Содержание к диссертации
Введение 3
ГЛАВА 1. Численное моделирование поведения системы
«тело-трос» в потоке жидкости с учетом изгибной жесткости
троса.
1.1 Учет жесткости троса в задаче академика А.Н. Крылова.
1.2 Изучение влияния кривизны троса в ненагруженном
состоянии на конфигурацию системы 24
ГЛАВА 2. Поведение тонкого прямолинейного стержня под действием комбинированной нагрузки .
Постановка задачи. Математическая модель и вывод уравнений 36
Определение прогиба оси тонкого стержня при осевом сжатии и кручении по методу Бубнова - Галеркина 42
Исследование устойчивости недеформированного стержня. Сведение краевой задачи на собственные значения к трансцендентному уравнению 50
ГЛАВА 3. Пространственные конфигурации оси тонкого упругого стержня и механизм образования петли.
Режимы изменения нагрузки, приводящие к образованию петли 59
Уравнения равновесия и два типа граничных
условий .. .61
О колебаниях стержня относительно стационарного состояния 68
Об одном классе решений стационарных уравнений 77
Заключение 84
Литература 86
Введение к работе
Актуальность темы. Математическое моделирование поведения систем типа «тело-трос» является актуальным для практики. В ряде задач, требующих учета начальной деформации троса или при анализе сложного процесса образования петель, трос или нить не могут предполагаться абсолютно гибкими. Поэтому возникает необходимость в создании алгоритмов, дающих возможность исследовать подобные ситуации.
Диссертационная работа посвящена изучению конфигурации и колебаний тросовых систем с учетом изгибной жесткости троса.
Цель работы. Целью диссертационной работы
является.
выяснение существенности влияния кривизны троса в ненагруженном состоянии на конфигурацию системы «трос-тело» в задаче АН. Крылова с дополнительным учетом изгибной жесткости;
построение математической модели, позволяющей провести точный количественный анализ процесса петлеобразования на гибком тросе или нерастяжимой оси тонкого стержня;
описание поведения оси тонкого стержня под действием комбинированного нагружения и определение различных режимов изменения нагрузок, приводящих к образованию петли.
Научная новизна. Научная новизна полученных результатов состоит в предложении асимптотического подхода
для решения задачи равновесия системы «трос-тело» в потоке
жидкости. В работе сформулирована новая для нелинейной
теории тонких стержней краевая задача, установлены
определяющие параметры, влияющие на механизм
петлеобразования, продемонстрирована двух-этапность
процесса образования петли и рассмотрены типы «первичной» и «вторичной» потери устойчивости.
Основные положения, выносимые на защиту. К основным положениям диссертационной работы относятся
1) использование процедуры разложения по малому параметру
сингулярно возмущенных уравнений для получения
конфигурации системы «трос-тело» в потоке жидкости;
решение задачи определения максимальной амплитуды прогиба оси прямолинейного троса при осевом сжатии и скручивании по методу Бубнова-Галеркина;
разработка алгоритма, гарантирующего нахождение всех собственных частот колебаний оси длинного тонкого прямолинейного стержня с шарнирно-опертыми концами под действием сложного нагружения;
примеры пространственных статических форм оси стержня с различными вариантами граничных условий и результаты исследования уравнений малых колебаний относительно полученных положений равновесия;
анализ бифуркационной диаграммы и построение возможных сценариев образования петли. Практическая и теоретическая ценность. Полученные
результаты могут быть использованы при решении задач моделирования поведения тросовых систем. В работе
представлена методика для анализа влияния изгибной жесткости на конфигурацию тросовой системы в потоке жидкости. Показано, что численное интегрирование системы дифференциальных уравнений для определения равновесных состояний оси тонкого стержня предполагает минимизацию по 1 или 2 переменным. Приведены примеры пространственных форм стержня, полученные в результате решения нелинейной системы 5-го порядка. Сформулирована концепция процесса петлеобразования в рамках построенной математической модели и проанализировано несколько сценариев. Разработана последовательность действий, позволяющая получать представляющую интерес для практики область определяющих параметров, при которых петля не образуется.
