Содержание к диссертации
Введение
1. Теоретические концепции описания физических процессов на границах раздела 16
1.1. Физическая мезомеханика материалов и различные подходы к исследованию поведения структурно-неоднородных сред 16
1.1.1 Поверхностный слой как особый вид границы раздела 16
1.1.2. Мезомасштабный уровень как наиболее значимый в описании поверхностного слоя 17
1.1.3 Классическая теория упругости 21
1.2. Основы теории клеточных автоматов и краткое описание её приложений 34
1.2.1. Основные принципы теории клеточных автоматов 34
1.2.2. Четыре типа клеточных автоматов 37
1.2.3. Примеры клеточных автоматов 40
1.3. Теория нечётких множеств 42
2. Стохастическое моделирование формирования деформационных структур 45
2.1. Стохастический подход к моделированию деформационного профиля границы раздела нагруженного твёрдого тела 45
2.1.1. Основные принципы стохастического подхода к моделированию возмущений на границах раздела 45
2.1.2. Влияние толщины границы раздела двух сред на формирование возмущений в промежуточном слое 49
2.2. Моделирование деформации твёрдого тела как процесса распределения и трансформации энергии: стохастический подход 53
2.2.1. Концепция стохастического подхода в методе возбудимых клеточных автоматов 53
2.2.2. Применение изотропных возбудимых клеточных автоматов для моделирования процесса деформации твёрдого тела 58
2.3. Чередование изотермических и изоэнтропийных временных шагов при распределении энергии моделируемого образца 63
2.3.1. Распределение энергии и массы по сети возбудимых клеточных автоматов на изотермических шагах по времени 64
2.3.2. Распределение энергии моделируемого образца на изоэнтропийных шагах по времени 74
2.4. Применение концепции нечётких множеств для моделирования формирования концентраторов напряжений и зарождения зон неупругой деформации 75
2.4.1. Применение нечёткого подхода при переходе на неупругую стадию деформации 76
2.4.2. Изменение энтропии клеточного автомата при переходе на неупругую стадию деформации 79
3 Эффект «шахматной доски» на интерфейсе «поверхностный слой-объём материала» в нагруженном твёрдом теле 81
3.1. Формулы Мурнагана применительно к исследованию напряжённо-деформированного состояния на интерфейсе «поверхностный слой - подложка» 81
3.2. Концепция виртуальной границы раздела и динамический хаос в приповерхностном слое моделируемого образца 85
3.3. «Шахматный» характер распределения растягивающих и сжимающих нормальных напряжений на интерфейсе «поверхностный слой - подложка» 88
4 Развитие спиральных структур неупругой деформации в поверхностном слое нагруженного твёрдого тела 100
4.1. Моделирование неупругой деформации поверхностного слоя нагруженного твёрдого тела в случае недеформируемой подложки 100
4.2. Моделирование неупругой деформации поверхностного слоя нагруженного твёрдого тела при различных соотношениях модулей упругости поверхности и подложки 103
4.3. Интерпретация одиночных и двойных спиралей с точки зрения эффекта «шахматной доски» 108
Основные результаты и выводы 115
Список литературы 117
- Основы теории клеточных автоматов и краткое описание её приложений
- Моделирование деформации твёрдого тела как процесса распределения и трансформации энергии: стохастический подход
- Применение концепции нечётких множеств для моделирования формирования концентраторов напряжений и зарождения зон неупругой деформации
- Концепция виртуальной границы раздела и динамический хаос в приповерхностном слое моделируемого образца
Введение к работе
Объект исследования и актуальность темы. В последние 20 лет на стыке физики и механики деформируемого твёрдого тела интенсивно развивается физическая мезомеханика, которая рассматривает деформируемое твёрдое тело как многоуровневую систему [1-3]. В рамках многоуровневого подхода поверхностные слои и внутренние границы раздела классифицируются как самостоятельные подсистемы. Они играют важную функциональную роль в зарождении и развитии пластических сдвигов, связанных с потерей сдвиговой устойчивости нагруженного твёрдого тела на разных масштабных уровнях: нано-, микро-, мезо- и макроскопическом.
Наименьшую сдвиговую устойчивость в деформируемом твёрдом теле имеют его поверхностные слои. В них происходит более интенсивное, чем в основном объёме материала, накопление деформационных дефектов. Сопряжение поверхностного слоя с подложкой обусловливает возникновение на их интерфейсе квазипериодического распределения нормальных и касательных напряжений [4,5]. Естественно ожидать, что подобная неоднородность должна играть существенную роль в зарождении пластических сдвигов в поверхностных слоях на различных масштабных уровнях. Однако теоретических исследований роли интерфейса «поверхностный слой - подложка» в зарождении сдвигов на различных масштабных уровнях пока нет.
