Содержание к диссертации
Введение
ГЛАВА I.МЕТОДЫ РЕШЕНИЯ НЕСТАЦИОНАРНЫХ ШАМИЧЕСКИХ ЗАДАЧ ЛИНЕЙНОЙ ВЯЗКОУПРУГОСТИ 18
1. Методы решения нестационарных динамических задач линейной вязко упругости
2.Действие Сосредоточенных сил
Выводы 94
ГЛАВА II.ОДНОМЕРНЫЕ ТЕРМОВЯЗКОУПРУГИЕ ВОЛНЫ 97
3. Несвязанная задача [173] 97
4.Связанная задача
Выводы
ГЛАВА III.НЕСТАЦИОНАРНЫЕ ВОЛНЫ В ЦИЛИНДРАХ И КОНУСАХ .
5. Динамическое кручение цилиндрических и конических стержней 21
6.Продольный удар по стержням кругового и некругового поперечных сечений [1571183} 172
Выводы 200
ГЛАВА ІV.ДИСПЕРСИЯ ГАРМОНИЧЕСКИХ ВОЛН В ПОРИСТЫХ ВЯЗКОУПРУГИХ МАТЕРИАЛАХ 203
Выводы
ЗАКЛЮЧЕНИЕ
ТАБЛИЦЫ И ГРАФИКИ ДО
ЛИТЕРАТУРА І . ГЪН
- Методы решения нестационарных динамических задач линейной вязко упругости
- Несвязанная задача
- Динамическое кручение цилиндрических и конических стержней
Введение к работе
Изучая распространение волн в неограниченной упругой изотропной среде,Пуассон и Остроградский доказали существование двух типов волн,которые на большом расстоянии от источника возмущения можно считать,соответственно,продольными и поперечными.Они пользовались методом,состоящим в синтезе решений простого гармонического типа,и получили решения,определяющие смещения в любой момент по заданному начальному распределению смещений и скоростей.Эти исследования впоследствии продолжались Стоксом,который показал, что два типа волн Пуассона суть волны безвихревого расширения-сжатия и волны равнообъємного искажения формы .Поздние исследования Релея показали,что кроме волн расширения и искажения существует еще третий тип волн,распространяющийся по свободной поверхности. Скорость распространения волн этого типа меньше скоростей распространения волн других двух типов,а энергия,которую эти волны несут,сконцентрирована у граничной поверхности и рассеивается по ней.Исследовав распространение волн в слое.лежащем на упругом полупространстве,Ляв показал,что поверхностные волны могут быть связаны как со свободной границей,так и с границей раздела .сред. Волны лява,отличаясь от релеевских волн своим чисто поперечным характером и наличием дисперсии,заключающемся в зависимости фазовой скорости от частоты,имели тем не менее с ними много общих черт.Как и в релеевских волнах,в волнах Лява энергия концентрируется вблизи свободной поверхности,и поэтому они затухают медленнее, чем другие волны.Существование еще одного типа поверхностных волн,распространяющихся вдоль поверхности раздела двух жестко связанных полупространств,было доказано Стоунли.Скорость распростра- - h - нения волны Стоунли заключается между скоростями волн Релея и волной сдвига в среде с меньшими скоростями.В отличие от волны Релея волны Стоунли существуют лишь в определенной области упругих параметров.
Таким образом,введением даже простейшей плоской границы в упругой изотропной среде,где нет характерного размера и,следовательно,нет дисперсии,дополнительно порождаются очень важные поверхностные волны.Появление таких дополнительных эффектов связано с удовлетворением граничных условий,которые намного усложняют исследование задач.В этой связи очень интересными оказались исследования Похгаммера и Кри,относящиеся к распространению гармонических волн в бесконечно длинных круговых стержнях.Важная особенность кругового стержня заключается в том,что при помощи соответствующего разделения уравнений удается выделить продольные,из-гибные и крутильные волны.Выяснилось,что за исключением простейшей формы крутильной волны,все эти волны обладают дисперсией. Классические результаты исследований этих проблем изложены в монографиях Г.Кольского [ДЗ] ,Р.М.Дейвиса [8] и в книге А.Лява [17]. В дальнейшем проблемы распространения гармонических волн в стержнях с различными поперечными сечениями исследовались многими авторами.В работе [743 исследована дисперсия продольных волн в толстостенном полом цилиндре,рассмотрены случаи длинных и коротких по сравнению с радиусами и толщиной цилиндра волн,получены уравнения для волн,длины которых гораздо меньше радиусов,но отношение их к толщине цилиндра произвольно.
