Содержание к диссертации
Введение
1 Моделирование механических систем с одно сторонними связями , 14
1.1 Краткий обзор литературы 14
1.2 Элементы теории механических систем с односторонними связями 18
1.3 Методы и алгоритмы моделирования и анализа систем с односторонними связями 20
1.3.1 Алгоритм последовательного перебора рабочих СХЄМ 20
1.3.2 Применение методов математического программирования 21
1.3.3 Использование методов решения линей ной задачи о дополнительности 22
1.3.4 Алгоритм последовательного выключения СВЯЗеЙ 23
1.4 Методы решения линейной задачи о дополни тельности 27
1.4.1 Аппарат жордановых исключений 27
1.4.2 Решение линейной задачи о дополнительности с помощью метода Лемке 29
1.4.3 Шаговый метод определения неотрицательного решения системы линейных уравнений 33
2 Балки и плиты на упругом основании как механические системы с односторонними связями 39
2.1 Краткий обзор литературы 39
2.2 Выбор расчетной модели грунтового основания. 42
2.3 Предлагаемый вариант моделирования плиты (балки) на упругом основании 46
3 Конечно-элементное моделелирование механических систем с односторонними связями 54
3.1 Основные понятия метода конечных элементов. 54
3.2 Учет кинематических граничных условий 57
3.3 Жордановы исключения с матрицей жесткости системы 60
3.4 О методиках учета конструктивной нелинейности в некоторых известных конечно-элементных программных комплексах 63
3.5 Описание предлагаемой конечно-элементной методики моделирования механических систем с ограничениями на параметры в виде нестрогих неравенств 66
3.5.1 Разработка методики анализа механической системы с односторонними связями на основе метода конечных элементов. 66
3.5.2 Практическая реализация предлагаемой методики 71
3.5.3 Оценка объемов вычислений при анализе нелинейной модели 75
3.5.4 Апробация методики при решении тестовой задачи 77
4 Применение разработанных алгоритмов в задачах моделирования балок и плит на упругом основании 91
4.1 Моделирование системы плита-основание 91
4.2 Моделирование системы балка-основание 99
4.3 Моделирование системы балок. 107
4.4 Построение графиков зависимости расчетных параметров от положения подвижной нагрузки . 109
4.5 К определению толщины сжимаемого слоя 111
Список литературы 117
Приложения
- Элементы теории механических систем с односторонними связями
- Предлагаемый вариант моделирования плиты (балки) на упругом основании
- О методиках учета конструктивной нелинейности в некоторых известных конечно-элементных программных комплексах
- Построение графиков зависимости расчетных параметров от положения подвижной нагрузки
Введение к работе
Механика контактных взаимодействий представляет в настоящее время большую и быстро развивающуюся область механики сплошных сред. Объясняется это тем, что лишь в результате решения контактных задач могут быть сформулированы граничные условия на поверхности деформируемых тел, адекватные действительности. Анализ литературы показывает, что в данной области исследований имеется ряд недостаточно изученных аспектов.
В представленном диссертационном исследовании рассматриваются задачи, относящиеся только к одному классу многочисленных задач контактного взаимодействия, что отражено в названии работы. При этом в центре внимания находится взаимодействие плит и балок с основанием. Модель плиты считается известной, используется конечно-элементное ее представление. Модель основания также считается известной. Исследуется проблема определения области контакта плиты с основанием. При этом воздействие на плиту может быть произвольным и определяется условиями эксплуатации реального объекта, моделью которого служит/система «плита-основание». Основание может быть неоднородным, плита может иметь переменную толщину и произвольную форму, также определяемую назначением и условиями эксплуатации указанного объекта. Подлежащая определению область контакта может быть одно-связной или многосвязной.
Необходимость решения задач рассматриваемого в диссертации класса часто возникает в различных областях техники. Эти задачи весьма разнообразны, каждая из них имеет свои особенности. К их числу могут быть отнесены такие задачи, требующие математического моделирования объектов как балок и плит, опирающихся на различного вида деформируемые основания, как, например, расчет конструкций фундаментов; понтонных мостов; подпорных стенок; многоопорных валов некоторых механизмов и машин, трубопроводов и т.д.
В качестве объекта исследования в диссертации рассматривается система «основание-плита» покрытия.временной автомобильной дороги. Предмет исследования - взаимодействие плиты и основания.
