Содержание к диссертации
Введение
Глава 1 Постановка задачи. 17
1.1 Уравнения плоского движения однородной изотропной упругой среды 17
1.2 Постановка задач для поверхностных функций влияния и их классификация
1.3 Решение уравнений с помощью преобразования Лапласа 24
Глава 2 Изображения поверхностных функций влияния для упругого слоя .
2.1. Функции влияния 1а 26
2.2. Функции влияния 16 33
2.3. Функции влияния 1в 34
2.4. Функции влияния Па 39
2.5. Функции влияния Иб 41
2.6. Функции влияния Пв 42
2.7. Функции влияния Пг 44
2.8. Предельный переход к акустической среде 45
Глава 3 Алгоритм определения оригиналов . 49
3.1. Метод совместного обращения преобразований Фурье и Лапласа 49
3.2. Оригиналы изображений, содержащих одну экспоненту 52
3.3. Вычисление перемещения для полуплоскости 63
3.4. Вычисление оригиналов изображений, содержащих произведение
экспонент
Глава 4 Оригиналы поверхностных функций влияния . 69
4.1. Акустический слой 69
4.2. Упругая полуплоскость 73
4.3. Упругий слой 77
Заключение 85
Список использованных источников
- Постановка задач для поверхностных функций влияния и их классификация
- Функции влияния 16
- Оригиналы изображений, содержащих одну экспоненту
- Упругая полуплоскость
Введение к работе
Актуальность работы. В настоящее время нестационарные задачи механики деформированного твердого тела приобретают все большее теоретическое и прикладное значения. Имеется большое количество как отечественных, так и зарубежных публикаций, посвященных этому разделу механики. Однако большинство аналитических исследований посвящено решению статических и квазистатических задач. Это связано со значительными математическими сложностями, возникающими при исследовании нестационарных процессов.
В то же время в связи с бурным развитием ЭВМ многие исследователи отдают предпочтение разработке и применению разнообразных численных методов к решению как статических, так и динамических задач. Однако для получения адекватных результатов решения и контроля точности процесса моделирования применение универсальных численных методов должно быть непосредственно связано с исследованием вопросов точности, устойчивости и сходимости. Строгое доказательство сходимости того или иного метода, как правило, сопряжено с практически непреодолимыми математическими сложностями. Поэтому на практике используется либо исследование практической сходимости, либо сравнение численных результатов с известными аналитическими решениями или с экспериментальными данными. В связи с этим построение аналитических решений нестационарных задач механики приобретает актуальное и важное практическое значение.
С теоретической точки зрения аналитические решения задач позволяют выявить характерные особенности и качественные характеристики нестационарных процессов. Кроме того, получение фундаментальных решений для данной геометрической области дает возможность разработки эффективных численно-аналитических методов решения целого класса практически важных задач, с учетом выявленного в ходе аналитического исследования характера процесса.
Аналитические решения плоской нестационарной задачи о действии поверхностных нагрузок на упругий однородный изотропный слой, которым посвящена диссертация, известны только для некоторых частных случаев. Поэто-
му тема диссертации является актуальной как в теоретическом, так и в прикладном отношении.
Целью работыявляется исследование нестационарных задач для упругого слоя под действием поверхностных нагрузок при всех физически возможных сочетаниях граничных условий на граничных поверхностях, в том числе аналитическое построение поверхностных функций влияния, знание которых позволяет с помощью квадратур найти решения для любого вида нагрузок.
Научная новизна. В работе впервыеполучены следующие результаты.
Решены новые нестационарные задачи для однородного упругого слоя при воздействии различных поверхностных возмущений (как силовых так и кинематических) .
Исследованы все возможные сочетания граничных условий. Выявлены физически реализуемые типы и приведены замкнутые математические постановки соответствующих начально-краевых задач.
С помощью интегральных преобразований Лапласа и Фурье и метода их совместного обращения построены аналитические решения задач, в том числе в явном виде найдены оригиналы входящих в изображения функций влияния слагаемых, содержащих одну экспоненту.
