Содержание к диссертации
Введение
1 Состояние вопроса 9
1.1 Модели грунтовых оснований 9
1.2 Применимость гипотезы Винклера 16
1.3 Методы расчёта плит, лежащих на деформируемом основании 20
2 Основные соотношения для расчёта плит методом предельного равновесия 24
2.1 Основные критерии прочности 24
2.2 Критерии прочности для тонких пластин в обобщённых напряжениях 26
2.3 Основные соотношения при расчёте тонких пластин на изгиб 31
2.4 Реализация методов предельного состояния на примере определения несущей способности круглой в плане плиты, лежащей на деформируемом основании 34
2.4.1 Решение задачи кинематическим методом 34
2.4.2 Расчёт по статически возможным состояниям 39
3 Оценка несущей способности плит, лежащих на деформируемом сновании 43
3.1 Методика оценки несущей способности (определение предельной нагрузки) плиты, лежащей на деформируемом основании 43
3.2 Обоснование модели разрушения плиты на примере расчёта балки, лежащей на деформируемом основании 48
3.3 Основные соотношения для расчёта железобетонных плит по предельному состоянию 52
3.3.1 Вывод уравнений для разрушающей силы 52
3.3.2 Обоснование форм разрушения плит, в предельном состоянии 56
3.4 Методика расчёта прямоугольной железобетонной плиты, на деформируемом основании, загруженной сосредоточенной силой 61
3.4.1 Прямоугольная железобетонная плита, шарнирно опёртая по контуру 61
3.4.2 Прямоугольная железобетонная плита со свободным контуром 71
3.5 Определение условий приподнимания краев плиты от основания 79
4 Результаты расчёта прямоугольной железобетонной плиты, лежащей на деформируемом основании 84
4.1 Алгоритм расчёта и реализующий их программный комплекс 84
4.2 Численные результаты расчётов 85
4.2.1 Плиты, шарнирно опёрты по периметру 85
4.2.2 Плиты со свободным контуром 89
4.3 Достоверность полученных результатов 129
Основные результаты и выводы 132
- Применимость гипотезы Винклера
- Решение задачи кинематическим методом
- Методика расчёта прямоугольной железобетонной плиты, на деформируемом основании, загруженной сосредоточенной силой
- Численные результаты расчётов
Введение к работе
В строительной практике широко применяются плиты, расположенные на деформируемом основании. К таким плитам относятся, например, сплошные фундаментные плиты, плиты дорожных и аэродромных покрытий, различные коробчатые конструкции, контактирующие с грунтом. Эти конструкции порой характеризуются большой материалоёмкостью и должны обеспечивать нормальную эксплуатацию всего сооружения.
Теории расчета пластин, лежащих на деформируемом основании посвящена обширная литература; ряд работ по расчету плит на упругом основании имеют четкую инженерную направленность; многие работы задуманы как пособие для проектировщика.
Однако существующие методы расчета не всегда совершенны и не дают ответа на множество разнообразных вопросов, выдвигаемых практикой. Большая часть этих методов носит слишком сложный для практических вычислений характер; не могут считаться совершенными и те гипотезы, которые принимаются для работы естественного грунта. Поэтому уточнение и совершенствование методов расчёта таких конструкций, как «плита -деформируемое основание» является одной из актуальных проблем механики деформируемого твёрдого тела и строительной механики.
Таким образом, перед современной теорией расчета плит на деформируемом основании стоит ряд серьезных проблем, наиболее важными из которых являются:
1) уточнение расчетных схем основания, в смысле приближения их с
действительностью;
2) упрощение методов расчета сооружений на деформируемом основании,
в целях широкого внедрения их в строительную практику.
Предлагаемая работа посвящена решению второй задачи - разработке
метода расчёта предельной нагрузки, при которой реализуется процесс пластического деформирования пластин, лежащих на упругом основании. В работе не ставится задача уточнения расчетных схем основания, но проведен краткий обзор существующих моделей оснований и выбор модели для расчета плит, в зависимости от конкретного содержания задачи.
На защиту выносятся: 1) Численный метод оценки сверху несущей способности бетонных и железобетонных плит, лежащих на деформируемом основании при их загружении распределенной и сосредоточенной нагрузками;
Алгоритмы и составленные программы для численной реализации вышеупомянутого метода;
Результаты решения задач об определении предельной нагрузки для железобетонных плит, лежащих на деформируемом основании Винклера.
