Содержание к диссертации
Введение
ГЛАВА 1. Современные методы компьютерного моделирования материалов 14
1.1 Методы прямого моделирования ансамбля частиц 14
1.2 Сеточные методы 25
1.3 Современные методы псевдо-частиц: SPH, GPA. Свободно-лагранжевы методы 39
1.4 Метод клеточных автоматов 59
ГЛАВА 2. Метод подвижных клеточных автоматов (мса). совмещение дискретного и континуального подходов 65
2.1 Основные положения метода подвижных клеточных автоматов 65
2.2 Эквивалентность описания упругой среды методом МСА и континуального описания в пределе малого размера частиц 69
2.3 Совмещение метода подвижных клеточных автоматов с конечно-разностным сеточным методом 76
2.3.1 Основные положения конечно-разностного сеточного метода 79
2.3.2 Алгоритм совмещения сеточного метода и метода МСА 82
2.3.3 Решение задачи прохождения упругих волн через границу раздела 88
ГЛАВА 3. Развитие метода подвижных клеточных автоматов для описания высокоскоростных деформаций 95
3.1 Нелинейная функция отклика 95
3.1.1 Обоснование и основные положение нелинейной модели 95
3.1.2 Верификация модели на основе численных расчетов 99
3.2 Учет влияния скорости деформирования на отклик материала 113
3.2.1 Модели деформирования твердых тел, учитывающие влияние скорости деформации 113
3.2.2 Динамическая модель однородно-деформируемого материала, построенная в рамках калибровочной теории дефектов 119
3.2.3 Физическое обоснование и способ реализации функции отклика клеточных автоматов, зависящей от скорости деформации 130
ГЛАВА4. Моделирование ударного взаимодействия тел методом подвижных клеточных автоматов 135
4.1 Соударение группы частиц с поверхностью материала. Анализ влияния поверхностных волн 135
4.2 Пробитие преград деформируемым ударником. Сравнение с расчетами на основе комбинированного дискретно-континуального подхода 142
4.3 Тест Тейлора 151
Основные результаты и выводы 174
Литература 176
- Современные методы псевдо-частиц: SPH, GPA. Свободно-лагранжевы методы
- Совмещение метода подвижных клеточных автоматов с конечно-разностным сеточным методом
- Решение задачи прохождения упругих волн через границу раздела
- Динамическая модель однородно-деформируемого материала, построенная в рамках калибровочной теории дефектов
Введение к работе
Объект исследования и актуальность темы. Компьютерное моделирование занимает особое положение в системе научного знания, между теоретическими и экспериментальными исследованиями. По сравнению с теоретическим подходом, компьютерное моделирование позволяет оперировать большим количеством степеней свободы, и в свою очередь в сравнении с реальным экспериментом, оно дает существенно большую свободу в выборе условий испытаний. При достаточном качестве физической модели численное моделирование позволяет уменьшить количество натурных испытаний и тем самым уменьшить полную стоимость исследований. Одно из немаловажных преимуществ компьютерного эксперимента заключается в возможности анализа динамики процессов с произвольным временным разрешением, в произвольном ракурсе и сечении, то есть в буквальном смысле заглянуть внутрь моделируемого процесса, тогда как в натурном эксперименте возможно изучение лишь его внешних проявлений. Это позволяет глубже понять физические механизмы многих явлений, а иногда и предсказать новые нелинейные динамические эффекты.
Численное моделирование динамических процессов имеет, с одной стороны, высокую прикладную и научную ценность, а с другой, - является достаточно сложной задачей. В первую очередь это связано с большим количеством принципиально различных взаимовлияющих факторов и физических процессов, которые вовлечены в высокоскоростное деформирование. Так, данный процесс имеет выраженный волновой характер с комплексным взаимодействием ударных волн и волн разгрузки. Динамические воздействия приводят к разогреву материала, который может приводить к изменению его механических свойств, характерными являются фазовые переходы, возможны эффекты локального плавления и даже испарения вещества. При сверхвысоких давлениях необходимо учитывать излучение и ионизацию. Общепринятым приемом в механике сплошной среды, который используется и при построении численных методов, является раздельное вычисление объемной и сдвиговой части напряжений, поскольку это необходимо для описания предельного случая отсутствия сдвиговой жесткости (течение жидкости). Описание отклика среды на объемное сжатие требует построения адекватных широкодиапазонных уравнений состояния. Не менее важно иметь надежные модели поведения среды при сдвиговых деформациях. Причем модели пластического поведения должны быть работоспособны при различных значениях скоростей деформации, обеспечивая плавный переход от малых скоростей, когда девиаторная часть напряжений доминирует над объемной, до больших, когда ситуация обратная. Кроме того, возможно механическое разрушение и фрагментация материала на отдельные осколки под действием растягивающих или сдвиговых напряжений. Особо сложной задачей является описание взаимодействия отдельных фрагментов, сопровождаемое перемешиванием масс, после разрушения. Процесс разрушения твердого тела крайне сложен и многообразен, он включает различные аспекты, многие из которых недостаточно изучены к настоящему времени даже качественно.