В экспериментальной работе [6] была выдвинута гипотеза о том, что в двухмерном приближении распределение напряжений на плоском интерфейсе «поверхностный слой - подложка» имеет «шахматный» характер: области сжимающих и растягивающих напряжений должны чередоваться в «шахматном» порядке. Это позволяло объяснить развитие в наноструктурированных поверхностных слоях «шахматного» деформационного профиля [7, 8] и неизвестного ранее механизма пластического течения в виде двойных спиралей мезополос локализованной деформации [6]. Такое представление делает актуальной задачу расчёта напряжённо-деформированного состояния на грани-
це раздела «поверхностный слой - основной объём твёрдого тела». При этом особого внимания заслуживает рассмотрение неравновесных поверхностных слоев: наноструктурированных, модифицированных, осаждённых тонких плёнок и др. Только в неравновесных локальных мезообъёмах нагруженного твёрдого тела могут возникать локальные структурные превращения, определяющие зарождение дислокаций, дисклинаций, мезо- и макрополос пластической деформации. Моделирование этих процессов на интерфейсах очень важно для описания деформируемого твёрдого тела как многоуровневой системы.
Естественно, что описание деформации неравновесных поверхностных слоев должно проводиться в рамках неравновесной термодинамики. Согласно [9, 10], неравновесные твёрдые тела следует классифицировать как сильно возбуждённые состояния, в которых возникают коллективные атом-вакансионные конфигурационные возбуждения. Последние вызывают развитие в неравновесной структуре коллективных масштабно-инвариантных структурных превращений, приближающих систему к термодинамическому равновесию. Это приводит к снижению внутренней энергии неравновесной системы и производству энтропии. Без подобного термодинамического анализа описать корректно деформацию сильно неравновесных систем (в частности, наноструктурных материалов) не представляется возможным. Впервые указанный подход был развит В.Е. Егорушкиным в рамках полевой теории неупругой деформации твёрдого тела [11]. В настоящее время подобный термодинамический подход развивается в работах О.Б. Наймарка при описании ударно-волновой деформации твёрдых тел [12], в работах Б.Е. Победри по механике композитов [13].
Для решения задачи по моделированию распределения напряжений и деформаций на интерфейсе «неравновесный поверхностный слой - основной объём материала» в рамках термодинамической постановки были использованы методы клеточных автоматов, которые широко используются более 50 лет и хорошо зарекомендовали себя в таких областях науки, как
физика, химия, биология, гидродинамика, и т.д. Данные подходы основаны на представлении моделируемой среды в виде ансамбля взаимодействующих активных элементов определённого размера. Метод клеточных автоматов позволяет производить расчёт быстро протекающих динамических процессов, таких как распределение энергии в деформируемом твёрдом теле, не решая сложных дифференциальных уравнений, использование которых зачастую является весьма затруднительным.
Следует отметить, что различные методы клеточных автоматов активно применяются при решении широкого класса прикладных задач по описанию разнообразных процессов: физических, химических, биологических, гидродинамических и др. [14 - 20].
Применительно к задачам, связанным с описанием процессов деформации и структурной перестройки твёрдых тел, методы клеточных автоматов оказались весьма эффективными. Так, с их помощью моделировались процессы рекристаллизации [21,22], деформационного упрочнения [23], пластической деформации [24], и т.д.
В настоящее время в ИФПМ СО РАН активно развивается метод подвижных клеточных автоматов [25], который применяется для решения задач компьютерного конструирования новых материалов [26], исследования закономерностей процесса разрушения хрупких материалов [27], исследования формирования динамических дефектов и их роли в процессе деформации и разрушения гетерогенных материалов и структур [28], изучения нелинейных эффектов в твёрдых телах при высокоэнергетическом воздействии [29], исследования закономерностей поведения геологических сред при динамических воздействиях [30], моделирования пластичного поведения образца на основе модификации функции отклика автоматов [31], и т.д. В целом, данный метод позволяет корректно моделировать процесс растрескивания и множественную генерацию повреждений.
Наряду с этим, существуют различные методы возбудимых клеточных автоматов (ВКА), позволяющие исследовать волновые процессы в дискрет-
ных сетях, состоящих из взаимосвязанных возбудимых элементов, а также автоволновые процессы в распределённых возбудимых средах и т.д. На протяжении последних шестидесяти лет на основе сетей ВКА были промоделированы реакции горения, химические реакции [32], процессы распространения возбуждения в нейронных и мышечных тканях [33] и др.
В настоящей работе методы ВКА впервые применены для моделирования процессов деформации в нагруженном твёрдом теле на основе термодинамического подхода.
Целью диссертационной работы является разработка метода стохастических возбудимых клеточных автоматов (SECA-метода), позволяющего производить термодинамический расчёт распределения напряжений и деформаций на внутренних границах раздела и поверхностях деформируемого твёрдого тела, и его применение для моделирования напряжённо-деформированного состояния на интерфейсе «поверхностный слой- подложка».
В соответствии с целью исследования были сформулированы следующие задачи:
Провести в одномерном приближении теоретические расчёты влияния толщины поверхностного слоя на характер распределения в нём деформаций при одноосном растяжении. Рассмотреть в области упругого нагружения возможность использования метода клеточных автоматов для описания мезомеханики интерфейса «поверхностный слой - подложка» в деформируемом твёрдом теле.
В области перехода упругой деформации в неупругую разработать метод стохастических возбудимых клеточных автоматов для построения трёхмерной модели распределения напряжений и деформаций на интерфейсе «поверхностный слой - подложка» в отсутствие влияния зарождения дислокаций.
