Содержание к диссертации
Введение
I. Краткий обзор существующих методов расчёта плитных фундаментов каркасных зданий и сущность предлагаемого решения 15
1.1. Методы расчёта плитных фундаментов, разработанные без учёта влияния реактивных касательных напряжений и жесткости надфундаментного строения 15
1.2. Методы расчёта плитных фундаментов на изгиб, разработанные с учётом влияния реактивных касательных напряжений 21
1.3. Методы расчёта плитных фундаментов на изгиб, разработанные с учётом влияния жесткости надфундаментного строения 31
1.4. . Сущность решения рассмотренной в работе биконтактной задачи о расчёте плитного фундамента с учётом жесткости надфундаментного строения и реактивных касательных напряжений 40
2. Решение вспомогательной контактной задачи об учёсе реактивных касательных напряжений в работе полосы тонкой плиты на упругой полуплоскости, когда на верхнюю ее грань заданы распределенные по произвольному закону нормальные и касательные нагрузки 52
2.1. Вывод уравнения изгиба полосы рассматриваемой балочной плиты на упругой полуплоскости в общем виде 52
2.2. Составление математического алгоритма решения рассмотренной контактной задачи в случае внешних воздействий, вызывающих симметричный изгиб полосы относительно средней её точки 61
2.3. Составление математического алгоритма решения рассмотренной контактной задачи в случае внешних воздействий, вызывающих кососимметричный изгиб полосы относительно средней её точки 64
2.4. Численные примеры и оценка влияния реактивных касательных напряжений на результаты расчёта плитных фундаментов бб
2.5. Приближенный способ учёта реактивных касательных напряжений в расчётах плитных фундаментов зданий со связевым каркасом б?
3. Решение вспомогательной юнтакгной задачи о расчёте приведенной к континуальной системе каркасных зданий на упругом полупространстве ( плоская постановка ), при учёте реактивных касательных напряжений 75
3.1. Приведение надфундаментного строения многоэтажного каркасного здания к статически эквивалентной континуальной системе 75
3.2. Решение задачи по расчёту приведенного к континуальной системе надфундаментного строения с использованием теории упругости в обыкновенных дифференциальных уравнениях 97
3.2.1. Сущность теории упругости в обыкновенных дифференциальных уравнениях 97
3.2.2. Решение задачи при действии вертикальных нагрузок
3.2.3. Решение задачи при учете ветровой нагрузки. 110
3.2Л. Оценка сходимости и устойчивости получен ных решений задач на численных примерах расчёта, выполненных на ЭВМ при различных контактных условиях 120
3.3. Расчёт толстой балочной плиты на упругом полупро странстве при полном сцеплении их контактных по верхностей и точном удовлетворении всех граничных условий 128
3.3.1. Решение задачи в случае распределенной по произвольному закону вертикальной симметричной нагрузки 132
3.3.2. Численные примеры расчёта толстых плитных фундаментов и оценка сходимости и устойчивости данного решения 136
Решение госгавленой в работе биконтакгной задачи о расчёте гошгных фундаментов многоэтажных каркасных зданий на вертикальные нагрузки 149
4.1. Составление математического алгоритма с использованием решений вспомогательных задач 149
4.2. Численные примеры расчёта на ЭВМ плитных фундаментов каркасных зданий при различных геометрических и физических характеристиках сооружений... 159
5. Решение поставленной в работе бйконтактной задачи о расчёте плитных фундаментов многоэтажных каркасных зданий на ветровую нагрузку 169
5.1. Представление решения данной асимметричной задачи в виде наложения решений соответствующих симметричной и кососимметричной составляющих... 169
5.2. Решение симметричной составляющей задачи и численные примеры расчёта 172
5.3. Решение кососимметричной составляющей задачи и численные примеры расчёта 177
Выводы 194
Список использованной литературы
- Методы расчёта плитных фундаментов на изгиб, разработанные с учётом влияния реактивных касательных напряжений
- Составление математического алгоритма решения рассмотренной контактной задачи в случае внешних воздействий, вызывающих симметричный изгиб полосы относительно средней её точки
- Решение задачи по расчёту приведенного к континуальной системе надфундаментного строения с использованием теории упругости в обыкновенных дифференциальных уравнениях
- Решение симметричной составляющей задачи и численные примеры расчёта
Введение к работе
В основных направлениях экономического и социального развития СССР на І98І-І985 гг и на период до 1990 г предусматривается повышение эффективности капитального строительства, осуществление строительства по наиболее прогрессивным и экономичным проектам.