Сложность получающихся дисперсионных уравнений для кругового стержня не позволяет проследить за распространением импульса в таком стержне и требует использовать для этой цели либо более простые приближенные теории,либо приближенные математические подходы. Однако дисперсионные диаграммы,получаемые путем точного анализа (в рамках линейной теории),служат критерием для оценки эффективности различных приближенных методов,используемых в анализе стержня.Важное решение,основанное на точных уравнениях теории упругости, было получено в работе [152] для случая продольного соударения двух полубесконечных круговых стержней с плоскими торцами. Показано,как выразить поле смещений через гармонические составляющие в случае смешанных условий на торце,а именно,условий продольного удара.При этом переменные поля на удалении от места удара определялись асимптотическим методом.Этим же методом в работе [140] исследована задача о распространении нестационарных волн в полубесконечном упругом цилиндре,к концу которого прикладывается переменное давление.Следует отметить,что во всех этих решениях результирующие интегралы настолько сложны,что до настоящего времени была выполнена лишь асимптотическая оценка решения на больших расстояниях от торца стервня и для малых значений времени.
Как отмечалось,крутильные волны в круговом стержне .... обладают дисперсией.Этот факт дал возможность найти точные решения задачи о распространении нестационарных сдвиговых волн в полубесконечных цилиндрах при условии,что на торце задано либо тангенциальное смещение,либо крутящий момент,не зависящий от угловой координаты [94,137,142,148].Особенность этих задач,поддающихся сравнительно простому математическому анализу,заключается в том, что здесь метод разделения переменных согласуется с граничными условиями на боковой поверхности цилиндра.В результате задача приводится к задаче на собственные значения,решение которой включает суперпозицию бесконечного числа решений,каждое из кото- рых соответствует какой-либо из форм свободных колебаний и связанным с ним значением частоты.Этим же методом в [104,143] соответствующая задача решена для полого полубесконечного цилиндра, в [41] для сплошного цилиндра при условии,что на боковой поверхности имеется сосредоточенное кольцевое препятствием в [42,76] -для неоднородных цилиндров.
Указанные особенности крутильных волн в цилиндрах имеют мес-то и для конических стежнеи при условии,что торцы конуса совпадают с одной из координатных поверхностей в сферической системе координат .Такого рода задачи для полубесконечных и конечных упругих конусов исследованы в работах [43,73,147] ,причем в [43,73] на сферических торцах задается смещение,а в tl47] - касательное напряжение.В [73,147] решения найдены для малых и больших значений времени;подробно исследовано элементарное решение,соответственно которому каждое сферическое сечение,оставаясь таким же,поворачивается вокруг оси конуса.В [43] построено точное решение соответствующей задачи для конечного конуса при условии,что на одном торце задано перемещение как произвольная функция угловой координаты и времени,а другой торец закреплен.
Одна из интересных неодномерных нестационарных задач для упругого полупространства была опубликована Лембом в 1904г.Он рассмотрел эффект начального возмущения,ограниченного некоторой областью на границе или вблизи нее,и показал,что на некотором расстоянии от источника возмущения начинается по истечении промежутка времени,необходимого для распространения волны объемного расширения.Далее движение начинается по истечении промежутка времени, соответствующего распространению волны сдвига,и,наконец, возмущение с гораздо большей амплитудой начинается по истечении - г - промежутка времени,соответствующего распространению волны Релея. Впоследствии эта задача заново решена С.Л.Соболевым методом функционально-инвариантных решений [115] и Г.М.Петрашенем с его учениками методом интегральных преобразований [95-97,101] .Интегральные преобразования успешно были применены Г.И.Петрашенем и его учениками и в задачах о нестационарном колебании упругого шара [98-101] .