Актуальность решения задач, связанных с моделированием названных систем обусловлена как потребностями инженерной практики строительства и эксплуатации автомобильных дорог различного назначения, так и необходимостью совершенствования методов расчета и анализа напряженно-деформированного состояния дорожных покрытий.
Анализ литературы по теме работы показывает, что существующие методики расчета дорожных одежд, например, нежесткого типа из-за сложности, громоздкости трудны для практического применения. Стремление к ее упрощению приводит к необходимости в ущерб точности ориентироваться на простейшие вычислительные операции или использование таблиц [81, 72], что входит в противоречие с необходимостью более полного учета накапливаемых эмпирических данных.
Как известно, на основе обобщения практического опыта разрабатываются СНиПы (строительные нормы и правила), представляющие собой свод требований, которые должны выполняться при проектировании новых и эксплуатации существующих инженерных сооружений. Однако, и в СНиП можно встретить пункты рекомендательного характера, а также пункты, в которых нет детальной регламентации действий разработчика проекта или инженера-расчетчика. Отсутствие детальной регламентации свидетельствует о недостаточной изученности соответствующих аспектов проблемы и по умолчанию требует концентрации внимания исследователей именно на них.
Обращает на себя внимание в этой связи, например, пункт 7.23 СНиП 2.05.02-85. Автомобильные дороги [73]: «Напряжения и деформации нежестких дорожных одежд и земляного полотна под действием расчетной нагрузки следует определять с применением методов теории упругости с учетом наихудших из возможных условий сопряжения слоев на контакте». Приемлемый для инженеров метод определения наихудших, из возможных условий сопряжения слоев на контакте был бы указан в СНиП, если бы такой метод существовал. Обратим также внимание, например, на пункт 3.2 Отраслевых дорожных норм ОДН [48]: «Методика оценки прочности конструкции включает как оценку прочности конструкции в целом (с использованием эмпирической зависимости допускаемого упругого прогиба от числа приложений нагрузки), так и оценку прочности с учетом напряжений, возникающих в отдельных конструктивных слоях и устанавливаемых с использованием решений теории упругости.»
Не перечисляя очевидные преимущества новых компьютеризированных подходов, отметим, что в настоящее время очевидна необходимость разработки эффективной в вычислительном отношении математической модели для решения определенного класса задач о взаимодействии основания и плиты покрытия автомобильной дороги. При этом особую актуальность, что также очевидно, имеет разработка модели достаточно полной, но не избыточно сложной, и с удобной компьютерной реализацией. Заметим, что для инженеров важна физическая «прозрачность» моделей и алгоритмов, используемых при ее компьютерной реализации. Перечисленные требования отвечают основным положениям методологии математического моделирования [71]. В соответствии с ними построение математической модели исследуемого объекта предшествует его физическое описание. В этой связи дальнейшее изложение конкретизируется и, поскольку рамки данного диссертационного исследования имеют естественные ограничения, основное внимание фокусируется на определенной механической системе, на примере которой и разрабатываются без ущерба для возможных обобщений все ключевые аспекты темы исследования. В итоге полученные результаты вполне допускают возможность их применения в моделях других систем, относящихся к тому же классу, что и исследованный объект..
Переходя к более детальному описанию объекта исследования, отметим следующее. С целью сделать рассматриваемые модели «балка-основание», «плита-основание» более определенными, в качестве физического объекта для исследования приняты балки и плиты временных автомобильных дорог, используемых в лесопромышленном комплексе. Необходимость строительства лесохозяйственных и лесовозных дорог круглогодичного действия является одной из важных проблем в развитии лесопромышленного комплекса. Отстутствие надежных лесовозных дорог особенно осложняет работу в весенне-летний период. Срок службы автомобилей, работающих на неустроенных грунтовых дорогах составляет всего 2-4 года. Срок эксплуатации самих дорог не превышает 10 лет. Лесозаготовительные предприятия вынуждены выполнять большие объемы работ по размещению, строительству и содержанию временных лесовозных дорог. Очевидна актуальность рационального использования финансовых средств, предназначенных для строительства временных дорог, а это предполагает применение оптимальных технических и технологических проектных решений. Вопрос о совершенствовании методик расчета дорожных одежд постоянно находится в зоне внимания разработчиков [8, 9, 26, 46].