В строительной практике в качестве фундаментов современных инженерных сооружений широко используются железобетонные балки и плиты. За последние годы значительно увеличился объём строительства гражданских и промышленных зданий с железобетонным плитным фундаментом различных конструкций. Наибольшее распространение нашли плоские (безбалочного типа) плитные фундаменты.
Устройство фундаментов связано с большими затратами. Их стоимость колеблется от 5 до 25% стоимости всего сооружения. Поэтому вопрос создания надёжных ив то же время экономичных фундаментных конструкций имеет большое практическое значение и является в настоящее время весьма актуальным. Одним из путей повышения эффективности любого инженерного сооружения является совершенствование существующих и разработка новых методов расчёта,позволяющих максимально использовать прочностные свойства стройматериалов за счёт приближения расчетных схем к действительным условиям работы сооружений.
Проблема расчёта фундаментов на деформируемом основании представляет собой весьма обширный раздел современной строительной механики. Она отличается исключительной сложностью, обусловленной неполной ясностью аналитической интерпретации деформативности грунтового основания, математической сложностью решения соответствующей контактной задачи и др. Этим и объясняется многочислен-
ность предлагаемых моделей для описания податливости грунтового основания аналитическим путём и разработанных до настоящего времени различных решений указанной контактной задачи.
В настоящее время опубликовано множество монографий и статей, как у нас в стране, так и зарубежом, посвященных разработке методов расчёта фундаментов различных назначений и очертаний. Большинство из этих работ основано на общем допущении, согласно которому деформативность грунтового основания представляется по модели изотропного упругого полупространства (или полуплоскости). Фактически на основе таких работ и составлены основные положения действующих у нас в стране норм и руководящих указаний по расчёту фундаментов различных инженерных сооружений. Однако, как известно, и этой модели приписываются существенные недостатки.
С целью дальнейшего приближения результатов расчёта фундаментов к действительности уже много лет проводятся специальные теоретические и экспериментальные исследования. Главная цель почти всех этих исследований заключается в дальнейшем усовершенствовании модели грунтового основания (рассмотрение: деформированного грунтового основания конечной толщины, пластических деформаций в грунте путём рассмотрения данной проблемы в виде смешанной задачи теорий упругости и пластичности и т.д.) и решение соответствующих им контактных задач. Результаты этих исследований, безусловно, сыграли весьма важную роль в деле усовершенствования существующих ранее методов расчёта фундаментных балок и плит. В последнее время большое внимание уделяется также учету пластических деформаций и трещинообразования в фундаменте.
Вместе с тем, как было уже отмечено выше, большинство этих исследований носило, в основном, односторонний характер - посвя-
щалось лишь уточнению модели грунтового основания и разработке практически удобных решений соответствующих контактных задач для фундаментов при заданных внешних воздействиях (без учёта жесткости надфундаментного строения). Задачи расчёта плитных фундаментов конечной жесткости решались, как правило, с удовлетворением одного контактного условия о равенстве вертикальных перемещений соответствующих контактных точек фундамента и основания.
В действительности же фундаменты сопряжены всегда с надфун-даментным строением и поэтому они работают в системе "основание--фундамент-надфундаментное строение". Следовательно, реальные условия работы плитных фундаментов резко отличаются от указанных контактных условий. Это положение особенно касается фундаментов большеразмерных зданий современных конструкций (каркасных, крупнопанельных и т.д.)» надфундаментные строения которых отличаются значительной жесткостью и неподвижно закреплены в плитные фундаменты. В результате влияния жесткости надфундаментного строения, выражающегося в целом в препятствии свободным изгибам плитных фундаментов, как это следует из результатов исследований настоящей работы, существенно сокращаются расчётные значения прогибов фундамента и следовательно достигается экономический эффект.
Для дальнейшего приближения результатов расчёта плитных фундаментов многоэтажных каркасных зданий к Действительности не менее важное значение имеет учёт реальных контактных условий как по подошве фундамента, так и по верхней его грани. При удовлетворении лишь упомянутого выше одного контактного условия искажаются реальные условия сопряжения фундамента с основанием - их контактные поверхности считаются идеально гладкими. В действи-
шельности, как свидетельствуют данные выполненных в последнее время экспериментальных исследований, относительные смещения контактных точек фундамента и основания нереальны» Поэтому, при расчёте рассматриваемых плитных фундаментов напрашивается дополнение указанного контактного условия равенством и горизонтальных перемещений соответствующих контактных точек конструкции и основания, что приводит к возникновению по подошве фундамента реактивных касательных напряжений. Учёт последних, как это будет показано ниже оказывает значительное влияние на прогибы и внутренние усилия плитного фундамента в сторону сокращения их величин.
