Содержание к диссертации
Введение
Глава I. Расчетные значения критического параметра для тщательно выполненных оболочек 18
3. Геометрические характеристики поверхности, изометричнои цилиндру 18
4. Структура формулы параметра нагрузки 26
5. Формула параметра нагрузки 36
6. Сравнение теоретических и экспериментальных результатов 41
Выводы по главе 1 45
Глава II. Учет влияния значительных возмущений на величину расчетного критического параметра 47
7. Влияние начальных несовершенств формы оболочки (погиби) на величину расчетного критического параметра 47
8. Влияние погиби и других возмущающих факторов на величину расчетного критического параметра 67
9. Обоснование расчетной схемы развития деформаций при малых возмущениях 71
Выводы по главе П 75
3аключение 78
- Структура формулы параметра нагрузки
- Сравнение теоретических и экспериментальных результатов
- Влияние погиби и других возмущающих факторов на величину расчетного критического параметра
- Обоснование расчетной схемы развития деформаций при малых возмущениях
Введение к работе
Круговые цилиндрические оболочки, воспринимающие внешнее давление, являются элементами многих инженерных конструкций. Как известно, при внешнем давлении, превышающем некоторую (критическую) величину, тонкие оболочки хлопком теряют устойчивость () с образованием глубоких регулярно расположенных вмятин. Несмотря на многочисленные теоретические исследования в области потери устойчивости цилиндрических оболочек при внешнем давлении (обзоры можно найти в работах [6-8І ) и до сих пор в нормативных данных присутствует понижающий эмпирический коэффициент (0.7 0.4) [18] . Таким образом, определение расчетных значений критического давления для тонких цилиндрических оболочек является актуальной задачей.
Целью настоящей работы является определение расчетных значений критической нагрузки для тонких цилиндрических оболочек при внешнем (боковом) давлении, а также исследование вопроса о соотношении этих величин с нормативными данными.
Прощелкивание тонкостенных оболочек сопровождается существенным преобразованием их форм. Развитие этого процесса многообразно и связано с резким изменением геометрии системы, перераспределением напряжений, рассеиванием части потенциальной энергии, во многом зависит от упругопластических свойств материалов и различных возмущений (погиб, остаточные напряжения, случайные силовые воздействия, эксплуатационные возмущения и т.д.). Поэтому теоретическое исследование хлопка при строгом учете всех его особенностей является сложной, трудно разрешимой задачей.
Исторически первой рассматривалась задача устойчивости ци линдрических оболочек при осевом сжатии. В этой задаче особенно четко проявляются все черты хлопкового развития деформаций. Поэтому она является своего рода эталонной для апробирования различных подходов к исследованию проблемы хлопка и сопоставления теоретических и экспериментальных данных [5] . При потере оболочками устойчивости под воздействием внешнего давления хлопок не столь явно выражен, однако, как мы увидим в дальнейшем, многое из того, что относится к исследованию хлопка цилиндрических оболочек при осевом сжатии, может быть с успехом применено и в рассматриваемой нами задаче. Учитывая сказанное, ниже при изложении материала мы будем часто обращаться к результатам исследований устойчивости цилиндрических оболочек при осевом сжатии.
Основы теории устойчивости форм равновесия упругих систем были заложены еще Эйлером. Согласно концепции Эйлера признаком неустойчивости формы равновесия служит существование смежной (т.е. сколь угодно близкой к исходной) отклоненной формы равновесия при неизменной нагрузке. При этом подразумевается, что устойчивой является именно эта новая форма равновесия, а исходная форма неустойчива. Такая постановка задачи предполагает, что потеря устойчивости выражается в переходе системы к смежной форме равновесия, причем для этого перехода достаточно любого ничтожно малого возмущения.
Точка зрения, что при расчете оболочек нужно ориентироваться на величину нижнего критического давления довольно долгое время была ведущей. 2тот подход как-будто бы подтверждался данными экспериментальных исследований и достаточно хорошим совпадением теоретических результатов у многих авторов. Не последнюю роль сыграл и известный консерватизм в выборе метода исследования.
С целью все точнее описать формы выпучивания и тем самым получить более точные значения критических параметров исследователи стремились удержать в аппроксимирующим прогиб выражении все большее и большее число членов ряда Фурье. Последнему, кстати, способствовало развитие вычислительной техники. При этом значения нижних критических нагрузок оказывались все меньшими. Так, в работе Н.Хоффа (1966 г.) [353 Для случая осевого сжатия было получено значение (1Н =0.04 Et/R, , что явно не соответствует нагрузкам, которые реально выдерживают оболочки.
Анализируя результаты по определению нижних критических нагрузок, Н.А.Серов в 1974 г. [21] показал, что снижение значений
CL , определяемых при аппроксимации прогиба все более длинным отрезком ряда Фурье, принципиально и является следствием роста числа удерживаемых членов ряда. Зто явилось дополнительным доказательством ошибочности использования нижней критической нагрузки в качестве расчетного параметра.
Таким образом, в практических расчетах необходимо ориентироваться не на величину нижней критической нагрузки, а определять реальную нагрузку выпучивания, т.е. ту нагрузку, при которой реализуется переход к новому состоянию равновесия [19-24, 31]. Зто мнение было высказано В.И.Феодосьевым еще в 1966 г.
Следует отметить, что в настоящее время большинство специалистов по теории устойчивости при расчете оболочек ориентируются на верхнюю критическую нагрузку, однако, и до сих пор встречаются работы, в которых определяется нижняя критическая нагрузка.
Средняя же несущая способность оболочки вычисляется по приращению потенциальной энергии и работе нагрузки за весь период почти изометрического преобразования. Из найденных таким образом расчетных значений критической нагрузки в качестве нормативных рекомендуются те, которые являются достаточно стабильными по отношению к различным возмущениям.
В настоящей работе на основе описанного подхода решается вопрос о величине расчетных значений критической нагрузки для тонких круговых цилиндрических оболочек средней длины при равномерном внешнем (боковом) давлении.
В результате исследований: I) получены формулы расчетных значений критической нагрузки; 2) исследовано влияние возмущений на величины расчетных значений критической нагрузки; 3) дано теоретическое подтверждение возможности использования при инженерных расчетах существующих нормативов; 4) даны рекомендации по уточнению нормативов для конкретных условий работы оболочек.
Кроме того, величины, относящиеся к моменту образования почти изометричной цилиндру поверхности, отмечены знаком величины, относящиеся к начальному моменту - нижним индексом "о"; величины, определенные с учетом погиби - верхним индексом "о".
Структура формулы параметра нагрузки
Допустим, что упругая круговая цилиндрическая оболочка, теряя устойчивость, принимает почти изометричную цилиндру форму с некоторым числом вмятин h/ . В силу симметрии изометричной цилиндру формы относительно оси исходной цилиндрической оболочки расчет будем производить по области F , изображенной на рис. 3.1.
Приращение потенциальной энергии оболочки в процессе деформации равно работе внешних сил, т.е. работе совершаемой нагрузкой Q
Учитывая, что внешняя нагрузка равномерна, и характеризуя развитие выпучивания обобщенным перемещением по направлению нагрузки Q. - V , равным интегралу от прогиба по области F , получим U = % v (f.D где V определяется формулой (3.II). В тонких оболочках при относительно крупных вмятинах ширина зон размывки перегибов по ребрам сравнительно невелика. Поэтому приращение потенциальной энергии TJ мотшо представить в виде суммы U = Ищ + \Ju2 + UCi (4.2) где Uui - энергия изгиба по ребрам в направлении, перпендику - 27 лярном их осевым линиям; UM2 - энергия изгиба, обусловленного изменением кривизны по области вмятины; Х)с\ - энергия деформации срединной поверхности, связанная с отклонением от строгой изометрии в районе ребер.
Отметим, что энергия деформации срединной поверхности по области вмятины, связанная с изменением кривизны по этой области, С UC2 ) в выражение (4.2) не входит, поскольку эта энергия вначале накапливаясь, затем полностью высвобождается. Энергией деформации по области F мы пренебрегаем, поскольку изменение кривизны по этой области мало по сравнению с изменением кривизны по области Fj .
Приращение потенциальной энергии оболочки при почти изометрическом преобразовании зависит от степени размывки перегибов по ребрам: чем шире участки,по которым рассредоточены углы поворота областей F,j и Fp относительно друг друга, тем меньше энергия изгиба Um , но больше энергия деформации срединной поверхности U(»4 . Оптимальная ширина зоны размывки перегибов определяется минимумом суммарной энергии деформации.
Вычислим составляющие приращения потенциальной энергии. При определении энергии изгиба по ребрам в направлении, перпендикулярном их осевым линиям ( Х)щ ), принимаем во внимание только изгиб относительно осей, параллельных ребрам; пренебрегаем криволинейностью ребра и сложной картиной изгиба в районах узлов (точки О, , 02 » В ); считаем, что длины участков ребер меущу узлами равны расстояниям мекду центрами узлов. Введем на поверхности ребра систему декартовых координат ( х , Ч ), направив ось Ч вдоль ребра. Будем считать, что значение UL В точке В равно нулю. Обозначим через ъ и ч соответственно ширину и угол размывки перегиба по ребру в плоскости ОВВ - 28 Рис. 4.1 Рис. 4. Рис. 4.3 Рис. 4.4 Ширина зоны размывки перегиба по ребру ( ь ) пропорциональна величине 1? . В качестве параметра, характеризующего степень размывки перегиба по ребру удобно принять безразмерную величину U V maxJfe где ҐЛОСХ. ь - предельное значение величины , ограниченное размерами вмятины. Если ввести параметр А- ГЛОХ ъ/ ЬА , то для величины получим выражение = А - 29 Угол размывки перегиба по ребру ( ) пропорционален величине Ф . Очевидно (см. рис. 4.4), что Р =.OL=%/Y\ . Длина ребра ( Ь ) пропорциональна величине V -v L и - поскольку для оболочек средней длины 1+r=i - величине
Таким образом, имеют место следующие соотношения l%, i , i-i . С4.Э) Энергия изгиба \уw определяется следующим образом (см. рис. 4.2) а а а Здесь - область размывки перегиба по ребру. Поскольку изгибающий момент М пропорционален отношению Т)/Ъ , где L - радиус закругления, то для величины \)\х\ справедливо соотношение Utti- T Ja Учитывая, что с использованием соотношений (4.3) окончательно имеем її г P3.L_L_L (И И) Здесь и в дальнейшем С с различными индексами - некоторые постоянные, зависящие от общего характера изгиба в районе - зо ребра.
Определим энергию деформации срединной поверхности по ребрам, связанную с отклонением от строгой изометрии в районе ребер ( Uc.4 ) Рассмотрим почти изометричную цилиндру поверхность и представим ее около ребер в виде пучков изолированных волокон. Если бы волокна лежали на строго изометричнои поверхности, то они были бы недеформированы. В действительности, вследствие размывки перегибов по ребрам имеет место некоторое смещение и деформация волокон. Мы будем полагать, что напряженное состояние, которое возникает в волокнах, обусловлено только радиальными смещениями точек волокон. Влиянием других факторов будем пренебрегать.
Сравнение теоретических и экспериментальных результатов
Сравним полученные результаты с данными экспериментов Андреева Л.В. [3], Андреева Л.В. и Птахина Е.А.[4], Нагаева В.А. [12], Кирстейна А. и Уэнка Е. [33], Виндебурга Д.Е. и Трил-линга С. [34] для тщательно выполненных оболочек с R/"C = 200 700. Экспериментальные данные приведены в таблице 6.1.
В таблице 6.1 CU - экспериментальное значение параметра критической нагрузки (если эксперименты проводились над серией образцов, то в таблице приведено только минимальное экспериментальное значение параметра критической нагрузки); їЬ - количество вмятин, образовавшихся в результате потери устойчршости (в некоторых работах значения Yl$ не приведены); Х =И /иэ ; $ %b % і Т - значение параметра V , определенное по формуле С5.8) при Х- - хэ
Как видно из таблицы 6.1 значения у хорошо согласуются с экспериментальными значениями » и всегда NT \) .
Анализируя формулы (5.7) и (5.8), видим, что для любых зна чений параметров коэффициент V удовлетво ряет оценке 0. 6 . Таким образом, нормативные данные для тщательно выполненных и весьма тонких оболочек являются занижен ными (например, для оболочек с R/"t = 1000 рекомендуется принимать ) - 0.5 [18]).
Можно указать несколько более точную нижнюю границу для V . Именно, поскольку на практике \i z k , то » ти , тн = О-Ь + а6Ах/- (бЛ) В частности, для R/t = 250 \) 0.6 + 0.040 L/R для R/ =500 0.6+0.0 9 L/R - 42 для R/t = 1000 O.G+-0.020 L/R Следует отметить, что значения -\ц существенно меньше соответствующих значений э (см. табл. 6.1). Тем не менее, для тонких оболочек значения "O-ftt больше нормативных значений V .
Можно получить еще более точную нижнюю оценку для параметра
ра ) (обозначим эту оценку V ). Для данных значений параметров R/t и L/R определим величину 1TL- Yi , при которой максимальное из значений V , определенных по формуле (5.7), не больше, чем минимальное из На практике при наличии относительно небольших возмущений возможно уменьшение И/ по сравнению с К- на величину д. , равную 1 2 для относительно толстых оболочек (R/t = 250) и равную 2 4 для относительно тонких оболочек ( R/t = 1500). Поэтому расчетные значения V
следует находить по формуле (5.7) при г= ru - d . Определяла емые таким образом значения V являются достаточно стабильными по отношению к сравнительно небольшим возмущениям, поскольку соответствующие значения [0V/Oh, невелики (см. рис. 5.2).
В таблице 6.2 для некоторых значений параметров R/t и L/R приведены значения- величин К и V , определенные по описанному способу на основе сравнения с данными экспериментов, приведенных в работах СЗ, Ц, 12, 33, 34].
Как показано в б, она может быть использована при определении расчетных значений критической нагрузки для тщательно выполненных оболочек. При этом необходимо отметить следующее обстоятельство. Выбрав в качестве расчетной почти бесхлопковую схему развития деформаций с К И-&, мы тем самым учитываем влияние незначительных возмущений. Для идеализированного случая (тщательно выполненные оболочки при отсутствии каких-либо возмущений) почти бесхлопковая схема развития деформаций места не имеет. Расчетное значение критического параметра в этом случае определяется реше-нием линейной задачи и равно Q» = О-92-т-у"п На практике ) идеализированная схема не реализуется, так как всегда имеются хотя бы незначительные возмущения.
Предложенные в б оценки для величины V зависят не только от параметра R/t , характеризующего толщину оболочки, но и от параметра L/R , характеризующего ее длину. Последняя зависимость не является сильно выраженной, однако, учет ее позволяет получать несколько более точные значения критической нагрузки. Следует подчеркнуть, что в нормативных данных зависимость параметра критической нагрузки от параметра L/R явно не учтена [18].
Влияние погиби и других возмущающих факторов на величину расчетного критического параметра
Исследуем вопрос о величине расчетного критического параметра для цилиндрических оболочек под воздействием внешнего давления при наличии различных возмущений. Будем полагать, что воздействие всех возмущающих факторов эквивалентно наличию некото- \ рой погиби, влияние которой сказывается только на первой фазе развития деформаций. Указанную погибь в отличие от рассмотреннойj выше будем называть условной и характеризовать безразмерным параметром ICu,= f0«/f , где is - стрела условной погиби,?= г - -- радиальное смещение середины вмятины относительно исходной цилиндрической оболочки в конечный момент деформации при отсутствии погиби С в 3 эта величина обозначалась через W2;см.(3.2)). Подставляя значение величины f в выражение для К% и переходя к переменной X , получим
В соответствии с изложенным в 7, расчетным значением критического параметра является минимальная по числу вмятин величина средней несущей способности оболочки на первой фазе развития деформаций.
Рассмотрим общий случай, когда имеются и собственно погибь, и другие возмущения, моделируемые условной погибью. Погибъ будем характеризовать параметром К0 - Ко/х , а условную погибъ - параметром lCu=Ku/x2. Величины Ко и и определяются формулами (7.2) и (8.2) соответственно.
Для получения расчетных значений X сначала по заданным параметрам R/L , R/t , i/R и -foVR найдем величины С0 и . Затем пологим в (7.15) К0= ( о - кр/х и определим
Для относительно тонких оболочек, как мы указывали в 7, величина wjb"- fycpi может оказаться несколько меньшей, чем верхний предел расчетных значений критического параметра. Если стоит задача об определении верхнего предела расчетных значений критического параметра, то необходимо определить величину X в соответствии с условием (7.18), при отом полагая в выражении (7.15) Ко=Ссо+ и , а в выражении (7.17) - о= К х"2 . в результате придем к уравнению WW l agMo Aiitf] . (8.3) Если получаемое из уравнения (8.3) значение Yi-n /x. достаточно велико, то как и ранее, верхний предел будет равен юиг ч,срГ Если же it мало, так что уменьшение числа вмятин невозможно без преодоления больших энергетических барьеров, то верхним пре делом расчетных значений критического параметра будет величина
Вопрос об обосновании в качестве расчетной почти бесхлопковой схемы развития деформаций для случая малых возмущений рассмотрен в работах [25,28].
Правомерность перехода к средним значениям параметров при определении расчетных критических характеристик не вызывает сомнений, если предполагаются значительные возмущения , но при малых возмущениях использование данного приема (особенно в начальной стадии развития деформаций) может вызвать серьезные возражения.
Рассмотрим тщательно выполненные оболочки. Для первой фазы процесса деформаций (0 К /1), как уже отмечалось в 7, = = (\и + %сц , где составляющая ц параметра нагрузки cj, опре-деляется изгибом, a fycjt - работой срединной поверхности, обусловленной начальной кривизной. Энергию изгиба, энергию деформации срединной поверхности и обобщенное перемещение на основе полученных в 7 формул можно представить в виде 1)ц м І, Uc C O-Kff, V = C34. (9.1) Из формулы (7.13) при Ко=0 получим выражение для параметра нагрузки на первой фазе Из формулы (7.15) при К.0 - 0 получим выражение для среднего значения критического параметра на первой фазе
Минимизируя это выражение по X , получим, что при Л =1.19 Цг = ( Ш +.m)- . 0.64 / (9.3) Заметим, что параметр нагрузки на первой фазе при зс = I.I9 равен (см. (9.2)) fyj = [ 0.№ + оМ(1-ц){\-1ц)-]&-.)1 . . (9 л) Рассмотрим законы нарастания энергии деформации и обобщенного перемещения. Из равенства (9.3) видно, что при р = 1/2 UU/UCIL = 3 и, следовательно, U- Uu+Uci = С + 0- )1] (9.5) Законы нарастания энергии деформации U (9.5) и обобщенного перемещения V (9.1) показаны на рис. 9.1 графиками относительных величин в 4/2) И V = V/V(K(f=(/2/) .
При зависимостях (9.1) и X =1.19 параметр нагрузки определяется формулой (9.4) и диаграмма равновесных состояний имеет вид кривой I на рис. 9.2 ( fc - fyi pr V t ) Допустим, что зависимости 1) и V от несколько отличаются от (9.1) и эти функции сближаются по мере увеличения Kip . Тогда диаграмма равновесных состояний принимает вид кривой 2 на рис. 9.2. Если при каком-то значении параметра Ку графики U и V (рис. 9.1) сливаются, то в дальнейшем параметр нагрузки сохраняет постоянную величину (кривая 3 на рис. 9.2), причем с уменьшением абсциссы точки слияния ординаты прямолинейного участка приближаются к (_ Ли с і У = 0.6zf8 . В пределе диаграмма равновесных состояний стремится к ломанной Лх с с постоянными ординатами на участке ъг , равными
Допустим теперь, что прощелкивание оболочек происходит при незначительных возмущениях. Если идеализированный процесс характеризуется графиком I (рис. 9.2), то при возмущениях диаграмма равновесных состояний приобретает вид Ґ . Если идеализированный процесс имеет тенденцию к сближению функций U и V и характеризуется, например, графиком 3 (см. там же), то при возмущениях диаграмма равновесных состояний приобретает вид 3 . В пределе идеализированные диаграммы стремятся к ломанной О-ёс ; интенсивность возмущений, способных "срезать" О-ъ , стремится
Обоснование расчетной схемы развития деформаций при малых возмущениях
Зависимость расчетного критического параметра от стрелы по-гиби представлена на рис. 7Л а-г. Прежде, чем проанализировать полученные в главе П результаты, необходимо отметить, что имеющиеся в настоящее время в открытой литературе нормативные данные для расчета оболочек на устойчивость весьма несовершенны. Так, например, в справочнике 183 рекомендуются (и то лишь как ориентировочные!) следующие значения коэффициента " - ,/ 1 в зависимости от R /\
При этом не оговорен уровень возмущающих факторов, в частности начальной погиби, при которых этими данными можно пользоваться. Единственное, что можно предположить, так это то, что здесь считаются справедливыми указания, помещенные в том же справочнике для случая осевого сжатия, а именно: нормативные данные приведены для тщательно выполненных оболочек. Если же имеется погибь порядка толщины оболочки, то рекомендуется снижать расчетные значения N) примерно вдвое. Погибъ, заметно превышающая толщину оболочки вообще недопустима.
На графиках 7Л а-г звездочками отмечены точки, ординаты которых совпадают с указанными нормативными значениями для данных значений
Анализ зависимостей, определяемых полученной в работе формулой расчетных значений критического параметра, и сопоставление их с существующими нормативными данными позволяет сделать следующие выводы.
1. Для тщательно выполненных оболочек нормативные данные являются заниженными. Более того, снижение нормативного коэффи циента до величины 0.5 и менее с уменьшением толщины оболо чек представляется необоснованным. Расчет по предложенным в ра боте формулам (при К0= 0) дает значение ) = 0.706 для всех R/t . Во всяком случае, учитывая сказанное в выводах по главе I, значения указанного коэффициента следовало бы выбирать из условия 0.& : V«ac4 0-7 06 . Наличие такого диапазона для коэффициента является особенностью рассматриваемой задачи по сравнению с задачей осевого сжатия, где действительно величина уменьшается с ростом R/t .
2. Установленная зависимость между критической нагрузкой и погибыо позволяет указать границы допустимых возмущений, при ко торых могут быть использованы существующие нормативные данные. Допустимые при использовании нормативных данных значения парапет ра для различных значений Р/І и L/R сведены в сле дующую таблицу:
Приведенная таблица иллюстрирует то, что нормативные данные особенно для тонких оболочек являются весьма заниженными, так как оказываются приемлимыми для оболочек с погибыо, многократно превосходящей толщину.
3. Полученные в работе формулы позволяют рассчитывать тонкие упругие оболочки средней длины в широком диапазоне толщин, охватывающем все практически значимые случаи. Они могут быть использованы как для тщательно выполненных оболочек, так и при наличии возмущений, в том числе и значительных.
Ц. Использование предложенных в работе формул позволяет обеспечивать требуемый запас прочности конструкций без чрезмерного их утяжеления и тем самым экономить материалы. При применении существующих нормативных данных излишнее утяжеление конструкций неизбежно, поскольку эти данные, как отмечено выше, являются заниженными, особенно для относительно длинных и тонких оболочек.
5. Исследования, проведенные в работе, показывают, что зависимость критической нагрузки от длины оболочки, вообще говоря, не является слабо выраженной и поэтому ее следует учитывать. В нормативных данных эта зависимость явным образом не представлена.