Отметим,что развитие динамических задач механики деформируемых тел неразрывно связано с.именами выдающихся советских ученых А.А.Ильюшина,А.Ю.Ишлинского,В.В.Новожилова,Ю.Н.РаботноваД.А.Рах-матулина,Л.И.Седова,В.И.Смирнова,С.Л.Соболева,В.В.Соколовского. Дальнейшему развитию этой теории способствовали фундаментальные исследования советских ученых В.М.Бабича,В.В.Болотина,А.С.Вольми-ра,И.И.Воровича,А.Л.Гольденвейзера,А.Г.Горшкова,Э.И.Григолюка, С.С.Григоряна,А.Н.Гузя,Н.В.Зволинского,К.А.Керимова,И.А.Кийко, В.С.Ленского,С.И.Мешкова,У.К.Нигуля,Л.В.Никитина,П.М.Огибалова, Г.И.ПетрашеняД.Р.Ржаницьша,П.Ф.Сабодаша,А.Я.Сагомоняна,Л.И.Сле-пяна,В.П.Тамужа,Л.А.Толоконникова,И.Г.Филиппова,Г.С.Шапиро,Е.И.Шер-мана и многих других.
Развитие современной техники вызвало интенсивное применение полимерных и других материалов с ярко выраженными реологическими свойствами.Изучение таких материалов и анализ их применения в промышленных сооружениях и машиностроении показали необходимость использования в расчетах на прочность соответствующих конструкций методов теории упругости и вязкоупругости.Хотя основы современной теории вязкоупругости были заложены еще в классических трудах Больцмана И Вольтерра,бурное ее развитие началось с шестидесятых годов.В разработку этой теории большой вклад внесли советские уче- ные Н.Х.Арутюнян,А.А.Ильюшин Д.Ю.Ишлинский^.А.КолтуновД.К.Мал-мейстерЗ.В.МосквитшьП.М.Огибалов^.Е.Победря^.Н.РаботновД.Р. Ржаницын,М.И.Розовский,Г.Н.Савин и их сотрудники.За короткий период опубликованы монографии А.А.Ильюшина и Б.Е.Победри [10] , М.А.Колтунова [12],А.К.Малмейстера,В.П.Тамужа и Г.А.Тетерса [19], В.В.Москвитина [20,21],П.М.Огибалова,Н.И.Малинина,В.П.Нетребко и Б.П.Кишкина [24],П.М.Огибалова,В.А.Ломакина и Б.П.Кишкина [25], Ю.Н.Работнова [28,291,А.Р.Ржаницына [33] и др.,а также переведены книги Д.Бленда [2],Р.Кристенсена [Ш и др.
Параллельно с созданием строгой математической теории вязкоупругости развивались и методы решения конкретных прикладных задач (как квазистатических,так.и динамических).В развитии этой теории особую роль сыграли метод аппроксимации Ильюшина [10,70] и метод усреднения,развитый Ильюшиным и его сотрудниками [71].Иначе обстояло дело с нестационарными волновыми задачами вязкоупругости. Существуют разнообразные более или менее стандартные подходы,которые ставят своей целью получение решений краевых задач о распространении нестационарных волн наиболее эффективным и наименее трудоемким способом.В число этих методов входят метод интегральных преобразований вместе со связанными с ним методамистационар-ной фазы и наискорейшего спуска,метод разделения переменных (или суперпозиции мод),метод интегральных уравнений,метод характеристик, лучевые методы,а также численные методы конечных разностей и конечных элементов.Наибольшее применение при решении нестационарных динамических задач вязкоупругости получили методы интегральных преобразований Лапласа,Фурье,МеллинаДанкеля и их комбинации. При надлежащем применении этих операций дифференциальное уравнение в частных производных приводится к обыкновенному уравнению, которое в. преобразованном пространстве допускает решение в замкнутой форме.После этого главные трудности состоят в обращении решения в исходное пространство.Для достижения этой цели вначале определяется комплексный интеграл обратного преобразования с использованием деформации контура Бромвича (или Каньяра-де хуп& ..) для придания решению удобной формы.При этой процедуре необходимо учесть любой вид особенностей подинтегральнои функции,определить однозначную ветвь на соответствующем листе Римана,на которой проводится интегрирование.Однако такой путь часто не дает удовлетворительных решений,поскольку его применение требует аналитического задания ядер интегральных определяющих соотношений,причем характер аппроксимирующих эти ядра функций существенно определяет степень трудности решения соответствующих задач.В целом процедура контурного интегрирования быстро становится непрактичной в случае более реальных представлений механических свойств.Для доведения задач до конца часто выбирают простейшие ядра (Максвелл,Фойгт и др.),удобные в математическом отношении,но плохо аппроксимирующие поведение полимерных материалов на определенных участках деформирования.