Таким образом, для полного описания такого сложного процесса, как высокоскоростное деформирование и разрушение твердых тел, необходимо привлекать практически все разделы механики сплошных сред и многие разделы физики твердого тела. Достаточно общие и универсальные физико-математические модели такого рода на настоящий момент отсутствуют. Это обуславливает одновременное сосуществование большого количества частных теорий и численных методов со своими характерными особенностями и преимуществами. Полная теория должна учитывать упругость и пластичность, плавление и затвердевание, кинетику фазовых переходов и процессов накопления дефектов различных типов, приводящих к макроразрушению, а также обратное влияние указанных явлений на структуру материала и его физические свойства. В связи с этим, проблема количественного описания процессов высокоскоростного деформирования осложняется, с одной стороны, необходимостью знать реальные свойства конструкционных материалов в широком диапазоне изменения параметров для различных агрегатных состояний вещества, а с другой, -необходимостью иметь модельные представления для их адекватной математической формулировки.
В этой связи особый интерес представляет интенсивно развиваемый в последние годы метод подвижных клеточных автоматов. Этот метод примечателен своими достоинствами при решении ряда задач, которые во многих случаях являются уникальными. В силу своей дискретной природы метод МСА особенно удобен для описания интенсивных разрушений, сопровождаемых образованием большого количества границ раздела, моделирования гетерогенных материалов, моделирования нагружения за пределами разрушения, которое сопровождается перемешиванием масс. Достоинства данного метода позволили получить ряд новых научных результатов в различных областях, в том числе при моделировании геологических сред, нано-материалов, сыпучих сред, керамик, при расчете прочности каркасных конструкций, и др. Универсализм подхода клеточных автоматов, в котором единственным ограничением при выборе взаимодействия между автоматами является критерий лучшего соответствия модели эксперименту, является очень удобной основой для реализации широкого класса моделей, описывающих очень разнообразные по природе физические явления.
Существенным ограничением, которое, тем не менее, не помешало получать новые научные результаты, являлось то, что использование метода МСА ограничивалось рамками сравнительно небольших напряжений (порядка единиц предела текучести материала) и небольших скоростей нагружения. Возможность рассматривать задачи, предусматривающие интенсивные динамические нагрузки существенно повышает прикладную и научную ценность данного метода численного моделирования и открывает новые возможности в применении методов численного моделирования для решения задач, связанных с высокоскоростными деформациями материалов и конструкций.
Поэтому, целью диссертационной работы является развитие дискретного численного метода подвижных клеточных автоматов для описания высокоскоростного нагружения материалов и конструкций, а также исследование на его основе некоторых частных задач ударного взаимодействия твердых тел.
В соответствии с общей целью в диссертационной работе были поставлены следующие конкретные задачи:
1. Провести сравнительный анализ метода подвижных клеточных автоматов с распространенными сеточными методами и исследовать возможность построения на его основе комбинированного дискретно-континуального подхода.
2. Разработать физические основы описания больших величин и скоростей деформаций на основе введения нелинейной функции отклика.
3. Провести численное исследование взаимодействия деформируемого ударника с преградами различной толщины с использованием метода МСА.
4. Исследовать влияние поверхностных волн на соударение группы частиц с преградой.
5. Исследовать особенности моделирования теста Тейлора (соударение деформируемого цилиндра с жесткой преградой) в рамках метода частиц.
Научная новизна.
1. На основе теоретического анализа показано, что уравнения метода подвижных клеточных автоматов физически эквивалентны соотношениям механики сплошной среды в упругой области в пределе бесконечно малого размера автоматов. На этой основе впервые построен комбинированный дискретно-континуальный подход. Его реализация позволила объединить конечно-разностный сеточный метод и метод частиц (метод подвижных клеточных автоматов) для решения динамических задач физики конденсированного состояния.
2. Впервые предложена нелинейная функция отклика клеточного автомата, зависящая от объемной деформации, позволяющая учитывать нелинейную сжимаемость твердых тел.
3. На основе модели однородно-деформируемой среды, полученной в рамках калибровочной теории дефектов, предложена функция отклика клеточного автомата с зависимым от скорости деформации пределом текучести.
4. Показана роль поверхностных волн как переносчиков взаимодействия, реализующих коллективные эффекты при обработке поверхности потоком налетающих частиц. Влияние поверхностных волн может быть важным фактором, способствующим возникновению сверхглубокого проникания.
5. Показано, что при моделировании высокоскоростной пластической деформации методом подвижных клеточных автоматов необходим явный учет формоизменения клеточного автомата. Предложены возможные подходы к решению данной проблемы.
Научная и практическая ценность. В диссертационной работе развиты физико-математические модели, позволяющие использовать метод подвижных клеточных автоматов для моделирования поведения материалов и конструкций при динамических нагрузках и больших величинах деформаций. Это позволило существенно (на 1-2 порядка) расширить диапазон доступных к исследованию с помощью данного метода давлений и скоростей нагружения (амплитуд давлений до 10ГПа и скоростей нагружения до 106с"1). Разработанные физико-математические модели, алгоритмы и программы могут быть использованы при анализе поведения и разрушения конструкций при интенсивных динамических нагрузках, исследовании влияния различных модификаций конструкций с целью оптимизации их характеристик, а также проведения расчетов при конструировании новых материалов.