Настоящая диссертационная работа посвящена разработке решений некоторых из указанных задач рассматриваемой проблемы.
Целью работы является усовершенствование практикуемых методов расчёта плитных фундаментов многоэтажных каркасных зданий путём учёта влияний, некоторых из пренебрегае-мых ранее важных факторов - жесткости надфундаментного отроения и наличии сцепления и трения между плитой и основанием, которые препятствуют свободному изгибу плитного фундамента за счёт возникновения реактивных касательных напряжений и следовательно приводят к существенному экономическому эффекту, а также разработка способа расчёта толстых плитных фундаментов с учётом реактивных касательных напряжений.
Научная новизна работы состоит в следующем: I) получены решения биконтактных задач теории упругости о совместной работе рамного каркаса (рассматриваемого в виде статически эквивалентной континуальной системы),плитного фундамента и упругого полупространства (плоская постановка) :
- при учёте собственного веса и полезной нагрузки ;
- 10 --при учёте снеговой нагрузки ;
в случае ветровой нагрузки, представляя её в виде суммы двух составляющих: симметричной и кососимметричной (следовательно, решены две самостоятельные биконтактные задачи теории упругости) ;
предложен приближенный способ учёта жесткости надфундамент-ного строения и реактивных касательных напряжений в расчётах плитных фундаментов по пространственной схеме ;
предложены приближенные способы для оценки влияния податливости плитного фундамента на усилия в элементах рамы многоэтажного каркасного здания ;
в случае произвольных внешних нагрузок получено решение контактной задачи теории упругости о расчёте полосы толстой балочной плиты на упругой полуплоскости при учёте реактивных касательных напряжений и точном удовлетворении всех граничных условий ;
получено решение контактной задачи теории упругости для полосы тонной плиты на упругой полуплоскости с учётом реактивных касательных напряжений, когда на верхнюю её грань действуют распределенные по произвольному закону нормальные и касательные нагрузки ;
предложен приближенный способ учёта реактивных касательных напряжений в расчёте плитных фундаментов зданий со связевым каркасом.
Практическое значение работы:
проведенные исследования показали, что учёт жесткости надфун-даментного строения и реактивных касательных напряжений в расчётах плитных фундаментов многоэтажных каркасных зданий приводит к
- II -
плитного фундамента. Поэтому, широкое использование на практике предлагаемых способов и программ для ЭВМ по расчёту плитных фундаментов многоэтажных каркасных зданий связано со значительным экономическим эффектом.
Практическое использование составленных в работе программ для ЭВМ по расчёту толстых плитных фундаментов позволит более рационально расположить арматуру в конструкции, и следовательно, достигнуть экономического эффекта.
Экономическая эффективность и внедрение : разработанные в диссертации способы расчёта и программы для ЭВМ включены в подготовленное к изданию НИИОСП им. Н.М. Герсеванова Госстроя СССР "Руководство по проектированию плитных фундаментов каркасных зданий и сооружений башенного типа", составленное в развитие главы СНиП II-15-74 "Основания зданий и сооружений".
Ожидаемый годовой экономический эффект от внедрения включенных в указанное "Руководство" способов и программ для ЭВМ составляет 55 тыс. руб.
Основные результаты выполненной работы докладывались и обсуждались: на Всесоюзной конференции молодых специалистов "Строительство ГЭС в горных условиях" (Телави, 1979); на ХУ конференции молодых научных работников ВНЙИГ им. Б.Е. Веденеева (Ленинград , 1980); на координационных совещаниях по проблеме 0.55.05, заданию 09.02 "Разработать и внедрить новые конструкции фундаментных плит каркасных зданий и сооружений башенного типа" плана важнейших научно-исследовательских работ в области строительства на 1976-1980гг. Госстроя СССР (Тбилиси, 1978; Львов, 1979; Свердловск, 1980) ; на Юбилейной конференции молодых учёных г. Тбилиси, посвященной 60-
-летию установления Советской власти в ГССР и 40-летию со дня основания АН ГССР (Тбилиси, 198I) ; на Всесоюзной конференции молодых специалистов "Строительство ГЭС в горных условиях" (Поти, 1982); на конференции молодых научных сотрудников и специалистов научно-исследовательских институтов республик Закавказья в области строительства жилых и общественных зданий (Тбилиси, 1982) ; на Всесоюзном научно-техническом совещании "Проектирование и исследование скальных оснований гидротехнических сооружений (Нарва, 1982); на УІ конференции "Практическая реализация численных методов расчёта инженерных конструкций" (Ленинград,1983); на Всесоюзном семинаре молодых учёных и специалистов "Качество и надёжность строительных материалов и конструкций в сейсмическом строительстве" (Батуми, 1984).