Различающиеся по конструкции временные лесовозные дороги, устраиваемые из железобетонных плит, деревянных щитов, лесосечных отходов, грунтовые, гравийные, зимние снежные и ледяные, можно адекватно моделировать как балки или плиты, лежащие на грунтовом основании. Механические свойства грунтов намного сложнее, чем свойства многих других материалов, с которыми приходится иметь дело проектировщику. Анализ работы балок, плит, лежащих на упругом основании ведется на.основе различных механических расчетных моделей грунта. Основание временных автомобильных дорог, образованное как правило несвязными или почти несвязными грунтами, которые почти не обладают распределительными свойствами, позволяет с достаточно высокой степени корректности применить классическую гипотезу Винклера о пропорциональной зависимости между контактным давлением и осадкой основания [78, 79, 81]. Необходимо подчеркнуть, что выбор конкретной механической модели основания нисколько не снижает общности рассуждений и сделан лишь с целью избежать излишней детализации.
Затруднения при моделировании плит (балок), лежащих на грунтовом основании отражает то обстоятельство, что грунт сопротивляется только надавливанию, и не препятствует перемещению точек плиты в противоположном направлении. При определенных загружениях по некоторому участку может возникнуть отрыв плиты от основания, причем зона отрыва (следовательно, зона контакта) заранее неизвестна.
Классические методы расчета балок и плит на упругом основании, как правило, основываются на предположении, что зона контакта конструкции и грунта известна. Если это не так, то предлагается после получения результатов первого расчета скорректировать первоначальные предположения о зоне контакта и расчет повторить, превращая его, таким образом в итерационную процедуру «проб и ошибок» [61, 24, 78, 20, 72], Но сходимость итерационной процедуры к правильному решению не всегда обеспечена.
Между тем, механическая система «балка-основание», «плита-основание», в которой грунт сопротивляется перемещению опирающейся на него конструкции только в одном направлении, является типичным примером механической системы с односторонними связями.
Существует подход, позволяющий свести расчет конструкции с односторонними связями к задаче квадратичного программирования [51, 53] или линейной задаче о дополнительности [50, 58, 44]. Однако, известные методы и алгоритмы в силу универсальности создаваемых ими вычислительных схем, могут оказаться избыточно сложными и вычислительно трудоемкими при решении конкретных задач.
В существующих програмных комплексах конечно-элементного расчета механических систем к решению односторонних задач применяют итерационные методы. И хотя быстродействие современных компьютеров позволяет использовать в моделях итерационные алгоритмы, необходимость перехода к более экономичным шаговым алгоритмам (если они существуют) при решении задач этого класса очевидна. На такую необ- ходимость указывает, в частности, опыт исследователей Мюнхенского технического университета, отраженный в статьях [57, 58]. Анализ литературы по теме исследования, включая Интернет-ресурсы, показывает, что в настоящее время предпринимаются интенсивные поиски новых алгоритмов решения, однако цель этих работ еще не достигнута.
На основе анализа состояния вопроса сформулирована цель диссертационной работы - разработка эффективных в вычислительном отношении моделей и алгоритмов для решения задач конечно-элементного анализа контактного взаимодействия плит и балок с основанием.
Алгоритмы, использованные в предпринятом исследовании, относятся к тому же классу, что и недавно предложенные в монографии [34] для решения задач классической строительной механики.
Научная новизна представленной работы состоит в том, что в ней впервые, насколько известно автору, предпринята попытка развития и применения алгоритмов данного класса в конечно-элементных моделях, что привело к выявлению остававшихся незамеченными возможностей. В результате рассмотрения известной интерпретации расчета механической системы как решения линейной задачи о дополнительности выявлена возможность применения одного из существующих алгоритмов ее решения в конечно-элементном моделировании. С использованием выявленной возможности разработан вариант алгоритма последовательного выключения связей, предназначенный для использования в конечно-элементных моделях. Предлагаемая методика органично вписывается в стандартную процедуру метода конечных элементов. Предложенный подход, таким образом, эффективен в вычислительном отношении не только с точки зрения объема вычислений, но и поскольку не требует использования новых, специальных типов конечных элементов, а, следовательно, не требует создания принципиально новых программных комплексов. Предложенный вариант алгоритма впервые использован при моделировании контактного взаимодействия деформируемого основания и плиты на примере покрытия временных автомобильных дорог. Результаты тестирования разработанного алгоритма позволяют рекомендовать его для использования в качестве несложного, физически «прозрачного» и эффективного в вычислительном отношении инструмента исследования напряженно-деформированного состояния балок, плит, системы плит на упругом основании. Тестирование разработанных в диссертации алгоритмов позволяет надеяться на возможность их использования при решении задач более широкого класса, чем те, которые возникают при численном моделировании балок и плит на упругом основании, что указывает на перспективы, находящиеся, однако, за пределами данного исследования. Безусловно, разработанные в диссертации новые алгоритмы не являются универсальными, однако в конечно-элементных моделях с ограничениями параметров состояния в виде нестрогих неравенств эти алгоритмы представляют собой достаточно экономичную альтернативу другим'известным вычислительным схемам решения таких задач.
