изучению задач второго класса были в работах Э. Мелана (1890-1963), Э. Рейсснера (1913-1996) и В. Т. Койтера (1914-1997) и советских ученых [88]. Важно отметить, что при решении контактных задач для абсолютно гибких тонкостенных элементов и массивных тел широкое применение находят аналитические методы, асимптотические методы и алгоритмы вычислительной математики, приводящие к численной реализации конечных результатов. Отметим некоторые работы, посвященные изучению задач как первого класса, так и второго. В работе [54] рассматривается контактная задача изгиба балочных плит на линейно-деформируемом основании общего вида. Задача нахождения прогиба у(х) и неизвестного контактного давления q(x) сводится к совместному решению дифференциального уравнения для прогиба плиты и интегрального уравнения первого рода с разностным ядром относительно контактного давления.
Для решения задачи строится специальная система ор-тонормированных полиномов Qn(x), и приближенное решение дифференци- ального уравнения ищется в виде линейной комбинации по этим полиномам У(х) Х)п=о AnQn(z)- В силу линейности задачи контактное давление также представляется в виде подобного ряда q(x) = Yln=oAnQn{%)- После подстановки разложений функции прогиба плиты и контактного давления в исходное интегральное уравнение и приравнивая выражения при АП1 можем получить интегральные уравнения относительно функции разложения qn{x). Была исследована структура ядер полученных уравнений и выражена логарифмическая особенность. Решение интегральных уравнений в классе абсолютно суммируемых функций ищется в форме qn{x) = (OJI(X) -\-xt02(x))(y/l — х2)-1, где функции uji(x) — четные и по крайней мере непрерывные. При достаточно большом значении характерного геометрического параметра задачи для приближенного определения Ui(x) предложено два способа сведения интегрального уравнения к линейной алгебраической системе. Один из них основан на представлении неизвестных функций Ш{(х) в виде интерполяционных многочленов Лагранжа по чебышевским узлам; второй способ — с помощью ортогональных полиномов Чебышева [65]. Подобным методом была рассмотрена осесимметричная контактная задача изгиба круглых плит на линейно-деформируемом основании [37]. Также задача об изгибе круглой изотропной пластины, лежащей на линейно-деформируемом основании, исследовалась в [92]. В данной работе задача была сведена к изучению парных интегральных уравнений, для решения которых используется метод однократной и двойной ортогонализации, и в качестве элементов разложения берутся формы собственных неосесимметричных колебаний круглой пластины со свободным краем. В [73] задача изгиба круглой плиты на упругом слое приводится к исследованию интегрального уравнению Фредгольма второго рода. Далее, заменяя ядро уравнения вырожденным с помощью разложения по полиномам Лежандра, задача сводится к решению алгебраической системы двух уравнений с двумя неизвестными. Также, задача изгиба симметрично нагруженной круглой упругой пластины на упругом слое, лежащем на жестком неподвижном основании была решена в [86]. Проблема была сведена к исследованию парного интегрального уравнения относительно неизвестной функции, определяющей контактное давление и прогиб пластинки. В работе [38], также как и в [37], рассматривался изгиб круглой плиты на линейно-деформируемом основании, но уже с учетом деформации сдвига.
Подобно подходу, приведенному в [37], для решения данной задачи строится специальная система ортонормированных многочленов и используется метод сведения интегрального уравнения к бесконечной системе линейных алгебраических уравнений путем разложения в ряды по собственным функциям главной части интегрального оператора. Задачи цилиндрического изгиба пластин на неоднородном слое, причем закон изменения неоднородности по глубине в слое произволен, исследуются в [3]. Задача сводится к совместному решению дифференциального уравнения изгиба пластины и парного интегрального уравнения, связывающего контактные напряжения под пластиной и прогиб. Используется представление функции прогиба пластинки в виде ряда по формам собственных колебаний пластины при соответствующих граничных условиях, и задача сводится к бесконечной системе линейных алгебраических уравнений. Работа [8] посвящена контактной задаче о вдавливании гладкого симметричного (осесимметричного) жесткого штампа в балку бесконечной длины (в бесконечную пластину), лежащую на основании Фусса-Винклера. Из дифференциального уравнения изгиба балки (пластины) при соответствующих граничных условиях находятся функция изгиба балки (пластины), нормальное давление под штампом, сосредоточенная реакция, возникающая на границе зоны контакта, и связь между поступательным перемещением штампа и размером области контакта от величины прижимающей силы. В [40] рассматриваются задачи о вдавливании в бесконечную пластину Кирхгофа-Лява, лежащую на основании Фусса-Винклера, одного или двух ребер жесткости. В обоих случаях задачи были сведены к интегральным уравнениям первого рода относительно неизвестного контактного усилия. Исследуется структура ядра полученных уравнений, и приближенное решение ищется с помощью метода «больших Л» в виде ряда по степеням Л2 In Л, где Л — - а — полудлина линии контакта, d, s — жесткость пластины и основания соответственно. В [23] рассматривается задача о цилиндрическом изгибе произвольной пластинки конечной ширины, лежащей без трения на упругом полупространстве. Считается, что в области контакта осуществлено полное сцепление. Задача описывается системой из дифференциального уравнения изгиба пластины и интегрального уравнения первого рода с разностным ядром относительно контактного давления.