Внесен вклад в теоретическое и практическое обоснование применимости метода МСА к моделированию задач физики твердого тела на макро и мезоуровне.
Показано, что в предельном случае бесконечно малого размера автоматов уравнения метода МСА эквивалентны соотношениям механики сплошной среды в упругой области, поэтому можно считать строго доказанным корректность метода для описания упругих задач и задач хрупкого разрушения.
Разработаны физико-математические основы и реализован комбинированный дискретно-континуальный подход, совмещающий достоинства метода частиц, связанные с возможностью моделирования интенсивного разрушения и перемешивания масс, с достоинствами сеточного метода: более высокой точностью при малых деформациях и большей скоростью счета. Это имеет практическую ценность при полноразмерном моделировании задач, где одновременно совмещаются области больших и малых деформаций, особенно при моделировании пар трения, процессов пробития, контактных границ.
Описанный эффект влияния поверхностных волн на взаимодействие налетающих частиц с поверхностью материала может иметь важное прикладное значение, способствуя лучшему пониманию процессов, протекающих, в частности, при холодном газодинамическом напылении. Более детальное исследование позволит сформулировать практические рекомендации по оптимальному выбору условий обработки.
Положения, выносимые на защиту:
1. Научные основы и методика совмещения метода частиц (метода МСА) и континуального подходов.
2. Нелинейная функция отклика для описания высокоскоростных деформаций, позволяющая расширить область применения метода подвижных клеточных автоматов.
3. Физическое обоснование и способ реализации зависящей от скорости деформирования функции отклика, основанной на модели однородно-деформируемой дефектной среды, построенной в рамках калибровочной теории дефектов.
4. Механизм реализации коллективных эффектов при взаимодействии потока частиц с поверхностью материала, связанный с влиянием поверхностных волн на соударение отдельных частиц с преградой.
5. Результаты расчетов, показывающие необходимость учета формоизменения клеточного автомата при моделировании высокоскоростной пластической деформации и возможные способы его реализации.
Обоснованность и достоверность расчетов и выводов, сформулированных в диссертации, обеспечивается аналитическими исследованиями, сходимостью численных решений при тестовых расчетах, согласием полученных результатов с опубликованными результатами других авторов и данными физических экспериментов.
Апробация работы. Результаты работы докладывались и обсуждались на следующих конференциях:
1. На международных конференциях «Computer Aided Design of Advanced Materials and Technologies» - CADAMT (Томск, 2001, 2003).
2. На международных конференциях по физической мезомеханике (Томск, 2003, 2004; Патрас, Греция 2004).
3. На международной конференции «Advanced Problems in Mechanics» - АРМ (Санкт-Петербург, 2003).
4. На международной конференции «International Congress on Fracture» - ICF (Москва, 2003; Турин, Италия 2005).
5. На региональной школе-семинаре молодых ученых «Современные проблемы физики, технологии и инновационного развития» (Томск, 2003, 2004).
6. На всероссийской школе-семинаре «Физика взрыва и применение взрыва в физическом эксперименте» (Новосибирск, 2003).
Публикации. Основные результаты диссертации опубликованы в 10 работах. Перечень их наименований представлен в списке цитируемой литературы [92-94, 110,115,138, 151,152,157,158].
Объем и структура работы. Диссертация состоит из введения, четырех глав, заключения и списка литературы. Объем диссертации составляет 190 страниц, 49 рисунков, 3 таблицы. Список литературы содержит 160 наименований.
Во введении обоснована актуальность исследуемой проблемы, сформулированы цели и задачи диссертационной работы, перечислены полученные новые результаты, рассмотрена их практическая ценность, представлены положения, выносимые на защиту, и описана структура диссертации.
В первой главе диссертационной работы приведен обзор и сравнительный анализ существующих подходов к численному моделированию задач механики и физики твердого тела. В параграфе 1.1 рассмотрены методы, основанные на прямом моделировании динамики ансамбля частиц. Сюда в первую очередь относится метод молекулярной динамики, имеющий ясное физическое обоснование, но применимый только в области микроскопических пространственных и временных масштабов. Также рассматривается метод Монте-Карло, который позволяет несколько расширить временные рамки моделирования. Отдельно рассматривается класс методов, использующих динамику частиц для моделирования процессов на макроуровне (Distinct element method и др.). При этом используются эмпирические парные законы взаимодействия частиц, а наиболее успешной областью применения является описание гранулированных и сыпучих сред. В параграфе 1.2 рассматриваются сеточные методы, основанные на дискретизации уравнений механики сплошной среды. Обсуждаются особенности численных методов решения гиперболических уравнений и особенности, связанные с решением задач механики твердого тела. В параграфе 1.3 рассматриваются методы, условно названные методами псевдо-частиц, в которых концепция частиц используется для дискретизации континуальных уравнений. Сюда включены комбинированные эйлеро-лагранжевы методы частиц в ячейке, метод индивидуальных частиц, а также метод гладких частиц (SPH) и метод обобщенных частиц (GPA). В самостоятельный подход к моделированию физических явлений в разделе 1.4 выделен метод клеточных автоматов. Обсуждаются области применения классических клеточных автоматов в физике, а также связь с методом подвижных клеточных автоматов.