Первая динамическая задача о колебании тонкого стержня из стандартного линейного тела исследована в сороковом:тоду Ишлинс-ким [72].Методом разделения переменных он нашел решение в виде ряда,доказал сходимость и проводил исследование полученного решения.В работе [67] методом интегрального преобразования Лапласа решена задача о продольном ударе по полубесконечному стержню,свойство которого описывается моделью Фойгта,в [85] аналогичная задача решена для конечного и полубесконечного стержней из материала Максвелла.В работах [136,149] методами интегрального преобразования Лапласа и контурного интеграла в виде квадратур получены реше- ния задач о распространении нестационарных волн в стержнях,свойства которых описывались моделями Фойгта,Кельвина-Фойгта и стандартного линейного тела.Однако,как указывалось в работе [90],найденное в [136] решение неточно,а уточненное решение в виде ряда сходится только в непосредственной близости нагружаемого торца. Исследованию задач о распространении нестационарных волн в вязко-упругих полупространствах из материала Фойгта посвящены работы [I3I-I33],причем указывается метод,по которому решение неодномерной задачи линейной вязкоупругости выражается через решение соответствующей задачи теории упругости при импульсивных воздействиях и решения одномерной задачи для вязкоупругого стержня.Асимптотический анализ,дающий решение в удаленных точках от торца стержня для материалов типа Максвелла и Кельвина-Фойгта,был проведен в [138].Для линейно-вязкоупругих тел,обладающих конечными скоростями распространения,но в остальном любыми свойствами,для решения задач о распространении плоских,сферических и цилиндрических волн использовался метод возмущений [154,155].Цилиндрические волны рассматривались также при помощи полных разложений волновых фронтов [145].В [144] методом интегрального преобразования Фурье получено решение задачи о воздействии экспоненциально затухающего импульса на поверхность сферической полости в модели Фойгта с постоянным коэффициентом потерь.Методами интегрального преобразования Лапласа и контурного интеграла в [153] найдено асимптотическое решение задачи о продольном ударе по полубесконечному цилиндрическому стержню из стандартного линейного тела.Для исследования переходного процесса в произвольном вязкоупругом материале,в котором функцию ползучести можно представить в виде степенного ряда,в [134] применялся метод разложения в ряды в окрестности волнового фронта.В Х.ІІ2І этим же методом исследованы задачи о распространении нестационарных волн в стержне из материалов Максвелла и стандартного линейного тела.В работе [135] методом интегрального преобразования Лапласа и контурного интеграла решение задачи о продольном ударе по полубесконечному вязкоупругому стержню приведено к интегралу по действительной переменной.В [77] для описания процесса распространения волн вдоль стержня производилась суперпозиция решений в виде плоских волн,в которых использовались измеренные вязкоупругие характеристики.В работе [122] развиты приближенные методы обращения преобразования Лапласа и решена задача об ударе тупого тела по вязкоупругому слою,лежащему на упругом основании рассмотрены модели Максвелла,Фойгта и Максвелла-Фойгта. Е till] решена задача о скручивающем ударе по поверхности полупространства,материал которого подчиняется моделям Максвелла и Фойгта.Асимптотические свойства решения задач о распространении нестационарных волн в вязкоупругих стержнях и полупространстве при малых значениях времени рассмотрены в [57,88,ИЗ].В работах 1, 52] асимптотическими методами исследованы задачи о воздействии точечных нагрузок на вязкоупругое полупространство.Приближенные обращения преобразования Лапласа [151] использованы в работе [44] при решении задачи о продольном ударе по стержню,свойство которого описывается общим дифференциальным законом.В [56] решена контактная задача о движении жесткого штампа с постоянной скоростью по границе вязкоупругой полуплоскости,где ядро релаксации описывается экспоненциальной функцией,а коэффициент Пуассона постоян-ный.Решение двумерной задачи о воздействии'движущейся досейсмичес-кой скоростью импульсивной нагрузки на вязкоупругую полуплоскость при экспоненциальном ядре и постоянном значении коэффициента Пуас- - и - сона найдено в работе [139].В работах [109,110] рассмотрены задачи об ударе по вязкоупругой пластине и трехслойной среде,когда свойство материала описывается дифференциальным законом,а коэффициент Пуассона постоянный.