Упругий слой, усиленный круглой накладкой
Работы [53], [52] рассматривают разные методы расчета изгиба цилиндрической оболочки на упругом цилиндре. Данная задача сводится к совместному решению дифференциального уравнения прогиба оболочки и интегрального уравнения первого рода с разностным ядром относительно контактного давления. В [53] после решения дифференциального уравнения при соответствующих граничных условиях найденная функция прогиба подставляется в интегральное уравнение, которое предлагается решать методом, подобным, что использовался для решения интегральных уравнений в [54] и описанным в [12]. Подход в [52] аналогичен описанному в работе [54], то есть приближенное решение дифференциального уравнения ищется с помощью специальной системы ортонормированных многочленов Qn(x) в виде у{х) = J2n=oAnQn(%), тогда в силу линейности задачи контактное давление также представляется в виде ряда q(x) = 2п=0Лпдп(х). Решение интегральных уравнений относительно qn{x) в классе абсолютно суммируемых функций ищется в форме Qn(x) = п( )(л/1 — я2)-1, где для функций шп(х) строятся интерполяционные многочлены Лагранжа по чебышевским узлам. Задача продольной устойчивости балочных плит, лежащих на упругом полупространстве без трения при наличии двухсторонних связей, была впервые рассмотрена в работе [49]. Она была сведена к интегро-дифференциальному уравнению относительно прогиба плиты, и приближенное решение для прогиба предлагается искать в виде линейной комбинации по специальным ор-тонормированным полиномам. В [13] был исследован вопрос устойчивости бесконечной пластины (покрытия) под действием продольного усилия, находящейся в условиях цилиндрического изгиба в двухстороннем контакте с упругим слоем, защемленным по основанию.
Было найдено критическое усилие потери устойчивости, причем при приближении свойств материала слоя к несжимаемому установлено увеличение критического усилия в случае замены упругого слоя эквивалентным основанием Фусса-Винклера. Эффект снижения величины критического усилия по сравнению с критическим усилием, рассчитанным с заменой упругого слоя эквивалентным основанием Фусса-Винклера при приближении свойств материала слоя к несжимаемому, также установлен в работе [25]. Подобно [13], данная работа посвящена вопросу устойчивости бесконечной пластины под действием продольного усилия, но уже в условиях осесимметричного изгиба, а не цилиндрического, в двухстороннем контакте с упругим слоем, защемленным по основанию. В [39] при исследовании вопросов устойчивости в задаче для круглой пластины на линейно-деформируемом основании при наличии двухсторонних связей под действием продольных сжимающих усилий применяется аналогичный метод как и в работах [54], [37], [53], [52]. А именно, предлагается разложить по специальной системе ортонормированных полиномов функцию прогиба, в силу линейности задачи представить контактное давление в виде соответствующего ряда, PI полученные интегральные уравнения решать методом сведения к бесконечной алгебраической системе с помощью ортогональных многочленов Лежандра. В плоской, осесимметричной и пространственной постановках в [26] была исследована задача об устойчивости бесконечной плиты под действием продольных сжимающих усилий, находящейся в двухстороннем контакте с упругим несжимаемым полупространством, преднапряженным силами тяжести. В [27] рассматривался вопрос устойчивости в условиях двухстороннего контакта продольно сжатой бесконечной упругой плиты на двухслойном упругом основании, верхний слой которого описывается моделью изотропной сжимаемой упругой средой, нижним является изотропное несжимаемое преднапря-женное силами тяжести упругое полупространство. В [27] было показано, что значение критического усилия при полном сцеплении между плитой и основанием примерно в десять раз меньше в случае не учета сил трения между плитой и основанием. В [35] была рассмотрена задача изгиба бесконечной тонкой пластинки, лежащей на гидравлическом основании, сосредоточенной силой. Считается, что материал пластинки несжимаем и описывается соотношениями, часто принимаемыми для описания напряженно-деформируемого состояния конструкций изо льда в условиях развитой установившейся ползучести, а именно, что интенсивности девиатора скоростей деформаций и девиатора напряже- ний связаны степенной зависимостью (закон Глена). Основание моделируется вязкоупругим винклеровским основанием.
