Содержание к диссертации
Введение
ГЛАВА I. Обзор литературы. состояние вопроса. Постановка задачи 10
I.1. Расчетные модели грунтового основания II
1.2. Аналитические методы расчета плит на упругом основании 20
1.3. Численные методы и расчет плит на упругом основании 26
1.4. Постановка задачи исследования 39
ГЛАВА II. Применение метода. последовательных аппроксима ций она) к расчету изгибаемых плит 42
2.1. Постановка задачи 42
2.2. Применение разностных уравнений МПА к расчету изгибаемых плит на упругом основании 45
2.3. Формулировка граничных условий в разностных уравнениях МПА 52
2.4. Численная реализация алгоритма расчета изгибаемых плит на упругом основании 59
2.5. Примеры расчета изгибаемых плит 63
2.6. Сравнение результатов МПА с другими численными методами 68
2.7. Выводы 70
ГЛАВА III. Расчет балок и плит на упругом основании методом последовательных аппроксимаций 72
3.1. Расчет плит на упругом основании с двумя коэффициентами постели 72
3.2. Расчет плит на упругом полупространстве 78
3.2.а. Расчет абсолютно жестких плит 82
3.2.6. Расчет гибких плит и плит большой протяженности 95
3.3. Расчет плит на комбинированном упругом основании 98
3.4. Применение разностных уравнений МПА к расчету балок на упругом основании 101
3.5. Реализация алгоритма расчета балок на упругом основании 114
3.6. Выводы 125
ГЛАВА ІV. Расчет изгибаемых шшт ступенчато-постоянной жесткости на упругом основании 127
4.1. Постановка задачи 127
4.2. Изменение жесткости в одном направлении 128
4.3. Примеры расчета плит при изменении жесткости в одном направлении 138
4.4. Изменение жесткости в двух направлениях 149
4.5. Задачи расчета плит при изменении жесткости в двух направлениях 160
4.6. Выводы 173
Заключение 175.
Литература
- Аналитические методы расчета плит на упругом основании
- Применение разностных уравнений МПА к расчету изгибаемых плит на упругом основании
- Расчет плит на упругом полупространстве
- Изменение жесткости в одном направлении
Введение к работе
Решения ХХУІ съезда КПСС предусматривают задачу дальнейшего совершенствования строительного производства, снижения материалоемкости применяемых конструкций путем улучшения качества проектирования на базе современных надежных методов расчета.
Одним из путей решения этих задач является применение новых прогрессивных конструкций, обеспечивающих экономию материалов и средств, и повышение эксплуатационной надежности сооружений на основе применения новых методов расчета с привлечением современных вычислительных средств.
Актуальность_темы. Проблемы, связанные с исследованием конструкций, лежащих на упругом основании, представляют собой одну из актуальных, сложных и наиболее интересных задач строительной механики. К этим задачам в последнее время интерес все более возрастает в связи с переходом к массовому строительству во всех районах Советского Союза зданий повышенной этажности. В настоящее время все большее распространение получают фундаментные плиты сложной конфигурации. Поэтому актуальными являются разработки методов, алгоритмов и программ для ЭВМ по расчету таких плит.
Широкое внедрение в практику расчетов вычислительных машин вызвало необходимость переоценки существующих методов расчета и разработку новых. Одним из таких численных методов является метод последовательных аппроксимаций (МПА), разработанный Р.Ф.Габбасовым на основе предложенного А.Ф.Смирновым численного метода интегрирования обыкновенных дифференциальных уравнений. Применение МПА к решению задач прочности и устойчивости, а также некоторых динамических задач показало высокую точность этого метода. Вопросы расчета конструкций на упругом основании на основе разностной формы МПА остались неизученными.