Основные положения диссертации отражены в девяти публикациях [186-194].
Диссертационная работа является результатом исследования автора по проблеме 0.55.05, заданию 09.02 "Разработать и внедрить новые конструкции фундаментных плит каркасных зданий и сооружений башенного типа", плана важнейших научно-исследовательских работ в области строительства на 1976-1980 гг Госстроя СССР. Все научные результаты, полученные диссертантом, вошли в научно-технические отчёты ГрузНИЙЭГС с номерами госрегистрации 76025683, 78049580, 79034631.
В ПЕРВОЙ ГЛАВЕ работы даётся краткий обзор существующих методов расчёта плитных фундаментов зданий. Излагается сущность используемой в работе расчётной схемы.
ВО ВТОРОЙ ГЛАВЕ решается вспомогательная контактная задача теории упругости об учёте реактивных касательных напряжений в ра-
- ІЗ -
боте полосы тонкой плиты на упругой полуплоскости, когда на верхнюю её грань заданы распределенные по произвольным законам нормальные и касательные нагрузки. Даётся вывод уравнения изгиба полосы рассматриваемой балочной плиты на упругой полуплоскости в общем виде.
В этой же главе составляются математические алгоритмы решения контактных задач, в которых от действия внешних нагрузок, полоса плитного фундамента прогибается симметрично или кососиммет-рично относительно средней ее точки. На численных примерах исследуются оценка влияния реактивных касательных напряжений на прогибы и внутренние усилия плитных фундаментов при различных геометрических и физических характеристиках конструкции и основания. Даётся приближенный способ учёта реактивных касательных напряжений в расчёте плитных фундаментов зданий со связевым каркасом.
В ТРЕТЬЕЙ ГЛАВЕ решается вспомогательная контактная задача теории упругооти о расчёте приведенного к континуальной ортотроп-ной системы каркасного здания на упругом полупространстве (плоская постановка), при учёте реактивных касательных напряжений . Приводится способ представления многоэтажного каркасного здания в виде статически эквивалентной континуальной системы. Здесь же даётся сущность используемого для расчёта приведенной к континуальной системе надфундаментного строения теории упругости в обыкновенных дифференциальных уравнениях. Даётся решение указанной контактной задачи при действии произвольных внешних воздействий. На численных примерах расчёта, выполненных на ЭВМ, исследуется оценка сходимости и устойчивости полученных решений задач при различных контактных условиях. В конце главы даётся методика расчёта
толстой балочной плиты на упругом полупространстве при полном сцеплении их контактных поверхностей и точном удовлетворении всех граничных условий.
В ЧЕТВЕРТОЙ И ПЯТОЙ ГЛАВАХ предложены способы расчёта плитных фундаментов многоэтажных каркасных зданий при учёте жесткости надфундаментного строения и реактивных касательных напряжений, соответственно на вертикальные (собственный вес с полезной нагрузкой и снеговая нагрузка) и горизонтальные (ветровая) нагрузки. В случае действия на здание ветровой нагрузки, решение асимметричной биконтактной задачи рассматривается в виде суммы решений симметричной и кососимметричной составляющих. Даются численные примеры расчёта.
В конце работы приведены основные выводы, список использованной литературы и приложение.
Автор считает своим приятным долгом выразить благодарность научному руководителю д.т.н., проф. И.И. ГУДУШАУРИ за большую помощь при выполнении настоящей работы.
Методы расчёта плитных фундаментов на изгиб, разработанные с учётом влияния реактивных касательных напряжений
В большинстве из существующих работ, посвященных учёту влияния реактивных касательных напряжений, рассматривается случай полного сцепления подошвы фундамента с поверхностью упругого полупространства (или полуплоскости). В этих работах взамен одного условия (I.I) удовлетворяются следующие две контактные условия : Ых) = ио(эс)} Ui(X) = U0(X), (1.2) где Уі (X) , Zio(X)- горизонтальные перемещения контактных точек соответственно фундамента и основания.
