Содержание к диссертации
Введение
1 Постановка начально-краевой задачи 11
1.1 Предельное состояние слоя на границе полупространства 16
1.2 Предельное состояние слоя на границе упругого параллелепипеда 18
1.3 Метод последовательных приближений в решении задач пластического течения тонкого слоя 22
2 Формулировка и исследование тестовых задач 23
2.1 Предельное состояние пластически анизотропного слоя в форме прямоугольника на поверхности упругого полупространства 24
2.2 Предельное состояние пластически анизотропного слоя в форме эллипса на поверхности упругого полупространства 31
2.3 Выводы 41
3 Исследование предельного состояния пластически анизотропного слоя расположенного на грани упругого параллелепипеда 42
3.1 Исследование задачи о предельном состоянии слоя, занимаемого прямоугольную область 43
3.1.1 Определение давления на инструмент со стороны слоя прямоугольной формы 43
3.1.2 Определение упругих перемещений инструмента в результате действия давления со стороны слоя прямоугольной формы 50
3.2 Исследование задачи о предельном состоянии слоя, занимаемого эллиптическую область 58
3.2.1 Определение давления на инструмент со стороны слоя эллиптической формы 59
3.2.2 Определение упругих перемещений инструмента в результате действия давления со стороны слоя эллиптической формы 64
3.2.3 Исследование напряженно-деформированного состояния инструмента 70
3.3 Сравнение результатов, полученных при решении тестовых задач с результатами решения совместной задачи теории упругости и задачи о предельном состоянии 75
3.4 Обсуждение полученных результатов 78
3.5 Выводы 82
Заключение 83
Литература 84
- Предельное состояние слоя на границе упругого параллелепипеда
- Метод последовательных приближений в решении задач пластического течения тонкого слоя
- Предельное состояние пластически анизотропного слоя в форме эллипса на поверхности упругого полупространства
- Исследование задачи о предельном состоянии слоя, занимаемого эллиптическую область
Предельное состояние слоя на границе упругого параллелепипеда
Пусть течение тонкого слоя, предельное состояние которого мы рассматриваем, в указанной выше постановке происходит по границе упругого полупространства. Толщина слоя h в системе (1.3) определяется в ходе решения задачи, в простейшем случае, когда известна функция жесткости тела инструмента Н(х,у,х ,у ), для w справедливо [10]: w(x,y) = 5 // Н(х,у,х ,у )Р(х ,у ) dx dy , (1.6) s параметр 5 характеризует размерность функции жесткости. Определение функции влияния Я для произвольного упругого трёхмерного тела представляет собой самостоятельную задачу. В нашем случае, когда инструмент моделируется полупространством, выберем в качестве функции жесткости Н соотношение, известное из решения задачи Буссинеска о действии сосредоточенной силы на поверхности полупространства [10,36,86]:
Отметим, что задача о течении тонкого слоя идеально пластического материала по поверхности, ограничивающей упругое полупространство, в указанной постановке исследована в работе [13].
В обобщении теории течения тонкого пластического слоя на случай анизотропии материала и контактного трения в [45] показано, что уравнение, связывающее давление в слое ортотропного материала с его толщиной, а, следовательно, и с упругими деформациями инструмента, выводится аналогично как и (1.4) и имеет вид: дРдР 4т„ 7)
Соотношения (1.10), (1.12) и начальное условие (1.11) представляют постановку задачи о течении тонкого пластически-анизотропного слоя по границе полупространства в безразмерном виде, подробное решение [14, 75] которой будет рассматриваться во второй главе.
Параллельно сформулируем еще одну задачу, которая имеет более близкое инженерное приложение. Здесь мы будем моделировать течение тонкого слоя (в постановке, описанной выше) по границе упругого параллелепипеда и рассматривать предельное состояние этого слоя. Аналогично, как в случае полупространства, за счет симметрии, рассматриваем упрощенную задачу: тонкий слой расположен на верхней грани параллелепипеда. Геометрия процесса течения в трехмерном пространстве представлена на (Рис.1.3). а) Вид в трехмерном плане б) Вид в сечении плоскостью = Рис. 1.3: Схема процесса течения тонкого слоя по границе параллелепипеда Для нахождения функции (,) справедливо (1.6). Функция жесткости (, , , ) для упругого параллелепипеда в данном случае не известна. Для нахождения w(x,y) формулируется задача теории упругости для тел инструментов. Запишем основные её соотношения, определяющие напряженно-деформированное состояние тела инструмента [23,25,41,48]. область, занятая слое, 2 — свободная поверхность. Как показано в работе [48], задача сформулирована с точностью до вели h чины порядка -. Касательные напряжения в области, занятой слоем, несу щественны по сравнению с нормальными напряжениями. Ими можно пренебречь, положив близкими к нулю.