На основе разработанной модели вскрыть роль областей растягивающих нормальных напряжений на интерфейсе «поверхностный слой-
подложка», в которых возникают неупругие конфигурационные возмущения структуры как предвестник возникновения на поверхности «шахматного» деформационного рельефа в [7] и развития мезополос локализованного пластического течения в виде двойных спиралей в [6]. Научная новизна работы заключается в следующем:
Предложена двухуровневая модель, основанная на методе вероятностных бистабильных клеточных автоматов, для исследования деформационного профиля границы раздела в нагруженном твёрдом теле.
Разработан метод возбудимых клеточных автоматов для моделирования напряжённо-деформированного состояния интерфейса «поверхностный слой - основной объём нагруженного твёрдого тела» в рамках термодинамической постановки.
Для реализации каждого из предлагаемых методов разработан вычислительный алгоритм на объектно-ориентированном языке программирования Java.
Предложен стохастический метод исследования влияния толщины интерфейса на характер его гофрирования в деформируемом твёрдом теле.
Произведена серия расчётов, позволившая выявить «шахматный» характер распределения растягивающих и сжимающих нормальных напряжений на интерфейсе «поверхностный слой- основной материал». Показано, что в поверхностном слое образца в «шахматном» порядке чередуются зоны сжимающих и растягивающих нормальных напряжений.
Выявлено хорошее качественное согласие распределения нелинейной неупругой деформации на интерфейсе «поверхностный слой - основной материал» с развитием мезоструктур локализованной пластической деформации в модифицированном поверхностном слое нагружаемого твёрдого тела, обнаруженных экспериментально.
Научная и практическая ценность:
Обнаружено качественное изменение характера гофрирования интерфейса «поверхностный слой - подложка» при изменении толщины поверхностного слоя. Данное обстоятельство необходимо учитывать при анализе стадийности кривой «напряжение - деформация». Продемонстрирована связь распределения локализованной неупругой деформации на мезомасштабном уровне с зонами материала, которые испытывают растягивающие нормальные напряжения. На этом основании сделано заключение о принципиально важной роли растягивающих нормальных напряжений в возникновении неупругих предвестников локальных структурных превращений в зоне локализованного пластического течения.
Показано, что в поверхностных слоях возможно развитие мезополос локализованной неупругой деформации по спиральной траектории, отражающей «шахматный» характер распределения растягивающих и сжимающих нормальных напряжений на интерфейсе «поверхностный слой- подложка». Это согласуется с подобными предсказаниями полевой теории [11].
Результаты проведённых расчётов приводят к заключению о необходимости учёта растягивающих нормальных напряжений при описании пластического течения твёрдых тел. Это особенно важно в инженерных расчётах предела текучести, поведения материалов с покрытиями, ползучести при повышенных температурах, накопления усталостных повреждений в поверхностных слоях, деградации тонких плёнок и многослойных материалов в полях внешних воздействий. На зашиту выносятся:
Метод, позволяющий моделировать вид деформационного профиля границ раздела в нагруженном твёрдом теле в одномерном приближении, а также метод стохастических возбудимых клеточных автоматов, дающий возможность моделировать процесс распределения и транс-
формации энергии на интерфейсе «поверхностный слой- основной объём» в нагруженном твёрдом теле.
Результаты моделирования на основе метода стохастических возбудимых клеточных автоматов распределения растягивающих и сжимающих нормальных напряжений на границе раздела «поверхностный слой - основной материал» в виде областей, чередующихся в «шахматном» порядке.
Результаты численных экспериментов по растяжению образцов с модифицированным поверхностным слоем, позволяющие спиральные структуры нелинейной неупругой деформации на поверхности нагружаемого твёрдого тела. В случае ослабленного поверхностного слоя возникают двойные спирали вдоль всей длины деформируемого образца. Если поверхностный слой упрочнён, то наблюдается возникновение фрагментов одиночных спиралей на поверхности. Спиральные структуры неупругой деформации декорируют «шахматный» характер распределения нормальных напряжений на интерфейсе «поверхностный слой - подложка». Вид данных спиралей зависит от соотношения механических характеристик основного объёма материала и его поверхностного слоя.
Положение о том, что возникновение чередующихся в «шахматном порядке» областей сжимающих и растягивающих нормальных напряжений на интерфейсе «поверхностный слой - подложка» моделируемого образца обусловливает зарождение мезоструктур неупругой деформации в поверхностном слое нагруженного твёрдого тела как неупругих предвестников последующих сдвигов локализованного пластического течения в поверхностных слоях, обнаруживаемых экспериментально.
Обоснованность и достоверность результатов и выводов, представленных в диссертационной работе, обеспечена условиями вычислительных тестов, сопоставлением с результатами, опубликованными другими авторами, а
также качественным согласием результатов вычислений с экспериментальными данными.