Диссертационная работа состоит из четырёх глав, заключения и списка литературы.
Во введении обосновывается важность и актуальность работы, кратко излагается ее цель и содержание по главам.
В первой главе кратко освещено состояние вопроса, приведены исходные положения расчета пластин.
В первом параграфе этой главы приведен краткий обзор работ, посвященных моделям естественного основания. Основные достижения в этой области связаны с работами Н.И.Фусса, Винклера, А.Н. Динника, Н.Е. Жуковского, Г.Д. Дутова, Н.П. Пузыревского, Н.М. Герсеванова, Г.Э. Проктора, П.Л. Пастернака, М.И. Горбунова-Посадова, Б.Н.Жемочкина, И.Я. Штаермана, А.П. Синицына, Л.А. Галина, О .Я. Шехтер и др. Особое внимание уделено применимости модели основания Фусса-Винклера. Дано обоснование его применимости, подтвержденное имеющимися экспериментальными и теоретическими данными.
Во втором параграфе показана связь между расчётами по гипотезе Фусса - Винклера и по гипотезе упругого полупространства, на основе которой обоснована применимость модели коэффициента «постели» для практических расчётов.
В третьем параграфе кратко изложена история развития методов расчета балок и плит. Основной вклад в развитие методов расчета было сделано Е.А. Палатниковым, Б.Г. Кореневым, М.И. Горбуновым-Посадовым, А.А. Гвоздевым, А.П. Синицыным, Н.Нильсеном, А.Р. Ржаницыным, Г.А. Раппопорт, и др. Большое значение для решения данной задачи имеют различные эффективные методы, такие как методы Ритца, Бубнова-Галеркина, Власова-Канторовича, методы конечных разностей и другие.
Во второй главе изложены теоретические основы расчета пластин по предельному состоянию.
Первый и второй параграфы этой главы посвящены описанию основных критериев прочности для различных материалов. Здесь же приведены условия прочности для слоистых композитных пластин и оболочек, полученные И.Г. Терегуловым [83] и Э.С. Сибгатуллиным [83].
В третьем параграфе приведены основные соотношения при расчете тонких пластин на изгиб (гипотезы Кирхгофа). Получено выражение для работы внутренних сил в предельном состоянии, приходящихся на элемент поверхности пластины.
В четвёртом параграфе получено аналитическое решение задачи об определении предельной нагрузки для круглой в плане железобетонной плиты, лежащей на упругом основании с привлечением статической и кинематической теорем теории предельного состояния. При верхней оценке используются уравнения принципа виртуальной мощности и кинематические краевые условия, записанные для скоростей перемещений. В результате решения задачи определяется значение предельной нагрузки и кинема-
тически возможное поле скоростей перемещений.
Третья глава посвящена разработке метода определения предельной нагрузки пластических плит, лежащих на основании Винклера и находящейся под действием заданных нагрузок.
В первом параграфе этой главы разработана методика определения предельной нагрузки для пластины, лежащей на деформируемом основании, при действии на неё параметрических нагрузок. При этом для плиты принята модель жёсткопластического тела, а для основания - модель Фусса -Винклера.
Во втором параграфе проведено обоснование разработанной методики на примере расчёта балки, лежащей на деформируемом основании при действии сосредоточенной силы.
В третьем параграфе изложена теория расчёта железобетонных пластин по предельному состоянию, разработанная А.А. Гвоздевым [18]. Выводятся уравнения для разрушающих нагрузок и приводятся кинематически возможные формы разрушения плит в предельном состоянии.
В четвёртом параграфе разработана методика определения предельной нагрузки для прямоугольной железобетонной плиты, лежащей на деформируемом основании при действии сосредоточенной силы. Получены определяющие соотношения для случаев шарнирного опирання плиты и со свободным контуром.
В пятом параграфе получены условия, определяющие зоны приложения силы при которых происходит «отлипание» краёв плиты от основания.
В четвёртой главе приведены результаты численной реализации разработанной методики. Получены численные результаты для плит с различными соотношениями сторон, приведены сравнения результатов с результатами, полученными другими авторами и с экспериментом.
Основное содержание диссертации опубликовано в работах [3, 4, 7, 8, 54, 84, 85, 86, 87, 88, 89, 90, 91, 92, 93, 94, 95], выполненных в соавторстве с научными руководителями, которым принадлежит постановка задачи, обсуждение методов и численных результатов.