Таким образом, для нахождения распределения давления Р в слое и толщины слоя h необходимо решить систему (1.13) с граничными условиями (1.16) совместно с системой уравнений течения (1.3). Совокупность перечисленных уравнений представляет собой сложную систему нелинейных дифференциальных уравнений. В настоящий момент аналитическое решение этой системы в общем виде не найдено и в данной работе представлено численное решение для некоторых частных случаев поставленной задачи.
Приведем полученную систему уравнений и граничные условия к безразмерному виду: все линейные размеры и координаты А, В, Н, х, у отнесем к характерному размеру инструмента, перемещения - к начальной толщине слоя ho (которую считаем постоянной), напряжения - к удвоенному пределу текучести материала слоя на сдвиг 2rs: Р Г) tl т Ж_ У і —
Очевидно, что уравнения равновесия и все уравнения системы граничных условий (кроме одного) в силу своей однородности не изменятся, поэтому за безразмерными функциями и параметрами можно оставить прежние обозначения. Уравнения (1.8), (1.5), а также одно из граничных условий примут следующий безразмерный вид:
Соотношения (1.17), (1.13), (1.15) и граничные условия (1.16), (1.18), (1.19) представляют постановку задачи о течении тонкого пластически-анизотропного слоя по границе параллелепипеда в безразмерном виде, подробное решение [17,76] которой рассмотрено в третьей главе. 1.3 Метод последовательных приближений в решении задач пластического течения тонкого слоя
Система уравнений теории упругости (1.13), (1.16) — в безразмерном виде — и уравнения течения (1.17), (1.18) решается методом последовательных приближений [80,81] так же, как это делается в работах для изотропного материала [13, 51]. В нулевом приближении полагаем (0) = 0; из уравнений (1.17) с условиями (1.18) находится первое приближение давления (1)(, ) в системе координат .
Значение подставляется в уравнения (1.17), (1.18) и определяется давление во втором приближении (2)(,). Затем алгоритм повторяется. Фактическое решение задачи теории упругости (1.14), (1.16) в примерах, рассмотренных в главе 2 и главе 3, будем проводить с использованием ЭВМ.
Метод последовательных приближений в решении задач пластического течения тонкого слоя
После возврата в исходную систему координат , численное решение (2.3) для всей области течения I-IV (см. Рис.2.3) функции прогиба (, ) будет иметь вид (см. Рис.2.5). Оcям , соответствуют геометрические размеры, вертикальной оси – значение функции . Рис 2.5 показывает, как изменяется геометрия полупространства при воздействии на него давлением (2.1). Рис. 2.5: Вид функции прогиба w(x,y) для задачи с параметрами (3 = 1.1,
Далее мы будем рассматривать осевые сечения функций прогиба. На Рис. 2.6а)–2.9а) представлены сечения поверхности функции прогиба (,) плоскостью = 0, на Рис. 2.6б)–2.9б) – плоскостью = 0.
Результаты, представленные на Рис. 2.6 – 2.9, показывают, что для большинства значений параметров (см. Табл.2.1) достаточно 4-5 итерации метода последовательных приближений, чтобы считать решение достаточно точным. 2.2 Предельное состояние пластически анизотропного слоя в форме эллипса на поверхности упругого полупространства
Пусть область слоя представлена в форме эллипса (см. рис. 2.10). Для Рис. 2.10: Геометрия процесса течения эллиптический области по поверхности полупространства определения неизвестной величины давления в этом случае необходимо вычислить интеграл вдоль линий тока в каждой точке области течения . Для Рис. 2.11: Вычисление давления в точке слоя этого нам понадобиться построить семейство нормалей к эллипсу. Уравнение нормали к эллипсу в точке (, ) (см.Рис.2.11) задано уравнением () = + , тогда давление в произвольной точке (,) области течения можно вычислить следующим образом:
Зная давление и функцию жесткости (2.2) в каждой точке области течения, можно вычислить неизвестную функцию прогиба (,) точно таким же способом как и для прямоугольной области, по формуле (2.3).