Достоверность полученных результатов потверждается их теоретическим обоснованием и согласованностью с решениями известных по литературе тестовых примеров [50, 53]. Достоверность данных, полученных с использованием разработанной модели контактного взаимодействия подтверждена их адекватностью известным по литературе результатам испытаний плиты дорожного покрытия [37].
Представленная работа состоит из четырех разделов и введения.
В первом разделе описаны элементы теории механических систем с односторонними связями, обращается внимание на актуальность совершенствования математических моделей механических систем с односторонними связями. Кратко описана история развития подходов, применяемых при построении моделей исследуемых объектов, выявлены затруднения возникающие при компьютерной реализации известных моделей. Рассмотрен вариант анализа механических систем с односторонними связями, сводящий задачу к линейной задаче о дополнительности, описываются вычислительные особенности существующих алгоритмов ее решения, выбран алгоритм, на основе которого предлагается исследовать конечно-элементные модели механических систем с односторонними связями.
Во втором разделе рассматриваются в развитии различные подходы, применяемые при анализе балок и плит на упругом основании. Предлагается и обосновывается вариант моделирования рассматриваемых объектов как механических систем с односторонними связями.
В третьем разделе рассматривается вариант использования алгоритма последовательного выключения связей в конечно-элементном анализе механических систем с односторонними связями.
В четвертом разделе демонстрируется применение разработанных алгоритмов в задачах моделирования балок и плит на упругом основании.
Элементы теории механических систем с односторонними связями
В реальных объектах односторонние ограничения перемещений осуществляются с помощью некоторых устройств, называемых в механике односторонними или неудерживающими связями. Такие связи не препятствуют раздельному движению тел, но «включаются» при появлении контакта и препятствуют взаимопроникновению тел.
Односторонняя связь препятствует перемещению точек конструкции только в одном направлении. Правило знаков для реакции г и перемещения и односторонней связи выбирают таким, чтобы допустимые по природе связи усилие и перемещение оказывались положительными. Односторонняя связь находится в одном из двух возможных состояний:
Система с односторонними связями, даже если они идеально упруги, не является линейно-деформируемой, что делает анализ напряженно-деформированного состояния таких механических систем более сложной задачей, чем расчет аналогичных систем с двухсторонними связями [45].
В линейных задачах существует прямая пропорциональность между нагрузками и перемещениями, а также между напряжениями и деформациями в следствии линейного закона Гука. Поэтому для таких задач справедлив, например, принцип суперпозиции и независимости действия сил. Расчет напряженно-деформированного состояния конструкции в рамках линейной теории упругости при действии на нее статических нагрузок сводится к решению системы линейных алгебраических уравнений. По существу, все конструкции неизбежно являются нелинейными, но не всегда до такой степени, чтобы это серьезно проявлялось при расчете. Однако, если установлено, что нелинейные эффекты сильно сказываются на поведении системы, ими нельзя пренебрегать.
Различные нелинейности можно разделить на следующие категории.
В физически нелинейных задачах отсутствует прямая пропорциональность между напряжениями и деформациями. Материал конструкции подчиняется нелинейному закону дефрмирования.
В геометрически нелинейных задачах отсутствует прямая пропорциональность между нагрузками и перемещениями.
В задачах конструктивной нелинейности имеет место изменение расчетной схемы по мере деформирования конструкции. Механическая система с односторонними связями относится к классу конструктивно нелинейных систем (если это является единственным источником нелинейности). В этом случае имеют место кусочно-линейные зависимости параметров состояния механической системы от параметров воздействия. То есть, переход односторонних связей из одного возможного состояния в другое позволяет лишь частичное применение к такой конструкции законов линейной механики.