Вторая глава посвящена изложению теоретических основ квазистатической версии метода подвижных клеточных автоматов. Обсуждается эквивалентность данного метода и континуального описания в упругой области, рассматривается реализация и тестирование совмещения дискретного метода подвижных клеточных автоматов и конечно-разностного сеточного метода. Параграф 2.1 включает изложение основных положений и уравнений метода МСА. В параграфе 2.2 теоретически доказывается эквивалентность метода МСА с континуальным описанием при устремлении размера автомата к нулю. В разделе 2.3, посвященному совмещению метода подвижных клеточных автоматов с сеточным методом, эта эквивалентность подтверждается практически. В параграфе 2.3.1 кратко излагаются соотношения конечно-разностного метода решения задач упруго-пластического деформирования сплошных сред. В параграфе 2.3.2 подробно рассматривается процедура совмещения дискретного метода МСА и конечно-разностного метода на границе раздела. Пункт 2.3.3 посвящен тестированию совмещенного дискретно-континуального подхода, моделируется прохождение различных типов упругих волн, инициированных импульсным нагружением, проверяется наличие искажений при прохождении волной границы совмещения.
В третьей главе рассматриваются вопросы развития метода МСА для описания высокоскоростных нагружений. В разделе 3.1 обсуждается необходимость и реализация нелинейной функции отклика клеточного автомата, по своей роли аналогичной нелинейному уравнению состояния материала в механике сплошной среды. Параграф 3.1.1 посвящен выбору функциональной зависимости и реализации нелинейной функции отклика. Пункт 3.1.2 представляет результаты тестовых расчетов с учетом введенной нелинейности и сравнение с -экспериментом. В разделе 3.2 рассматриваются возможные способы учета в методе МСА влияния скорости деформирования на отклик среды. В параграфе 3.2.1 дается краткий обзор существующих теоретических подходов к учету динамических эффектов при деформировании. В пункте 3.2.2 рассматривается построенная в рамках калибровочной теории дефектов простейшая одномерная модель, которая позволяет получить функциональные зависимости влияния скорости деформации на 7- диаграммы. В следующем параграфе 3.2.3 реализована и протестирована модифицированная функция отклика, учитывающая зависимость предела текучести от скорости деформирования, полученную в рамках калибровочной модели.
Четвертая глава посвящена расчетам практических задач, связанных с интенсивным динамическим нагружением. В параграфе 4.1 исследуется влияние поверхностных волн на взаимодействие группы налетающих частиц с поверхностью преграды. Пункт 4.2 включает результаты моделирования пробития преград конечной толщины удлиненным деформируемым ударником, проведенные с помощью модифицированного метода МСА и совмещенного дискретно-континуального подхода, а также сравнение полученных данных. Параграф 4.3 посвящен моделированию теста Тейлора.
В заключении диссертации приводятся основные результаты и выводы.
Автор считает необходимым в первую очередь выразить глубокую благодарность своему научному руководителю профессору С.Г. Псахье, оказавшему большое влияние на выбор тематики исследований, за внимательное отношение к данной работе и всестороннюю поддержку. Хочется от души поблагодарить А.Ю. Смолина, Ю.П. Стефанова, Н.В. Чертову, Е.В. Шилько, Ю.В. Гриняева, в соавторстве с которыми был получен ряд научных результатов, а также всем остальным сотрудникам лабораторий ЛККМ, ЛМСНС ИФПМ СО РАН, а также профессору Хуан Дэу (Шеньянский политехнический университет, КНР), оказавшим поддержку ценными замечаниями в ходе дискуссий.
Современные методы псевдо-частиц: SPH, GPA. Свободно-лагранжевы методы
Лагранжевы методы численного моделирования имеют ряд ключевых преимуществ при описании твердых тел. Прежде всего это - удобство описания контактных границ и разрывов, кроме того, для физической интерпретации рассчитанной картины деформации важно идентифицировать исходные точки тела в ходе всей эволюции образца. С другой стороны, эйлеровы методы позволяют достигать больших степеней деформации, тогда как лагранжевы алгоритмы сталкиваются с проблемой больших искажений и перехлестов ячеек. С помощью обычной лагранжевой сетки в принципе невозможно описать завихрения и перемешивание масс, эйлерова сетка позволяет учитывать такие явления, но при этом теряется информация об индивидуальных элементах среды. Для того, чтобы избежать всех этих трудностей, широкое развитие получили комбинированные эйлеро-лагранжевы методы, позволяющий совместить достоинства обоих подходов. При этом расчет сил и скоростей ведется на фиксированной эйлеровой сетке, а перенос массы осуществляется с помощью лагранжевого подхода. Физические величины переносятся с одной сетки на другую с помощью специальной процедуры пересчета. Первоначально было предложено поддерживать перестраивающуюся на каждом шаге лагранжеву сетку, однако более простым и более широко применяемым способом для расчета переноса массы является использование частиц. Более точно было бы называть такие частицы псевдо-частицами, поскольку они не имеют никакого отношения к реальным частицам, которые составляют материал, как, например, атомы и зерна металла, а используются только как «контейнеры», переносящие массу, импульс и внутреннюю энергию, или как маркеры, помечающие разные типы или фазы материала. Иногда очень важно описать перемешивание, взаимопроникание различных сред или очень большие деформации материала, что подразумевает динамическое изменение связей между расчетными узлами. Алгоритмы, допускающие динамическое переключение соседей часто называют общим термином свободно-лагранжевы методы.