Таким образом, алгоритм нахождение неизвестных функций (,) и (,) для эллиптической области течения методом последовательных ите 33 раций следующий:
Наличие большого числа параметров задачи позволило провести оценку влияния параметра анизотропии на скорость сходимости метода последова тельных приближений. Ниже (рис. 2.12 – 2.17, табл. 2.3) представлены неко торые результаты исследования задачи течения тонкого слоя пластически ани зотропного материала, занимающего в плане эллиптическую область с соотно 2 4 11 шением полуосей эллипса
На рис. 2.12 изображен график функции прогиба в пятом приближении (5)(, ) в трехмерном пространстве. Для других значений параметров характер графика не меняется, поэтому рассмотрим другие графики более подробно в сечении плоскостью = 0.
Результаты, представленные на рис. 2.13, 2.14 наглядно показывают, что сходимость решения зависит от (3: чем меньше значение параметра анизотропии тем решение сходится быстрее и наоборот.
При различных значениях параметров, характеризующих форму слоя: — = - (см. рис. 2.13а) и — = - (см. рис. 2.14а), но при одинаковых значениях /5, незначительно изменяется характер графика, но порядок значений функции прогиба сохраняется.
Результаты (2.15) показывают, что параметр оказывает несущественное влияние на сходимость метода последовательных приближений. Результаты а)-г) одинаково быстро сходятся уже на втором шаге итерационного процесса. На Рис. 2.16 показано сравнение результатов решения для функции проги h 1 1 ба при различных толщинах — = — ... —. необходимо 4-5 итерации для получения достоверного решения. Ниже представлены результаты вычислений для набора параметров задачи, оказывающих существенное влияние на скорость сходимости метода последовательных приближений: — = —, /5 = 1.27. Результат представлен на
Как видно из графика (см. рис. 2.17) численное решение для относительного тонкого слоя сходится гораздо медленнее: требуется порядка 8-10 итераций метода последовательных приближений для получения достоверного решения. Из таблицы значений функции (см. табл. 2.3) видно, что седьмое и восьмое приближение и/7) (0,0) и и/8) (0,0) расходятся уже во втором знаке.
Так как доказательство сходимости метода для данной задачи отсутствует, приведем некоторые результаты, полученные из численного решения задачи. Как видно из Рис.2.6, начиная с 4-го приближения графики практически не различаются между собой. На Рис.2.7, функции w почти совпадают, начиная с 6-го приближения. Существенно отличаются приближения №1, №2 и №3.
Предельное состояние пластически анизотропного слоя в форме эллипса на поверхности упругого полупространства
Перейдем к задаче исследования прогибов: реакции инструмента на давление. Неизвестная функция толщины слоя, определенная в (1.2), для задачи течения слоя в форме эллипса по грани параллелепипеда находится аналогично, как и в случае прямоугольника: необходимо определить величину – функцию прогиба. Данная функция прогиба находится из решения задачи теории упругости путем аппроксимации точек перемещения верхней грани инструмента.
Ниже (рис. 3.22 – 3.24) представлены некоторые результаты исследования Вид функции прогиба задачи течения по грани параллелепипеда тонкого слоя пластически анизо тропного материала, занимающего в плане эллиптическую область с соотно 2 42 9 1 шением полуосей эллипса = , = относительной толщиной = , и различными значениями параметра анизотропии. Вычислительные 30 процедуры проводились с использованием пакета Ansys 14.0 и Matlab R2012b. Трехмерный вид функции прогиба (,) для задачи с параметрами: гиба методом последовательных приближений, так выглядит пятое приближение (5)(, ). Характер функции прогиба для других параметров существен 66 но не изменяется. Рассмотрим подробнее численное решение в плане Оху для
Результаты, представленные на рис. 3.23, 3.24 наглядно показывают, что значение параметра анизотропии, а также, значение относительной толщины слоя оказывают влияние на скорость сходимости метода последовательных приближений. Указанные параметры непосредственно влияют на величину давления, а чем больше давление тем медленнее сходится решение. Также, можно обратить внимание на то, что значения параметра, характе-2 4 ризующих форму слоя = (см. рис. 3.23, 3.24), незначительно влияет на характер решения. На Рис. 3.25 показано сравнение результатов решения для функции прогиба при различных значениях параметра анизотропии /3 = 0.7. ..1.25 для слоя относительной толщины — = — и для более тонкого слоя — = —.