Иначе говоря, в них контактные условия (I.I) дополняются вторым условием (1.2), выражающим отсутствие относительных горизонтальных смещений между контактными точками подошвы фундамента и поверхности основания. Большинство из этих работ посвящено зада - 22 чам о вдавливании жестких штампов в упругое полупространство. К ним относятся работы Н.И. Мусхелишвили [96, 97] , В.А. Флорина [138, 139] , И.Я. Штаермана [l59] , Л.А. Галина [іб, 17] , Г.Я. Попова [Юб, 107, ID8] , А.Н. Динника [4l] , В.И. Моссакавского [89, 90] , Я.С. Уфлянда [іЗб] , Я.М. Кизыма [54, 55, 5б] , А.С, Соловьёва [і2б] и др. Изучению этого же вопроса были посвящены и экспериментальные исследования [79, 85, 91, 92, 99, НО и др.].
Предложены также теоретические решения и таких контактных задач, где на части контактной поверхности имеется трение, а на остальной части сцепление [15, 62, 140, 143, 144 и др. ] , в которых второе условие (1.2) представляется соответствующим образом. Однако в рассматриваемых плитных фундаментах каркасных зданий, имеющих обычно большие размеры в плане, если наличие участков трения возможно, то размеры их зон будут настолько незначительными, что практически не могут оказать влияния на результаты расчёта. Поэтому, на такие работы ниже не будем останавливаться. В работе В.А. Флорина [l38] , с целью оценки уточнения решений контактных задач за счёт замены условия (І.І) условием (1.2), исследован также вопрос о влиянии реактивных касательных напряжений на реактивные нормальные напряжения. В результате этих исследований им было установлено, что "... изменение нормальных напряжений по подошве полосы х в зависимости от учёта или неучёта сил трения настолько незначительно, что практически не имеют значения...". При этом под силами трения В.А. Флорин подразумевает реактивные касательные напряжения, возникающие по контактной поверхности в результате удовлетворения второго из контактных условий (1.2), выражающего полное сцепление контактных поверхностей фун х/ Имеется в виду полоса жесткого штампа. дамента и основания К аналогичному результату пришел позже и 0. Е. Проходченко [109] .
Указанное заключение В.А. Флорина безусловно имеет большое практическое значение при расчёте грунтового основания на прочность. При расчёте же самой конструкции , выполняемого, как правило, на прочность и деформации, возникает задача об учёте влияния рассматриваемого фактора на внутренние усилия и прогибы плитного фундамента. Эта задача впервые была поставлена в исследованиях И.И. Гудушаури [30-34, 36 ] . Выполненные им исследования с использованием модели упругого полупространства,подтвердили справедливость упомянутого выше заключения В.А. Флорина [138] о малом влиянии реактивных касательных напряжений на реактивные нормальные напряжения жестких фундаментов. Вместе с тем, они показали, что в расчётах плитных фундаментов конечной жесткости влияние рассматриваемого фактора на реактивные нормальные напряжения становится существенным и возрастает с увеличением показателя гибкости фундамента. К такому же результату пришли и другие авторы [l47, 163, 166 и др.] . Более важным результатом исследований И.И. Гудушаури следует считать установленное им впервые положение о значительном влиянии реактивных касательных напряжений на прогибы и изгибающие моменты плитных фундаментов (рис. I.I, 1.2).
Указанное положение о том, что от влияния реактивных касательных напряжений значительно сокращаются максимальные значения изгибающих моментов и прогибов плитных фундаментов ( рис. I.I ) , может иметь важное практическое значение при выборе наиболее эфг фективной модели грунтового основания.
Составление математического алгоритма решения рассмотренной контактной задачи в случае внешних воздействий, вызывающих симметричный изгиб полосы относительно средней её точки
Для оценки влияния реактивных касательных напряжений на ре зулыаты расчёта плитных фундаментов даётся его расчёт по методу, разработанному И.И. Гудушаури ( с учетом реактивных касательных напряжений) [ЗО, ЗІ, 32] и по методу П.И. Клубина ( без учета влияния реактивных касательных напряжений ) [61 ] .
Анализ полученных численных примеров показывает, что достигаемый при учете влияния реактивных касательных напряжений экономический эффект существенно зависит от характеристик : cL=c/l; К=Ео/Еб, где С , - полуширина и полудлина полосы плитного фундамента ; Ео » Etf " модули упругости соответственно основания и бетона.