Обращение преобразований Лапласа производится для моделей Кельвина-Фойгта и при малых значениях времени. В работах [59-61,69,117,118] аналогичные задачи исследованы для больцмановского материала,где использованы ядро Абеля и дробно-экспоненциальное ядро Рш>отнова.Оригиналы решений находятся либо методом контурного интеграла,либо асимптотически при малых и больших значениях времени.Асимптотические решения найдены и в работе [13],где ядро ползучести описывается такой функцией,что изображение решений рационально зависит от некоторой степени параметра преобразования Лапласа.Характерной особенностью слабосингулярных ядер в волновых задачах является то,что на фронте волны,распространяющейся с мгновенной скоростью,функция диссипации обращается в бесконечность и,следовательно,при разрывном граничном условии решение на фронте волны не обладает скачком.Это явление более подробно исследовано в [48] с помощью численного обращения преобразования Лапласа.В [79] численное решение задачи о распространении волн в стержне при ударе жесткой массы проводилось для случая,когда механическое поведение материала стержня выражено прямоугольным релаксационным спектром.Волны Релея и общие решения уравнений вяз-коупругости,записанные через потенциальные функции при подвижных нагрузках,анализированы в [120].Одномерные волны в вязкоупругой среде,стержне и задачи Лемба для полуплоскости и полупространства исследованы методом продолжений [121,123,127].Распространение нестационарных волн в стержне из тела Максвелла исследовано в [65, 116],а в [54] аналогичное исследование проведено для стандартного - із - линейного тела,причем в [65] задача сведена к решению интегрального уравнения Вольтерра второго рода.Такая же задача в [150] решена двумя методами - методом интегрального преобразования Лапласа и разложения в окрестности волнового фронта.Дается сравнение полученных решений.Продольная волна напряжений в вязкоупругом стержне,вызванная ударом жесткого тела,исследована в [141].Полученное интегро-дифференциальное уравнение решено методом "замораживания1.1 Найдено решение для экспоненциального ядра релаксации при малых значениях времени.В работах [78,83,84] решения поставленных задач приводятся к решению интегро-дифференциальных уравнений,которые реализуются методом усреднения.Нестационарные плоские и сферические волны в материалах типа Максвелла при постоянном значении коэффициента Пуассона исследованы в [102].В [46] методами интегральных преобразований Лапласа и Фурье найдено решение задачи о воздействии углубленной импульсивной нагрузки на вязкоупругий слой, покрывающий упругое полупространстворассмотрено экспоненциальное ядро релаксации.В работе [89] описываются математические модели для одномерных волн деформаций в вязкоупругих телах Фойгта,Абеля и стандартного линейного тела.Строгое решение задачи о распространении продольной волны в вязкоупругом стержне из стандартного линейного тела дается в [90]указывается,что полученное решение пригодно для практических расчетов только при небольших расстояниях от нагружаемого торца.Эта же задача лучевым методом исследована в [108].В работе [91] методом малого параметра дается асимптотическое решение задачи о распространении продольной волны в вязко-упругом стержне,первый член которого является решением линейного волнового уравнения теории упругости,а последующие члены описывают поправки от учета наследственных и нелинейных эффектов.В рабо- - ц - тах [124,125] используются ядра интегральных определяющих соотношений б виде сугшы экспонент пренебрегая некоторыми членами б изображениях по Лапласу решений,эти изображения с точностью до обозначений приводятся к изображениям решений соответствующих задач для тела Максвелла5которые имеют протабулированные оригиналы.Модель Максвелла использована также в работах [128-130] при обращении изображения полученных решений.В работе [86] интегро-дифферен-циальное уравнение динамической задачи вязкоупругости заменяется некоторым^ дифференциальным"'уравнением и дается оценка погрешности при такой замене.В [114] рассматривается задача численной реализации функции наследственного оператора,воздействующей на некоторую функцию времени.В [82] методом разделения переменных и малого параметра исследована задача о продольном ударе однородного стержня переменного поперечного сечения,материал которого подчиняется закону Больцмана-Вольтерра.В [146] рассмотрена задача о деформировании полупространства,находящегося под действием импульсивного кручения жестким цилиндром.Приводятся числовые результаты для случая,когда материал полупространства представляется стандартным линейным телом.