Апробация работы. Результаты диссертации были представлены на следующих конференциях:
Международном семинаре «Mesomechanics: Fundamentals and Applications» (Томск, Россия, 2003 г.);
Международной конференции «16th Australasian Coastal & Ocean Engineering Conference «Coasts and ports» (Окленд, Новая Зеландия, 2003 г.);
Международном семинаре «13th International Workshop on Computational Mechanics of Materials (IWCMM-13)» (Магдебург, Германия, 2003
г.);
Международной конференции по физической мезомеханике, компьютерному конструированию и разработке новых материалов (Томск, Россия, 2004 г.);
Международном симпозиуме «Nano and Giga Challenges in Microelectronics» (Краков, Польша, 2004 г.);
Международной конференции «13-th European Conference on Mathematics for Industry (ECMI-13)» (Эйндховен, Нидерланды, 2004 г.);
Международной конференции «11th International Conference on Com-posites/Nano Engineering (ICCE-11)» (Хилтон-Хед, Южная Каролина, США, 2004 г.);
3-ей Всероссийской конференции молодых учёных «Фундаментальные проблемы новых технологий в 3-м тысячелетии» (Томск, Россия,
2006 г.);
9. IX Всероссийском съезде по теоретической и прикладной механике
(Нижний Новгород, Россия, 2006 г.).
Ю.Международной конференции по физической мезомеханике, компьютерному конструированию и разработке новых материалов (Томск, Россия, 2006 г.).
Публикации. Основные результаты диссертации опубликованы в 6 работах. Перечень их наименований представлен в списке цитируемой литературы [8, 34-38].
Объём и структура работы. Диссертация состоит из введения, четырёх глав, заключения и списка литературы. Объём диссертации составляет 128 страниц и 25 рисунков. Список литературы содержит 115 наименований.
Во введении обоснована актуальность исследуемой проблемы, сформулированы цель и задачи диссертационной работы, перечислены полученные в диссертации новые результаты, обладающие научной и практической ценностью, представлены положения, выносимые на защиту, и описана структура диссертации.
В первой главе диссертационной работы приведены теоретические концепции описания физических процессов, протекающих на границах раздела нагруженного твёрдого тела, а также описаны методы их исследования. В параграфе 1.1 проясняются такие понятия, как мезомасштабный уровень, поверхностный слой, а также приводятся основные методы исследования различных структур твёрдого тела. Параграф 1.2 посвящен изложению основ теории клеточных автоматов и краткому описанию её приложений. В параграфе 1.3 излагаются ключевые понятия теории нечётких множеств, а также основные принципы нечёткого подхода.
Вторая глава диссертации посвящена описанию стохастических подходов к моделированию поведения поверхности деформируемого твёрдого тела. В параграфе 2.1 рассматривается стохастический подход к моделированию деформационного профиля границы раздела нагруженного твёрдого тела с помощью одномерной цепочки бистабильных клеточных автоматов. Параграф 2.2 посвящен изложению метода возбудимых клеточных автоматов для моделирования процесса деформации нагруженного твёрдого тела и его поверхностною слоя. В параграфе 2.3 описано моделирование процесса распределения энергии и массы между клеточными автоматами. В параграфе 2.4 предложено применение концепции нечётких множеств для моделирования
:4
формирования концентраторов напряжений и зарождения зон неупругой деформации в поверхностных слоях твёрдого тела.
В третьей главе диссертационной работы описываются результаты моделирования напряжённо-деформированного состояния поверхности нагруженного образца. В параграфе 3.1 приводится вывод соотношений, позволяющих вычислять нормальные компоненты тензора напряжений на интерфейсе «поверхностный слой- основной объём» деформируемого твёрдого тела. В параграфе 3.2 вводится понятие виртуальной границы раздела между основным объёмом материала и его поверхностным слоем. Введение такого понятия даёт ключ к описанию динамического хаоса и процессов самоорганизации на поверхности твёрдого тела. Параграф 3.3 посвящен описанию результатов численных экспериментов по моделированию распределения растягивающих и сжимающих нормальных напряжений на границе раздела «поверхностный слой - подложка» с помощью сети возбудимых клеточных автоматов. На основе анализа данных результатов делается важный вывод о «шахматном» характере этою распределения.
Четвёртая глава диссертации посвящена моделированию неупругой деформации в поверхностном слое деформируемого твёрдого тела. В параграфе 4.1 описывается механизм развития спиральных структур неупругой деформации в поверхностном слое твёрдого тела. Параграф 4.2 посвящен описанию результатов численного эксперимента по моделированию неупругой деформации поверхностного слоя твёрдого тела в случае «недеформи-руемой» подложки, а параграф 4.3 - в случае разных, но сопоставимых по величине, эффективных модулей упругости поверхности и подложки.
В заключении диссертации приводятся основные результаты и выводы.
Автор считает необходимым в первую очередь выразить благодарность своему научному руководителю академику В.Е. Панину за постановку задачи, регулярные обсуждения результатов и огромную поддержку, оказанную при написании данной работы.
Хочется отдельно поблагодарить руководителя группы Д.Д. Моисеенко за тесное сотрудничество и неоценимую помощь при разработке методов моделирования. Необходимо также выразить благодарность А.В. Панину за предоставление необходимых экспериментальных результатов, СВ. Еремееву за полезные советы и замечания при рецензировании работы, М.С. Каза-чёнок и А.А. Сон за предоставление полезной научной информации, а также аспирантам А.Л. Жевлакову и АХ Волкову за помощь при составлении алгоритмов и разработке программного кода.