Модифицирован и реализован численно-аналитический алгоритм совместного обращения преобразований Лапласа и Фурье в случае наличия слагаемых, содержащих произведение двух экспонент. Он основан на сведении алгебраического уравнения для определения граничных значений вспомогательной функции к задаче Коїли для обыкновенного дифференциального уравнения в комплексной плоскости. Приведены результаты расчетов, показывающие эффективность применения этого метода.
Исследован предельный переход к упругой полуплоскости и акустической среде. Проведено сравнение с известными результатами.
Практическое значение работы. Полученные аналитические решения применены для построения интегральных представлений и граничных интегральных уравнений для решения нестационарных контактных задач, в которых в качестве основания выступает упругий изотропный слой. Кроме того, они также могут быть использованы при тестировании соответствующих численных алгоритмов.
Достоверность результатов обеспечивается корректным использованием законов и уравнений механики деформируемого твердого тела, применением для решения начально-краевых задач строгих математических методов, а также сравнением результатов с известными решениями для частных случаев.
Апробация работы и публикации. Результаты диссертационной работы докладывались на
Международных симпозиумах «Динамические и технологические проблемы механики конструкций и сплошных сред» им. А.Г. Горшкова (Ярополец, Московская обл., 2005, 2006, 2007, 2008, 2009 г.г.);
Всероссийской научно-технической конференции, посвященной 20-летию Нижегородского филиала Института машиноведения им. А.А.Благонравова РАН (Нижний Новгород, 2006 г.);
II Международная конференция «Современные проблемы механики и математики» (Львов, 2008 г.);
научном семинаре им. А.Г. Горшкова «Проблемы механики деформируемого твердого тела и динамики машин» Московского авиационного института (национального исследовательского университета).
Основные результаты диссертации опубликованы в одиннадцати печатных работах, в том числе в одной статье в журнале, рекомендованном ВАК РФ.
Объём и структура работы. Диссертационная работа состоит из введения, четырех глав, заключения, списка литературы и содержит 97 страниц. Список используемой литературы включает 117 наименований.
Постановка задач для поверхностных функций влияния и их классификация
В публикации Кубенко В. Д., Марченко Т. А. [28,29] представлено решение осесимметричной задачи об ударе жестким телом о поверхность упругого слоя. Авторы исследовали влияние многократных отражений волн на деформирование слоя с учетом распространения волновых возмущений как в поперечном, так и в продольном направлениях. Плоскую задачу нестационарного вдавливания затупленного жесткого индентора в поверхность упругого слоя рассмотрели Кубенко В. Д., Марченко Т. А. [30]. В данной работе было получено точное решение, позволяющее определить характер развития и распределения нормального напряжения при заданной постоянной скорости вдавливания индентора в поверхность упругого слоя.
Обзор публикаций, посвященных нестационарным контакным задачам с подвижными границами, а также математические постановки и методы решения можно найти в монографии А. Г. Горшкова и Д. В. Тарлаковского [13].
Вследствие возникающих сложностей, связанных с учетом дополнительной границы, для решения задач о действии нестационарных поверхностных нагрузок на плоский слой, как правило, используются численные или асимптотические методы. Задача об ударе клином по упругому однородному или кусочно-однородному упругому слою сеточно-характеристическим методом решена в работах И. К. Навала и В. К. Римского [48,49], В. К. Римского [57]. В работе Э. В. Ярве [74] исследованы вопросы об ударе гладким цилиндром по кусочно-однородному слою конечной ширины. Численное решение строится на основе вариационного метода с использованием неопреде ленных множителей Лагранжа для учета условий контакта. Применяется сплайн-аппроксимация по пространственным переменным.
В работе DingHaojiang, LiangJian [84] с помощью матрицы перехода из основных уравнений теории упругости для трансверсально-изотропной среды получены разрешающие уравнения в смешанной форме относительно напряжений и перемещений для слоистых конструкций. Далее, с использованием преобразования Фурье и общих решений Zhou и др. авторами найдено решение для слоя при действии на него сосредоточенной силы. В частном случае из этого решения следует решение для изотропной среды. Л. Ю. Кос-сович, А. Н. Кушеккалиев [25] провели детальный анализ различных составляющих решения для нестационарных волн в бесконечном слое при ударном сосредоточенном силовом воздействии нормального типа на лицевые поверхности. Авторами были выявлены асимптотически главные составляющие решения и определены границы их применимости.