Очевидно, что методы псевдо-частиц являются таковыми. Хотя и существуют методы на основе динамического перестроения лагранжевой сетки (без эйлеровой), использующие эффективные алгоритмы триангуляции на основе ячеек Вороного, такой подход представляется намного более громоздким, чем метод частиц. Существуют также методы псевдо-частиц, не использующие эйлеровой сетки, например метод гладких частиц (SPH, Smoothed Particle Hydrodynamics) и метод обобщенных частиц (GPA, Generalized Particle Algorithm), где используется специальный тип аппроксимации с помощью весовых функций. В данном разделе кратко рассматриваются эйлеро-лагранжевы методы частиц в ячейке [64], индивидуальных частиц [65], а также SPH [66] и GPA [67]. (1.28) (1.29а) (1.296) (1.30) Метод частиц в ячейке. Данный метод основан на объединении эйлерова и лагранжева подходов. Используется простая прямоугольная эйлерова сетка для расчета полевых переменных и лагранжевы частицы для расчета переноса массы. Для простоты будем рассматривать данный метод в двумерной декартовой системе координат, также исключим из рассмотрения вязкость и сдвиговые компоненты напряжений, которые достаточно просто добавить в алгоритм при необходимости. В этом случае основная система уравнений (1.23-1.25) примет следующий вид Для замыкания системы необходимо также задать уравнение состояния. Отметим, что в методе частиц в ячейке можно очень просто реализовать одновременное моделирование нескольких взаимодействующих материалов. При этом, для идентификации различных сред необходимо задать уравнение состояния для каждой компоненты &, а система (1.28-1.30) описывает динамику процесса во всех взаимодействующих средах одновременно. Если просто заменить уравнения динамики (1.28-1.30) их конечно-разностными аналогами, то был бы получен обычный разностный алгоритм на эйлеровой сетке. Особенность данного метода заключается в том, что кроме сеточных переменных присутствуют также модельные частицы, которые представляют каждое из взаимодействующих веществ набором точечных масс.
Количество частиц и масса каждой из них постоянны, масса частицы сорта к определяется просто как mk=M//Nk, где Мк - полная масса данного вещества, Nk — выбранное для моделирования количество частиц. В начальный момент времени частицы каждого сорта распределяются пропорционально массе соответствующего вещества, приходящегося на данную ячейку. Если в ячейку одновременно попадает несколько сортов частиц, она называется смешанной. В таком случае, доли различных сортов выбираются из соображений наилучшего описания границы между двумя веществами. Перейдем к изложению самого метода расчета. Расчет каждого временного шага в методе частиц в ячейке происходит в два этапа. На первом этапе вычисляются промежуточные значения скорости и внутренней энергии в центрах ячеек, в предположении, что движение веществ заморожено. При этом, приращение импульса в каждой ячейке происходит только за счет сил, действующих на ее границах, а приращение энергии - за счет работы этих сил. Для расчета этих промежуточных величин необходимо решать уравнения (1.28-1.30) в
Совмещение метода подвижных клеточных автоматов с конечно-разностным сеточным методом
Как известно, в процессе разрушения материалов интенсивные деформации, генерация и накопления повреждений, а также перемешивания изначально происходят в достаточно локализованной зоне. Моделирование именно этих процессов вызывает наибольшие трудности в методах механики сплошных сред. В то же время, именно для моделирования, в первую очередь, таких процессов и разрабатывался метод подвижных клеточных автоматов. Кроме того, в предыдущем параграфе было показано, что при стремлении характерного размера автомата к нулю формализм метода МСА позволяет перейти к классическим соотношениям механики сплошной среды. Основным достоинством данного метода является возможность явным образом моделировать как формирование несплошностей различного типа (от генерации отдельных повреждений до распространения магистральных трещин), так и эффекты перемешивания масс. Это делает его уникальным инструментом для изучения материалов при динамических термомеханических воздействиях, когда подобные процессы протекают наиболее интенсивно. В связи с вышесказанным, в данной работе был разработан подход [93,94], в котором моделируемый объект представляется состоящим из областей двух типов, одна из которых описывается как сплошная, а другая - как дискретная среды (рис. 2.7). При этом для моделирования деформации в континуальной области использовался конечно-разностный метод решения динамических задач упруго-пластического деформирования сплошных сред, а для моделирования дискретной области — метод подвижных клеточных автоматов. Выбранные методы обладают особенностями, которые несколько облегчают задачу их совмещения. Оба основаны на Лагранжевом подходе, то есть рассматривают движение каждой материальной точки относительно фиксированной системы координат, в обоих методах конечные уравнения движения могут быть записаны для точечных масс через действующие на них напряжения или силы. Результатом явилась новая методика, позволяющая объединить преимущества обоих методов. Поскольку в рассматриваемом подходе используются два принципиально различных метода, то необходимо привести изложение каждого из них. Основы метода подвижных клеточных автоматов были изложены выше. В разделе 2.3.1 изложены основы конечно-разностного метода Уилкинса, который хорошо подходит для описания высокоскоростных упругопластических течений и пользуется широкой популярностью. В разделе 2.3.2 подробно рассмотрен вопрос совмещения используемых методов. В разделе 2.3.3 приведено решение тестовой задачи прохождения упругого импульса через границу раздела в образце со свободными границами.