Основы теории клеточных автоматов и краткое описание её приложений
Клеточными автоматами принято называть сети из элементов, меняющих свое состояние по определенному набору правил в зависимости от того, каким было состояние самого элемента и его ближайших соседей по сети в предыдущий дискретный момент времени [14]. Пусть мы имеем некоторый набор из N элементов, пронумерованных последовательно числами /, 2,...N. Нам нужно указать связи между элементами. Для этого необходимо для каждого J-го элемента задать ту группу элементов, которые являются его ближайшими соседями. Будем обозначать множество ближайших соседей j -ro элемента как 00) если/ є О (j), то элемент с номером/ является ближайшим соседом элемента/. Состояние отдельно взятого у-го элемента в момент времени п характеризуется некоторой переменной а/п). Эта переменная может быть целым числом, действительным или комплексным, либо представлять собой набор из нескольких чисел (т.е. быть "векторной" переменной). Например, закон перехода может иметь вид В этом случае состояние данного элемента в момент времени п + 1 является однозначной функцией F от двух переменных - состояния этого элемента и суммы состояний его ближайших соседей в предшествующий момент времени п. При таком определении клеточный автомат не обладает памятью. Клеточные автоматы с памятью можно получить, предположив, что функция F зависит, например, также от состояния элемента о,- в еще более ранний момент времени. Кроме того, поскольку переходы между состояниями однозначно определены, клеточный автомат, отвечающий правилу перехода (1.47), является детерминированным. Тем не менее, можно указать такие ситуации, когда переходы имеют случайный характер. Тогда вместо функции F возможно задать следующий набор вероятностей переходов: Данный набор вероятностей показывает, какой будет вероятность пе-реходау-го элемента из стояния а(,п) в п-й момент времени в состояние af l) в последующий п+1-й момент времени при условии, что состояния его ближайших элементов в п-и момент принимали определённые значения. Подобные клеточные автоматы называют вероятностными. Приведённые выше общие определения не предполагают регулярность сети.
В частности, случайно варьироваться может число связей отдельного элемента, т.е. число его ближайших соседей. Например, на плоскости вполне можно разметить сеть с топологией кубической решетки. Чтобы себе это представить, возьмём кубическую решетку, где связи между узлами сделаны из гибких изолированных "проводников". Сбросим теперь эту трёхмерную сетку на подстилающую плоскость. Очевидно, что тогда мы получим сеть на плоскости, по топологии своих связей полностью эквивалентную правильной кубической решётке. Кроме задания типа решётки, следует указать, какие узлы из окрестности данного элемента мы будем считать его ближайшими соседями. Так, для простой квадратной решётки соседями данного элемента можно считать либо только элементы, расположенные вверх - вниз и налево - направо от него (рис. 1.1, а), либо добавить к ним ещё и диагональные элементы (рис. 1.1,6). Рассмотрим общие свойства детерминированных клеточных автоматов с конечным числом состояний. Если отдельный элемент сети может находиться лишь в одном из состояний, все эти состояния можно перенумеровать так, что переменная ay будет принимать ряд целых значений от 0 до К 1.
Предположим, что сеть является правильной и каждый элемент имеет ровно г соседей. Каково общее число возможных правил перехода (1.47) для такой сети? Согласно (1.47), выбор будущего состояния элемента определяется комбинацией из двух целых чисел: состояния аг самого этого элемента и суммы состояний Я/ его ближайших соседей г в данный дискретный момент времени п. Первое из них принимает К, а второе - гК различных значений. Поэтому число различных комбинаций равно гК2 .Каждой такой комбинации необходимо сопоставить одно из К возможных значений величины О] К Следовательно, полное число различных клеточных автоматов с заданными К и г составляет Динамика рассматриваемых детерминированных клеточных автоматов с конечным числом состояний является необратимой. Действительно, при задании алгоритма переходов каждой из гК2 возможных комбинаций двух чисел а/п) и Е Д/ Мы должны сопоставить одно из К возможных значений величины а/п+ . Поскольку число исходных комбинаций rlC гораздо больше числа конечных состояний К, различным исходным комбинациям соответствуют одни и те же конечные состояния. Но это означает, что по конечному состоянию всей сети невозможно однозначно восстановить ее исходное состояние. Лишь сравнительно недавно в работах С. Уолфрама [20, 77-80] было предпринято систематическое моделирование на компьютере простейших клеточных автоматов с малым числом состояний. Как показал С. Уолфрам, по своему поведению эти автоматы делятся на четыре класса. Клеточные автоматы класса /, называемые также бистабыльнымщ достигают за конечное число шагов однородного состояния, в котором величины а/п) для всех элементов сети одинаковы и не зависят от времени. Это однородное состояние устанавливается независимо от того, каким было исходное состояние (картина активности) сети. В процессе эволюции для таких клеточных автоматов полностью теряется информация о начальных условиях. Клеточные автоматы класса //, или возбудимые клеточные автоматы, генерируют локализованные простые структуры. Эти простые структуры могут быть стационарными или периодическими по времени. Рассмотрим два примера клеточных автоматов этого класса, представляющих собой одномерную цепочку из элементов с двумя возможными состояниями- покоя и активности. 1. Пусть элемент цепочки сохраняет состояние активности, если в предшествующий момент времени среди его соседей слева и справа было не больше одного активного элемента, и переходит из состояния покоя в состояние активности, если в этот момент времени были активными оба его соседа
Моделирование деформации твёрдого тела как процесса распределения и трансформации энергии: стохастический подход
В течение последних двух десятилетий в ИФПМ СО РАН на стыке физики и механики деформируемого твёрдого тела активно развивается новое научное направление- физическая мезомеханика материалов [2, 96], которая позволяет органично связать подходы дислокационных теорий на микромасштабном уровне с концепциями механики сплошных сред на макромасштаб-ном уровне. В частности, выявление новых механизмов деформации в наио-структурированных поверхностных слоях деформируемого твёрдого тела [97] открывает новые горизонты для исследования и, что более существенно, прогнозирования динамики формирования концентраторов напряжений, картина распределения которых на мезомасштабном уровне даёт представление о характере неупругой деформации на поверхности материала. На базе основополагающих концепций физической мезомеханики материалов, изложенных в п. 1.1, открываются широкие перспективы для компьютерного моделирования весьма специфических процессов, протекающих при деформировании материалов с ярко выраженными внутренними границами раздела.