Основная проблема теории расчета систем с односторонними связями состоит в том, чтобы выяснить, какие из связей участвуют в ра боте при действии заданной нагрузки, а какие - нет, т.е. выяснить рабочую схему. Доказано, что для данной системы с односторонними связями, находящейся под действием данной нагрузки рабочая схема является единственной [59, 53]. Сложность задач анализа напряженно-деформированного состояния механических систем с односторонними связями объясняется экспоненциальным ростом числа возможных состояний механической системы при увеличении числа таких связей. Если в механической системе имеется п односторонних связей, то, согласно (1.1), возможны-2" вариантов состояния, из которых реально осуществляется только один. Анализировать все такие системы для нахождения фактической рабочей системы практически невозможно. Поиск действительного состояния механической системы может осуществляться с помощью одного из ниже рассмотренных подходов.
Предлагаемый вариант моделирования плиты (балки) на упругом основании
Существует большое количество методов расчета балок, плит на упругом основании, получивших широкое применение на практике. Многие методы иногда не вполне пригодны для практического применения, но имеют большую теоретическую ценность. Но до настоящего времени актуальными остаются вопросы взаимодействия различных конструкций с грунтовыми массами.
Пример распространенное допущение, что грунт,на который опирается конструкция, сопротивляется только надавливанию, и не препятствует перемещения точек плиты в противоположном направлении. Чтобы воспользоваться подходящим для данной конкретной задачи методом расчета, необходимо заранее предполагать, каковой будет так называемая «зона контакта» грунта и конструкции под заданной нагрузкой.
Как правило, существующие методы расчета основываются на предположении, что зона контакта известна.
Если это не так, то предлагается после получения результатов расчета, скорректировать первоначальные предположения о зоне контакта и расчет повторить, превращая его таким образом в итерационную процедуру. Указания на то, что при расчете считается известной зона контакта и невозможным появление отрицательных усилий между балкой и основанием, можно найти при описании всех классических методов расчета балок и плит на упругом основании, например [24, 20, 61, 81, 72, 3].
Между тем, системы «балка-упругое основание» и «плита-грунтовое основание», в которой грунт сопротивлятся перемещению опирающейся на него конструкции только в одном направлении, является типичным примером системы с односторонними связям.
Как отмечалось выше, основная задача расчета систем с односторонними связями состоит в том, чтобы выяснить, какие из связей участвуют в работе при действии заданной нагрузки, а какие - нет, т.е. выяснить рабочую схему. Это позволяет подойти к задаче определения зоны контакта в системе «плита-грунтовое основание» с точки зрения методов односторонней механики. Если задача совместной работы конструкции и грунтового основания будет, решена, т.е найден характер распределения реактивного давления грунта на конструкцию, расчет самой конструкции можно осуществить обычными методами строительной механики.
Рассмотрим разработанный вариант моделирования балок и плит на упругом основании как механических систем с односторонними связями.
Пусть задана система «балка-основание». Со стороны основания возникают реактивные силы, которые зависят от совместной работы конструкции и грунта (рис. 1),
Эпюра распределения реактивного давления грунта всегда ограничена некоторой кривой линией, но практически достаточно найти некоторые координаты и, соединив их прямыми, получить ломаную линию. То есть, будем считать реакцию основания равномерно распределенной в пределах сколь угодно малых участков. Будем определять осадки только для отдельных прямолинейных участков и иметь дело не с интенсивностью давления в каждом участке, а с равнодействующей давления, проходящейся на этот участок. Представим, что связь между балкой и основанием осуществляется только в отдельных точках, находящихся внутри прямолинейных участках эпюры. Между балкой и основанием располагаются условные опоры, представленные в виде стержней-связей, присоединенных шарнирно к балке и основанию (рис. 2). Количество опор определяет точность окончательного результата. Для обеспечения неизменяемости предусматривается горизонтальный опорный стержень. Никакого влияния на результаты расчета он не оказывает. Зависимость между нагрузкой на основание и его осадкой определяется принятой моделью основания.
Описанный подход был предложен Б.Н. Жемочкиным в 1937г. и подробно описан в [24]. Такая, модель позволяла свести расчет балки или плиты на упругом основании к расчету статически неопределимой системы и решать задачу нахождения осадок конструкции и реактивных давлений привычными для инженеров-проектировщиков методами строительной механики. Расчет выполнялся в том числе с использованием большого количества вспомогательных таблиц.