Поле Релея в бесконечном упругом слое так же исследовали Л. Ю. Коссович, А. Н. Кушеккалиев [26]. В статье рассматривается нестационарное НДС полосы, возникающее при действии сосредоточенных сил на лицевых поверхностях. Для решения задачи используется метод двойного интегрального преобразования Лапласа по времени и Фурье по продольной координате. Решение анализируется на примере перерезывающего усилия. Приводится формула точного решения для изображения перерезывающего усилия в рамках трехмерной теории упругости. Исследуется волновая составляющая решения, обусловленная поверхностными волнами Релея. Обращение изображения приводится асимптотическими методами.
В работе GaiBing-zheng [89] исследовалось распространение упругих сдвиговых волн в системе, образованной двумя полупространствами, между которыми располагался интерфейсный слой. Задача решалась путем разложения неизвестных функций в ряд Тейлора. Показано, что отраженные и преломленные волны испытывают при распространении в такой среде фазовый сдвиг, а амплитуда этих волн сильно зависит от толщины слоя, свойств среды и угла падения волны. Найдены условия, при которых преломленные волны в верхнем полупространстве становятся поверхностными волнами. Приведен пример расчета волновых полей в интерфейсном слое и в верхнем полупространстве для случая, когда монохроматическая волна, приходящая из нижнего полупространства, падает на нижнюю интерфейсную поверхность под углом 30 градусов.
Плоская задача при гармоническом и нестационарном воздействии на упругий слой, контактирующий через периодическую систему жестких прямоугольных накладок с упругим полупространством была рассмотрена Т. В. Суворовой [67]. Поставленная краевая задача сводилась к бесконечной системе алгебраических уравнений, через решения которой определяется НДС в описанной системе. Предложенный метод решения может быть распространен на более сложные модели, включающие в себя подмодели движущегося транспорта как системы с сосредоточенными параметрами со многими степенями свободы.
В работе Ю. А. Созоненко [64] было исследовано распространение акустических волн в плоском слое методом интегральных преобразований. В результате применения преобразований Лапласа по времени и пространственным координатам задача о распространении акустических волн в плоском слое конечной толщины была сведена к решению системы алгебраических уравнений. Найдены общие зависимости между изображениями искомых функций на поверхностях слоя. Эти зависимости позволяют решать задачи о распространении волн при различных граничных условиях.
Функции влияния 16
Этому варианту по таблице 4 соответствуют условия при к -3 и т = Ъ, что эквивалентно граничным условиям: и\ = О, а 2=0 = 8(x)8(x), а 131 ,=w\ ,=0 (2.36) Данный вариант граничных условий соответствует рисунку 2.3. В пространстве изображений с учетом трансформант дельта-функции Дирака условия записываются так w а а .LF z=0 = 1, W Z.F z=0 .F Z=/i .LF z=h = 0. (2.37) Подставляя сюда равенства (1.23) и (1.24) получаем систему линейных алгебраических уравнений относительно