В настоящей работе развивается метод стохастических возбудимых клеточных автоматов (SECA-метод), который позволяет осуществить 3-мерное моделирование взаимодействия двух уровней возмущений в подсистеме «поверхностный слой- его интерфейс с подложкой» в нагруженном твёрдом теле в рамках термодинамического подхода. Основной идеей предлагаемого метода является моделирование перераспределения энергии между различными структурными элементами образца и трансформации различных её частей друг в друга, выражающейся в том, что часть механической энергии элемента переходит в тепловую энергию. Этот переход обусловлен тем, что любое физическое тело, не подверженное внешнему воздействию, стремится к увеличению собственной энтропии, а значит, более упорядоченное механическое движение переходит в более хаотичное тепловое. В результате моделирования процесса перераспределения энергии, в любой момент времени будет известно, какова величина внутренней энергии данного элемента среды.
Картины распределения внутренней энергии выделенного объёма нагруженного твёрдого тела несут целую массу различной информации о его остоянии. Именно флуктуации внутренней энергии среды в том или ином процессе (изотермическом, изоэнтропийном и т.д.) являются причиной изменения таких величин, как температура, энтропия, нормальные компоненты тензоров напряжений и деформации.
Как показано в многочисленных натурных экспериментах по исследованию деформационного профиля тонкого поверхностного слоя [6,95], на поверхности одноосно нагружаемого образца формируются ярко выраженные структуры в виде двойных спиралей. В этих работах авторами была выдвинута гипотеза о том, что эти структуры являются продуктом «шахматного» распределения чередующихся по знаку нормальных компонент тензора напряжений. Предлагаемый подход стохастических возбудимых клеточных автоматов позволяет вычислять значения нормальных компонент тензора напряжений, используя формулы Мурнагана [98] и, таким образом, осуществить проверку вышеупомянутой гипотезы.
Данный подход использует именно возбудимые клеточные автоматы для моделирования элементов объёма, т.к. такой автомат, в отличие от биста-бильного клеточного автомата, в результате внешнего воздействия (в данном случае - в результате притока энергии) способен пробегать целый ряд состояний (см. п. 1.2). Каждое такое состояние определённым образом характеризует соответствующую стадию деформации моделируемого элемента объёма. Кроме того, метод клеточных автоматов позволяет производить расчёт быстро протекающих динамических процессов, таких как распределение энергии в деформируемом твёрдом теле, не решая сложных дифференциальных уравнений, использование которых зачастую является весьма затруднительным.
Для учёта анизотропии реального образца, а также влияния внешних условий на его физические свойства, в правила взаимодействия клеточных автоматов закладывается определённый уровень стохастичности, отражающий степень отклонения некоторых параметров модели от реальных физических характеристик образца. Введение стохастики обусловлено тем, что в рамках предлагаемого подхода рассматриваются элементы объёма мезомас-штабного уровня, физические параметры которых (такие как температура, давление, упругие модули) не могут быть измерены «абсолютно точно», как для объектов макромира. Уже давно хорошо известно, что на микроуровне действуют свои законы, там нельзя однозначно определить параметры физических объектов, о них можно говорить лишь как о наборе взаимосвязанных случайных величин. Мезомасштабный уровень является не только связующим, но и непосредственным определяющим звеном в иерархической цепи факторов, влияющих на поведение поверхностей и границ раздела деформируемого твёрдого тела [99].
Как было сказано выше, основной идеей предлагаемого стохастического подхода является то, что деформирование образца рассматривается как процесс обмена энергиями соседних элементов описываемой сплошной среды. При этом учитывается стохастический характер описываемых явлений, обусловленный микро- и мезомасштабностью моделируемых объектов, а также неконтролируемостью внешних условий, влияющих на свойства материала. Стохастический подход учитывает особенности протекания физических процессов на мезо- и микромасштабном уровнях. Таким образом, в рамках предлагаемой модели базовым параметром состояния элемента среды является энергия, которая, в зависимости от её трансформации в тот или иной вид, может выражаться в терминах различных измеряемых на практике величин (тепловая энергия- температура, работа-} деформация, потенциальная энергия " напряжения и т.д.).