Но зона контакта конструкции и основания по-прежнему считалась известной. В случае получения отрицательных реакций грунта, расчет рекомендовалось повторять с корректировкой длины балки до зоны с положительными реакциями. Если и теперь точка, с которой начинается отрыв балки, окажется в другом месте, необходим новый расчет ([24] стр.75).
Оказывается удобным применить описанную модель, с акцентированием внимания на взаимодействии плит или балок с основанием. Достаточно считать связи, установленные между балкой и основанием, односторонними (рис. 3).
Пусть балка и основание представлены в виде конечно-элементных моделей, учитывающих все желаемые свойства. Для изучения взаимодействия они рассматриваются соединенными друг с другом односторонними связями, которые моделируются стержнями-связями шарнирно присоединенными к балке и основанию (рис. 4). В случае отрыва некоторой точки балки от грунта, соответствующая связь перестает входить в число работающих.
О методиках учета конструктивной нелинейности в некоторых известных конечно-элементных программных комплексах
Рассмотренные способы учета кинематических закреплений, применяемые при расчете конструкций с двухсторонними связями, использовать при наличии односторонних связей не представляется возможным, поскольку заранее неизвестна рабочая схема конструкции.
Остановимся на кратком описании подходов к построению алгоритмов анализа механических систем с односторонними связями, используемых в наиболее распространенных конечно-элементных комплексах.
Первые программные комплексы, в которых реализован метод конечных элементов, были разработаны в 60-х годах. Начиная с конца 70-х годов в СССР появилось несколько десятков прораммных комплексов, в которых был реализован метод конечных элементов. К их числу относятся, например, Мираж, Море, Прасак, Прочность, Мкэ/120, Марс, Парсек, Зенит, Лира, Парус и т.д. За рубежом разработаны сотни программных комплексов, для решения самых разнообразных задач не только из области механики деформируемого твердого тела, но и из таких областей как гидродинамика, акустика, электротехника и т.д. Наибольшее распространение получили, например Abacus, Adina, Ansys, Nastran, Hercule Module}, Cosmos и т.д.
Фирмы-собственники разработанных программ рассматривают их как коммерческий продукт. Технологии, методы, алгоритмы, используемые при решении тех или иных задач часто составляют «ноу-хау» фирмы производителя, и потому не раскрываются. Таким образом, из руководств по работе с программами и различных обзоров, как правило, оказывается возможным получить лишь общие сведения о программах, их характеристиках, алгоритмах.
Программный комплекс Ansys, первые версии которого появились около 30 лет назад, представляет собой эффективный инструмент численного моделирования для широкого круга отраслей производства.
Программу Ansys можно применять как для решения статических, так и динамических нелинейных задач. При нелинейном анализе матрица жесткости системы и вектор нагрузок могут зависеть от результатов решения и, следовательно неизвестны. Для преодоления этого затруднения в программе Ansys используется итеративная процедура. Статический нелинейный расчет осуществляется посредством замены всей нагрузки серией ее небольших приращений и выполнением на каждом шаге по нагрузке последовательности линейных приближений до получения состояния равновесия. Пользователю необходимо указать конечное значение нагрузки, характер ее разбиения и назначить максимальное число итераций.
Для решения нелинейных задач в программном комплексе Лира предназначен так называемый «нелинейный процессор». Нелинейный процессор организует пошаговое нагружение конструкции и обеспечивает решение линеаризованной системы уравнений на каждом шаге для текущего приращения вектора узловых нагрузок, сформированного для конкретного нагружения.
В программном комплексе Cosmos для моделирования односторонних связей используются специальные конечные элементы, которые называются Gap-элементы. Gap-элемент определяется положением двух узлов. Направление элемента определяется линией, соединяющей эти два узла. Требуется задать также «Gap-distance», т.е. максимальное разрешенное относительное перемещение этих узлов вдоль направления элемента. Gap-элемент называют «закрытым», когда он препятствует относительному перемещению узлов и «открытым» в обратном случае. Для закрытых Gap-элементов формируются уравнения метода конечных элементов ..Для определения, какие именно gap-элементы будут открытыми или закрытыми, используются итерационные процедуры, базирующиеся на концепции Time Curve - кривой времени. Нагрузка прикладывается пошагово согласно кривой времени, задаваемой пользователем. Время-подобный параметр определяет интенсивность нагрузки на определенном шаге. Результат итерационной процедуры в значительной степени зависит от выбора оптимальной величины шага. Отмечается, что при решении конкретной задачи часто приходится проводить многократные пересчеты при различных значениях этого параметра, чтобы убедиться в сходимости к правильному решению.