постоянных интегрирования, решая которую находим Л = 1(л g2V B{(q,s) = A2(q,s) = Щ і s%{q\s2){\ + ) , B2{q,s) iq s2k2(q2,s2)(l + %) (2.38) (,V) -2hk Здесь 5»=e—l"»,g=e -2hk ;(,V) С помощью равенств (2.38), (1.23) и (1.24) находим трансформанты перемещений и напряжений. Далее, аналогично 2.1 окончательно получим представление для изображения перемещений и напряжений: і а33 = 5(т)б(х) х і / / / / h / / / / / / / / / і г/ / V/ / / / // і) о о о с О О О О () XXX X X X X ххххххххх z і г Рис 2.3 2 ,2ч, \ uLh (q,s,z) = iq ґe-k\{q\sZ)z +f2ek,(q2,s2)z 1 + S -A2( jrV)z + 2ек2(д У)2 ; (2.39) WSX-Zje q2(e-W wLF(q,stz) Л Л\ґ K2Jl(q2,s1)z+e-kl(q2,s2)z s2 \ + %) 2-2 -+feM«V g) + (2.40) s2k2(q\s2)(\ + & c4F ( z e + е- "»)[- &, ) - g\\ - g)] 2(l + S) q2(geb«i3S) + e uM )(2 - g) 2(1+ё) ; (2.41) aff ($,J,Z) = — /g 2kx(q\s2)& (q2 s2)z -е-кЛд2"2)г) 2 2Г) s [ №) (е 2(М -e-kAq2 s2)z)(k2(q\s2) + q2) (2.42) (1+S) 2.5 Функции влияния Пб Этому варианту по таблице 4 соответствуют условия при к = 4 и т = 2, что эквивалентно граничным условиям: «L = 5(т)5( )» стзз [=0 = зз L = "LA = (2-43) Аналогичным образом определяются константы интегрирования: 2iq% B{{q,s) = г\Щі-$У k3(q2,s2) y\2s2k2(q2,s2){\-%) Ai(q,s) = A2(q,s) 2iq з( 2, 2)Й TlV(l-«) , B2(q,s) = y\2s\{q\s2)(\- ) (2.44)
С помощью равенств (2.44), (1.23) и (1.24) находим трансформанты перемещений и напряжений. Далее, аналогично 2.1 окончательно получим представление для изображения перемещений и напряжений: uLf(q,s,z) = 2 2 Т\ S 2q\& W. 2 )z _е-Ч ? , 2) \ k3(q2,s е-ы«2, 1)Z) (2.45) (1-Й) ,foVXS?e" /,F w (?,S,Z): zg 2 2 Г) ,2 «.2VP2« I(?2. 2)Z + g- i(9V) M) + MgVx&ft(gV) +g MqV) : .2 „2 k2{q\sl){\-%) (2.46) , „2 Он ($, ,z) = /tfg(s + q g) (F2ekM2 $2)z -e kl(q2 s2)z) -l+tf + (& 2ok2{q\S2)z _e k2(q\s2)z 1-Й 2 .2ч. ,. ,2 2ч (2.47) Gn(q,s,z) = nV (1-й) (g2,52)T]V (1-Й) (2.48) 2.6 Функции влияния ІІВ Этому варианту по таблице 4 соответствуют условия при к = 5 и m = 3, что эквивалентно граничным условиям: Используя процедуру определения констант интегрирования, описанную выше, а так же изображений, приведем только результаты расчетов: Bx{q,s) (2.50) kx{q2, s2)(q2 -k2(q2 . ))(i- -If) q2+k2(q2, 2) k,(q2, S2)(q2-k2(q2 s2»0- -) 2iqQ (я2 -k2(q2,s2))(\- ) 2iq Bliq,S) {q -K{q\s )){\- )
С помощью равенств (2.50), (1.23) и (1.24) находим трансформанты перемещений и напряжений. Далее, аналогично 2.1 окончательно получим представление для изображения перемещений и напряжений:
Этому варианту по таблице 4 соответствуют условия при к = 6 и т = 2, что эквивалентно граничным условиям: аіз1=0 = б(ТЖХ) Нг=0 = 0 C h = U\ =h = 0 (2 55) Константы интегрирования в слое для данного варианта записываются так: A{(q,s) = k,{q\s2){q2-k22{q2,s2)){\ + ) т )- т W Ofo "W.OXl + Sf) (2 56) A2(q,s) = - ( - ( 7V))(l + a 2/2 _2\ч/1 , е2\ Bi(q s)=——П7 "2 («ґ- Оґ.ОХі + Ф
С помощью равенств (2.56), (1.23) и (1.24) находим трансформанты перемещений и напряжений. Далее, аналогично 2.1 окончательно получим представление для изображения перемещений и напряжений:
Как известно, соответствующие результаты для акустического слоя могут быть получены из решений для упругой среды при г- оо [13,14]. При этом согласно свойствам акустической среды (отсутствие касательных напряжений и наличие только одного граничного условия по перемещениям) возможными являются только функции влияния 16 (см. табл. 3) и Пв (см. табл. 4). При этом, естественно искать не перемещение, а соответствующую скорость V(X,Z,T) = W[X,Z,T). (2.61) Кроме того, более физично считать, что на верхней поверхности слоя задано давление р(х,0,т) = -а33 ( Дт) = 8(х)8(т). (2.62) Соответствующая связь изображений скорости и перемещения, согласно (2.61), (2.62) и свойствам преобразования Лапласа [14], имеет вид: VLF (q,s,z) = swLF (q,s,z). (2.63) Рассмотрим вариант 16: .3Lo=0 T33L=O=S(T)S(X), а13г=л=4=л=0 Для этого варианта перемещение выглядит так: +2 (l-g)(g - )] D(q\s2, 2) = (l- 22+ 2- )R2_ (2.64) R2_(q2,s2) = k2 - Aq2k k2, k3(q2 ,s2) = 2q2 + TTV k,(q2,s2) = jq2+s2, k2(q2,s2) = Jq2+42s2. Формула для изображения скорости вытекает из (2.63) и (2.64) при г) —»оо. При этом, как следует из (1.19), (1.24) и (2.4), справедливы следующие асимптотические разложения: к2 (q,s) = T[s + 0(rf ), к, (q,s) = г V + 0(1), R2_(q,s) = T]4s4+0(\). Следовательно, (2.65) 2; V - 0, (2.66) Подставляя теперь (2.65) и (2.66) в формулу (2.64), находим lim wLF (q,s,z) = lim T}-»CO - \%(q2,s2) "-)} = Mi1 2) 1-е -гм /П (2.67) k2 (q,s) = x\s + 0{x\ ), къ (q,s) = r\V + 0(l), R2_(q,s) = 44s4+0{\). Используя это равенство получаем окончательное выражение для изображения скорости акустическом слое: LF Vй (q,s,z) = s {q,s,z) = [ «V _ k(q2,s2)z (2.68) Здесь _ К _ „ hk(q2,s2) Л( ) = ( 5), = =е- - . (2.69) Для определения оригиналов используем разложение в степенной ряд: 1 s «=о (2.70) Подставляя это разложение в (2.68), приходим к следующему результату: rLF («V ) VL (q,s,z) 2 Kq ,s) J - («v + -(2ЯА-2)А(?2,І2) -(2/?/H-z)yH?V) (2.71) «=1 Рассмотрим второй вариант граничных условий для акустической среды. Вариант Ив: 13,Ьл 13,/Ья z= few lz=0 = 0, Wkm І =5(т)5(х), 5, z=A &/и г=Л = 0 Аналогично варианту, рассмотренному выше, используя выражения (2.52), (2.63) при г] — оо, а так же выражение (1.19), (1.24) ,(2.4) и используя асимптотические выражения (2.65) - (2.67) получим выражение для изображения скорости акустическом слое:
Оригиналы изображений, содержащих одну экспоненту
Обращение кратных преобразований иногда можно производить последовательно. Однако данный подход далеко не всегда применим, т.к. требует вычисления повторных интегралов, которые не всегда можно вычислить аналитически. Эта ситуация имеет место и для большинства найденных в главе 2 изображений.
Каждый член рядов по экспонентам (2.12), (2.13), (2.18) и (2.19) для этих изображений имеет вид: / ( 5,z1,z2) = G( ,5) (?2 )- );z1,z2 0, (зл) где G(q,s) и показатель экспоненты однородные функции соответственно степени (-1) и 1. Это позволяет с помощью замены q = Xs представить каждый из членов ряда в виде: G(Xs,s)-s x\QC), zxkx{X2s2,s2) + z2k2(X2s2,s2) = sm(X,zx,z2), h0(X) = G(X,l), (o(X,z],z2) = z]kl(X2,l) + z2k2(X2,l).
