Содержание к диссертации
Введение
ГЛАВА 1. Скольжение дислокации в полях внутренних напряжений кристалла под действием внешней нагрузки 17
Введение 17
1.1. Модель дислокации, скользящей под действием случайного внешнего напряжения 17
1.2. Модели внешней случайной силы 20
1.2.1. Случайная сила - "телеграфный" процесс 21
1.2.2. Случайная сила - обобщенный "телеграфный" процесс..22
1.2.3. Случайная сила - "прямоугольный" импульсный процесс фиксированной длительности и случайной амплитуды 23
1.2.4. Случайная сила - "экспоненциальная пила" 24
1.3. Безинерционное пространственно - однородное движение дислокационного сегмента под действием случайной внешней силы 25
1.3.1. Уравнение движения 25
1.3.2. Вероятностные характеристики установившегося движения дислокации в параболическом внутреннем рельефе кристаллической решетки 31
1.3.3. Зависимость динамики дислокации от степени коррелированности случайного внешнего воздействия 33
1.3.4. Зависимость между внешним напряжением и дислокационной деформацией 35
1.3.5. Внутреннее трение 37
1.4. Безинерционное пространственно - неоднородное движение дислокационного сегмента под действием случайной внешней силы 44
1.4.1. Уравнение движения 44
1.4.2. Внутреннее трение 47
1.4.3. Зависимость декремента затухания от вида распределения дислокационных сегментов по длинам 49
1.5.Выводы : 53
ГЛАВА 2. Дислокационное внутреннее трение при случайных внешних воздействиях разного типа 73
Введение 73
2.1. Уравнение движения дислокационного сегмента с закрепленными концами 74
2.1.1. Зависимость декремента затухания от корреляционных характеристик внешней силы 76
2.1.2. Декремент затухания для случайных сил разного типа...78
2.1.2.1. Декремент для случайной силы типа "телеграфного" процесса 78
2.1.2.2 Декремент для случайной силы типа обобщенного "телеграфного" процесса 79
2.1.2.3. Декремент для случайной силы типа "прямоугольного" импульсного процесса фиксированной длительности и случайной амплитуды 80
2.1.2.4. Декремент для внешней силы типа "экспоненциальной пилы" 80
2.1.3. Анализ результатов 81
2.1.3.1. Сучайная сила - "телеграфный" процесс 81
2.1.3.2. Сучайная сила-"экспоненциальная пила" 87
2.1.3.3. Сучайная сила -"прямоугольный" импульс 90
2.1.4. Влияние инерции на движение дислокационного сегмента 96
2.1.4.1. "Телеграфный" процесс 97
2.1.4.2. "Экспоненциальная" пила 97
2.1.4.3. "Прямоугольный", импульс 98
2.2. Уравнение движения дислокационного сегмента со свободными концами. Условия пренебрежения закреплением концов сегмента 99
2.2.1. "Телеграфный" процесс 100
2.2.2. Обобщенный "телеграфный" процесс 101
2.2.3. "Экспоненциальная пила" 101
2.2.4. "Прямоугольный импульс" 102
2.3.Выводы 102
Рисунки к главе 2 105
ГЛАВА 3. Дислокационное внутреннее трение при одновременном действии на дислокацию периодической, постоянной и случайной внешних сил 116
Введение 116
3.1. Уравнение движения дислокационного сегмента с закрепленными концами при одновременном действии на дислокацию периодической, постоянной и случайной внешних сил 117
3.2 Движение дислокации в линейном поле внутренних напряжений кристалла под действием периодической внешней силы 118
3.3. Внутреннее трение при одновременном действии на дислокацию периодической, постоянной и случайной внешних сил 122
3.3.1. "Телеграфный" процесс 124
3.3.2.Обобщенный "телеграфный" процесс 125
3.3.3. "Экспоненциальная пила" 126
3.3.4. "Прямоугольный" импульсный процесс фиксированной длительности и случайной.амплитуды 126
3.4. Обсуждение результатов 127
3.4.1. Случайная компонента внешней силы - "телеграфный" процесс 127
3.4.2 Случайная компонента внешней силы - "экспоненциальная пила" 132
3.4.3. Случайная компонента внешней силы-"прямоугольный "импульсный процесс фиксированной длительности и случайной амплитуды 133
3.5. Выводы 134
Рисунки к главе 3 136
ГЛАВА 4. Параметрическое возбуждение дислокации, находящейся в упругом поле атмосферы точечных дефектов 156
Введение 156
4.1. Уравнение движения дислокации 157
4.2. Анализ решений уравнения движения дислокации 160
4.3. Анализ условия потери устойчивости дислокации, возбуждаемой атмосферой точечных дефектов 167
4.4. Выводы 173
ГЛАВА 5. Нелинейные колебания дислокации в полях внутренних напряжений 175
Введение 175
5.1. Стохастические колебания в детерминированной системе "дислокация - точечные дефекты." 177
5.1.1. Уравнение движения 177
5.1.2. Стохастические автоколебания 183
5.2. Возбуждение периодической внешней силой нелинейных колебаний дислокации в поле внутренних напряжений кристалла 187
5.2.1. Уравнение движения дислокации 187
5.2.2. Нелинейные колебательные режимы 190
5.2.3. Дислокационная петля в кубической потенциальной яме 197
5.3. Выводы 201
Заключение 204
Литература 208
- Безинерционное пространственно - однородное движение дислокационного сегмента под действием случайной внешней силы
- Безинерционное пространственно - неоднородное движение дислокационного сегмента под действием случайной внешней силы
- Уравнение движения дислокационного сегмента со свободными концами. Условия пренебрежения закреплением концов сегмента
- Внутреннее трение при одновременном действии на дислокацию периодической, постоянной и случайной внешних сил
Введение к работе
По мере развития техники расширяется диапазон условий эксплуатации механических свойств кристаллических материалов. Все большую актуальность приобретают исследования поведения материалов в условиях облучения и вибраций. Поэтому проблема диагностики и управления механическими свойствами материалов при комплексных нагрузках остается существенной при решении практических задач разработки и создания энергетических установок (в том числе ядерных).