Автор выражает глубокую благодарность научным руководителям — заслуженному деятелю науки и техники ТАССР и РСФСР, академику АН РТ,
доктору физико-математических наук, профессору [Герегулову И.Г|, кандидату физико-математических наук, доценту Низамееву В.Г. Автор также признательна доктору физико-математических наук, профессору Каюмову Р.А., члену корр. АН РТ, доктору технических наук, профессору Брехману А.И. и коллективу кафедры «Сопротивления материалов и основ теории упругости и пластичности» КГАСУ за внимание и помощь при выполнении работы, и за участие при обсуждении полученных результатов.
Применимость гипотезы Винклера
Гипотеза коэффициента постели не является строгой. Принимая связь между осадками и давлением в форме (1.1), мы допускаем, что осадка, в какой-либо точке определяется только давлением в этой точке и, следовательно, вне грузовой области основание не деформируется. На самом деле, как показывает эксперимент это не так; то есть поверхность грунта претерпевает осадку не только в том месте, где на него оказывается давление, но и по соседству. Опыты Л. И. Манвелова [59] показывают, что вне грузовой области возникают быстро, по экспоненциальному закону затухающие осадки (рис. 1.1). Кроме того график Полыпина [22], показывает, что осадки опытного штампа зависят от его линейных размеров. Этот график построен на основе большой серии опытов, проведенных на однородном лессовидном суглинке значительной мощности. Из этих данных был сделан ошибочный вывод, что метод коэффициента постели имеет ограниченное применение для расчета конструкций, опирающихся на грунты как упругое основание. Но как это будет показано ниже, наличие быстрозатухающих осадок в окрестности грузового штампа, не вносит заметных отклонений в работу плиты, определенную без учета этих осадок. Применение слишком малых штампов для испытаний грунтов привело к ошибочному мнению, что коэффициент постели является величиной переменной, зависящей от размеров штампа. Исследования же показывают, что размеры штампа (при его диаметре D 750-1000 мм) практически не влияют на величину коэффициента постели. Экспериментальные исследования [59], посвященные определению осадок в окрестности грузового штампа и охватившие более двухсот испытаний грунтов в естественном залегании показали, что модель упругого полупространства значительно преувеличивает распределительную способность грунта (рис. 1.1). По экспериментальным данным объем осадочной лунки вне грузового штампа составляет не менее 10% от того же объема теоретической осадочной лунки упругого полупространства, если даже пренебречь той частью теоретической осадочной лунки, где осадки составляют менее 5% от осадки под штампом. Е. А. Палатников в [59] показал непосредственным сравнением, что гипотеза
Винклера, полностью пренебрегающая осадками вне грузовой площадки, приводит к совпадающим результатам по схеме упругого слоя в весьма широких пределах, то есть наличие достаточно быстро затухающих осадок вне грузовой площадки не вносит заметных возмущений в работу плиты, определенную без учета этих осадок. Рассматривая неограниченную изотропную плиту, опирающуюся на упругий слой мощности h, подстилаемый несжимаемым основанием, О. Я. Шехтер [108] получила для прогиба плиты в месте приложения сосредоточенной силы: Поэтому для расчетов практически безразлично будем ли мы пользоваться для коэффициентов постели к выражением (1.18) или (1.19) Все расчетные величины для упругого слоя и по гипотезе Винклера с необходимой для практики точностью совпадают. А это означает, что на основе гипотезы коэффициента постели можно вести расчеты даже тогда, когда в основании плиты находится мощный слой идеально упругого тела (каковым не является грунт). Исходя из изложенного выше, принимаем в качестве расчётной модели гипотезу коэффициента постели. В настоящее время гипотеза Винклера включена в «Технические условия проектирования аэродромных покрытий» СН 120-60. Для расчета плит, расположенных на деформируемом основании, были разработаны и применены на практике различные эффективные и численные методы, такие как метод компенсирующих нагрузок и его модификации, вариационные методы Ритца, Бубнова-Галеркина, Власова-Канторовича, метод конечных разностей, метод конечных элементов и другие. Е. А. Палатниковым в книге [60] рассмотрены вопросы расчета гибких прямоугольных изотропных4 плит, лежащих на упругом винклеровском основании. Разработан общий метод расчета прямоугольной плиты со свободным контуром; дан обширный, впервые вычисленный, табличный материал для производства практических расчетов. Б. Г. Кореневым [38, 40] детально разработан метод компенсирующих нагрузок, позволяющий на основе решения для неограниченной плиты получить решение для плиты с произвольным контуром и граничными условиями. Широкий круг вопросов по расчету гибких плит на упругом основании рассмотрен в работе [40]; здесь автором освещены вопросы расчета железобетонных балок и плит с учетом пластических деформаций в арматуре и бетонных плит по предельным состояниям.