Здесь h0(X) - рациональная функция от X и квадратных корней кАХ2,\) и к2 (А,2,1). Нетрудно показать, что при этом функция co(A,z,,z2) на действительной оси Im А. = 0 удовлетворяет условиям &\X,zl,z2) = = x\z]k;\X2,\) + z2k-2\X2,\)] 0 (Х 0), ОХ и -1 (3.3) (й(-Х) = &(Х), ю(0) = со0 = z, + z2r\ О, которые гарантируют существование обратных функций на левой (А, 0) и правой ( X 0 ) полуосях. Из (3.2) следует, что функцию (3.1) можно представить так: fLF{q,s,zx,z2) = gL(s)h0(X)e- x \ gL(s) = S-\ (3.4) Для таких изображений может быть использован алгоритм совместного обращения преобразований Лапласа и Фурье [61,55], согласно которому f(x,z],z2,x)= \\m f+(u1,z],z2,x)- f_(C,,z},z2,x) (3.5) Здесь l( 9z2ix)=j-]fF(q9z9x)e- dq{y 0l 1 /_(U,Z2,T) == -г-\Ґ (q,z,T)e- dq (у 0) 271 (3.6) - сужения на верхней и нижней частях комплексной плоскости С, = х + іу построенного с помощью преобразования Фурье аналитического представления функции /(x,z,,z2,x): 2п f( ,zi,z2,x) = -—g(x-(O0) {h0[ k(Cs,zl,z2,x)]i( ,zl,z2,x)} = (3.7) = -—h0[k(Q,z],z2,x-(u0)]i(C),z],z2,x-o}())H(x-(i)0) где звездочка обозначает свертку по времени т,(т) = 8(т),//(т) - функция Хевисайда, a A,( ,Z,,Z2,T-CO0) - неявно задаваемая уравнением co(X,z,,z2) - со0 + iXC, = х (3.8) функция, однозначная ветвь которой выделяется с помощью условий при s 0: q,X = (3.9) О при у О, 0 при у 0. Тогда из (3.5) с учетом (3.7) окончательно получаем: /( ,Z,,Z2,T) = -—[к0[Х+(х,2і,г2, х- со0)]І+ ( ,z„z2,T-a)0) -/20 [?i Д х, zp z2, т - ю J] ;L (С, zp z2, т - ю j} Я (т - со0), ?i±(x,z,,z2,x-co0)= \\m)i( ,zl,z2,x-(u0). (ЗЛО) Введем функцию \I(C!,Z1,Z2,X) = X(C!,Z},Z2,T-(D0). Тогда представление (ЗЛО) записывается так: f(x,zl,z2,x) = -—{h0U(x,z],z2,x)]ii+(x,zl,z2,T) 2пк L J (ЗЛІ) -h0\_[i_(x,z],z2,x)]ii_(x,zl,z2,T)}H(T-G)0), а уравнение (3.8) примет вид [11] (D(p,,z,,z2) + /p. = T. (З Л 2) Далее при х = 0, полагая в (ЗЛ2) С, = х, сводим это уравнение к следующим эквивалентным ему начальным задачам для величин і±: д[і± = іц± і дх (ol(\i±,zl,z2) + ix ±дг=0 0± (ЗЛЗ) С учетом соотношений (3.3), (3.7) и (3.9) их анализ приводит к выводу, что величины и.+ и и_ равно, как и их производные по времени т связаны между собой так: М-- - №+ А- = М-+ (3.14) Последние величины находятся дифференцированием уравнения (3.12) при С, = х: ц±=[ю,(ц±,г1,г2) + /х] . (3.15)
Отметим, что при использовании соотношений (3.14), (3.15) и далее необходимо учитывать, что выделяемые значения корней &, и к2 на берегах разрезов по мнимой оси плоскости \х определяются следующим образом [13] lim к{ (д2,1) = ±iJ-\x2 -1 sign Im i при lmu, l, 2 1—2 Г І І (ЗЛ6) lim k2(\i ,l) = ±iJ-[i -r\ -signlmu. при Imp. r.