Применение концепции нечётких множеств для моделирования формирования концентраторов напряжений и зарождения зон неупругой деформации
Как было сказано выше, каждый элемент объёма моделируется с помощью возбудимого клеточного автомата, состояние которого Pt качественно характеризует его деформацию (например, Pt = О - упругая деформация, Pi = 1 - неупругая деформация, Pt = 2- релаксация, Р{ = 3- предразрушение) и определённым образом зависит от значения энтропии 5,. Величины 5,- и Р$ свяжем между собой следующим образом: каждому состоянию Р,- поставим в соответствие определённое нечёткое множество значений энтропии. Таким образом, параметры каждого клеточного автомата на каждом временном шаге алгоритма будут определяться с помощью теории нечётких множеств [83, 84]. Изменение состояния г -го клеточного автомата напрямую зависит от величины его энтропии S,. Рассмотрим переход от стадии упругой деформаций (Pi == 0) к стадии неупругой деформации образца (Pg = 1). На каждом временном шаге на основании степеней принадлежности значения ,- каждому из нечётких множеств, соответствующих вышеупомянутым стадиям, определяется вероятность того, что состояние данного клеточного автомата изменится (т.е. произойдёт переход от упругой деформации к неупругой). Для этого применяется нечёткий подход, состоящий из следующей последовательности действий: 1) фазификация - переход от чётких входных параметров к нечётким на основе входных функций принадлежности; 2) решение нечёткой задачи с помощью нечёткой логики; 3) дефазификация- переход от нечёткого решения задачи к чёткому с помощью выходных функций принадлежности. В данном случае входным параметром является значение энтропии клеточного автомата 5,-, а выходным- номер состояния автомата (JV-0- состояние упругой деформации, N=1- состояние неупругой деформации). Введём лингвистическую переменную «энтропия» и охарактеризуем её двумя термами: «низкая» (соответствует упругому состоянию) и «высокая» (соответствует неупругому состоянию). Каждому терму будет соответствовать нечёткое множество, элементами которого являются значения энтропии кле- точного автомата. Входными функциями принадлежности будут являться функции принадлежности значения энтропии тому или иному нечёткому множеству, соответствующему определённой стадии деформации.
На рисунке 2.10 схематически показано, каким образом задаются данные нечёткие множества. Нечёткий алгоритм выбора номера состояния N сводится к двум правилам: 1) «низкому» значению энтропии соответствует стадия упругой деформации (#=0); 2) если энтропия клеточного автомата «высока», то он должен перейти на неупругую стадию (N= 1). Заметим, что в действительности нельзя провести чёткую границу между упругой и неупругой стадиями деформации твёрдого тела. Поэтому входные функции принадлежности задаются таким образом, чтобы их области определения пересекались. В этом случае для определения состояния клеточного автомата нужно воспользоваться комбинацией правил 1 и 2, каждое из которых должно иметь определённый вес, зависящий от степени принадлежности входного параметра (значения S") соответствующему нечёткому множеству. Например, если данный автомат на п-ы временном шаге алгоритма характеризуется величиной энтропии S" 9 которая, как показано на рисунке 2.11, со степенью ро принадлежит нечёткому множеству, соответствующему «низкой энтропии», и со степенью pi - нечёткому множеству, определяющему «высокую» энтропию, то номер состояния 7V вычисляется следующим образом: Нетрудно заметить, что значение N может оказаться нецелым, т.е. N є (0, 1). В таком случае будем трактовать его как вероятность перехода данного клеточного автомата из состояния упругой деформации в состояние неупругой деформации. При изменении стадии деформации клеточного автомата определённая часть свободной энергии автомата переходит в его тепловую энергию, что, в рамках изотермического процесса, выражается в увеличении его энтропии. Таким образом, переход клеточного автомата из упругого состояния в неупругое сопровождается резким увеличением его энтропии. Для определения нового значения энтропии воспользуемся следующим алгоритмом. Пусть данный автомат на предыдущем шаге по времени (когда он был ещё в упругом состоянии) характеризовался величиной / ($,) - степенью принадлежности его энтропии множеству, соответствующему неупругой стадии деформации. Так как при переходе в неупругое состояние энтропия автомата не убывает, то степень принадлежности её нового значения Sn+j данному множеству будет не меньше, чем на предыдущем временном шаге: fi(Sn+j) fi(Sn). По определению, p(Sn+j) lt поэтому ft(Sn) it(Sn+i) l. Исходя из стохастичности выбора нового значения / („+;), будем вычислять его следующим образом: где rjm - сумма т независимых случайных величин, равномерно распределённых на отрезке [0, 1]. Так как функция принадлежности ц в своей области определения является строго возрастающей, то каждому значению данной функции соответствует единственное значение переменной, в данном случае - 5„+;. Увеличение энтропии приводит к тому, что вероятность перехода клеточного автомата на неупругую стадию деформации становится больше.
Концепция виртуальной границы раздела и динамический хаос в приповерхностном слое моделируемого образца
Моделирование деформационного профиля поверхности нагруженного твёрдого тела осуществляется на основе концепции виртуальной границы раздела (интерфейса) между основным объёмом материала и его поверхностным слоем. Поведение такого интерфейса в нагруженном твёрдом теле характеризуется возникновением областей сжимающих и растягивающих нормальных напряжений (рис. 3.1). Возникновение зон сжимающих (+) и растягивающих (-) нормальных напряжений на интерфейсе «поверхностный слой - подложка» в нагруженном твёрдом теле: а) исходный образец в свободном состоянии; б) гипотетическая схема нагруженного образца; в) модуляция интерфейса «поверхностный слой - подложка» в реальном нагруженном образце.