Ц5ью_мссе^тационной_работы является развитие МЖ применительно к расчету фундаментных конструкций и разработка методики и алгоритма расчета фундаментных конструкций сложного в плане очертания, лежащих на упругом основании, представленном различными механическими моделями. В связи с этим в диссертации были поставлены следующие задачи:
разработать алгоритм расчета прямоугольных изгибаемых плит постоянной толщины на упругом основании с произвольными граничными условиями на произвольные вертикальные нагрузки;
осуществить реализацию разработанного алгоритма для расчета изгибаемых плит без упругого основания с различными граничными условиями и на произвольные нагрузки, исследовать схо~ч димость численного решения и сравнить с результатами точного решения и друтих численных решений;
произвести оценку точности используемого метода на основе сравнения с известными решениями прямоугольных плит на упругом основании, представленном различными механическими моделями;
разработать алгоритм расчета балок переменной толщины на упругом основании, представленном различными механическими моделями, на произвольную нагрузку, исследовать сходимость решения и сопоставить с результатами точных решений и других известных решений;
разработать алгоритм расчета плит кусочно-постоянной жесткости на упругом основании при изменении жесткости в одном направлении;
разработать алгоритм расчета плит ступенчато-постоянной жесткости на упругом основании при изменении жесткости в двух направлениях с учетом закругления в углу скачка жесткостей;
проиллюстрировать разработанный алгоритм на расчете плит ступенчато-постоянной жесткости без упругого основания, исследовать сходимость решения и сопоставить с известными решениями,
исследовать характер изменения силовых факторов в угловой точке скачка жесткостеи с учетом закругления;
- Осуществить реализацию разработанной методики для расчета
фундаментов ломаного ( Н - образного) в плане очертания.
12?Шя_новюга^аботы состоит в следующем:
разработан алгоритм расчета прямоугольных плит постоянной жесткости, лежащих на упругом основании, с любыми граничными условиями при действии произвольных вертикальных нагрузок с использованием любой модели упругого основания (и без упругого основания) на основе разностной формы МПА, и численно исследована сходимость решений;
получено численное решение задачи по расчету прямоугольных абсолютно жестких плит и плит конечной жесткости;
разработан алгоритм расчета балок переменной толщины на упругом основании, представленном различными механическими моделями, и показана сходимость решения;
разработан алгоритм расчета прямоугольных плит ступенчато-постоянной жесткости на упругом основании и без упругого основания при изменении жесткости только в одном направлении, численно исследована сходимость решения, и показан численный предельный переход при неограниченном уменьшении или увеличении жесткости одного из участков;
разработан алгоритм расчета прямоугольных плит ступенчато-постоянной жесткости на упругом основании и без упругого основания при изменении жесткости в двух направлениях с учетом закругления в углу скачка жесткостеи, показана сходимость решения, а также исследован предельный переход при неограниченном изменении жесткостеи;
показано применение разработанной методики к расчету фундаментов ломаного ( Н - образного) в плане очертания;
составлены программы на языке ФОРТРАН - ІУ для реализации
разработанных алгоритмов на ЭШ "Минск-32".
Достоверность результатов подтверждается удовлетворительным совпадением их с результатами известных решений, с имеющимися в литературе результатами экспериментов, а также сходимостью решений.
Практическое значение работы. Предложенные методики расчета и разработанные программы позволяют рассчитывать балки и плиты сложного очертания постоянной, ступенчато-переменной, кусочно-постоянной жесткости (сложного очертания) на упругом основании, представленном различными механическими моделями, а также рассчитывать эти конструкции без упругого основания. В технике и фундаментостроении такие конструкции часто встречаются. Предложенные алгоритмы и программы могут быть использованы в проектных организациях и конструкторских бюро.
Работа имеет также методическое значение, заключающееся в том, что разностная форма МПА впервые применена к расчету конструкций на упругом основании.
^522^Ше_2^2їМі Материалы диссертации были доложены и обсуждены на:
ХШ научно-технической конференции МИСИ им.В.В.Куйбышева, Москва, 1983г.;
ХУТ научно-теоретической и технической конференции про *-фессорско-преподавательского состава СамГАСИ им.М.Улугбека и работников предприятий НТО стройиндустрии Самаркандской области, Самарканд, 1983г.;
объединенном семинаре кафедр "Строительная механика и сейсмостойкость сооружений", "Теоретическая механика", "Сопротивление материалов", "Общеинженерных дисциплин" СамГАСИ
им.М.Улугбекн, Самарканд, 1983г.;
- заседании кафедры строительной механики МИСИ им.В.В.Куй
бышева, Москва, 1983г.