Дается обширный табличный материал, относящийся главным образом к моделям винклеровского основания и основания, описываемого моделью с двумя упругими характеристиками. К одному из приближенных аналитических методов расчета прямоугольных плит может быть отнесен обобщенный вариант вариационного метода Власова-Канторовича, предложенный в работах В. 3. Власова, Н. Н. Леонтьева [14]. В этом методе искомая функция прогибов плиты в двух направлениях аппроксимируется выбранными системами функций и одновременно с этим в тех же направлениях разыскиваются из решения обыкновенных дифференциальных уравнений. Метод Власова - Канторовича использовали при расчете пластин А. А. Мирумян [52], Ю. М. Дойхен [25], Бхуиан Мохамед Шах Алам [11], Ю. М. Васильков [12], Г. А. Раппопорт [12], Е. Н. Шпитюк [12] и др. Упруго-пластическим расчетом пластин и балок, лежащих на естественном основании стали заниматься в основном последние 50 лет. Это работы Б. Г. Коренева [38,39,40], Р. В. Серебрянова [74], Ю. Т. Чернова [106], Е. А. Палат-никова [59,60], Л. В. Высоковского [16], А. С. Сытника [16], Е. Б. Кореневой [42], Г. В. Василькова [12], Г.А. Рапопорт [12], А. А. Мирумяна [52], и многих других. Расчет по предельному равновесию впервые был предложен в 1913г. венгерским инженером Казиничи. Для пластинок расчет по схеме разрушения с цилиндрическими шарнирами текучести впервые был дан в 1921г. в Дании А. Ин-герслевым [ПО]. Вначале 30-х годов этот расчет был развит К. Иогансеном [111, 112]. В дальнейшем расчетом пластинок по стадии предельного равновесия занимались многие, в том числе Е. Мансфилд [113], М. Нилсен [114], АА. Гвоздев [18], А.Р. Ржаницын [65-70] В. Ольшак [57], А. Савчук [57], М. И. Ерхов [30], В. И. Себекина [73], Ф. Г. Ходж [62, 104], В. Прагер [62], Ю. В. Не-мировский [53], A.M. Дубинский [28], А.С. Дехтярь [26] и многие другие. Построение расчета конструкций на основе методов предельного равновесия стало особенно актуальным после появления железобетона; поскольку недостатки использования теории упругого тела стали очевидны, прежде всего, для железобетонных конструкций.
Решение задачи кинематическим методом
Согласно принципу возможных перемещений: где cr k - напряжения, удовлетворяющие уравнениям равновесия, если выполнено (2.29); Sw - кинематически возможные малые приращения перемещений; дєік - кинематически возможные малые приращения деформаций qz - распределенная нагрузка; Rz = —kw- распределенная реакция упругого основания. На основе соотношения (2.29) решим задачу о предельной нагрузке для круглой в плане пластины (рис. 2.3), армированной радиальной и кольцевой арматурой. Граничные условия имеют вид: где Lw- граница контура плиты. Форму прогиба примем как в [65]: а) Рассмотрим случай свободного опирання плиты на грунт. Пренебрегая работой постоянных сил типа собственного веса и учитывая выражение для функции прогиба (2.31), запишем выражение для приращения работы внешних сил в виде: На основании гипотезы Кирхгофа — Лява о сохранении перпендикулярности нормалей к срединной поверхности пластины после ее деформации где 11, 22 5 12 " составляющие тензора деформаций в плоскости, параллельной срединной поверхности пластины; z — расстояние от этой срединной поверхности; Zu Хгг кривизны срединной поверхности после деформации пластины в направлении осей 1 и 2; Хп кручение срединной поверхности пластины. Так как уровень армирования плиты различный для различных направлений, то плита в отношении ее расчета по предельному равновесию оказывается ортотропной. Поэтому согласно (2.34) и с учетом соотношений (2.35) получим по аналогии с (2.29): где хг и Хв кривизны изогнутой поверхности пластины в направлении радиуса и линии, перпендикулярной радиусу. Считая прогибы малыми, имеем: где тт и mT - предельные изгибающие моменты в направлении радиуса и линии перпендикулярной радиусу, определяются по формулам: h — плечо пары внутренних сил; а/, УТ - пределы текучести радиальной и кольцевой арматуры соответственно; fr,fe- относительные площади сечения радиальной и кольцевой арматуры, приходящейся на единицу длины сечения.