Многие физико-механические свойства реальных кристаллов невозможно объяснить без учета роли дефектов кристаллической решетки, особенно дислокаций. Подвижность дислокаций определяет такие важные механические свойства кристалла, как пластичность и прочность, исследование которых особенно актуально в настоящее время в связи с необходимостью разработки новых видов конструкционных материалов. Взаимодействие дислокаций с системой точечных дефектов приводит к ряду практически важных явлений (упрочнение и разупрочнение, охрупчивание, распухание), сильно изменяющих эксплуатационные свойства конструкционных материалов. Сложность взаимного поведения дислокаций и точечных дефектов при их взаимодействии друг с другом определяет многообразие физико-механических явлений, наблюдаемых в реальных кристаллах. Выяснение деталей и особенностей взаимодействия "дислокация - точечный дефект" может служить основой создания моделей процессов, происходящих при участии указанных структурных дефектов.
Движение дислокаций под действием внешних напряжений происходит в нелинейных потенциальных полях внутренних напряжений, которые могут быть обусловлены различными причинами: периодическим рельефом самой кристаллической решетки (рельеф Пайерлса-Набарро) и/или другими дефектами кристаллической решетки разных типов (точечными, линейными и т.д.). Внешние напряжения могут быть постоянными или переменными во времени. По своей природе переменные внешние напряжения весьма разнообразны как по происхождению, так и по своему характеру (гармонические, импульсные, случайные и т. д.), форме и частоте изменения. Переменные внешние напряжения возбуждают вынужденные колебания дислокации различной амплитуды. В случае малой, амплитуды колебаний хорошим приближением оказывается линейный силовой закон взаимодействия «дислокация-барьер». Если амплитуда вынужденных колебаний достаточно велика, силовой закон взаимодействия в системе «дислокация-барьер» может быть уже нелинейной функцией положения дислокации.
Воздействие гармонических внешних нагрузок на дислокацию и связанные с таким типом воздействия возможности исследования динамических свойств и внутренней микроструктуры кристаллов изучены довольно подробно [1-14]. Для таких нагрузок детально разработан метод получения информации о характере дислокационного поглощения энергии кристаллом и его дислокационной структуре (метод внутреннего трения) [10-12]. Метод внутреннего трения заключается в исследовании поглощения энергии акустических волн, обусловленного движением дислокаций. Разработан ряд моделей, объясняющих эксперименты по внутреннему трению [1, 5, 6].
Однако, гармонические нагрузки не исчерпывают всего возможного спектра внешних воздействий на материал. В ряде практически важных случаев дислокационная структура кристалла подвергается воздействию именно случайных сил (радиационное облучение, вибрации различной термомеханической природы). Например, в процессе радиационных воздействий на кристалл в нем может образовываться случайный поток упругих импульсов на дислокацию. Случайные потоки формируют переменную во времени силу, действующую на дислокацию. Отклик системы «дислокация-барьер» на воздействие случайных сил будет зависеть как от свойств системы, так и от статистических характеристик результирующей силы, в том числе от ее корреляционной функции. Если случайная сила представляет собой дельта-коррелированный случайный процесс гауссовского типа, то ее воздействие на механическую систему (в том числе на систему «дислокация-барьер») может быть описано в рамках приближения уравнения Эйнштейна - Фоккера [15-17]. Ситуация меняется, если свойство дельта-коррелированности нарушается. В этом случае приближение Эйнштейна - Фоккера некорректно, поведение системы существенным образом зависит от корреляционных свойств случайного внешнего воздействия. Это обстоятельство позволяет использовать дислокационное поглощение энергии случайных акустических волн как дополнительный источник информации о дислокационной структуре кристалла. По сути дела, случайное внешнее воздействие с заранее заданными корреляционными свойствами может быть использовано в экспериментах по внутреннему трению. Необходимо также отметить, что небольшая случайная составляющая внешнего периодического напряжения (вибрационная подгрузка) может неявно реализовываться в эксперименте и даже существенно влиять на его результаты [18].