Публикация. Основное содержание диссертации опубликовано в четырех статьях.
На_защту_вшосятся разработанные на основе разностной формы МПА методики, алгоритмы и программы расчета балок и плит ступенчато-постоянной и переменной жесткости и сложного очертания в плане, работающих на упругом основании, представленном различными механическими моделями, а также без упругого основания, и полученные результаты.
0^М_Р^2« Диссертация состоит из введения, четырех глав, заключения, списка литературы и приложения.
Первая глава посвящена обзору литературы, состоянию вопроса и постановке задачи. В этой главе рассматриваются различные модели грунтового основания и дается критический анализ существующих аналитических и численных методов расчета конструкций на линейно деформируемом основании. Здесь же дается обоснование и основные задачи данного исследования.
Во второй главе приводятся основные уравнения МПА применительно к решению задач изгибаемых плит на упругом основании, решаются задачи изгибаемых плит без упругого основания с различными граничными условиями на произвольные нагрузки; результаты сравниваются с известными точными и численными решениями.
В третьей главе решаются задачи расчета прямоугольных плит постоянной жесткости и балок переменной и постоянной жесткости, лежащих на упругом основании, с различными краевыми условиями при действии произвольных вертикальных нагрузок с использованием различных моделей упругого основания.
В четвертой главе дается алгоритм расчета плит кусочно-постоянной и переменной жесткости на упругом основании при изменении жесткости в одном или двух направлениях с учетом закругления в углу скачка жесткостей. Показывается применение разработанного алгоритма к расчету плит сложного очертания в плане.
Б заключении излагаются выводы, сделанные на анализе напряженно-деформированного состояния плит ступенчато-постоянной жесткости с учетом закругления в углу скачка жесткостей и приводятся основные результаты всей работы.
В приложении приведены блок-схема и аннотации программ решения задач по расчету балок и плит постоянной и кусочно-постоянной жесткости на упругом основании.
Работа изложена на 202 страницах машинописи, из них текст составляет У?6 страниц. Ее иллюстрируют 3? рисунков и 39 таблиц. Список литературы состоит из 183 наименований работ отечественных и зарубежных авторов.
Диссертация выполнена на кафедре "Строительная механика" Московского инженерно-строительного института им.В.В.Куйбьшіева.
Аналитические методы расчета плит на упругом основании
Достоинством комбинированной модели является то, что за счет комбинации с винклеровсішми пружинами усовершенствована модель упругого полупространства. Это приводит к уменьшению изгибных деформаций и снижению расчетных усилий в сооружении. Основным недостатком этой модели является выбор коэффициента К, который становится ответственным и, в то же время, спорным моментом расчета. 2блинейные_модели_упрутого_основания
Эксперименты показывают, что зависимость между напряжениями и деформациями грунта является нелинейной. Поэтому нелинейные модели при расчете сооружений на деформируемом основании имеют существенное значение. К этому направлению относятся работы А.С.Григорьева [5IJ, Ю.К.Зарецкого [бб], Г.К.Клейна [77], И.И.Черкасова [153 ] и др. Из нелинейных моделей большой интерес представляет модель И.И.Черкасова [I53J и Г.К.Клейна [77J. Они предложили модель основания, которая позволяет учитывать нелинейную связь между напряжениями и деформациями, а также учитывать раздельно упругие и остаточные деформации грунта. Модель И.И.Черкасова и Г.К.Клейна представляет собой комбинированное основание, общие осадки которого подчиняются закономерностям упругого полупространства, а местные осадки возникают только в пределах загруженной площади.
Однако нелинейные модели деформируемого основания еще не нашли широкого применения в практических расчетах, так как они приводят к более сложным вычислениям и требуют дальнейшего изучения и обоснования.
Отметим, что в последнее время развивается модель статистически неоднородного винклеровского упругого основания, предложенного В.Б.Болотиным [l2J и Д.Н.Соболевым [_I29j. Коэффициент постели при этом является уже не постоянной величиной и не детерминированной функцией, а случайной функцией по длине сооружения.