Приведенные сведения позволяют сделать следующие выводы: анализ механических систем с односторонними связями в существующих конечно-элементных комплексах базируется на применении итерационных методов, сводящих нелинейный расчет к серии линейных расчетов, предполагает использование специальных конечных элементов. Скорость сходимости существенно зависит от выбора пользователем метода решения (если программа предоставляет альтернативу), от выбора начального приближения (когда отклонение начального приближения от решения задачи значительно, процесс решения может оказаться неустойчивым), от задаваемых пользователем параметров расчета. Это часто вынуждает пользователя повторить нелинейный расчет несколько раз разными методами или с разными значениями параметров расчета, чтобы убедиться в правильности полученного решения.
Как отмечается в [70], в настоящее время практические рекомендации по оценке условий сходимости при решении нелинейных задач итерационными методами пока не разработаны. Расчетчику приходится в основном полагаться на имеющийся в его распоряжении опыт решения аналогичных нелинейных задач и на анализ получаемых в процессе численного решения результатов.
Построение графиков зависимости расчетных параметров от положения подвижной нагрузки
Нагрузка, передаваемая на плиту лесовозным автопоездом, по характеру действия является временной подвижной нагрузкой. При действии временных нагрузок определению усилий и перемещений должно предшествовать решение задачи о самом неблагоприятном расположении нагрузки на конструкции. При анализе линейно деформируемых механических систем (благодаря принципу наложения) для решения этой задачи используют функции и линии влияния.
В конструктивно нелинейных механических системах задачу можно решить, например, непосредственно выяснив зависимость расчетных параметров от положения на конструкции временной подвижной нагрузки. В данном примере демонстрируется возможность построения графиков зависимости расчетных параметров в сечениях балки от положения на ней вертикальной единичной силы.
Пусть по конструкции, к которой может быть приложена временная нагрузка, перемещается сосредоточенная сила, равная по величине единице и направленная вертикально вниз. Выделим сечения, в которых по очереди располагаем единичную силу. Пусть это будут сечения, находящиеся на расстоянии 0,5м друг от друга (=0; 0,5; 1; 1,5; 2; 2,5; 3; 3,5; 4; 4,5 (м)). В силу симметричности задачи рассматриваем перемещение единичной силы только по половине балки. Следовательно необходимо провести пять расчетов. Исходные данные для расчета: длина балки Ь = 4, 5м; толщина h — 0,08м; ширина Ъ = 1,0м; коэффициент жесткости основания к = 1 104 кН/м3; модуль упругости бетона Еъ — 3,24 - 107кН/м2.
Конечно-элементные модели балки и основания уже были описаны в разделе моделирования системы балка-основание. Поскольку балка разделена на 45 конечных элементов, т.е. имеет 46 узлов, по результатам расчета можно построить 46 графиков. На рисунках приведены графики, построенные для осадки в крайней левой и центральной точках балки (рис. 39) и для изгибающего моментов в центральной точке (рис. 40) ).
Разработанная в диссертации модель механического взаимодействия плиты и основания может быть использована в том числе для реше нии важной в практическом отношении инженерной задачи определения толщины сжимаемого слоя грунта при действии нагрузки на его поверхности. Понятие «сжимаемый слой» используется для обозначения той области грунта, в которой действуют механические напряжения определенной величины, вызывающие разрушение скелета грунта и его уплотнение, не исчезающее и после прекращения действия нагрузки. Определение области распространения указанных напряжений в общем случае представляет собой сложную не изученную полностью задачу. Для ее решения предлагаются и применяются различные гипотезы.
Вопросы определения толщины сжимаемого слоя рассматриваются, например, в работах [86, 42, 84, 85] В статье (84, 85] сформулирована гипотеза о глубине распространения напряжений в грунте и толщина сжимаемого слоя Н, которая может быть найдена по формуле где / - коэффициент внутреннего трения материала основания, [сг]-удельное сопротивление почвы смятию.
При определении толщины сжимаемого слоя под плитой величина G может быть принята по найденным с помощью предлагаемой модели реакций основания в узловых точках сетки конечных элементов. Коэффициент / и напряжение [ т] считаются известными, их значения определяются по результатам полевых испытаний грунта.