Как было сказано, в рамках численного эксперимента поверхностный слой и подложка моделируемого образца имитируются с помощью возбудимых клеточных автоматов (рис. 3.1, а). При нагружении образца деформация поверхностного слоя и основного объёма материала оказывается различной вследствие различия их механических характеристик, (модуль упругости, коэффициент термического расширения, и т.д.) (рис. 3.1,6). Необходимость совместности их деформации приводит к возникновению на интерфейсе «поверхностный слой- подложка» синусоидального распределения областей сжимающих (+) и растягивающих (—) нормальных напряжений (рис. 3.1, в) в соответствии с расчётами [4] и расчётами на рис. 2.3, б). Самоорганизация модуляции в распределении нормальных напряжений на мезомасштабном уровне (рис. 3.1, в) и высокочастотных конфигурационных возмущений на интерфейсе наномасштабного уровня (рис. 2.3, а) приводит к перераспределению стохастических конфигурационных возмущений на интерфейсе. Конфигурационные возмущения по типу локального растяжения будут концентрироваться в мезообъёмах с растягивающими нормальными напряжениями, конфигурационные возмущения по типу локального сжатия -в мезообъёмах со сжимающими нормальными напряжениями. Данная граница раздела является интерфейсом между поверхностной и объёмной фазами твёрдого тела. Предлагаемый подход возбудимых клеточных автоматов позволяет моделировать поведение поверхностного слоя (плёнки) при деформировании, обусловленное разницей модулей упругости плёнки и подложки. В [102, 103] показано, каким образом разница этих величин влияет на характер деформации образца с упрочнённым поверхностным слоем. При одноосном нагружении такого образца в силу того, что плёнка жёстко связана с подложкой, они должны деформирозаться одинаково. Достаточно большая разница модулей поверхностной и объёмной фаз приводит к существенному различию между напряжениями, действующими на каждую фазу, определяемому следующим соотношением: Здесь Es и Es - модули упругости поверхностного слоя и подложки, у/и " коэффициенты Пуассона поверхностного слоя и подложки.
Таким образом, если Ef»Esi a Vf&vgi то af»as9 т.е. напряжение, действующее на пленку, существенно превосходит напряжение, действующее на подложку. Данный эффект может привести к тому, что напряжение xf превысит предел текучести для плёнки, и она будет испытывать пластическую деформацию, в то время как подложка будет деформироваться упруго, поскольку as будет недостаточно велико. Отсюда следует, что даже при сравнительно небольшой деформации всего образца в поверхностном слое может возникать пластическое течение, определяющее характер распределения концентраторов напряжений на интерфейсе «поверхностный слой - подложка». Следует заметить, что для случая поверхностей и тонких пленок объяснение таких эффектов, как, например, возникновение островковых структур, исключительно с помощью понятий классической механики сплошной среды представляется по меньшей мере неполным. Данный раздел физики имеет дело с такими величинами, как упругие и сдвиговые модули, напряжения и т.д. Однако все они могут быть представлены в виде результата перераспределения различных видов энергии. Таким образом, наиболее логичным представляется описание процессов на интерфейсе «поверхностный слой -подложка» как процессов, требующих энергетических затрат. Как известно, в том случае, когда в одних и тех же условиях возможно существование нескольких различных структур, возникает та структура, которая требует наименьших затрат энергии. С данным принципом связана самоорганизация вышеупомянутых островковых структур, при определённых условиях являющихся наиболее выгодными энергетически. Известно, что процессы самооргашзации вещества в регулярные структуры напрямую связаны с существованием динамического хаоса и потому не могут быть описаны в рамках квазистатических подходов. Описание таких процессов возможно с помощью возбудимых клеточных автоматов, позволяющих моделировать быстро протекающие динамические процессы. Динамический хаос - явление, при котором поведение нелинейной системы выглядит случайным, несмотря на то, что оно определяется детерминистическими законами. Причиной появления хаоса является неустойчивость по отношению к начальным условиям и параметрам: малое изменение начального условия со временем приводит к сколь угодно большим изменениям динамики системы. Здесь необходимо отметить, что в качестве этих начальных условий могут выступать совокупности параметров на каждом шаге по времени, в течение которого клеточные автоматы меняют своё состояние. В некоторых случаях динамическое развитие системы приводит к самоорганизации, т.е. к спонтанному образованию и развитию сложных упорядоченных структур. Процессы, развивающиеся в данных структурах, являются вполне прогнозируемыми и не приводят к значительному росту энтропии системы. Вместе с тем, эта прогнозируемость процесса возникновения упорядоченных структур имеет смысл лишь на достаточно большом поле автоматов и в течение большого количества шагов по времени. Детальный же анализ каждой упорядоченной структуры позволяет делать вывод о характере распределения параметров системы в выделенной локальной области, что в случае, например, мезоконцеитраторов напряжений, существенно для формирования либо полос пластической деформации, либо трещин.