В заключение особо отметим работы Б.Г.Коренева [82, 83J. В этих работах Б.Г.Коренев не только дал обстоятельный анализ, но развил общую теорию расчета конструкций на упругом основании. Он предложил обобщенную математическую модель, характеризуемую различными ядрами, которые в частных случаях переходят в ядра упомянутых выше моделей упругого основания.
К настоящему времени в области расчета конструкций на упругом основании аналитическими методами выполнено огромное количество работ, поэтому дать подробную характеристику каждому из этих исследований невозможно. Остановимся лишь на основных работах, связанных с изгибом прямоугольных плит и балок на упругом основании. 5лки_и_балочные_плитьт.
Разработка таких эффективных методов, как метод начальных параметров, метод компенсирующих нагрузок, метод П.Л.Пастернака и другие, позволила создать законченную теорию расчета балок и балочных плит на винклеровском основании.
В основном широкое применение получил для расчета таких конструкций метод начальных параметров, разработанный в 1923 г. Н.П.Пузыревским fill] . Дальнейшее развитие этот метод получил в трудах: Г.Д.Дутова [бо], А.Н.Крылова [87], В.А.Киселева [74J, Б.Г.Коренева [82 J, А.А.Уманского [і 42] и других. Другим общеизвестным методом является метод компенсирующих нагрузок, предложенный в 1889г. Циммерманом [82 ]. Основное развитие и обобщение этот метод получил в трудах Б.Г.Коренева [82J.
Созданию и развитию теории расчета балок и балочных плит на упругом основании с двумя коэффициентами постели посвящены труды советских ученых: М.И.Филоненко-Бородича[і4б], П.Л.Пастернака [l07j, В.3,Власова Н.Н.Леонтьева [25, 26J и других.
Расчет балок и балочных плит на упругом основании с применением модели упругого полупространства существенно отличается от расчета балочных плит на винклеровском основании. Впервые Н.М.Герсевановым и Я.А.Мачеретом [44J была решена задача о неограниченной балочной плите под сосредоточенной силой в центре. В дальнейшем ту же задачу решили более простым путем Б.Н.Жемоч-кин [64J, О.Я.Шехтер [158]. Простым является метод Б.Н.Жемочки-на, в основе которого лежит идея замены действительной эпюры давлений грунта ступенчатой и удовлетворения условиям контакта в отдельных точках контактной поверхности.
Применение разностных уравнений МПА к расчету изгибаемых плит на упругом основании
Вывод разностных уравнений метода последовательных аппроксимаций, учитывающих возможные разрывы: искомой функции и ее первых и вторых производных, а также правой части исходного дифференциального уравнения, применительно к расчету изгибаемых плит изложен в работах [34, 35, 39J. В этих работах область интегрирования уравнений (2.1.6) разбивается на подобласти(элементы конечных размеров), и получены разностные уравнения МПА относительно неизвестных моментов и прогибов. На рис.2.2.1 номера элементов обозначены римскими цифрами, границы между элементами показаны жирными линиями.
Из уравнения (2) работы [39], полагая б — js - о = О } ос = у 1 и с заменой со на т. , получим как частный случай разностное уравнение, соответствующее дифференциальному уравнению (2.1.6.а) для расчета изгибаемых плит па прямоугольной сетке произвольных размеров:
Видно, что с помощью уравнений (2.2.2), (2.2.1) можно рассчитывать плиты на нагрузки произвольной интенсивности, причем имеющие разрывы на границах ячеек сетки, а также на полосовые нагрузки без сгущения расчетной сетки.
Из уравнения (2.2.2), с учетом /э-я-р-ъ получим разностное уравнеіше для расчета изгибаемых плит на упругом основании (на квадратной сетке);
Уравнение (2.2.3) записано для случая непрерывных F Отметим, что уравнение (2.2.3) можно записать с учетом разрывов 2 на границах ячеек сетки. из уравнения (2.2.3) с заменой /72 на %г , 4« на А (р , р на /т? при " - 2 получим разностное уравнение, соответствующее дийференциальному уравнению (2.1.6.6), для определения прогибов (обоснование дается в [34, 35, 39] )
Задача при отсутствии упругого основания { 2 = о ) может быть сформулирована: или относительно /п. и гг с последующим определением у , или относительно / , /71 с последующим вычислением US . При расчете плит на упругом основании /72 , ZCT , определяются одновременно с последующим определением у . Величины определяются из уравнения (2.1.2), дающего зависимость между zZr и для различных механических моделей упругого основания. Расчет выполняется в пределах области интегрирования.