Для рассматриваемого случая где кг,кв - количество арматурных стержней в радиальном и окружном направлении соответственно; Аг, Д - площади поперечного сечения радиальных и кольцевых арматурных стержней. С учетом соотношений (2.36), (2.37), и (2.38) выражение для работы внутренних сил примет вид: Учитывая функцию прогиба (2.31) получим: здесь введены обозначения a-krArl 2K, f3 = квАв, [м]. Подставляя (2.33) и (2.41) в выражение принципа возможных перемещений Потере несущей способности пластины соответствует наименьшее значение д, из выражения (2.42). Минимизируя (2.42) находим qnped при п = 1: При действии нагрузки через площадку радиусом r0 = rx 12 получаем б) Далее рассмотрим случай шарнирного опирання пластины. Выражение для работы внешних сил имеет вид: Используя выражение для работы внутренних сил (2.41), из равенства (2.29) получаем выражение для распределенной нагрузки Минимизируя выражение (2.48) по параметру п можно получить значение предельной нагрузки, например при rx = r0: Минимального значения qz достигает при п=\\ Для отыскания нижней границы несущей способности условие текучести аппроксимируем шестиугольником Сен-Венана (рис. 2.4) и уравнение равновесия в моментах Mj и М2 запишем в виде: поперечная нагрузка с учетом реакции основания R, = -kw(rj). Используя ассоциированный закон пластического течения То есть вектор х - X\i + XiJ ортогонален касательной к кривой П - Mr". В силу этого на участке 1-2 имеем Х\ =0, 2 0, и М2 =МТ = const, а на участке 2-3 имеем "2 = 0, J, 0 и М, Если МХ М2, то это соответствует участку 2-3, на котором j2 = 0, то есть х2 = 0 откуда следует, что w = const. Следовательно, никакого изгибания нет. Таким образом, условие МХ М2 противоречит условию разрушения изгибанием и должно быть А/, М2 — Мт = const в предельном состоянии с изгибанием. Тогда из уравнения равновесия следует (так как Мт = const): Так как в точке = о величина Мх ограничена, имеем С2 = 0, тогда как в той же точке Мх = М2 = Мт в силу осевой симметрии имеем С, = Мт. Здесь учтено то, что интегральный член в (2.59) при /7 = 0 равен нулю при ограниченных qt. Таким образом, из уравнения статики следует, что При шарнирном опираний кромки, при т] = 1 имеем Мх - 0, то есть d2w Так как на участке 1-2 шестиугольника (рис. 2.4)хх =0 или —г = 0, то форма изгибания дается равенством: где учтено то, что w(l) = 0. Подстановка функции (2.62) в равенство (2.61) дает: Таким образом, предельная нагрузка, полученная статическим методом совпадает с результатами расчёта по кинематическому методу (пункт 2.4.1). Рис. 3.1 Расчётная схема для плиты, лежащей на деформируемом основании под действием заданных нагрузок Для оценки несущей способности плиты (определение предельной нагрузки Р) используем кинематический принцип теории предельного состояния.
При этом для плиты принимается модель жесткопластического тела, а для основания - модель Винклера. Таким образом, реакция основания будет определяться выражением: где к- коэффициент постели; w(x,y)- вектор перемещения срединной поверхности плиты, которое состоит из осадки плиты под действием собственного веса, осадки как абсолютно жесткого тела и перемещений, связанных с появлением пластических деформаций плиты в предельном состоянии: где wq- осадка плиты под действием собственного веса или от другой равномерно распределенной не параметрической нагрузки. Ее величина определяется выражением величина осадки является постоянной величиной, как по площади плиты, так и по отношению к параметру нагружения. w0 - осадка плиты как абсолютно жёсткого тела (до наступления предельного состояния), определяется выражением: w - перемещения срединной поверхности плиты с наступлением режима пластического течения. Они определяются в теории предельного состояния с точностью до неопределенного множителя, поэтому их будем считать величиной малого порядка по отношению к w0n пренебрегать ими в (3.1) при определении реакции основания. Коэффициенты функции прогибов w0H3 уравнения (3.4) находятся из уравнений статики для плиты, составленных в произвольной системе координат для параметрических нагрузок и соответствующей реакции основания: В уравнениях (3.5) интегрирование производится по площади срединной поверхности А и поверхности приложения нагрузки А Система является линейной и приводится к виду: Sya0+Jyb0+Jxyc0=My/k, где A - площадь поверхности плиты, Sx = jjydA, Sy = \\xdA - статические моменты площади, занимаемой поверхностью плиты, R- равнодействующая внешней параметрической нагрузки р{х, у); Мх,Му- моменты относительно осей д: и уот внешней параметрической нагрузки р(х,у).