Воздействие постоянных во времени внешних нагрузок на дислокационную систему кристалла также может приводить к нетривиальному динамическому поведению [19,20]. Характерным примером может служить движение дислокационного сегмента в рельефе Пайерлса-Набарро. Движения подобного типа являются существенно нелинейными, что чрезвычайно затрудняет его анализ. Экспериментальное изучение -нелинейных динамических эффектов при движении дислокаций в настоящее время осложнено недостаточной теоретической проработкой этой темы. Поэтому важной задачей является разработка методов теоретического описания нелинейных колебаний в задачах динамики дислокаций. Это обуславливает актуальность теоретического исследования динамического поведения системы «дислокация - барьер» под действием случайных внешних напряжений различного типа и разработки теоретических подходов к исследованию существенно нелинейного динамического поведения системы «дислокация -барьер».
При исследовании дислокационного поглощения акустических упругих волн широко используется модель дислокации как упругой струны, колеблющейся в потенциальном поле внутренних напряжений под действием распределенной внешней силы. Если силовое взаимодействие в системе "дислокация-барьер" линейно, то процесс колебаний струны описывается известным линейным уравнением гиперболического типа [10]. В случае нелинейного силового поля приходится иметь дело с нелинейным гиперболическим уравнением.
Если внешнее напряжение является случайным процессом, то и смещение дислокации, определяемое решением уравнения колебаний, также является случайным процессом.
В линейном случае за счет представления решения в виде ряда Фурье удается показать, что декремент затухания определяется корреляционной функцией внешнего напряжения [21,22].
Следовательно, именно корреляционные свойства случайного внешнего напряжения определяют поведение дислокационной системы.
Нелинейный случай существенно сложнее. Аналитически здесь можно разобраться, лишь пренебрегая инерциальными эффектами и рассматривая пространственно-однородные движения дислокации. Но и в этом случае можно обнаружить зависимость поведения дислокации от корреляционных свойств внешнего напряжения [23]. Попытки учесть инерционные свойства дислокации, колеблющейся в нелинейном потенциальном рельефе, оказались безуспешными в силу невозможности применения аналитических методов. Более того, задача описания нелинейного движения дислокации далека от своего решения даже в случае периодического внешнего воздействия. Некоторый прогресс в этой проблеме может быть достигнут за счет перехода от описания движения дислокации на языке дифференциальных уравнений к методам теории дифференцируемых динамических систем [24 - 25] Когда говорят, что математической моделью дислокационного вижения служит динамическая система, то предполагается, что движение дислокации рассматривается как движение точки в фазовом пространстве динамической системы, порождаемой уравнением движения дислокации. Точка в фазовом пространстве полностью задает мгновенное состояние дислокации, т.е. ее профиль (форму) и распределение скоростей ее точек. Описание движения с позиций динамических систем является геометрическим в том смысле, что рассматривается семейство (поток) траекторий в фазовом пространстве - геометрическое представление эволюции дислокации во времени.
Внешние неслучайные переменные нагрузки могут возбуждать движения дислокации, обладающие признаками стохастичности.
Возможность возбуждения таких движений основана на нелинейном характере полей внутренних напряжений. Термин «стохастические движения» в отношении детерминированной системы означает следующее. В фазовом пространстве такой системы имеется семейство траекторий, заполняющих ограниченный объем и обладающих сильной неустойчивостью по начальным данным. В результате траектории из этого семейства вынуждены перепутываться. Поведение во времени, соответствующих таким движениям величин (например, значение координаты какой-либо точки дислокации) будет обладать многими признаками реализации случайного процесса [25-26]. Остановимся кратко на структуре.исследования.
В первой главе диссертации дана математическая постановка задачи о движении дислокационного сегмента в упругом поле внутренних напряжений под действием случайной переменной внешней нагрузки. Рассматриваются внешние нагрузки следующих типов: случайные, постоянные и периодические. В качестве процессов, моделирующих внешнее случайное напряжение, используются телеграфный процесс, обобщенный телеграфный процесс, прямоугольный импульсный процесс фиксированной длительности и случайной амплитуды, импульсный случайный процесс с экспоненциальной формой импульса («экспоненциальная пила»). Для случайной внешней нагрузки рассматривается задача получения уравнений для вероятностных характеристик движения дислокации в поле внутренних напряжений. Такие уравнения получены в приближении отсутствия инерциальных эффектов для дислокационного сегмента со свободными концами, возбуждаемого случайной телеграфной силой. Полученные уравнения аналитически решены в предположении стационарности движения дислокации. Проведен анализ вероятностных характеристик установившегося движения дислокации в параболическом внутреннем рельефе кристалла. Показана существенная зависимость динамики дислокации от степени коррелированности случайного внешнего воздействия. Рассмотрены особенности внутреннего трения, обусловленные случайным характером внешней силы для случая свободных и закрепленных концов. Проанализировано влияние вида распределения дислокационных сегментов по длинам на декремент затухания. Проведено сравнение поведения декремента затухания для гармонической и случайной внешних нагрузок.