В работе были получены асимптотические разложения для прогиба при большом и малом времени. Подобная задача для ледяного покрова на гидравлическом основании при сосредоточенном воздействии, но в рамках нелинейной неустановившейся ползучести была рассмотрена в [57]. В [58] была рассмотрена плоская задача об установившейся ползучести ледяного покрова, лежащего на мерзлом грунте, при сосредоточенном воздействии. Считается, что материал покрова и материал грунта несжимаемы и описываются степенной зависимостью между интенсивностью скоростей деформаций сдвига и интенсивностью касательных напряжений с различными показателями нелинейности. Деформации грунта описываются моделью нелинейно ползучего винклеровского основания. Учитывая это и используя гипотезы Кирхгофа, задача в [58] сводится к нелинейному дифференциальному уравнению относительно скорости прогиба плиты. Приближенное решение полученного уравнения находится методом пристрелки. Некоторые контактные задачи для тел с тонкими покрытиями в условиях нелинейной установившейся ползучести исследовались в [30], [18]. В данных работах были рассмотрены задачи о вдавливании без трения жесткого штампа в поверхность слоя, лежащего на гидравлическом основании, на стержневом основании, подстилаемым жестким основанием, или в упругий слой, лежащий на жестком основании и покрытый стержневым слоем. Физико-механические свойства слоя описываются уравнениями нелинейной теорией ползучести со степенной связью между интенсивностью девиатора скоростей деформаций и интенсивностью девиатора напряжений. Контактные задачи в [18] сведены к уравнениям, которые содержат интегральные операторы по координате и дифференциальные по времени. Во всех задачах получены асимптотические решения для контактного давления при малом и большом времени. В [56] рассматривается задача о нелинейной неустановившейся ползучести ледяной плиты, частично покрывающей гидравлическое основание, моделируемое основанием Фусса-Винклера. Один из концов плиты жестко защемлен по длине, а другой нагружен перерезывающим усилием и изгибающим моментом. Для описания реологии льда использована зависимость между деформацией ползучести и напряжением, стоящим в некоторой степени под знаком временного оператора вольтеровского вида с неразностным ядром.
Упругий слой, усиленный круглой упругой накладкой
В [17] были исследованы плоские задачи о вдавливании и движении штампа с постоянной скоростью вдоль поверхности слоя льда, лежащего на гидравлическом основании, и о квазистатическом вдавливании штампа в слой льда на гидравлическом основании. В случае движущегося штампа, задача решается в рамках теории упругости и сводится к интегральному уравнению первого рода с разностным ядром относительно контактного давления. В зависимости от значений относительной толщины слоя строится асимптотическое решение задачи. Было показано, что для слоя большой толщины критической скоростью движения штампа будет скорость распространения волны Рэлея; в случае слоя малой толщины критическая скорость движения штампа превышает рэлеевскую. В случае квазистатического вдавливания штампа учитывается эффект ползучести слоя, и при больших значениях относительной толщины слоя приближенное решение задачи ищется с помощью принципа обобщенных перемещений. Для малых значений относительной толщины слоя решение задачи ищется в виде ряда, и получают асимптотику решения при большом времени. Также плоские контактные задачи о динамическом взаимодействии упругого штампа с упругой полуплоскостью через накладку или тонкий слой идеальной жидкости были рассмотрены в [16]. В данной работе изучалась упругая полуплоскость, либо усиленная по всей границе тонкой накладкой, либо покрытая тонким слоем идеальной несжимаемой жидкости, и предполагалось, что штамп вдавливается без трения в границу накладки или слоя жидкости и при этом движется с постоянной скоростью вдоль этой границы. Задачи были сведены к интегральным уравнениям первого рода с сингулярными ядрами относительно неизвестного контактного давления. Была исследована структура решений, и при больших значениях безразмерного характерного параметра задачи асимптотическое решение задачи ищется с помощью метода «больших Л». Динамическая плоская контактная задача о движущемся жестком штампе с постоянной скоростью по границе тонкого покрытия слоя идеальной жидкости была изучена в [29].