Методика расчёта прямоугольной железобетонной плиты, на деформируемом основании, загруженной сосредоточенной силой
Определяется несущая способность прямоугольной железобетонной плиты при действии сосредоточенной силы (рис.3.6), приложенной в любой точке. Расчет ведется на основе кинематического принципа теории предельного состояния. Использованы результаты, полученные А.Р. Ржаницыным в работе [65]. Для плиты принята модель жесткопластического тела. Реакция основания определяется по гипотезе Винклера: Считаем, что сила Р распределена по малой площадке, с размерами До наступления режима пластического течения основание деформируется по форме (3.42): коэффициенты а0, Ь0, с0 находятся из уравнений равновесия (рис.3.6): Получаем систему уравнений: После вычислений система преобразуется к виду: Для решения системы введем обозначения: Решив систему уравнений (3.43) получаем искомые значения коэффициентов - ао К, с0: Основные случаи расположения силы а) сила приложена в центральной части пластинки. В предельном состоянии образуется пластическая зона. Ее форма в плане, согласно [69], представляет собой прямоугольник с лучами изломов, исходящих из точки приложения силы к вершинам прямоугольника 1-2-3-4, (рис. 3.7). С этого момента появляются дополнительные перемещения точек в пределах указанной области - wdon, и теперь работа реакции основания - А определяется: где Мдоп— скорость перемещений точек в пределах пластической зоны. Так как в рассматриваемом варианте силы инерции не учитываются, то движение следует считать равномерным, то есть wdm = const и wdon =Vvdont (время t мало), то есть реакция основания определяется: Для определения wdon область разрушения разбивается линиями излома на четыре части: 1-2, 3-4, 5-6, 7-8. Затем находятся перемещения - wdom работа реакции-і? по формуле (3.46) для каждой из этих областей и полученные значения суммируются. Обозначим координаты точки приложения силы — хр, Ур в прямоугольных осях, совпадающих с двумя сторонами пластины. Записывая уравнение плоскостей 1-2, 3-4, 5-6, 7-8 в осях х, y,z, определяем: где wp - прогиб в точке приложения силы Р; х - текущая координата; al,a2,bx,b2 - размеры области разрушения. Подставляя значение (3.47) в выражение (3.46) определяем значения реакции основания для всех четырех областей: после вычислении: При вычислении значений (3.49) использовалась схема разрушения, (рис.3.7), так как она является универсальной для всех трех случаев расположения силы. При использовании схемы разрушения (рис.3.8) получившиеся выше выражения для R справедливы.
Мощность внешних сил после начала пластического течения есть: s Поскольку прогиб под силой Р в состоянии текучести является неопределенной величиной, и его можно принять за единицу, то мощность внешних сил будет равна: При определении мощности внутренних сил можно пренебречь влиянием упругих сил и учитывать только мощность предельных моментов Шт на двугранных углах перелома в шарнирах текучести. В цилиндрических шарнирах текучести, образовавшихся в лучах изломов, исходящих из точки приложения силы Р к вершинам прямоугольника мощность внутренних сил, согласно известной формуле [18] равна: где «,. - углы, образуемые проекциями линий излома со сторонами периметра пластины (рис.3.4); тт- предельный погонный изгибающий момент: где аа - предел текучести арматуры; fa- площадь сечения арматуры, приходящейся на единицу длины сечения; z - плечо пары внутренних сил. К этой мощности следует прибавить мощность предельных моментов в краевых шарнирах текучести: где /, - длина прямолинейного участка (стороны прямоугольника 1-2-3-4); р, - длина перпендикуляра, опущенного из точки приложения силы на сторону /, (рис. 3.4). В целом работа предельных моментов Используя равенство Т = Р0 (в режиме течения) находим значение предельной нагрузки Теперь задача сводится к отысканию наименьшего значения по параметру w, силы Р, обеспечивающей процесс текучести. б) сила приложена вблизи края пластины. В этом случае разрушение происходит по форме, показанной на (рис.3.9). Здесь мы имеем те же значения мощности внутренних сил в шарнирах текучести, образованных лучами изломов 1-Р, 2-Р, 3-Р, 4-Р, что и в первом случае (выражение 3.537).