Вторая глава диссертации посвящена исследованию амплитудно -независимого дислокационного поглощения (внутреннего трения) при совместном действии на дислокацию случайной и постоянной внешних сил. Рассмотрены случайные воздействия разного типа, учтены инерционные свойства дислокации и влияние внутреннего (параболического) потенциального рельефа кристалла. Для дислокационного сегмента со свободными и закрепленными концами получены формулы для декремента затухания при случайных внешних напряжениях разных типов. Полученные выражения являются точными во всем частотном диапазоне в рамках выбранной модели движения. Проанализированы зависимости внутреннего трения от степени коррелированности случайного воздействия, параметров дислокации и среды, соотношения амплитуд случайной и статической нагрузок. Получены условия пренебрежения инерционными свойствами дислокации при расчете декремента. Показано, что эти условия связаны с радиусом корреляции случайной силы. Получены условия влияния на декремент закрепления концов дислокационного сегмента.
В третьей главе диссертации рассматривается дислокационное внутренне трение, обусловленное совместным действием гармонической, постоянной и случайной внешних сил, действующих на дислокационный сегмент с закрепленными концами. С учетом инерционных свойств дислокации для разного типа случайных сил получены формулы для декремента затухания колебаний дислокационного сегмента, -движущегося во внутреннем поле кристалла. Проанализирован вклад в декремент каждой из компонент внешней силы. Показано, что при определенных условиях наличие даже мало амплитудной (по сравнению с периодической) случайной силы принципиально изменяет поведение декремента. Вклад в декремент случайной силы становится доминирующим.
В четвертой главе диссертации рассматривается параметрическое возбуждение дислокационного сегмента атмосферой точечных дефектов, колеблющихся под действием случайной внешней силы телеграфного типа. Показано, что случайный поток импульсов, действующий на атмосферу точечных дефектов и распространяющийся перпендикулярно плоскости скольжения дислокации, может при определенных условиях возбуждать систему "дислокация - атмосфера точечных дефектов" и приводить к ее развалу. Получены условия параметрического возбуждения, которые соответствуют условиям потери устойчивости положения дислокационного сегмента в глубине потенциальной ямы, сформированной точечными дефектами.
Таким образом, потеря устойчивости происходит за счет подкачки энергии через атмосферу, а не за счет непосредственного воздействия внешнего напряжения на дислокацию.
Параметрическое возбуждение можно рассматривать как один из возможных механизмов преодоления дислокациями локальных препятствий (разупрочнения), не связанный с действием температурного фактора.
В пятой главе диссертации рассматриваются динамические эффекты, возникающие из-за нелинейного характера силового взаимодействия "дислокация - барьер" при действии постоянных и периодических внешних нагрузок. Исследованы следующие задачи.
1. Надбарьерное вязкое движение дислокации, взаимодействующей с подвижными точечными дефектами, находящимися в периодическом потенциальном внутреннем рельефе, при действии на систему "дислокация - точечные дефекты" постоянной внешней нагрузки. Скользящая дислокация увлекает за собой ансамбль точечных дефектов.
Показано, что при определенных условиях внешняя постоянная нагрузка может возбуждать устойчивые стохастические автоколебания в детерминированной системе «дислокация - точечные дефекты». В фазовом пространстве системы указанным сложным движениям соответствует аттрактор Лоренца.
2. Колебания под действием периодической внешней нагрузки дислокационного сегмента в нелинейном упругом поле, сформированном системой жестко закрепленных точечных дефектов.
Показано существование у дислокации множества устойчивых колебательных режимов (динамически равновесных состояний - ДРС), обусловленных непараболичностью полей внутренних напряжений. Число возникающих под действием периодической силы ДРС определяется нелинейным потенциалом взаимодействия "дислокация - барьер", величиной вязкости и видом периодического внешнего напряжения. В каждом таком колебательном режиме из-за нелинейного характера потенциала устанавливается равновесие между подводом энергии за счет периодической силы и диссипации энергии за счет вязкого торможения. Энергия ДРС является промежуточной по отношению к высоте активационного барьера между устойчивым и неустойчивым положением дислокации.
В заключении диссертации сформулированы основные результаты работы.
Все встречающиеся в тексте значения физических величин приведены в системе СГС.