Описание процесса деформирования в континуальной области будем осуществлять путем численного решения системы уравнений, включающей уравнения движения уравнение неразрывности уравнение энергии и определяющие соотношения, устанавливающие связь между приращениями напряжений и деформаций, а также геометрические соотношения. Геометрические соотношения: где єу — компоненты тензора деформаций Коши, и, — компоненты вектора перемещения. Полные деформации состоят из упругих и пластических: Упругое поведение среды описывается гипоупругим закономкомпоненты тензора напряжений; sy — компоненты девиатора тензора напряжений; а 0 — компоненты тензора скоростей вращения: Р — среднее давление, К и (і — модули сжатия и сдвига соответственно. Неупругая деформация определяется в соответствии с заданными законом течения и поверхностью нагружения: где/- поверхность текучести, % - параметр состояния и Ф - пластический потенциал. Соотношения, используемые для интегрирования уравнений в континуальной области эквиваленты конечно-разностным уравнениям, приведенным в [62]. Для того чтобы описать особенности реализации условий сопряжения континуальной и дискретной (МСА) областей, нам потребуются лишь выражения для численного интегрирования уравнения движения. Согласно [62] уравнение движения в конечно-разностном виде записывается в виде: х0= х 0 - [(О УМ - J )+(„fi(v? -У")+ 2Фо + (а„Й,(у4и -Лл)+ Ы -А)-КУМ -xj) Из описания представленных методов видно, что в обоих случаях уравнения движения могут быть записаны для некоторых масс через действующие на них напряжения или силы. Эти особенности дают основания полагать, что совмещение данных методов может быть осуществлено достаточно корректно. В настоящей работе моделируемая среда рассматривается состоящей из континуальной и дискретной областей, между которыми определяется некоторая граница сопряжения и полагается, что она принадлежит обеим областям. При этом каждому узлу расчетной сетки, лежащему на границе, ставится в соответствие некоторый автомат (элемент метода МСА). Рассмотрим границу сопряжения областей, описываемых различными методами. В общем случае, между двумя соседними узлами сетки, лежащими на границе, может располагаться несколько клеточных автоматов, рис. 2.9, а. Тогда А размер автоматов должен быть кратным шагу сетки и не превышать его: D = — , где п D - размер автомата, А - шаг сетки, п - целое число.
В данной реализации перемещение граничных узлов вместе с находящимися в них сопряженными автоматами осуществляется в сеточном методе. Перемещение автоматов, располагающихся между двумя соседними граничными узлами, рассчитывается с использованием интерполяции перемещений соответствующих узлов сетки. В простейшем случае размер автомата совпадает с шагом сетки. Тогда совмещённые с узлами автоматы являются соседними, т.е. между ними нет дополнительных автоматов, рис. 2.9, б. Для корректного описания совместного поведения континуальной и дискретной областей, необходимо задать такие условия в области сопряжения, которые бы обеспечили непрерывность параметров состояния при переходе через границу раздела сред. --Для обеспечения непрерывности движения на поверхности раздела возможны два подхода. В первом, для каждой из областей записываются свои граничные условия, например, условия свободной поверхности. Затем, после раздельного расчета скоростей движения граничных узлов и автоматов, производится их корректировка с использованием уравнения сохранения количества движения: mV = maVa + mcVc. Здесь mV— соответствует совмещенному узлу-автомату, a maVa и mcVc - автомату и узлу, соответственно. Пересчитав и совместив, таким образом, скорости и координаты узлов-автоматов можно переходить к расчетам остальных параметров. Второй подход состоит в том, что согласование движения обеспечивается уже на этапе расчета скорости граничных узлов в континуальной области. Чтобы показать особенности численной реализации условий в области сопряжения континуальной и дискретной областей запишем соответствующие соотношения для уравнения движения континуальной области в следующем виде:
Решение задачи прохождения упругих волн через границу раздела
Использованные методы и программы их численной реализации ранее неоднократно применялись авторами комбинированного дискретно-континуального подхода для описания динамических процессов, в том числе и распространения упругих волн [98-103]. Для проверки возможности объединения описанных выше подходов в рамках единой методики и тестирования разработанных алгоритмов была рассмотрена задача о распространении упругих волн различных типов в среде со свободной поверхностью. Одна часть моделируемой среды рассматривалась как сплошная, а другая как дискретная. При этом их механические характеристики полагались одинаковыми. Поскольку, таким образом, задавалась фактически однородная среда, то граница сопряжения не должна проявляться как граница раздела различных сред. Был рассмотрен случай, когда имеется только одна линейная граница сопряжения двух сред (рис. 2.11а). Размеры автоматов совпадали с размерами ячеек расчетной сетки. Совмещение движения узлов и автоматов на границе сопряжения осуществлялась на этапе расчета скорости с учетом сил, действующих на совмещённые с этими узлами автоматы. Были рассмотрены варианты отличающиеся видами упаковки автоматов в дискретной области. В первом случае использовалась плотная упаковка автоматов (рис. 2.9), во втором - квадратная (рис. 2.10).