Работа [39] посвящена решению несвязанной задачи о тепловом ударе по полупространству из максвеллова материала,а [62] - установившемуся решению модельной динамической связанной задачи тер-мовязкоупругости.В [661 найдены численные решения динамических несвязанных задач для упругого шара и цилиндра,а в[55] найдено решение задачи о термомеханическом ударе по конечному упругому стержню с учетом конечности скорости распространения тепла.В [108] лучевым методом исследована связанная задача об ударе упругого стержня о нагретую стенку с учетом конечности скорости распрост- - is - ранения тепла.Одним из способов учета влияния температурного поля на напряженно-деформированное состояние вязкоупругих материалов с учетом зависимости свойств материала от температуры является температурно-временной аналог.В случае неоднородного поля температур применение этой аналогии приводит к тому,что функции ползучести и релаксации зависят от пространственных координат и,следо-вателвно,математические исследования конкретных задач чрезвычайно усложняется.В работе ІІ031 развит метод малого параметра для решения задач термовязкоупругости с неоднородным полем температур.В книге [27] приведено численное решение одной динамической связанной задачи термовязкоупругости о бесконечной пластине конечной толщины.
Гармонические волны в двуслойной упругой пластине конечной толщины исследованы в [63],а в [64] рассмотрено распространение этих волн вдоль поверхности раздела двух полубесконечных упругих сред,связанных тонким упругим соединением;изучена природа перехода от двух волн Релея к одной единственной волне Стоунли или к отсутствию волн при возрастании жесткости соединения.Приближенное решение задачи о распространении гармонических волн в упругом волокне,находящемся в вязкоупругой среде,найдено в {47].Работа [119] посвящена экспериментальному исследованию механического поведения армированных волокнами композитных материалов при динамическом нагружении.
В работе [50] развита механика пористых сред и исследовано распространение акустических волн в таких ередах.Исследованию распространения гармонических продольных волн в упруго-пористых,насыщенных идеальной жидкостью,сплошных цилиндрах посвящены работы [ 75,93Іпричем рассмотрены волны,длины которых гораздо больше по - І6 - сравнению с радиусами цилиндров.
Из сказанного следует,что для решения нестационарных динамических задач линейной вязкоупругости отсутствует метод,пригодный для произвольных наследственных ядер.Это явилось причиной того, что одни и те же постановки рассматривались во многих работах для различных видов наследственных ядер.Кроме того,в литературе нет ни одной работы,где бы учитывалась зависимость коэффициента Пуассона от времени (даже при постоянном модуле объемного сжатия).Настоящая диссертационная работа посвящена решению этой проблемы и применению его к решению некоторых прикладных задач.Работа состоит из четырех глав,семи параграфов.Параграфы занумерованы последовательно от одного до шести (в каждой главе по два параграфа), а седьмой параграф составляет всю четвертую главу.
Б первом параграфе первой главы разработаны математические методы решения одномерных и неодномерных нестационарных динамичес-киз задач линейной вязкоупругости при произвольных наследственных ядрах.Придавая конкретный вид ядрам определяющих соотношений,получен ряд известных в литературе частных решений,а также некоторые новые решения,которые не поддавались исследованию ранее известными методами.Приведены решения одномерных задач об ударе вяз-коупругого стержня о жесткую преграду,продольный удар по вязкоуп-ругим неоднородным стержням и стержням переменного поперечного сечения.
Во втором параграфе первой главы решены задачи о воздействии сосредоточенных сил в бесконечном пространстве,задачи Лемба для вязкоупругой полуплоскости и шара,а также нестационарные колебания шара.
Вторая глава посвящена исследованию одномерных термовязкоуп- ругих волн в полубесконечном стержне и полупространстве.В первом параграфе этой главы (3) рассмотрена несвязанная задача о термомеханическом ударе по вязкоупругому стержню с учетом зависимости свойств материала от температуры,а во втором параграфе (4) - аналогичная связанная задача без учета последней.