Безинерционное пространственно - однородное движение дислокационного сегмента под действием случайной внешней силы
Уравнение (1.1) относится к классу уравнений со случайными параметрами. Это означает, что любое его решение зависит от конкретной реализации случайного слагаемого y(t). Таким образом, решение u(x,t) есть реализация случайного процесса. Следовательно, для описания поведения решений уравнения (1.1) необходимо знать вероятностные характеристики случайного процесса u(x,t). Получение таких характеристик в общем случае (произвольный вид g(u) и ,(t)) сложная и до сих пор не решенная задача. Однако, в ряде специальных случаев удается перейти от уравнения (1.1) к замкнутой системе уравнений относительно вероятностных характеристик процесса u(x,t). В частности, это можно сделать в случае пространственно -однородного движения дислокационного сегмента под действием случайной внешней силы- телеграфного типа, пренебрегая инерционными свойствами дислокации. Рассмотрим дислокационный сегмент длины L со свободными концами. Анализ движения удобнее проводить, перейдя к безразмерным координатам где а-постоянная кристаллической решетки, t0-постоянная, введенная для того, чтобы выражение aA,trt0 имело размерность времени. Безразмерная форма уравнения движения (1.1) будет иметь вид (Приложение 2): Пренебрежение инерциальными свойствами дислокации эквивалентно исключению члена, описывающего инерцию в уравнении (1.8) (т.е. є = 0). Кроме того, данная процедура может применяться при построении начального приближения для решения сингулярно возмущенного уравнения (1.8) в случае, если є« 1 [31]. (Например, параметры m 10" г/см, а-10" см, 10" г/(см-сек), t0 1сек /г реализуют случай є « 1).
Таким образом уравнение, описывающее движение дислокации под действием постоянной и случайной внешних нагрузок в однородном поле внутренних напряжений, преобретает вид Рассмотрим пространственно - однородное решение уравнения (1.9), т.е. выделим для анализа такие движения дислокации, для которых ди — = U (дислокаци не меняет своей формы). В этом случае уравнение дх. Выделение пространственно - однородных решений уравнения (1.9) и исследование динамики уравнения (1.10) важно по нескольким причинам: во-первых, если є2 1» ПРИ рассмотрении поведения дислокации можно ограничится только пространственно однородными решениями, т.к. пространственные неоднородности быстро релаксируют из-за большой величины s2 ("жесткая" дислокация), во-вторых, в случае г2«1, уравнение (1.10) является основой для построения нулевого приближения при разложении решений сингулярно возмущенного уравнения (1.9) в ряд по степеням Исследуем уравнение (1.10) вместе с начальными условиями Введем функцию cpt(u) = 5[u(t)-u], удовлетворяющую уравнению Лиувилля [15, 30] Здесь 5 - дельта - функция, u(t)-решение уравнения (1.11), соответствующее конкретной реализации процесса r(t). Тогда pj.(u) = /q t(u)\ - это плотность вероятности решения уравнения (1.11). (Действительно, по определению среднего значения cpt (u)) = 5[u(t) - и] = X tUj (t) - и] р; = pt (и), где Uj(t) - решение і уравнения (1.11) с весом pi. Знак ) означает среднее по ансамблю реализаций случайной силы Tj(t)). Усредним уравнение (1.12) по ансамблю реализаций случайных функций Tj(t).
В результате получим Величину (pt(u) можно рассматривать как функционал от T(t). Воспользуемся формулами дифференцирования корреляции функционалов [15] Подставляя —- из (1.12) в (1.14), получаем dt Учтем, что для телеграфного процесса Т (t)=l, тогда Введем вспомогательную функцию t(u) = (r(t) 9t(u)). Объединение выражений (1.13) и (1.15) приводит к замкнутой системе уравнений для плотности вероятности pt(u) Начальные условия для системы (1.16) преобразуются к виду Рассмотрим стационарные решения системы (1.16), что соответствует установившемуся процессу движения дислокации. Для стационарного распределения плотности вероятности получается следующая система уравнений
Безинерционное пространственно - неоднородное движение дислокационного сегмента под действием случайной внешней силы
Безразмерное уравнение, описывающее движение дислокации, имеет вид Решаем задачу (1.46)-(1.47) методом Фурье. В качестве пространственных мод выберем u„(x,t) = Fn(t)sin7tnx с неизвестной амплитудой Fn(t). Ищем решение u(x,t) уравнения (1.46) в виде наложения таких пространственных мод: Т.к. каждая пространственная мода удовлетворяет краевым условиям (1.47), то и u(x,t) удовлетворяет этим условиям. Подставив ряд (1.48) в уравнение (1.46), получим Из (1.49) находим, что для п -четных Fn(t) = Aexp(-(3t). Здесь A=const, (3 = [є2(7ип) + 5-ка]. Видно, что при t — со Fn(t)-»0. Поэтому с течением времени решение уравнения (1.49) вида Fn(t) = Aexp(-pt) затухает. Следовательно, для установившегося режима движения дислокации Fn (t) = 0 при четных п. Поведение системы (1.49) при нечетных п описывается уравнением: Таким образом, для амплитуд Fn(t) пространственно-неоднородного решения u(x,t) (1.48) безразмерного уравнения (1.46) получили уравнение, аналогичное уравнению (1.10) из раздела 1.31, которое описывает пространственно-однородное движение дислокации. Уравнение (1.10) переходит в (1.50) при следующей интерпретации параметровАнализ каждого из уравнений (1.50) проводится методом, изложенным в разделе 1.3. В результате для каждого п можно вычислить величину p"(un) -распределение плотности вероятности амплитуды Fn(t) п-ой гармоники разложения (1.48). Плотность распределения величины u(x,t) можно вычислить, зная совместное распределение величин Fn(t). Однако, для различных значений п величины Fn(t) статистически зависимы.
По этой причине совместное распределение величин Fn(t) не может быть выражено только через распределения р" (un). Для изучения поглощения при движении дислокационного сегмента с закрепленными концами используем выражение (1.32) для средней энерги, диссипируемои дислокационным сегментом в единице объема при установившемся режиме движения дислокации. Предварительно разложим выражения для внешней силы и скорости дислокации в ряд Сравнивая выражения для декремента затухания дислокации с закрепленными концами (1.53) и дислокации со свободными концами(1.34), можно сделать следующий вывод: Оценки, проведенные с использованием типичных значений параметров дислокации и внутреннего рельефа решетки, показывают: І.Для коротких дислокаций (L 10 5CM) И мягкого внутреннего ансамбль дислокаций разной длины, то очень короткие дислокации, движущиеся под действием случайной силы в мягком внутреннем рельефе вклада в декремент затухания практически не дают. 2. Для более длинных дислокаций (L 10-4 см) и жесткого рельефа (к 10 ) при любой константе демпфирования A,tr и v thx . _ выполняются условия х»1 и 0. В этом случае X А -»Асвободные концы- Декремент затухания для дислокации с закрепленными концами почти такой же, как и для дислокации со свободными концами. -, 2vA,tr+bK thx З.В промежуточном случае, когда х= — 1, 0 1 и V 4T0L"2 х закрепл. концы свободные концы Из (1.54) видно, что в случае дислокации с закрепленными концами, в отличие от дислокации со свободными концами, существует зависимость декремента затухания от длины дислокации. Рассмотрим, как зависит вид и величина декремента затухания от распределения дислокаций по длинам. Подставляя выражение (1.36) в (1.53), для декремента затухания получаем соотношение: Воспользовавшись разложением функции —-— в ряд при больших и х малых значениях аргумента [34], получим выражения для декремента затухания в предельных случаях:
Видно, что при малых длинах L0 дислокационных сегментов поведение и величина декремента определяется только упругими свойствами дислокации Т0 и не зависит от трения XtT, частоты внешней силы v и жесткости потенциального барьера к. Как следует из (1.55), для сегментов малой длины декремент затухания квадратично зависит от длины дислокации А L0. более медленно, чем в предыдущем случае. Как видно из (1.56), для очень длинных дислокаций Т (L0»2J ) декремент перестает зависеть от длины (2vA,tr 4- Ьк) дислокации и имеет такую же величину, как и в случае дислокации со свободными концами (1.37). Зависимость декремента от длины дислокации при разных значениях параметра к представлена на Рис. 4. Видно, что для коротких дислокаций декремент растет с ростом длины, а затем достигает насыщения. Причем, чем жестче (больше к) поле внутренних напряжений, в котором движется дислокация, тем при меньших ее длинах декремент достигает насыщения. В этом случае расчеты приводят к следующему выражению для декремента затухания
Уравнение движения дислокационного сегмента со свободными концами. Условия пренебрежения закреплением концов сегмента
Если время затухания собственных колебаний дислокации гораздо меньше длительности импульса, т. е. выполняется соотношение то при любом демпфировании инерционные свойства дислокации не оказывают влияния на декремент. Если упомянутые выше времена одного порядка (—— 1), то пренебречь инерционными свойствами дислокации можно только в случае большого демпфирования (D2«l). Подводя итог рассмотрению вопроса о влиянии инерции на декремент, можно сделать следующие выводы: /. При воздействии на дислокацию сильно коррелированной внешней силы любого из рассмотренных выше типов, инерционные свойства дислокации не проявляются. 2. Сравнение условий проявления инерционных свойств дислокации показывает, что, изменяя тип случайной силы, действующей на дислокацию (при фиксированных параметрах дислокации и среды (т., L, ltr), можно управлять процессом влияния инерционных свойств дислокации на декремент затухания. 2.2. Уравнение движения дислокационного сегмента со свободными концами.,. Условия пренебрежения закреплением концов сегмента. Рассмотрим движение дислокации со свободными концами под действием постоянной и случайной внешних сил. В этом случае смещение дислокации описывается уравнением (2.1) с граничными условиями (1.3). Решение уравнения движения с учетом граничных условий ищем в виде следующего разложения: Разложение в ряд косинусов свободных членов уравнения (2.1) дает Учет соотношений (2.50) и (2.51) приводит уравнение (2.1) к виду
Как и для дислокации с закрепленными концами, стационарное движение в этом случае описывается уравнением (2.53). Уравнение (2.52) соответствует переходному режиму. Таким образом, при установившемся режиме движения смещение дислокации представимо в виде u(x, t) = F0 (t)/2. Откуда следует, что смещение не зависит от пространственной переменной, т.е. дислокация движется как "жесткая" палка. Уравнение (2.53) решается аналогично уравнению (2.5) с точностью до замены членов теп m теп и 2br(t), соответственно, в уравнении (2.53). Вычисления декремента затухания, аналогичные выполненным в части 2.1., приводят к следующим выражениям для декремента. Устремляя в (2.54) массу к нулю (т—»0), получаем выражение (1.37), описывающее поведение декремента при безинерционном движении дислокации. Как уже отмечалось в 2.1.4.1.3., эти условия реализуется не только для очень длинных дислокаций, но и при движении дислокации в жестком рельефе (к 1015 г/(сек-см)2) при любом трении для всех длин дислокационных сегментов больших L = 102Ь. Такие условия могу реализовываться и для движения дислокации в более мягком рельефе при определенных соотношениях между длиной дислокации и коэффициентом трения. По результатам Главы 2 можно сделать следующие выводы: 1. Получены точные формулы (2.12), (2.15), (2.16), (2.19) для декремента затухания при совместном действии на дислокацию, находящуюся во внутреннем потенциальном рельефе, статической нагрузки и случайной силы разных типов. 2. Показано, что дислокационное внутреннее трение при случайной внешней нагрузке обладает следующими особенностями: Поведение декремента во многом определяется корреляционной функцией случайной силы. Важной характеристикой, определяющей поведение декремента, является степень коррелированности случайной силы. Под степенью коррелированности понимается величина, характеризующая убывание корреляционной функции. Для "телеграфного" и обобщенного "телеграфного" процессов эта величина определяется параметром v, для "экспоненциальной пилы" - параметром а, для импульсного процесса длительностью 5. Чем более коррелированно внешнее воздействие, тем большую величину имеет декремент.
Если степень коррелированности превышает пороговое значение, то декремент теряет зависимость от типа случайного процесса. При этом, декремент не зависит от частоты случайной силы, коэффициента динамического трения и инерционных свойств дислокации. Пороговое значение степени коррелированности определяется типом процесса, моделирующего случайную силу, и параметрами задачи. Если статическая нагрузка доминирует, т.е ее величина много больше амплитуды (дисперсии) случайного воздействия, внутреннее трение становится чувствительным к амплитуде внешнего напряжения. Появляется зависимость декремента от квадрата отношения амплитуды (дисперсии) случайной составляющей внешнего напряжения к величине постоянной подгрузки. Закономерности энергетических потерь за счет возбуждения дислокационной структуры при случайном внешнем воздействии существенно отличаются от таковых при гармоническом воздействии: а). В низкочастотной области между внутренним трением и частотой нет линейной зависимости, в отличие от классического случая гармонического воздействия на дислокацию, исследованного Гранато-Люкке. Величина декремента в этой области значительно выше, чем при периодическом воздействии. б). Зависимость декремента затухания от длины дислокационного сегмента при случайном внешнем воздействии может быть разной, что также отличает ее от случая гармонического воздействия (где А L ). с). При действии на дислокацию случайной внешней силы возможно существование не зависящего от амплитуды случайной силы поглощения, которое не зависит также от частоты. Однако,
Внутреннее трение при одновременном действии на дислокацию периодической, постоянной и случайной внешних сил
До сих пор мы не конкретизировали вида случайной составляющей, поэтому формула (3.14) определяет декремент затухания для произвольного вида случайной составляющей внешней силы. Теперь получим выражения для случайной компоненты совместного декремента затухания, если на дислокацию действует случайная сила одного из следующих типов: "телеграфного" процесса, обобщенного "телеграфного" процесса, "прямоугольного" импульсного процесса фиксированной длительности и случайной амплитуды, "экспоненциальной пилы". С учетом вида корреляционной функции телеграфного процесса получается следующее выражение для случайной составляющей совместного декремента затухания: Внутренне трение определяется множеством параметров (L, v, со, Ar, a0/d0). В зависимости от их соотношения наблюдается самое разнообразное поведение декремента. Приведенные выше выражения для внутреннего трения (3.14), (3.18) при низких частотах периодической силы (где как со2/По«1, так и co"A,tr /(m Q0)«l) и частотах случайной силы, удовлетворяющих условию v vcr = — (-1 + л/1 + D ), имеют более простой вид. Если пренебречь влиянием поля внутренних напряжений (Ьк«coAr), то в низкочастотной области декремент выглядит следующим образом: Пусть внешней постоянной подгрузки нет и амплитуда случайной силы много меньше, чем периодической, т.е. выполняются условия В этом случае формула (3.25) приобретает вид Если полем внутренних напряжений пренебречь нельзя (Ьк»соА,1г) и имеют место наложенные выше ограничения на амплитуды, то в низкочастотной области вид декремента будет таким: В зависимости от соотношения величины жесткости внутреннего рельефа и упругости сегмента возможна разная зависимость декремента от длины дислокации:
Если внутренний рельеф, в котором движется дислокация, мягкий (Ьк«Т0(7г/Ь)2), декремент описывается выражением Если выполняется условие Ьк То(тс/Ь) , то лучайная компонента декремента растет с ростом длины дислокации При очень жестком рельефе (Ьк»Т0(ті/Ь) ) для декремента получается выражение В этом случае случайная компонента декремента не зависит от длины. Таким образом, низкочастотное внутреннее трение состоит из двух различных компонент, -. одна из которых - периодическая пропорциональна L4 -со, а другая - случайная - обратно пропорциональна со и сложным образом зависит от длины. На Рис. 16-21 представлены зависимости, полученные с использованием соотношений (3.15) и (3.20). Показан вклад периодической и случайной компонент внешней силы в зависимость декремента от частоты периодической силы при фиксированном значении частоты случайной компоненты. Приведены результаты расчетов для малоамплитудной (oo/do«l) случайной подгрузки. (На этих и всех последующих рисунках частота периодической составляющей отнесена к основной резонансной частоте, а декремент нормирован множителем 7iGb ЛЬ /2Т0 ). По сравнению с возбуждением только периодической внешней силой, рассматриваемый случай характеризуется рядом особенностей. Зависимость от частоты в низкочастотной области имеет немонотонный характер, в отличие от линейной зависимости, даваемой формулами Гранато-Люкке [1]. Кроме того, величина декремента в этой области значительно выше, чем при периодическом воздействии. Основной вклад в декремент в области низких частот дает случайная составляющая внешней силы. При приближении к резонансной области влияние случайной составляющей ослабевает, и основной вклад в декремент вносит периодическая компонента. Чем более высокочастотной является случайная компонента, тем при меньшей амплитуде заметно ее влияние на декремент и тем шире интервал частот, где ее вклад в декремент доминирует (Рис. 16-19). Существуют низкочастотные области (Рис. 20), в пределах которых декремент слабо зависит от частоты (например, на частотах -500 гц и в килогерцовом диапазоне величины А одного и того же порядка). Учет поля внутренних напряжений уменьшает величину декремента и расширяет область влияния случайной составляющей внешней силы (Рис.21).
Интересно рассмотреть характер частотного поведения декремента при условии, что частота малоамплитудной случайной составляющей внешней силы v меняется пропорционально частоте периодической составляющей со, т.е. v/co = const. Характерные зависимости декремента А от частоты со периодической составляющей внешней силы при фиксированном отношении v/co показаны на Рис. 22 - 26. Можно отметить следующие интересные особенности частотного поведения декремента (Рис. 22 - 25). В области низких частот декремент определяется случайной силой и не зависит от частоты периодической составляющей. В этом случае, если частота случайной силы v меньше vcr, то декремент не зависит от v, трения ktr и массы дислокации. В резонансной области периодическая сила вносит основной вклад в величину и поведение декремента. В высокочастотной (зарезонансной) области обе составляющие внешней силы могут определять вид частотной зависимости декремента (Рис. 23, 24, 25). Влияние какой силы доминирует в зарезонансной области зависит от соотношения параметров L, A,tr, v/co и ao/do. Рис. 22 - 24 иллюстрируют влияние величины константы демпфирования D. При малом демпфировании (D»l) (Рис.22) случайная сила определяет поведение декремента вплоть до резонансной частоты. С увеличением константы демпфирования (Рис. 23, 24) происходит сужение области доминирования случайной силы и сдвиг ее во все более низкие частоты.
Поэтому, чем длиннее дислокационный сегмент и больше трение, тем в более низкочастотной области проявляется влияние случайной нагрузки. Графики зависимости декремента от частоты при разных значениях отношения v/co представлены на Рис.26. Если v/co l, то в области резонанса и зарезонансном диапазоне величина и поведение декремента определяются периодической составляющей внешней силы (Рис. 26 кривая Л1). Если v и со одного порядка (v/co 1), в области резонанса основное влияние на декремент сохраняет периодическая сила, однако величина и поведение декремента в высокочастотной области может определятся как случайной (Рис. 22, рис. 26 кривая A3), так и периодической (Рис. 23,24) силой. При v/co 1 высокочастотное внутренне трение может полностью определятся случайной силой и в определенной частотной области быть независимым от частоты периодической силы (Рис. 25 кривая Д1, Рис. 26 кривая А2). До сих пор рассматривалось влияние малоамплитудной случайной составляющей внешней силы. На Рис. 27 - 28 показаны частотные зависимости декремента при действии на дислокацию дополнительной низкочастотной (v«со) случайной подгрузки