Мощность же предельных моментов в краевых шарнирах есть в) сила приложена вблизи вершины угла. Схема разрушения для этого случая соответствует (рис.3.10). Работа предельных моментов - V, та же, что и в двух предыдущих случаях, а величина V\ Предельная интенсивность тт отличается от предельной интенсивности краевых моментов гп т при различных сетках арматуры вверху и внизу плиты. Для плит одинаково армированных вверху и внизу mT = m T. Рассматривая плиту как абсолютно жёсткое тело (жёсткий штамп), проведём анализ осадок плиты под воздействием параметрической внешней нагрузки при наличии равномерно распределённой нагрузки типа собственного веса плиты. Условием отсутствия отрыва, то есть отсутствие отрицательных перемещений является: где w0- осадка плиты под воздействием параметрической нагрузки; w - осадка от собственного веса; коэффициенты а0,Ь0, с0 условия (3.97) должны удовлетворять системе уравнений (3.5) или проще (3.8). Далее рассмотрим прямоугольную плиту под воздействием сосредоточенной силы Р (рис. 3.16). В этом случае условие (3.97) достаточно проверить лишь для угловых точек, а уравнение (3.8) представятся в виде Для угловых точек хр =—, у = — выражение для осадки плиты принимает вид: Границы зоны, в которой не происходит отрыва краёв плиты от основания, зависят от соотношения между собственным весом и величиной приложенной нагрузки. Ниже рассмотрены различные варианты: а) если собственный вес плиты принять равным нулю (q0 =0), тогда, х = —, Ур= — На рис. 3.17 а показана плита — при нагружении её в заштрихованной области не происходит отрыва краёв плиты от основания. б) если собственный вес равен приложенной нагрузке (q0ab = P), тогда а Ъ в) если приложенная сила в два раза превышает собственный вес плиты (q0ab = 2Р), тогда Хр=-,ур=-. г) если приложенная нагрузка в пять раз превышает собственный вес плиты (q0ab = 5Р), тогда хр = а, ур-Ъ. Теперь располагая значениями хр, ур для различных вариантов загружения (а - г) можно построить зоны при нагружении которых не происходит отрыва плиты от основания. На рисунках 3.17 а-г (соответственно для вышеперечисленных случаев нагружения) показаны плиты, разделённые на зоны - при нагружении плиты в области серого цвета не происходит отрыва краёв плиты от основания.
Численные результаты расчётов
Разработанный алгоритм, который при помощи компьютерной программы реализован для прямоугольных железобетонных плит со следующими соотношениями сторон - Я = а/Ь: 1.0, 1.25, 1.5, 1.75, 2.0, 2.25, 2.5, 2.75, 3.0. (а- длина пластины; Ъ - ширина пластины). Расчёты велись с разбивкой 10x10 (в некоторых зонах 5x5), для 1/4 плиты, поскольку значения для оставшихся частей пластины симметричны. Например, для плиты 1.0x1.0 м., /1 = 1/1 = 1. В каждой точке плиты получены три значения предельной нагрузки - Pj, Рпр", Рпр!", каждая из которых соответствуют одной из трёх схем разрушения (табл. 4.2.1), наименьшее из них, согласно кинематическому принципу теории предельного состояния считаем наиболее близким к истинному значению. На графиках рис. 4.2 а-д представлены значения Рпред для 1/4 плиты. Например, на графике рис.4.2, а по линии абсцисс отложена координата точки приложения силы - ур, в то время как координата хр не меняется и равна 0.1, то есть координаты первой точки (хр=0.1; =0.1); координаты второй точки (хр=0.1; =0.2)5 третьей точки (хр=0Л; =0.3) и т.д. По оси ординат откладывается значение предельной нагрузки. Ряд 1 соответствует значениям Р , определённой по схеме разрушения №1; ряд 2 соответствует значениям Рпр , определённой по схеме разрушения №2; ряд 3 соответствует значениям Р - схеме №3. Точки пересечения графиков означают смену действия расчётной схемы, например, точка (хр =0.1; ур =0.16) означает, что до неё действовала схема №3, начиная с этой точки в действие вступает схема разрушения №2. Далее рассмотрим графики (рис. 4.2. б): до точки (хр =0.2; у =0.14) действует схема №2, после неё — схема №3, после точки {хр =0.2; у =0.3) снова вступает в работу схема №2. На следующем графике (рис. 4.2. в) видно, что до точки пересечения графиков (лср = 0.3; у = 0.22) действует схема №2, до точки (х = 0.3; у р =0.315) - схема №3, далее - схема №1. Далее графики (рис. 4.2. г): от края плиты до точки (хр = 0.4; у = 0.24) работает схема №2, после неё - схема №1. Далее из рис. (4.2. д) видно, что от края плиты до точки (хр = 0.5; ур = 0.24 ) действует схема №2, после неё - схема №1.