На первом этапе рассматривалась задача о распространении плоской упругой волны, с фронтом параллельным границе сопряжения областей, рис. 2.11. Возбуждение волны осуществлялось с поверхности континуальной (GRID) области. Граничные условия на боковых поверхностях имитировали бесконечную протяженность вдоль оси Y. На рис. 2.116 видно, что прохождение волны через границу не сопровождалось формированием отраженной волны, также не заметно искажения формы импульса после его прохождения в дискретную область. Аналогичное поведение наблюдалось и после отражения волны от жесткой тыльной поверхности дискретной (МСА) области и обратного прохождения ею границы со стороны дискретной области в континуальную. Таким образом, расчеты показали, что в случае использования в обоих методах одинаковых механических характеристик среды, плоская волна проходит через границу сопряжения без каких-либо искажений. Это свидетельствует о том, что алгоритм сопряжения двух методов обеспечивает полную передачу количества движения в отсутствии сдвиговых деформаций. На втором этапе была рассмотрена более сложная задача, а именно задача о генерации и распространении в среде со свободной поверхностью упругих волн всех типов. Для этого участок поверхности упругого полупространства подвергался кратковременному действию локальной вертикальной нагрузки. Были рассмотрены два случая: 1) когда источник располагался симметрично (находился точно на линии сопряжения GRID и МСА областей); 2) источник располагался несимметрично (был смещен относительно линии сопряжения GRID и МСА областей). Во всех случаях расположения источника относительно границы сопряжения, анализировались детали распространения продольной, поперечной и Рэлеевской волн, а также симметрия поля скоростей смещений. Тестирование проводилось как для квадратной, так и для плотной (гексагональной) упаковки автоматов в дискретной области. В результате воздействия в среде на некотором расстоянии от источника формируются продольная (растяжения-сжатия) Р и поперечная (сдвига) S волны, распространяющиеся с различными скоростями, рис. 2.12-2.13. Скорость распространения продольной волны можно рассчитать как Vp = —, Li поперечной — V$ = —
Напомним, что разделение типов волн осуществляется не по скорости их распространения, а в первую очередь по ориентации движения частиц во фронте волны и, соответственно, по типу деформации. Так во фронте продольной волны движение частиц происходит по направлению луча, т.е. по направлению ее распространения. Во фронте поперечной волны частицы двигаются перпендикулярно направлению ее распространения. Наличие свободной поверхности, приводит к появлению так называемых конических и поверхностных волн. На рис. 2.12-2.13 хорошо видно, что в рассмотренных случаях коническая волна проявляется только в области взаимодействия продольной волны со свободной поверхностью. Она соединяет фронты продольной и поперечной волн, ее фронт тянется от места выхода продольной волны на поверхность по касательной к фронту поперечной волны. Различие в направлении смещений приводит к вихревому движению частиц между фронтами конической и поперечной волн. Вблизи свободной поверхности, чуть отставая от поперечной, бежит поверхностная волна Рэлея, которая имеет эллиптическую поляризацию и быстро затухает с глубиной. Известно, что при прохождении волны через поверхность раздела сред, обладающих различными механическими характеристиками, или в случае, если она является поверхностью разрыва смещений, (как показано, например, в [103]) возникает ряд отраженных и преломленных волн. Во всех рассмотренных случаях результаты расчетов не показали существенного искажения волновых фронтов на границе сопряжения, рис. 2.12 - 2.13. Имеет место лишь незначительное отличие в форме импульсов, а заметных вторичных: отраженных, преломленных и конических волн не возникало. Следует отметить, что влияние упаковки автоматов в МСА области проявлялось лишь в слабом изменении формы импульсов. Рис.2.12. Картины волнового поля при симметричном расположении источника. На верхнем рисунке представлено поле скоростей в виде векторов, а на нижнем
Динамическая модель однородно-деформируемого материала, построенная в рамках калибровочной теории дефектов
В данном разделе рассматривается модель, учитывающая влияние скорости деформирования на механическое поведение деформируемого тела, полученная на основе калибровочной теории дефектов в приближении однородного их распределения. Данный подход можно считать альтернативным рассмотренным в предыдущем параграфе моделям дислокационной кинетики. Результаты представленные в этом разделе были впервые опубликованы в работе [138]. На основе калибровочной модели получено выражение для зависимости предела текучести от скорости деформации, которое в дальнейшем будет использовано для формулировки динамической функции отклика в методе подвижных клеточных автоматов. Основные аспекты построения калибровочной теории дефектов, учитывающей диссипацию и самодействие поля дефектов можно найти в работах [131,139-143], здесь рассмотрение этих вопросов максимально сокращено или опущено. Чтобы сформулировать калибровочную теорию дефектов, следуя [139], необходимо оттолкнуться от постановки задачи для бездефектной среды. То есть, начав с лагранжиана для упругого тела, с помощью стандартной процедуры минимальной замены ввести новые степени свободы для описания динамики дефектов. В упругом лагранжиане в качестве степеней свободы выступает отображение евклидова пространства на себя R!(,t): Е3- Е3, которое переводит начальные положения точек в конечные, определяя деформацию среды. Если выражение для потенциальной энергии соответствует однородному изотропному телу, то и весь упругий лагранжиан будет инвариантен относительно глобальной группы симметрии смещений и поворотов. Наличие в среде дефектов нарушает глобальную симметрию. С помощью процедуры минимальной замены можно построить лагранжиан, инвариантный относительно локальной группы преобразований сдвига и поворота, при этом необходимо ввести дополнительные степени свободы - калибровочные поля, компенсирующие локальное отсутствие симметрии.