Также штамп вдавливается в верхнюю грань покрытия, силы трения в области контакта предполагаются отсутствующими. Для описания покрытия пользуются моделью мембраны, а течение жидкости счи- тается установившимся и потенциальным. Задача сведена к интегральному уравнению первого рода типа свертки, исследована структура ядра, и было показано, что полученное интегральное уравнение корректно разрешимо лишь в классе обобщенных функций медленного роста. В работе [31] с помощью асимптотического анализа были выведены разрешающие уравнения пластин, описывающие внутреннее напряженно-деформируемое состояние и удобные при решении динамических контактных задач для тел с покрытиями. Также, используя асимптотический анализ решения первой основной задачи теории упругости для слоя, в [2] были выведены уточненные уравнения осесимметричного деформирования тонкостенных упругих элементов и уточненные уравнения деформирования тонких пластин в [79]. Полученные уравнения удобны при решении контактных задач для тел с покрытиями и содержат в себе как частный случай уравнения классических теорий. В [14] рассматривается задача о вдавливании жесткого штампа в полуплоскость, состоящую из двух различных сред. Для определения нормального контактного давления из интегрального уравнения, к которому сводится данная смешанная контактная задача, предлагается несколько подходов: после аппроксимации ядра, решение уравнения ищется в виде ряда по степеням функционального параметра; с помощью метода «больших Л» решение ищется в виде ряда по степеням Л-1 In Л; используется метод ортогональных многочленов и решение интегрального уравнения ищется в виде ряда по полиномам Чебышева; другой способ состоит в применении метода коллокаций по чебышевским узлам; и последний, задача решается с помощью двухстороннего асимптотического метода. Модифицированный метод Мультоппа-Каландия [41] нашел широкое применение при решении интегральных уравнений первого рода с разностным ядром, имеющим логарифмическую особенность. Например, с его помощью была решена задача о взаимодействии упругой плоскости с круговым отверстием и упругого диска меньшего радиуса, когда их поверхности имеют тонкие усиливающие покрытия [55]. Вообще, многие контактные задачи теории упругости сводятся к уравнениям первого рода с разностным ядром, например контактные задачи для упругой полосы. В работе [10] изучаются интегральные уравнения именно такого типа. Исследуется структура ядра. Решение ищется в пространстве абсолютно суммируемых функций, и интегральное уравнение сводится к эк- Бивалентному интегральному уравнению второго рода. При больших значениях характерного геометрического параметра задачи для решения уравнения предложен метод последовательных приближений или метод «больших Л». Для произвольных значений характерного геометрического параметра полиномом аппроксимируется регулярная часть ядра, PI решение ищется в виде соответствующего ряда; находится решение при малых значениях геометрического параметра. Указаны границы рационального использования каждого способа.
В работе [78] на примере контактной задачи о вдавливании штампа в упругую полосу, покрытую «винклеровскими» пружинами и лежащую без трения на жестком основании, исследуются интегральные уравнения второго рода на конечном интервале с разностными ядрами. К подобным уравнениям сводится ряд плоских контактных задач для линейно-деформируемого основания, поверхность которого усилена тонким упругим покрытием. В данной работе исследована структура ядра, показана разрешимость такого типа уравнений в классе 1 2 и построено решение в виде ряда Фурье по полиномам Лежандра. Динамический аналог задачи для упругой полосы, с покрытием винклеров-ского типа и лежащей на жестком основании, был рассмотрен в [32]. В [59] рассматривается плоская контактная задача для упругой полуплоскости с упругой накладкой конечной длины и постоянной толщины. Считается, что жесткость накладки на изгиб пренебрежимо мала, и к одному из её торцов приложено растягивающее усилие. Задача сводится к решению интегро-дифференциального уравнения типа Прандтля, из которого находится касательное напряжение в области контакта упругой накладки и границы полуплоскости. Задача для упругой полуплоскости с упругим конечным креплением также исследовалась в работе [83], в которой решение полученного интегро-дифференциального уравнения Прандтля сводили к бесконечной системе алгебраических уравнений с помощью метода ортогональных многочленов. В работах [20] и [7] рассмотрены плоские контактные задачи о вдавливании жесткого штампа в упругую полосу, усиленную на границе тонким упругим покрытием. Причем в [20] упругая полоса лежит на жестком основании, в [7] — защемлена по основанию. Задачи сводятся к решению интегральных уравнений первого рода с разностным ядром относительно контактного давления. В [7] исследуется структура решения полученного интегрального уравнения и строится разрешающее интегральное уравнение. В [20] для решения ин- тегрального уравнения используются различные асимптотические методы, а именно, аппроксимация ядра гиперболическим тангенсом, при соответствующих свойствах ядра; метод «больших А» при больших значениях характерного геометрического параметра, метод приближенной факторизации Койтера — при малых значениях этого параметра.