Вышеприведенные уравнения (2.2.3) - (2.2.5) с учетом (2.1.2) позволяют расчитывать плиты на упругом основании с шарнирным опиранием по контуру, где /т? = zZr —О , на произвольные вертикальные нагрузки, границы участков расположения которых параллельны линиям сетки. Для прочих условий опирания записьшаются разностные аппроксимации краевых условий. (2.3.18) при учете (2.1.2) молно рассчитывать плиты па упругом основании с любыми краевыми условиями на произвольные вертикальные нагрузки. С учетом краевых условий задача формулируется относительно /72 , zcr, у и Z , в случае без упругого основания ( 2=0) - относительно /72 , zcr , У . Выракая /72 через У и У по (2.1.6.6) все приведенные выше уравнения можно записать относительно У , У \ z и . Численная реализация алгоритма расчета изгибаемых плит на упругом основании.
Еа основе разработанного в 2.2 и 2.3 алгоритма рассмотрим плиты на упругом основании с любыми краевыми условиями на произвольные вертикальные нагрузки.. При использовании ЭВМ, как отмечено в [Зб], уравнения МПА рациональнее решать итерационным методом. Программа при этом простая и надежная; она реализуется в пределах оперативной памяти ЭВМ при достаточно большом разумном числе разбиений.
Расчет плит на упругом полупространстве
Из таблицы видна сходимость решения. Для сравнения полученных результатов та же плита была рассчитана на упругом основании с постоянным коэффициентом жесткости (винклерово упругое основание) С = 100, и С = 200. Для наглядной иллюстрации на рис.3.1.2 даются графики изменения безразмерных величин иг , — f 2 , /т и т вдоль оси симметрии, параллельной 2 полученные при $?= 1/6. Линия (I) соответствует С = 200; Линия (2) - С = 100; сплошная линия (3) - переменной С. Из графиков видно, что учет неоднородности грунта уточняет распределение внутренних усилий и реакций.
Как было отмечено в главе I, характер неоднородности грунта является неизвестным. Если он определен экспериментальным путем, то разработанную методику на основе МПА, как видно, не трудно применить к этому случаю.
Рассмотренные примеры показали, что ЖІА обладает высокой точностью, быстрой сходимостью и простотой реализации алгоритма.
Расчет плит на упругом полупространстве. При допущениях, которые сделаны в 2.1, зависимость между Ъ и «бг , как уже отмечалось, выражается формулой Буссинес-ка (I.I.2). Решая задачу методом последовательных аппроксимаций, непрерывную функцию перемещений ъсг заменяем как в МКР [I3IJ ее дискретными значениями в узлах сетки. Естественно поэтому в формуле Буссинеска перейти от интегралов к суммированию дискретных узловых значений реактивных давлений по всей области плиты. Чтобы воспользоваться при этом уже имеющимися результатами, приведенными в кшге Б.Н.Еемочкина и А.П.Синицына [64 ], помимо допущений главы 2 будем считать [131] :
1. Равнодействующие сил взаимодействия между плитой и основанием считаются приложенными в узлах сетки (рис.3.2.1.в).
2. Эти силы действуют на плиту как нагрузка, равномерно распределенная по площади сеточной области, примыкающей к узлу (рис.3.2.1.а).
3. Эти силы действуют на основание как нагрузка, равномерно распределенная по площади круга, равновеликого ячейке сетки (рис.3.2.1.а).
Тогда, следуя Б.Н.Жемочкину [64], для квадратной сетки выражение (І.І.2) с учетом (2.1.2) можем записать в виде где /у - номер узла, в котором определяется перемещение; к - номер узла, в котором приложена сила Яке ; &ке - равнодействующая сил взаимодействия между плитой и основанием; С - шаг сетки; FKetij- значение функции, зависящей от расстояния между узлами if и /г . Функция вычисляется по формуле L.64J: Таблица значений F с-, вычисленных по формуле (3.2.2) для различных расстояний между узлами г / и /е , имеется в [64].