Конкретный вид оригинала f{x,zx,z2,i) при использовании формул (ЗЛО) или (3.11) существенно зависит от функции h0(к). 3.2. Оригиналы изображений, содержащих одну экспоненту
В этом параграфе остановимся на методике определения оригиналов, изображения которых содержат одну экспоненту (z, =0 или z2 =0) [36]. В данном случае искомые функции ц+ и \х_ можно определить непосредственно из уравнения (3.12) не сводя его к дифференциальному [34]. Пусть изображение Фурье-Лапласа имеет вид (z, Ф 0, z2 = 0,) fxlF{q,s,zx) = G{q,s)e- (3.17) Тогда, уравнение (3.12) приобретает вид: zx +\-zx+ik = i (3.18) Его решение записывается так: (Г Л _ zYnC + ! л/4- С2 . _ . _ Г2 Л\\Ч»Ъ)- 2 , ґ2 Ml -X + Zl l2 — V ll Z\ (3.19) Необходимую ветвь квадратного корня в (3.19) достаточно определить на мнимой оси плоскости С,, т.е. при С, = іу,и при s 0. Учитывая, что в q,Xx 0 при у 0 и q,X{ 0 при у 0, получаем (верхний знак отвечает у 0, а нижний - J 0 ): tuy + z tf2+y2 2 2 Z, -J \(іул) = Следовательно, для \j/u = argyjtf2 - ( имеют место равенства Vno=VnL= . _ (3.20) Ч у 0, 10, 7 Отметим, что выделенная ветвь корня определена на плоскости с указанным на рис. 3.1 разрезом, соединяющим точки ветвления С, = ±tn. Подставляя теперь (3.31) в (3.19), получаем: (3.33) \± 2 Г is\gwc{zx у]г2 - tx\ - /„ л;) при tu г, +гхф2х -г2 -itux при txx г. Соответствующие значения корня Хх +1 определяются из уравне ния(3.18): (3.34) h\z\ +Мл/г2_ґп ПРИ п r, 2 П 2 tuzx ± глгу?,, - r при ґп г. Предельные значения входящей в формулу (3.17) производной находятся непосредственным дифференцированием функции в (3.33): /signx V7 при ,, г, (3.35) 1+ \±= Л +1 при ,, г. . ЛГп- Кроме того, функция hx(X) может содержать радикалы вида VVW г\, т.е. что для \/12 = arg име у]Х2 +ц2 . Ветвь этого корня выделяется с помощью условия 11елА 0
Упругая полуплоскость
Для слагаемых, содержащих произведение экспонент используется специальная методика [32,41]. В этих случаях для нахождения предельных значений ]х+(х,т)= lim д.( ,т) рассматривается уравнение (3.13). Интегриро вание этого уравнения можно проводить вдоль произвольных кривых, имеющих начальную точку, принадлежащую мнимой оси плоскости комплексного переменного ц и конечную точку, принадлежащую действительной оси. При этом, для получения значения \х+ начальная точка должна принадлежать положительной части мнимой оси, а для ц_ - отрицательной (рис. 3.4). В качестве этих кривых выберем отрезки прямых: (у, - некоторое заданное ненулевое действительное число, положительное, в случае нахождения fi+ и отрицательное в случае ц_ ) С(з)=а +&(і-а),ає[о,і]. (з.9і)
Тогда для функции ц.(&) = Х[ (Э),т-ю0] из (3.13) получаем следующее обыкновенное дифференциальное уравнение ц (0) = -/ц(3) ,Х ІУ , ч. (3.92) Начальное условие ц(0) = ц0, ц0=Х(/ „т-со0) (3.93) A Ітц іу Ц Re i — -іу Рис.3.4 для этого уравнения есть решение уравнения (3.3) при С, - iy, и замене т величиной х-со0: Фо)-т=т- (3-94)
Решение начальной задачи (3.92), (3.93) находилось численно с помощью метода Рунге-Кутта для комплексных дифференциальных уравнений. При этом для искомых предельных значений имеет место равенство Ь±(х,т-0) = ц(1), (3.95) где знакам «плюс» и «минус» соответствуют у, О и у, О в (3.91). Глава 4. Оригиналы поверхностных функций влияния
В данном параграфе найдем оригиналы изображений (2.71) и (2.74) для случая акустической среды. Как видно из структуры изображения (2.71) достаточно вычислить оригинал: fFL(q,s,z)=l- 77e-1 . (4.1) S Он находится последовательным обращением преобразований Фурье и Лапласа с помощью, например, таблиц в [14]: 2 _ 2 sz2K0(sr)--——Kx(sr) fL(x,s,z) = , г = Jx2 + z2 ; (4.2) пг2 f(x,x,z) = -F(t,x,z), p(?,x,z)=-i[(t2-r2)(x2-z2)+rV](T2-r2);3/2, (4.3) где Кп{х) - модифицированная функция Бесселя второго рода (функция Макдональда) порядка п. Используя теперь (4.3), из (2.71) окончательно получаем x V(x,x,z) = dF(T,X,Z) + ]T[ (T,JC,2WA-Z) + F(i,x,2nh + z) \\. (4.4)