Апробация работы. Основные результаты диссертации докладывались на семинарах и конференциях, среди которых:
семинар кафедры прикладной механики и управления МГУ (рук. академик РАЯ А.Ю. Ишлинский) , 2000 г.
семинар «Динамика относительного движения» МГУ (рук. член-корр. РАН В. В. Белецкий и проф. Ю.Ф. Голубев) , 2000 г.
семинар кафедры «Прикладная механика» МГТУ им. Н.Э. Баумана (рук. проф. В.А. Светлицкий), 2000 г.
Всесоюзная конференция «Современные проблемы механики и технологии машиностроения». Москва, 16-18 апреля, 1989 г.
Всесоюзная научно-техническая конференция ( XXXIV Крыловские чтения 1989 года), Ленинград.
Всероссийская конференция «Современные проблемы механики и ее приложений » Москва, 5- 6 июня, 1996.
Публикации. Основные результаты диссертации
опубликованы в журналах Вестник МГУ [1-3],
Дифференциальные уравнения [4] и работах [5-9].
Структура и объем диссертации. Диссертация состоит из введения, 3 глав и заключения. Общий объем диссертации 92 страницы, включая 14 иллюстраций. Список литературы содержит 66 названий.
Состояние вопроса. В настоящее время в различных областях науки и техники получили широкое применение механические системы, включающие в себя в качестве одного из элементов гибкий трос, например:
- спутники-зонды для исследования верхней атмосферы Земли,
соединенные посредством троса с орбитальным самолетом.
Использование такого привязного спутника дает возможность
измерять магнитные и гравитационные поля , а также
фотографировать поверхность планеты. Теории движения
космических тросовых систем посвящена книга В.В. Белецкого
и Е.М. Левина [10], и ряд работ [И], [12], [13] .
- технические средства освоения океана - буксируемые
подводные аппараты для изучения морского дна, получения
проб грунтов и измерения различных параметров. В поисковом
устройстве размещается аппаратура, передающая информацию
на буксирующее судно с помощью грузонесущего кабеля.
Схемы подводных буксируемых комплексов приведены в
монографии В.И. Егорова [14] .
- привязные летательные аппараты типа воздушного змея и
привязного аэростата, вертолеты, транспортирующие
подвешенные грузы.
Отдельно следует отметить вопросы, связанные с расчетом конфигурации и колебаний гибких нитей и тросов в текстильной промышленности, при проектировании и строительстве линий электропередач и шахтных механизмов, включающих подъемные канаты.
Задача о равновесии системы «трос-тело» в потоке жидкости рассматривалась А.Н. Крыловым в 1909 г. [15] (« О равновесии шаровой мины на течении»). Применительно к аэростатам исследование этой проблемы проведено в 1946 г. НЕ. Кочиным [16] . В дальнейшем ее постановка усложнялась многими авторами. Так, например, в работах А.С. Горшкова [17], Н.В. Салтанова [18] обоснован выбор аппроксимационных выражений для сил гидродинамического воздействия потока на трос.
Равновесие гибких нитей и тросов в неоднородных потоках изучали ВИ. Букач и В.Г. Савин [19] , Н.В. Салтанов [18] , И.С. Гребенюк и А.Е. Орданович [20]. В книге [18] содержится обзор исследований, связанных с учетом упругих свойств троса, его растяжимости, срыва вихрей и т.д. Задачи моделирования поведения гибких нитей и тросовых систем рассматривали В.А. Светлицкий [21,22] , ДР. Меркин [23] , МА. Зак [24], В.А. Горбань и Ю.И. Калюх [25] , Г.К. Пожарицкий [26] , НС. Константинов [27], В.И. Поддубный [28] , В.И. Букач и ИМ. Горбань [29] , Н.И. Алексеев [30] , А.Е. Орданович, В.Н. Каликов и И.С. Гребенюк [31,32], В.Т. Грумондз и В.Д Матус [33], Г.С. Лизогуб [34], К.Я. Кухта, Н.В. Салтанов и ЛИ. Янковский [35] , и другие [36-38]. Определение конфигурации троса на основе дискретной модели
проведено в [17, 28, 31, 34, 39]. В монографии [30] дано изложение основных результатов статики нерастяжимых гибких нитей и нитей переменной длины. Приближенная аналитическая зависимость для координат троса в задаче Крылова-Кочина получена в [29]. Во многих областях широко используется метод осреднения, в [18] рассмотрены вопросы применения метода малого параметра к задачам статики нитей в потоках. В диссертационной работе предложен методический подход к известной задаче «тело- трос» в потоке жидкости при условии малости изгибной жесткости троса и обоснована его целесообразность. Подход базируется на процедуре разложения решения сингулярно возмущенных уравнений в ряд по малому параметру с последующим численным интегрированием систем уравнений соответствующих приближений.