По формуле (3.2.1) можно определять перемещения всех точек основаьшя, совпадающих с узлами сетки, нанесенной на плиту. Таким образом,относительно /?ке мы получим систему алгебраических уравнений. Разделив значеїшя /? е на соответствующие площади сеточной области, получим интенсивности реактивных давлений в окрестности всех узлов сетки
Реактивные давления определяем по (3.2.13). С использованием (3.2.16), (3.2.13) организуется итерационный процесс. После определения tr и определяем /7? и / по (2.4.1), (2.4.3), (2.4.8) и (2.4.9). Далее определяются остальные параметры решения по формулам (2.2.7) - (2.2.9).
При расчете абсолютно жестких плит на упругом полупространстве, как известно, у краев плиты реактивные давления терпят бесконечный разрыв и, строго говоря, не могут быть аппроксимированы ступенчатой эпюрой. Отсюда следует, что у краев плиты погрешности аппроксимации реактивных давлений могут оказаться значительными, что повлечет за собой погрешности в других величинах, прежде всего в величинах изгибающих моментов.
Для оценки этих погрешностей рассмотрена абсолютно жесткая квадратная плита на упругом полупространстве, нагруженная равномерно распределенной нагрузкой. При этом плита рассчитывалась по трем схемам аппроксимации реактивных давлений.
Схема_А. По -этой схеме неизвестный закон реактивных давлений заменяется ступенчатой эпюрой, показанной на рис.3.2.1.г. Основная сетка на поверхности плиты в этом случае не совпадает с сеткой реактивных давлений. На рис.3.2.1.а показаны: основная сетка тонкой линией, а сетка реактивных давлений - пунктирными линиями. Как было сказано выше равнодействующие реактивных сил приложены в узлах основной сетки. Плита разбивается на четное количество участков разбиения. В этом случае крайние равнодействующие реактивных сил расположены на краях плиты.
Схема_Б. По этой схеме неизвестный закон распределения реактивных давлений аппроксимируется по рис.3.2,1. Э Основная сетка совпадает с сеткой реактивных давлений. Б этом случае реактивные давления на границах ячеек сетки терпят конечные разрывы. Такие разрывы, как было отмечено ранее, метод последовательных аппроксимаций учитывает. Таким образом, в этом варианте плиты на упругом полупространстве будем рассчитывать с учетом разрывов реактивных давлений. Разработанный в 2.4 и в 3.2 алгоритм остается без изменений, только &су в правых частях уравнений (2.4.1) и (2.4.8), определяеше соответственно по В этом случае плита также разбивается на четное количество участков.
Схема_В. Эта схема от схемы Б отличается только числом разбиений. В этом случае число разбиений нечетное. Линии основной сетки не совпадают с осягли симметрии. Неизвестные прогибы и изгибающие моменты на осях симметрии могут быть определены по формулам МКР [20] (рис.3.2.2).
Изменение жесткости в одном направлении
Принимая в краевых точках /77 = zr = 0, а также А/Г7 . л (р = гйїг р = 0, запишем уравнешя (3.4.17), (3.4.38) с учетом (3.4.41) и, решая их совместно, определим неизвестные. Результаты сведены в таблице 3.4.1.
Пример 5. Однопролетная балка кусочно постоянной толщины с шарнирными опорами, лежащая на винклеровом основании и полностью загруженная равномерно распределенной нагрузкой: / = I; д /т? = л у = о; Я= Y У /к . Б левой половине балки ft = I, а в правой - ft 1/2.
Из уравнений (3.4.17), (3.4.38) с учетом (3.4.41) при д и - д (f = о, /77 z=. тХ =0на краях определяем неизвестные /77 и IS . Результаты расчета сопоставляются с известными решениями [l28j и сведены в табл.3.4.1. В примерах табл.3.4.1 приведены значения безразмерных величин V и /72 . Переход от безразмерных величин к размерным в этих случаях осуществляется по формулам: zv - "V/% 2 / о и 0 /= 77?/ 0 Яг .