Влияние этих факторов на результаты исследования поставленной задачи было проанализировано на случае действия на плитный фундамент равномерно распределенной нагрузки [39, 190] . Были выполнены расчёты на ЭВМ для различных примеров, результаты которых приведены на рис. 2.5 - 2.8 в виде графиков безразмерных значений изгибающих моментов и прогибов плитных фундаментов в зависимости от изменения его параметров оС и К
Приближенный способ учета реактивных касательных напряжений в расчете плитных фундаментов зданий со связевым каркасом В рассматриваемой схеме связевого каркаса основными несущими элементами надфундаментного строения являются система колонн (стоек), горизонтальные диски - перекрытия и диафрагмы жесткости.
Расчёт плитных фундаментов зданий со связевым каркасом при Графики для определения коэффициента КУ » выражающего отношение максимальных значений прогибов, полученных с учетом и без учета влияния реактивных касательных напряжений - учете реактивных касательных напряжений выполняется по следующей последовательности [l90] :
1) по предлагаемому методу расчёта, разработанному без учета реактивных касательных напряжений (т.е. при i0 = 0 ) , определяются расчетные значения изгибающих моментов и прогибов для полосы заданного плитного фундамента ( Мта% » тл% ) 2) для той же полосы определяются те же величины уже при . ,t fl ,,o + O „ учете реактивных касательных напряжений ( Мта% , \Sma ) и находятся коэффициенты : -и о , +о-о ., ,,o+oi to-0 Км= MmCLX/Mmaxi Ktf-lW/lW . (2.39) 3) определяются расчетные значения изгибающих моментов и прогибов плитных фундаментов зданий со связевым каркасом по формулам : Mm . = м Мтйу. ; tf"maiC = fVtfmax/ (2.40) іГл "t= -7 0=0 где Mma » ита . - соответственно максимальные значения изгибающего момента и прогиба плитного фундамента, найденные по любому из практикуемых методов без учета реактивных касательных напряжений. Для определения коэффициентов Км » Ktf можно пользоваться также графиками, приведенными на рис. 2.9 и 2.10. Приведение надфундаментного строения многоэтажного каркасного здания к статически эквивалентной континуальной системе
Выше было отмечено, что надфундаментное строение рассматриваемых каркасных зданий, представляющее пространственную раму (рис. 1.4,а), согласно используемой расчетной схеме, приводится к континуальной системе (рис. 1.4,6) с некоторыми приведенными характеристиками упругости [186, 188, 192] . Эта система, учитывая указанные допущения (см. п. 1.4), будет ортогонально изотропной (ортотропной).
Упомянутые приведенные характеристики упругости определяются из условия подобия заданной действительной рамной конструкции надфундаментного строения здания и приведенной континуальной системы в смысле их деформативности» При этом условие подобия должно быть составлено исходя из ячейки, из которых, рассматривая их в достаточном количестве, составлена вся надфундаментная рамная система и призматического элемента приведенной континуальной системы, вписанного в этой ячейке.
В качестве такой ячейки может быть рассмотрена стержневая система, приведенная на рис. 3.1,а. Она состоит из двух ригелей и одной колонны, которые соединены жестко в точках их пересечения. Согласно принятых выше обозначений, длины этих стержневых элементов, соответственно, будут : l% , {L , l2 . Следова - 76 тельно, при составлении указанного выше условия подобия рассматривается так же и соответствующего размера ( 1 , {L , г ) призматический элемент приведенной континуальной системы (рис. 3.1,6) .
В данной плоской задаче будем исследовать работу элемента здания, вырезанного из него двумя плоскостями, параллельными плоскости ХОН . Расстояние между этими плоскостями будет 3 Надфундаментное строение этого расчетного элемента , рассматривая его в виде приведенной континуальной системы, будет представлять ортотропный диск с приведенными характеристиками упругости Ех » E"z » &хг (Рис 3.2). Для их определения поступаем так.
Решение задачи по расчёту приведенного к континуальной системе надфундаментного строения с использованием теории упругости в обыкновенных дифференциальных уравнениях
Они отличаются от известных уравнений теории упругости лишь тем, что здесь касательные напряжения X выполняют роль усилий взаимодействия указанных выше фиктивных систем и представляются в виде полинома (3.64). Это даёт возможность найти выражения напря жений непосредственно из уравнений равновесия, которые при этом интегрируются как обыкновенные дифференциальные уравнения, после - 100 подстановки в них выражений внутренних касательных напряжений. Появляющиеся при этом интеграционные функции, определяются из граничных условий.
Компоненты перемещений определяются из известных соотношений теории упругости : =(бх- г); (3.68) = - ), (3.69) ai" Tax" G l] (3.70) где подставляются найденные из (З.бб) и (3.67) нормальные напряжения и касательные напряжения в виде (3.64).