В тросовых системах при большой длине тросов возникают
ситуации, в которых упругие свойства играют
существенную роль, например, сворачивание в петлю. Предотвращение такого явления очень важно, так как подобная ситуация может привести к обрыву троса.
Как свидетельствуют наблюдения, сворачивание троса в петлю происходит очень быстро. Это дает основание предполагать, что такое явление связано с неустойчивостью равновесной пространственной формы троса. В данной работе вопрос рассматривается с точки зрения теории устойчивости упругих систем. Условия петлеобразования определяются такими параметрами как натяжение , скручивание и изменение расстояния между концами.
В ряде задач " трос-тело" взаимодействия с окружающими телами или потоком порождают изгиб и кручение троса, в
9 результате он оказывается в напряженно-деформированном
состоянии. Поведение такой системы в реальных условиях
может быть объяснено в рамках математической модели, в
которой рассмотрен стержень (нерастяжимая ось тонкого
стержня) с различными вариантами краевых условий.
Вначале рассмотрим историю вопроса. Для стержня с
шарнирно закрепленными (опертыми) концами, находящегося
под действием сжимающей силы известна формула Л.
Эйлера : Ркр = л A / L , где L - длина стержня, А - изгибная
жесткость, Ркр - наименьшее значение сжимающей силы,
вызывающей бесконечно малый изгиб стержня. Для
определения конечного значения прогиба оси стержня
недостаточно линеаризованного дифференциального
уравнения Используя нелинейное уравнение, Эйлер получает
зависимость между нагрузкой Р и величиной прогиба f . В
случае, когда Р не намного больше Ркр результат Эйлера
имеет вид: f/L = 2 V2 JP/PKp-\/ п [40] .
При увеличении силы, действующей на конец, форма стержня становится дугообразной, угол подъема дуги растет и на определенном этапе становится больше я/2 (Р «13,75), концы стержня сближаются и при Р «21,549 совпадают. При дальнейшем возрастании нагрузки образуется петля в плоскости, диаметр которой монотонно стремится к нулю при Р -> оо . Форма упругой линии носит название эластика. Рисунки приведены в книге С.П.Тимошенко [41] , там есть также ссылки на первые исследования вида этой кривой (Лагранжа, Клебша и др.). Точное решение соответствующего дифференциального уравнения через эллиптический интеграл приведено в монографии Ю.Н. Работнова [42].
10
С мемуаров Эйлера по теории продольного изгиба
начинается развитие теории устойчивости упругих систем.
Один из подходов (метод Эйлера) следующий : при достаточно
малом значении параметра нагрузки положение равновесия
упругой системы является единственным и устойчивым. Когда
нагрузка, увеличиваясь, достигает некоторого критического
(бифуркационного) значения, то имеет место так называемое
разветвление форм равновесия. Для нагрузок, превосходящих
критическую, исходное положение равновесия становится
неустойчивым, но существует еще одно (или более) смежное
устойчивое состояние равновесия, в которое и переходит
система. В дальнейшем было установлено, что метод Эйлера
неприменим в том случае, если внешние силы являются
неконсервативными (т.е. отсутствует потенциал внешних сил).
Полное изложение данного вопроса имеется в книге В.В.
Болотина [43].