На представленных графиках для сравнительно тонкого слоя (см. Рис. 3.26 а)-б) параметр оказывает большее влияние, чем для более толстого слоя (см. Рис. 3.26 в)-г). Рассмотрим степень влияния относительной толщины слоя на процесс сходимости. На Рис. 3.26 показано сравнение результатов решения для функции прогиба при различных толщинах — = — ... —. получаем на 3 шаге, а для значения — = — необходимо проделать 5-6 итера / 40 ций.
Результаты численного счета для слоя прямоугольной формы сопоставимы с результатами счета для слоя эллиптической области, т.к. границы слоя для обоих случаев отличались несущественно: мы рассматривали эллипс с соот-49 ношениями квадратов полуосей и , вписанный в прямоугольник с соотно-14 2 шением сторон, близким к . Следовательно, области оказались практически равновеликие, а поэтому и давление на инструмент со стороны слоя оказывалось аналогичное. Исследование напряженно-деформированного состояния инструмента
При исследовании задач о течении тонкого слоя по границе упруго-деформируемого инструмента внимание исследователей сосредоточено на процессах, происходящих в тонком слое материала. Процессам, происходящим в инструменте внимания практически не уделяется. Актуальной задачей в данном контексте является анализ напряженно-деформируемого состояния инструмента упругого параллелепипеда при воздействии на него давлением со стороны слоя. Обосновано это тем, что зная информацию о состоянии внутри инструмента можно сделать вывод о критических областях, где скапливаются максимальные напряжения и таким образом прогнозировать места разрушения инструмента. Результатов подобных исследований в литературе не было найдено. Поэтому в рамках данной работы проводится анализ интенсивности напряжений инструмента.
Достоверное решение и в сечении плоскостью = 0 Будем считать, что мы проделали достаточное количество итераций метода последовательных приближений получили достоверное численное решение для w и Р (см. Рис.3.27). При решении задачи теории упругости методом конечного элемента есть возможность получить информацию о параметрах выбранного элемента (см. Рис.3.28): компонент тензоров перемещения и напряжения. Таким образом, мы имеем возможность провести глубокий анализ напряженно-деформированного состояния тела инструмента.
Распределение нормальных напряжений в инструменте изображено на (Рис.3.29). Здесь представлена «нарезка слоев» с некоторым интервалом по высоте параллелепипеда: начиная со слоя на поверхности = 0 и заканчивая слоем нижней грани = -.
По горизонтальной оси отложена координата , по вертикальной безразмерная -компонента нормальных напряжений. Как видно из графика, максимальные нормальные напряжения сосредоточены не на поверхности параллелепипеда, а внутри на некотором углублении от поверхности.
Если рассматривать линию, соответствующую слою на поверхности = 0, то четко просматриваются зона нагружения и зона свободная от нагрузки: для Рис. 3.29: -компонента нормальных напряжений в сечении плоскостью = О данной задачи это интервалы [—1,1] и [—2, —1) U (1, 2] соответственно. Также при = 0 картина хорошо согласуется с состоянием в слое: распределение напряжений на границе параллелепипеда практически совпадает с распределением давлений, которое оказывает слой. Это наглядно видно если сравнить Рис.3.27 б) с Рис.3.29. Углубляясь внутрь инструмента эти линии выравниваются это объясняется тем, что напряжения вдали от области нагрузки затухают.
Согласно условию пластичности Мизеса, пластические деформации возникают тогда, когда интенсивность напряжений достигает предела текучести материала s. Характер распределения интенсивности напряжений по толщине параллелепипеда в области нагружения демонстрирует график на Рис.3.30. Данное решение хорошо согласуется с принципом Сен-Венана [10,25,67]: максимальная интенсивность напряжений сосредоточена под поверхностью в области нагружения и быстро убывает после некоторого значения по мере удаления от зоны действия давления.
Для задачи с параметрами (3.14) были вычислены тензоры напряжений во всех точках сетки параллелепипеда и в каждой этой точке была найдена интенсивность напряжений по формуле (3.16). В результате сравнения, оказалось, что максимальные значения интенсивности сосредоточены в «центральном стержне» параллелепипеда (см. Рис. 3.28): совокупность точек с координатами = 0, = 0, = -...0 (см. Рис.3.30).