В качестве примера проведен расчет скорости V(X,Z,T) В акустическом слое при х = 1 и глубине слоя h = 0.5. (см.рис.4.1). Из графика видно, что волна приходит в момент времени x-yj\,25 =1,1, и далее, отражаясь от нижней поверхности слоя, возвращается в данную точку при т = л/з,25 = 1,8. 69 1, -10 -20 ЗО - 0 K(x,x,z)
Для определения оригинала скорости (2.74) достаточно рассмотреть следующее изображение: fFL(q,s,z) = se- +s\ (4.5) Его оригинал также находится последовательным обращением преобразований Фурье и Лапласа с помощью, например, таблиц в [14]: „2 , „2 fl(x,s,z) = —s2K0(sr), r = Jx2+z2 ; (4.6) nr f(x,x,z) = —F(t,x,z), nr l s l l+l\ (4-7) Используя теперь (4.7), из (2.74) окончательно получаем: V(T,X,Z) = —IF(T,X,Z) + Yj_F(x,x,2nh-z) + F(z,x,2nh + z)]\. (4.8) На рис.4.2 представлен график распределения скорости V{X,Z,T) В акустическом слое при времени т = 1 и глубине h - 0.1. Из графика видно, что волна при данных условиях появляется в точке при х - 0.99. 2D V(x,x,z) 10 5 X 0.5 1. Рис. 4.2 4.2. Упругая полуплоскость
В данном параграфе, с использованием результатов в 3.3, приведены графики функций влияния для полуплоскости. Материал сталь, что соответствует г) = л/3, v = 0.25.
На рис.4.3 приведен результат расчета по формуле (3.7.7) составляющей вертикального перемещения W01(X,Z,T) при х = 0.1 и z = 0.1. Волна растяжения-сжатия приходит в момент времени х = 0.14.
На рис.4.4 показан график распределения составляющей вертикального перемещения w02(x,z,x) В полуплоскости при х = 0.1 и z = 0.1, полученный по формуле (3.88). До момента прихода волны среда находится в невозмущенном состоянии. В момент времени т = 0,24 приходит волна сдвига.
На рис.4.5 показан график распределения вертикального перемещения w0oo(x,z,x) В полуплоскости при х = 0.1 и z = 0.5, которое представляет собой сумму двух вертикальных составляющих w01 (x,z,x) и w02 (x,z,x) .До момента прихода волны среда находится в невозмущенном состоянии. В момент времени т = 0.51 приходит волна растяжения-сжатия, а в момент времени т = 0.88 приходит волна сдвига. 0.5
В данном параграфе представлены результаты расчетов вертикального перемещения в упругом слое для случая граничного условия 1а (см.табл.З) при различных значениях координат и времени.
Вычисление оригинала суммы wLF (q,s,z) ряда (2.10) проводится следующим образом. С помощью алгоритма при фиксированных x,z,x последовательно, начиная с п-0, находятся оригиналы слагаемых wf (q,s,z) и они суммируются. Если при каком-либо п оригинал равен нулю, то на этом суммирование прекращается, поскольку в силу структуры ряда носитель последующего члена является подмножеством носителя предыдущего члена.
На рис. 4.5 показана зависимость перемещения W(X,Z,T)OT времени в точке х = 0.1 и z = 0.S. При этом итерационный алгоритм автоматически остановился при п = 1. Из этого графика видно, что до момента прихода волны среда находится в невозмущенном состоянии. В момент времени X = 0.8 приходит волна растяжения-сжатия. Далее волна доходит до границы слоя, и, отражаясь от ее поверхности, приходит в данную точку в момент времени т = 1.2. Заметим, что к этому моменту волна сдвига отсутствует, она приходит лишь к моменту времени 1 = 1.38. Далее, так же отразившись от поверхности слоя возвращается к моменту времени т=2.08. Разрыв графика в момент времени т = 2.8 показывает, что вернулась отраженная от верхней границы волна растяжения-сжатия.
На рис. 4.6 показано распределение вертикального перемещения w{x,z,x) в зависимости от координаты х при фиксированном х = 2 и глубине z = 0.5. Итерационный алгоритм автоматически остановился при п = \. Данный график позволяет увидеть распространение фронтов падающих и отраженных волн