Из примеров видно, что ШІА обладает высокой точностью, а простота алгоритма позволяет при небольшом числе разбиений вручную получить достоверные результаты.
На основе разработанного в 3.4 алгоритма рассмотрим балки постоянной толщины на упругом основании, представленном различными механическими моделями, при различных краевых закреплениях и действии произвольных нагрузок.
В случае постоянного сечения балки ( у = I), если полагать величины /77 , V , непрерывными и /О кусочно постоянными при равномерной сетке уравнения (3.4.17), (3.4.19), (3.4.21), (3.4.38) - (3.4.40) заметно упрощаются:
При использовании ЭВМ задача решается методом итераций. Итерационные матоды по сравнению с прямыми значительно проще для програшлирования и требуют меньше оперативной памяти. В этом случае уравнения (3.5.1) - (3.5.6) с учетом (3.4.37), (3.4.41), (3.4.42) записываются один раз и решаются итерациями с последовательным переходом от одной расчетной точки к другой. Шоке приведем алгоритм итерационного метода решения рассматриваемой задачи. Из (3.5.1), (3.5.2) соответственно находим: (3.5.8.а) Краевые условия для балки на упругом основании могут быть записаны с помощью 2Г , (І , ґ7? и (перемещение, угол поворота, изгибающий момент и поперечная сила). Основньтми параметрами здесь являются Z/ и /7Z . Ниже рассмотрим различные варианты граничных условий и их разностные аппроксимации.
Уравнения (3.5.II), (3.5.14), (3.5.16) получены для левого края. Для правого края эти уравнения записываются в зеркальном отображении .
На основе рекуррентных формул (3.5.7), (3.5.8), (3.5.II), (3.5.14), (3.5.16) с учетом (3.4.37), (3.4.41), (3.4.42) организуется итерационный процесс, который позволяет рассчитать балки постоянной толщины на упругом основании с различными краевыми условиями на произволыше нагрузки. Как показано в [93 выполнение требования о том, чтобы коэффициенты при неизвестных в (3.5.7), (3.5.8), (3.5.II), (3.5.16), (3.4.37), (3.4.41), (3.4.42) были не больше единицы, является необходимым условием сходимости итерационного процесса. Как показали численные эксперименты, при h = 1/10 сходимость итерационного процесса достигается с точностью = 10 для гг при г = 40, где " - количество итераций.
Последовательность реализации алгоритма следующая. При t zf =0 полагаем все неизвестные Zft- = /72 г- — &- = о. Для шарнирно опертой балки, например, в точке = I ZT/ =" гггі - %» = 0. В точке d = 2 значение /77,- вычисляется по (3.5.7) при заданной правой части - - ( J = 0).
После вычисления /72 - определяются по формуле (3.5.8) с правой частью Му , определяемой по (3.5.8.а) при %е- = 0. После этого вычисляется / по одной из формул (3.4.37), (3.4.41), (3.4.42) в зависимости от модели упругого основания. При вычислении в точке і = 3 неизвестных /7Zj , V; , %. учитываются найденные выше /Т7 , z и 2г . Процесс последовательно повторяется. На основе вышеприведенного алгоритма составлена программа "ЕМКА" (приложение 2) и реализована на ЭВМ "Минск-32".
Применение уравнений (3.5.7), (3.5.8), (3.5.II), (3.5.14), (3.5.16) с учетом (3.4.37), (3.4.41), (3.4.42) в программе "БАЛКА" проиллюстрируем на следующих примерах.
Пример I. Рассмотрим балку длиной = 4 м, лежащую на винклеровом основании (коэффициент постели К.= 8 МПа) и нагруженную на левой половине равномерно распределенной нагрузкой Р = 20 кЫ/м, а по середине правой половины сосредоточенной силой Р = 40 кН (рис.3.2.1.а). Жесткость балки F7 - - 10 Нмт Пример заимствован из [ I47J. Полагая в точке действия сосредоточенной силы -40=1, при Р = I; / = l/8, А/77 = AZS= г: л fi = 0 записываем уравнения (3.5.7), (3.5.8), (3.5.14) с учетом (3.4.41).