Исследование задачи о предельном состоянии слоя, занимаемого эллиптическую область
Прогиб на рис. 3.33 a) соответствует давлению на рис. 3.32 а), прогиб на рис. 3.33 б) соответствует давлению на рис. 3.32 б). Для корректного сравнения в задачи о течении слоя на полупространстве возьмем такие же параметры слоя: (3 = 0.9, — = —. Стороны слоя (кото / 40 рый имеет форму прямоугольника) относятся как % = -. Функция прогиба параметры слоя: р = 0.9, — = — / полупространство), Анализируя решения 3.33 и 3.34 можно сделать вывод о том, что при определенных значениях параметров мы можем перейти от задачи течения слоя по границе параллелепипеда к задаче о течении слоя по границе полупространства. Проделанные оценки на Рис.3.16 показывают, что решение совпадает и такой переход можно осуществить, когда область течения занимает достаточ / 1\ но малую долю площади инструмента к - . 78
О фактической сходимости метода последовательных приближений задачи о предельном состоянии слоя на границе параллелепипеда Как видно из графиков на Рис.3.11, 3.23, 3.24 3-е, 4-е, 5-е приближения практически не различаются между собой. Существенно отличаются приближения №1 и №2. В табл. 3.4 приведены значения функции в ключевых узлах сетки: = -2; -1;0;1;2 при = 0, где наглядно показано, что функция (4) в четвертом приближении не отличается от функции (5) в пятом приближении, по крайней мере до 5-го знака после запятой.
Если взять центральный столбец табл. 3.4, соответствующий значениям в точках = 0, = 0, рассмотреть разницу соседних строк в этом столбце, то можно заметить, как сходится численное решение с увеличением номера итерации. На Рис.3.35 показано сходимость решения для функции прогиба для задачи с параметрами (3.6). На горизонтальной оси отмечены номера итераций, а на вертикальной разница значений соседних итераций функции прогиба в начале координат: можно сделать вывод о том, что характер поверхности перемещений качественным образом не зависит от параметров задачи. Величина прогиба зависит от величины приложенного давления, что в конечном счете влияет на скорость сходимости метода последовательных приближений (чем больше давление - тем медленнее сходимость).
Приведем результаты сравнительного анализа зависимости сходимости метода при различных значениях /5. На Рис.3.36 показано как сходятся решение для нахождения прогиба (см. Рис.3.36 а) и решение для давления (см. Рис.3.36 б). На представленных графиках берется значение функции ги(050) и Р(0,0) в начале координат и по этим значениям при различных (3 строится функция сходимости = ги(05 0)(г+1) — ги(05 0) W, где і - номер итерации. При значени а) = (0, 0) +1) — (0, 0) б) = (0, 0) +1 — (0, 0)W
Исходя из вышесказанного, можно сделать вывод, что значение параметра анизотропии может оказать существенное влияние на скорость сходимости метода, поскольку влияет на распределение давления в слое, а увеличение давления приводит к снижению скорости сходимости метода.
Очевидно, что в использованном варианте метода приближения количество итераций не ограничивается, однако графический анализ решений показывает сходимость выбранного метода. Несмотря на то, что теоретически это не доказано (нет условий сходимости и т.д.), численный счёт это подтверждает. Скорость сходимости метода приближений зависит от толщины пластического слоя, но, как видно из решений, даже для самого тонкого слоя четвёртое и пятое приближение функции перемещений практически не различаются в выбранном масштабе (разница порядка 1%). Также из решений следует, что чем тоньше слой, тем больше относительный перепад значений перемещений в центре слоя и на его границе. Но даже если слой достаточно тонкий, и в случае когда разнотолщинность достигает больших величин (почти половины начальной толщины), тем не менее, сходимость метода достаточно быстрая.
О напряженно деформированном состоянии инструмента Также, исходя из проделанного анализа напряженно-деформируемого состояния инструмента можно сделать вывод о том, что максимальная интенсивность напряжений в инструменте сосредоточена в центре области контакта под поверхностью на некотором углублении и затухает при удалении от поверхности контакта. Проделанные оценки позволяют сделать вывод об отсутствии пластических деформаций. О возможности оценки более сложной задачи, где слой рассматривается на грани параллелепипеда, более простой задачей, где слой расположен на границе полупространства
Установлены границы значений параметров, когда более простая задача, о течении слоя по границе упругого полупространства, дает с хорошей точностью результаты расчетов для более сложной задачи, когда течение слоя происходит по грани упругого параллелепипеда. В данной главе было показано, что при значениях параметра коэффициента области нагружения, когда область течения занимает достаточно малую долю площади инструмента