Два из равенств (3.68) - (3.70) после подстановки в них указанных выражений, используются для определения компонентов перемещений, путём их интегрирования как обыкновенных дифференциальных уравнений. При использовании с указанной целью уравнения (3.68), удовлетворить условие (I.4-) не удаётся, так как после его интегрирования по X появляется искомая функция, зависящая от Z
Для удовлетворения же условия (1.4-) требуется, чтобы интеграционная функция зависела от X . Поэтому, в данной задаче с указанной целью следует пользоваться равенством (3.70). Равенство же (3.68), рассматривая его как условие наложения фиктивных систем, удовлетворяется путём определения соответствующих значе ний искомых коэффициентов Ятп полинома (3.64) после подстановки в (3.68) полученного из (3.70) выражения для горизонтального перемещения и найденного уже выражения нормальных напряжений. При этом, достигается полное удовлетворение соотношений упругости (3.68) - (3.70), что равносильно полному удовлетворению условий неразрывности деформаций, уравнений равновесия (3.66) , (3.67) и всех граничных условий надфундаментного строения рассматриваемого здания.
Однако, как показали результаты специально выполненных на ЭВМ численных исследований, сходимость решения увеличивается другим путём. А, именно, из соотношений упругости (3.68) и (3.70) находятся два различных выражений для горизонтальных перемещений IL , условно обозначая их, соответственно, через \Lg и U«c » а в качестве условия наложения фиктивных систем используется равенство: Ц б = U--C) (3.71) из которого находятся искомые коэффициенты Ятп . Вместе с тем, этот путь полностью адекватен указанному первому пути, в смысле удовлетворения всех указанных выше условий: равновесия , неразрывности деформации и граничных условий.
Решение задачи при действии вертикальных нагрузок В данной задаче, рассматривая ее в плоской постановке, для вывода требуемых выражений имеем ортотропную пластинку единичной толщины с характеристиками упругости: Ех » Ez » kocz = = =Vz = 0. На верхнюю грань приведенной континуальной системы действует равномерно распределенная нагрузка с интенсивностью Ях » а удельным весом является t » определяемый выражением (3.61).
Решение задачи даётся на основе теории упругости в обыкновенных дифференциальных уравнениях. В рассмотренной задаче имеем следующие граничные условия (рис. 3.9) : при Х=±1= бх=0; 1=0; (3.72) 2=0- бг — V, 0. (3.73) Учитывая граничные условия (3.72) и (3.73), для касательных напряжений принимаем следующее общее выражение : = ZZ Лтп-О ФЛ ), (3.74) гп п где: ()" = 3(-)/32 . Из уравнения равновесия (3.66) определяем значение нормального напряжения бх : (3.75) гп П где: СІФ - интеграционная функция, которая определяется из первого граничного условия (3.72). Окончательно для нормального напряжения имеем : 6x=ZZ m„-9i(x).Vp;-(2), (3.76) где: 9і(х) = ч[Й,(х=±іН:(а:)] Подставляя далее выражение (3.74) в уравнении равновесия и интегрируя его как обыкновенное дифференциальное уравнение, находим:
Решение симметричной составляющей задачи и численные примеры расчёта
Ниже рассматривается сложная задача теории упругости о совместной работе полосы толстого фундамента и упругой полуплоскости, когда их контактные поверхности сцеплены [36, 187] . Задача о расчете таких фундаментов на практике решается при допущениях: а) плитный фундамент рассматривается как тонкий, пользуясь гипотезой о плоских сечениях; б) влиянием сцепления и трения по контактной поверхности пренебрегают. Следовательно, решение поставленной задачи при точном удовлетворении всех граничных условий без использования указанных двух допущений, безусловно , имеет большое практическое значение, так как это позволит более эффективно распределить арматуру в теле фундамента.