Поля компенсирующие локальное нарушение сдвиговой симметрии естественно отождествить с дефектами трансляционного типа - дислокациями, поля, компенсирующие нарушение вращательной симметрии, - с дисклинациями. Ниже будет предполагаться, что в рассматриваемых материалах дисклинации полностью отсутствуют. Можно показать, что напряженность калибровочного поля, соответствующего дислокациям a j - ejkidk(p\, где q - тензор пластической дисторсии, полностью эквивалентна тензору плотности дислокаций в континуальной теории дефектов. Однако, в отличие от континуальной теории дефектов, где распределение и движение поля дефектов считалось заданным извне, а вопрос математической формулировки взаимовлияния континуума дефектов и упругого континуума или причин движения дефектов оставался открытым, здесь эта проблема отсутствует, система уравнений движения дефектов является замкнутой. Эта система принимает следующий вид Здесь a, I - тензоры плотности и плотности потока дислокаций; aeff, Peff эффективные напряжения и импульс; В, S - константы теории. Константа В характеризует инерционные свойства ансамбля дефектов, S характеризует удельную энергию дефектов. Знаки ( ), () обозначают векторное и скалярное произведение величин. Можно отметить, что данная система уравнений по виду аналогична системе уравнений Максвелла, если Е— 1, Н— а, при этом напряженности поля дефектов приобретают дополнительный пространственный индекс. Учитывая, что деформируемое твердое тело с дефектами можно рассматривать как смесь двух континуумов: упругого и континуума дефектов, то эффективные напряжения и импульс естественно разложить на внешние и внутренние составляющие
При этом полагается, что внешние составляющие обусловлены внешним воздействием, а внутренние - наличием дефектов. В работах [142,143] было показано, что внутренние напряжения и импульс, обусловленные дефектами материала, могут быть выражены через характеристики поля дефектов Выражение для напряжений (3.27) содержит член-rjl, пропорциональный скорости пластической дисторсии ppl, т.к. по определению плотности потока дефектов [144] Данное слагаемое представляет собой вязкие напряжения по аналогии с моделью вязкой жидкости и вязкоупругого тела [145]. Следует отметить, что вязкие напряжения [145] предполагают существование диссипативной функции квадратичной относительно скорости пластической дисторсии R = Tjijk,IiJIu, где rj тензор коэффициентов вязкости, в то время как в классических теориях пластичности [146] рассматривается диссипативная функция однородная относительно первой степени скорости пластической деформации R = eJl{iJ)I(kl) (индексы в круглых скобках обозначают симметрирование, 0-константа). Последняя описывает рассеяние энергии, обусловленное зарождением дефектов, соответствующая сила трения определяет предельное напряжение сдвига. При этом предполагается, что движение дефектов не сопровождается диссипацией энергии. Диссипативная функция квадратичного вида, наоборот, учитывает энергию, рассеянную при движении дефектов, и пренебрегает энергией зарождения дефектов. Это справедливо для многих материалов, в которых наблюдается микропластическая деформация [147]. Отметим, что физические механизмы рассеяния механической энергии при движении дефектов, которые можно учесть с помощью квадратичной диссипативной функции могут быть весьма разнообразны [148]. Сюда относится, например, электронное трение, которое связано с возмущением электронной плотности при движении дислокаций. Можно также отметить фононное трение, которое обусловлено взаимодействием движущихся дислокаций с тепловыми колебаниями решетки. Фононное трение объясняется либо негармоничностью поля упругих деформаций, создаваемых дислокациями, либо процессами переизлучения фононов дислокациями. После подстановки соотношений (3.26) и (3.27) в основную систему уравнений (3.25) получаем:
