Введение к работе
Актуальность темы диссертации. Большинство прикладных задач механики, как правило, не имеют явного решения и потому для получения нужного результата приходится прибегать к численным методам исследования. Для численного анализа задачи одним из важнейших является факт существования решения математической постановки проблемы. Важность заключается в том, что, во-первых, существование не является тривиальным фактом, а, во-вторых, поиск решения только при предположении о его существовании может привести к различного рода противоречиям. Данная работа посвящена доказательству существования обобщенного (слабого) решения контактных задач для оболочки с препятствием в случае отсутствия трения.
Контактные задачи механики составляют основу расчета на прочность взаимодействующих элементов различных механизмов и конструкций и имеют применение во многих областях машиностроения и техники. Важным и относительно новым классом задач контактной механики являются задачи теории пластин и оболочек. Трудность решения контактных задач связана с тем, что, как правило, априори неизвестна область контакта, а потому контактные задачи относятся к теории граничных задач со свободной границей. В большинстве работ, посвященных контактным задачам теории пластин и оболочек, постановка задачи содержит предположение о виде (форме) зоны контакта, размеры которой определяются некоторыми неизвестными параметрами, а сама задача сводится к решению интегрального уравнения. Контактные задачи для оболочек в таких работах в основном рассмотрены для частного вида оболочек (цилиндрическая, сферическая) и частного вида штампов (плоский, параболический).
Одним из современных подходов к изучению математических вопросов механики является метод обобщенных решений, основанный на вариационной постановке задачи. Контактные задачи в такой постановке сводятся к вариационным неравенствам, теория которых в последнее время находит все больше приложений как для аналитического исследования задачи, так и для проведения вычислительного эксперимента. При этом постановка контактной задачи в виде вариационного неравенства не требует никаких априррных предположений о характере контактного множества.
Обобщенная постановка задачи с препятствием в виде вариационного неравенства позволяет использовать разработанный математический аппарат анализа той же задачи, но без препятствия. Многие отечественные и зарубежные ученые, такие как И. И. Ворович, Ю.А. Дубинский, Л. П. Лебедев, С.Г. Мих-лин, Н.Ф. Морозов, Дж. Перадзе, В,И. Седенко, А.М. Хлуднев, Б.А. Шойхет, М. Bernadou, P.G. Ciarlet, W.T. Koiter, В. Miara, J. Т. Oden и др., уделяли большое внимание созданию такого аппарата в изучении обобщенной постановки краевых задач теории оболочек. Следует отдельно отметить огромный
Г to других во-
просов задач равновесия тонких упругих оболочек. Он впервые разработал топологический и вариационный подход в проблеме разрешимости основных краевых задач нелинейной теории пологих оболочек в перемещениях и с функцией усилий и рассмотрел возможность применения ряда прямых методов для нахождения приближенного решения задач статики нелинейной теории пологих оболочек.
В связи с вышеизложенным представляется актуальной проблема обобщенной постановки задачи равновесия оболочки при наличии препятствия и исследование ее разрешимости с помощью существующего математического аппарата, разработанного для анализа краевых задач теории оболочек. Тем более, что этот аппарат позволяет рассматривать вопросы сходимости широкого круга вычислительных методов, применяемых в механике сплошной среды.
Цель работы. Изучить следующие вопросы контактной проблемы оболочки с препятствием под действием нагрузки.
Построить математическую модель препятствия, для которой доказать существование решения в случае вариационной постановки контактной задачи, а для линейных теорий оболочек и его единственность.
Обосновать применимость предложенной модели препятствия и вариационной постановки контактных задач, для чего продемонстрировать возможность численного решения частных задач на основе предложенной модели и сравнить результаты с известными.
Методика исследования. При проведении диссертационной работы использовались методы и идеи вариационного подхода в проблеме разрешимости краевых задач нелинейной теории пологих оболочек, разработанного И.И. Во-ровичем. Основой этого подхода является формулировка вариационной постановки задачи в энергетическом пространстве, норма которого индуцирована квадратичной частью функционала внутренней энергии оболочки, и поиск элемента, минимизирующего функционал полной энергии деформированной оболочки в этом пространстве. При получении "квазианалитического" решения частного случая задачи использовалась техника вариационного исчисления. Для проведения вычислительного эксперимента применялись конечно-элементная аппроксимация и методы квадратичного программирования.
Достоверность диссертационного исследования обусловлена применением строгого математического аппарата, использованием для численного анализа надежных алгоритмов и совпадением полученных результатов с известными результатами в рамках частных задач.
Научная новизна работы заключается в следующих результатах.
1. Построена математическая модель жесткого неподвижного препятствия в контактной задаче для оболочки, заданной в произвольной криволи-
неинои системе координат, дана геометрическая интерпретация этой модели.
Сформулированы обобщенные постановки задач равновесия при наличии жесткого неподвижного препятствия для линейной теории плоской криволинейной арки, для оболочки в рамках линейной теории Нагди, для нелинейной пологой оболочки модели Власова и для нелинейной пологой оболочки, заданной в произвольной криволинейной системе координат, в случае отсутствия трения при контакте.
Доказана теорема разрешимости каждой из вышеуказанных задач в обобщенной постановке, причем в случае использования линейной теории доказана единственность решения.
Дано обоснование применения метода конечного элемента для получения приближенного решения вариационной постановки задачи равновесия пологой нелинейной оболочки, заданной в произвольной криволинейной системе координат, с препятствием в случае отсутствия трения при контакте.
Для задачи цилиндрического изгиба цилиндрической круговой геометрически нелинейной пологой оболочки при наличии параллельного ей жесткого препятствия построено "квазианалитическое" решение, в случае общего вида препятствия проведено сравнение результатов вычислительного эксперимента с результатами других авторов.
Теоретическая значимость работы. В диссертационной работе построена математическая модель препятствия для статических контактных задач теории оболочек при отсутствии трения, сформулирована вариационная постановка контактных задач в рамках различных теорий оболочек, имеющая вид вариационного неравенства. Доказаны теоремы разрешимости, на основе которых возможны дальнейшие теоретические исследования характеристик контактных задач в теории оболочек.
Практическая значимость работы. Вариационная постановка, приведенная в диссертационном исследовании, и теоремы разрешимости дают обоснование для применения ряда вычислительных методов при поиске приближенного решения задачи, относящейся к рассмотренному классу задач.
Структура работы. Диссертация состоит из введения, трех глав, приложения и списка литературы из 92 наименований. Общий объем диссертации составляет 120 страниц.
Апробация работы. Основные результаты диссертационной работы обсуждались на III Всероссийской конференции по теории упругости (г. Ростов-на-Дону — Азов, 2003), на II канадской конференции по нелинейной механике сплошной среды CanCNSM 2002 (Ванкувер, Канада, 2002), на конкурсах молодых ученых Ростовской области по инженерным проблемам современного
производства (г. Ростов-на-Дону, 2002, 2004), на научных семинарах кафедры теории упругости Ростовского государственного университета.
Публикации. Основные результаты диссертационной работы отражены в публикациях [1]-[7].