Задача о расчете полос толстых плитных фундаментов на упругой полуплоскости ранее была решена А.И. Лурье [80]. Однако решение этой задачи было дано при следующих допущениях: а) трение и сцепление между контактными поверхностями плиты и основания от сутствуют; б) удовлетворение граничных условий по боковым поверхностям плитного фундамента допускается в интегральной форме, основываясь на принципе Сен-Венана. Вместе с тем, как показали исследования [30, 31, 32, 38, 190] реактивные касательные напряжения оказывают значительное влияние (качественное и количественное) на расчетные величины плитного фундамента. Поэтому в результате решения данной контактной задачи без указанного первого допущения, как это принято в настоящей работе, можно ожидать существенное приближение данных расчетов к действительности. Существенное искажение действительности может вызвать и второе допущение, так как согласно принципу Сен-Венана указанное интегральное удовлетворение граничных условий практически не повлияет на напряжения и деформации лишь в поперечных сечениях, удаленных от боковых поверхностей плиты не менее, чем на 1,5 2,0 толщины плиты. Однако, как известно [13, 14] , категории толстых относятся плиты, для которых удовлетворяется условие Н/_і 0.3. Следовательно принцип Сен-Венана о малом влиянии на прогибы и максимальный изгибающий момент смягчений граничных условий по боковым граням плиты (запись действительных граничных условий, заданных в напряжениях, интегральной их записью в равнодействующих усилиях) в толстых плитах неприменим так как среднее поперечное сечение толстых плит находится на меньшем, чем 1,5 2,0 Н расстоянии. Кроме того в толстых плитах не менее важно эффективное распределение арматуры и у контурных зон, что может быть достигнуто лишь после определения их напряженного состояния в этих зонах без использования принципа Сен-Венана.
Для опертых по контуру толстых плит аналогичное мнение высказывается в работе Е.С. Кононенко [бб] . Расчету толстых плит были посвящены работы [18, 51, 119 , 120, 125, 150, 151, 152 и др.] Воспользуемся здесь теорией упругости в обыкновенных дифференциальных уравнениях. В приведенной координатной системе (3.65), уравнения равновесия имеют вид (З.бб), (3.67). Соотношения упругости между компонентами напряжений и перемещений имеют обычную форму записи (3.68) - (3.70). В рассмотренной задаче граничные условия имеют вид (рис. 3.21) : при: X=±i: dx = 0j Т = 0; (3.II6) = 0: $г =-$( ),- «Г=0, (3.137) где: Чзс) - произвольная симметричная нагрузка. Кроме того, по подошве фундамента имеем контактные условия U(3c) = U0(x)) П(ос)=и0Сх). (3.II8)
Для касательных напряжений, учитывая вторые из граничных условий (3.II6), (3.II7) принимаем выражение (3.74). Внутренние напряжения, определяемые из уравнений равновесия (3.66), (3.67) путём их интегрирования, как обыкновенных дифференциальных уравнений, имеют выражения (3.76) и (3.77).
К равенству (3.68) следует присоединить равенства (3.88) и (3.89). Система этих трёх тождественных равенств, решаемых совместно, позволяет определить все искомые коэффициенты Ат ,
Вызванные реактивными нормальными (2,22) и касательными (2.23) напряжениями вертикальные и горизонтальные перемещения контактных точек упругой полуплоскости tfo(x) и Uo( ) , имеют выражения (2.28) и (2.29) .
Расчет толстых балочных плитных фундаментов с удовлетворением точно граничных условий (3.II6) и (3.II7) выполняется на ЭВМ по программе с шифром ТФП. Она составлена на языках АЛГОЛ-60 и ФОРТРАН-ІУ. При расчете толстых плитных фундаментов по указанной программе, ЭВМ выдает результаты расчета в виде напряжений и перемещений для произвольного количества (заранее намеченного) точек : - безразмерные значения напряжений бх , 5Z t Т , дейст вительные значения которых определяются из зависимостей: бж = Я! ас).Зх) бг = (х)бг1 Г = эс)Г. (3.122) - безразмерные значения горизонтальных и вертикальных пере мещений указанных точек плиты й(х) , І/(х), действительные зна чения которых определяются из зависимостей : U(x) = (j!(x.) -VL(x); IS(x) = (2.)- цех). (3.123) Для касательных напряжений (3.74), учитывая граничные условия (3.II6) и (З.П7), интерполирующие функции принимают значения (3.90), (3.91). Ниже приведены результаты численных примеров, выполненных по программе ТФП, для приведенного в параграфе 3.3.1 алгоритма. Пример I.
Были выполнены численные примеры расчета с целью оценки сходимости решения. В данной задаче, на основе ранее выполненных аналогичных исследований [187] , оптимальное количество точек сращивания в вертикальном направлении, рис. 3.19,а , принимается равным шести. Обозначим количество вертикалей на одной половине симметричной схемы (рис. 3.19,а), на которых расположены точки сращивания фиктивных систем, через i2 . Для решения поставленной задачи - оценки сходимости решения, были выполнены три различных расчета : [г = 6, 7, 8 для одного и того же примера сЛ =1/3 , К = 0,5 .