Найдены точки, в которых меняется расчётная схема. Из всех обследованных схем разрушения выбирается та, которая даёт наименьшее значение предельной нагрузки и плита делится на зоны (рис. 4.3 а) Таким образом, точки пересечения графиков на рис. 4.2 а-д дают линию - границу действия расчетных схем. Если построить эту линию для всей плиты (используя симметрию значений), то получим рис. 4.3. а. Ломаная линия делит плиту на зоны. В зоне I действует схема разрушения №1; в зоне II -схема разрушения №2, в зоне III - схема разрушения №3. Для плит с соотношением сторон Я 1.9, в центральной части плиты схема разрушения №1 заменяется схемой разрушения №4. Аналогичным способом построены зоны действия расчётных схем для плит с соотношениями сторон: /1 = 1.25, 1.5, 1.75, 2.0,2,25 2.5, 3.0. Соответствующие им схемы с изображением зон действия расчётных схем показаны на рис. 4.3. б-з, при помощи которых, зная координаты точки приложения сосредоточенной силы можно выбрать расчётную схему и в соответствии с ней определить предельную нагрузку. Полученные схемы качественно совпадают со схемами, полученными А. Р. Ржаницыным для шарнирно-опёртых плит [69]. В случае затруднений при определении расчётной схемы вычисления следует произвести по нескольким схемам и из полученных значений выбрать наименьшее. Численные значения предельных нагрузок - Рпр, [кН] для плит с различными Я представлены в виде графиков - рис. 4.4. а-з и поверхностей рис. 4.5. а-з. Расчёты велись с разбивкой 10 10 (в некоторых зонах 5 5), для 1/4 плиты, поскольку значения для оставшихся частей пластины симметричны. Например, для плиты 1.0 1.0 м., Я = 1/1 = 1. В каждой точке плиты получены три значения предельной нагрузки - Рпр , Рпр , Р , каждая из которых соответствуют одной из трёх схем разрушения (табл. 4.2.2), наименьшее из них, согласно кинематическому принципу теории предельного состояния считаем наиболее близким к истинному значению. Поступая аналогичным способом, как в п. 4.2.1, определяем зоны действия расчётных схем.
Зоны действия расчётных схем для плит со свободным контуром показаны на рис. 4.6. а-е. Для плит с Я = 1 зоны действия расчётных схем имеет вид рис. 4.6.а, здесь возможны три схемы - №1, №2, №3. При Я 1 (Я = 1.25, 1.5, 2, 2.5, 3 ) работают только схема №1 и схема №2. Численные значения предельных нагрузок - Рпр [кН] для плит с различными соотношениями сторон - Я представлены в виде графиков -рис. 4.7. а-з и поверхностей рис. 4.8. а-з. Достоверность полученных результатов обеспечивается корректной физической и математической постановкой задачи, применением классических математических методов и вариационных принципов механики сплошной среды. В частности при расчёте шарнирно-опёртых плит приняты схемы разрушения, получены упрощением схем, используемых А.Р. Ржаницыным (рис.4.3). Эти упрощения значительно облегчают расчёт, и в то же время не дают значительных отклонений от значений, полученных А.Р. Ржаницыным в [69]. В табл. 4.3.1 приведены значения предельных нагрузок, вычисленные разработанным методом (без учёта коэффициента постели) и значения разрушающих нагрузок полученные А.Р. Ржаницыным для шарнирно-опёртых плит. Из таблицы 4.3.1 видно, что эти отклонения в пределах 10%.