Наиболее общим методом решения задач является динамический метод . В его основе лежит изучение колебаний системы относительно исследуемого положения равновесия. Если малые начальные возмущения порождают динамические перемещения, лежащие в некоторых пределах (ограниченные во времени), то соответствующее равновесное состояние является устойчивым. В [43] рассмотрен, в частности, ряд задач об устойчивости стержней для различных видов нагружения и приведены подробные исторические сведения.
В математической постановке уравнения малых колебаний и
краевые условия определяют краевую задачу на собственные
значения. Возможны два варианта поведения
характеристических показателей при возрастании по модулю параметра нагрузки [43]. Эти варианты отличаются способом
перехода хотя бы одного (первого по счету)
показателя на правую полуплоскость комплексного
переменного (статическая неустойчивость и колебательная
неустойчивость).
Рассмотрим теперь устойчивость прямолинейной формы
стержня с равными главными жесткостями при изгибе
А2=А3=А, находящегося под воздействием сжимающей силы Р
и крутящего момента М. Данная задача является
неконсервативной [43,45]. Однако известно, что в этом случае
потеря устойчивости происходит по типу статической
неустойчивости [45, стр. 160] ( следовательно, применим метод
Эйлера). В монографии А.С. Вольмира [45] приведено
равенство, которому удовлетворяют критические значения М
и Р:
М2 Р п1
+ =
4А2 A L2
В историческом обзоре Е.Л. Николаи отмечено, что данная формула впервые появилась в 1883 г. у Гринхилла [46].
Упругой линией называется кривая, форму которой имеет
нерастяжимая ось тонкого упругого стержня, если под
действием нагрузок, приложенных к его концам, стержень
находится в равновесии. Система нелинейных
дифференциальных уравнений для определения
пространственной конфигурации оси стержня с равными
главными жесткостями при изгибе А2=Аз записана
Пуассоном (1816 г.). Несколько позже Бинэ и другими исследователями было проведено ее интегрирование. Е.Л. Николаи классифицировал различные очертания упругой линии для Аг=Аз в сочинении "К задаче об упругой линии двоякой
12
кривизны". В [46, стр. 89-90 ] отмечено, что при
заданных значениях Р и М и "начальном направлении"
стержня, статическая форма упругой линии не зависит от
величины крутильной жесткости А[ .
Важный шаг в развитии более общей теории упругих стержней был сделан Кирхгофом ( 1859 г.). В книге А.А. Илюхина [47] дан исторический обзор, главное внимание в котором обращено на развитие основных концепций этой теории. Также в [47] имеется анализ решений уравнений статики (через эллиптические интегралы и с помощью приближенных методов).
Численные методы определения больших перемещений при
изгибе тонких стержней разработаны Е.П. Поповым. В
монографии [48] приведены различные алгоритмы и
программы.
В.А. Светлицкий отмечал [21], что возможность применения
вычислительных процедур приводит к качественно новым
методам подготовки задач к решению. В частности, с
использованием ЭВМ возможно не только рассчитать
статическое деформированное (нагруженное) состояние
стержня, но и исследовать уравнения малых колебаний
относительно этого состояния. Среди коэффициентов
уравнения будут находиться найденные численным образом
функции, характеризующие указанное положение равновесия. В
книге "Механика стержней" наряду с теоретическими
вопросами рассмотрены примеры прикладных задач, в том
числе задачи деформирования пространственно
криволинейных и естественно закрученных прямолинейных стержней. Уравнения статики и динамики [21] представлены в двух видах : в проекциях на оси связанной и декартовой систем
13
координат. Методология преобразований "Механики
стержней" использована в диссертационной работе.
Изучению поведения упругих систем и стержней при монотонном возрастании параметра нагрузки посвящена монография ЯГ. Пановко, ИИ. Губановой [49]. Среди различных типов потери устойчивости выделен случай потери устойчивости при исчезновении равновесных форм.
Ряд вопросов теории тонких упругих стержней рассмотрен в работах S.S. Antman [50] , А.Е. Green and N. Laws [51] и других [52-56].
В данной работе получена в рамках традиционного рассмотрения [46,47] оригинальная форма представления упругой линии и, как следствие, наглядная картина процесса петлеобразования.