Распространение нестационарных крутильных волн в вязкоупру-гих цилиндрах и конусах исследуется в первом параграфе третьей главы (5).Второй параграф этой главы (6) посвящен решениям неодномерных задач о продольном ударе по полубесконечным стержням кругового, секториальн ого и прямоугольного поперечных сечений.
Наконец,четвертая глава посвящена задачам о распространении гармонических волн в пористых,насыщенных вязкой жидкостью,вязкоуп-ругих цилиндрах и двуслойной пластине.
Графики и таблицы помещены в конце диссертации. - 1« -
Методы решения нестационарных динамических задач линейной вязко упругости
Будем пользоваться уравнениями состояния линейных вязкоуп-ругих материалов, записанными в виде где С и G - шаровой тензор и объемная деформация, S.. и &. - компоненты девиаторов напряжений и деформаций,звездочкой над буквами обозначаются линейные интегральные операторы с одноименными ядрами R и Ы) - функции сдвиговой и объемной релаксации. Учитывая соотношения (I.I) и зависимости компонентов тензора деформации через компоненты смещения в уравнениях движения получаем уравнения движения линейной вязкоупругой среды в смещениях, записанные в векторной форме где U(a?, i,) - вектор смещения, (л,а,г) - лагранжева система координат, і - время, о - плотность. Представим вектор IX в виде суммы где Р - скалярний,а V - векторный потенциалы поля смещения. Тогда уравнение движения (1.3) может быть заменено эквивалентной (с точностью до лапласова вектора) системой уравнений для функций
Здесь А - трехмерный оператор Лапласа.
В дальнейшем будем рассматривать вязкоупругую среду,подчиняющуюся одному из условий: а)функция сдвиговой релаксации произвольна отношение функции объемной релаксации к ней не зависит от времени; б)функция сдвиговой релаксации произвольна функция объемной релаксации не зависит от времени; в)функции объемной и сдвиговой релаксации произвольны. В случае однородной среды эти условия будем употреблять в следующем виде: а) коэффициент Пуассона V является постоянным; б) коэффициент Пуассона зависит от времени, но модуль объемного сжатия о постоянный; в) одновременно и коэффициент Пуассона, и модуль объемного сжатия зависят от времени.
Несвязанная задача
Рассмотрим одномерную задачу о термомеханическом ударе по полу бесконечному стержню (или полупространству) при условии, что боковая поверхность стержня теплоизолирована,а к торцу х 0 в момент времени і-о прикладывается нагрузка с =6" Ф( и температура To do .Вначале при t o стержень находится в покое и имеет температуру Тв .Определим напряженно-деформированное состояние и температурное поле стержня в последующие моменты времени.
Будем считать,что уравнение притока тепла выделяется из общей системы уравнений термовязкоупругости и решается отдельно,т.е. рассматривается случай невзаимосвязной термовязкоупругости. Математически задача сводится к интегрированию уравнения движения (1.23) и теплопроводности при следующих начальных и граничных условиях. Здесь Т( Л) - температура (в К0), ае - коффициент теплопроводности , с - удельная теплоемкость при постоянной деформации, То бо - постоянные, У (Л) » У(М - заданные функции.
Динамическое кручение цилиндрических и конических стержней
Отсюда вытекает, что только первый член ряда (5.26) создает крутящий момент,а все прочие его члены дают (при этом каждый порознь) поля напряжений, самоуравновешенные как на торце цилиндра, так и в каждом его поперечном сечении .Так как функция W0t ) является решением одномерной задачи,то можно утверждать, что несамо-уравновешенная составляющая решения удовлетворяет одномерному волновому уравнению, которое существенно отличается от уравнения самоуравновешенных напряжений .Итак,в самом общем случае решение рассматриваемой задачи слагается из не самоуравновешенного и самоуравновешенного полей напряжения.Входящую в эти решения величину $ можно интерпретировать как частоту свободных колебаний бесконечно длинного долого неоднородного ортотропного вязкоупругого цилиндра. Из этих решений видно,что первые члены суммы,соответствующие низшей частоте 0=0 .описывают процесс распространения волн кручения без искажения со скоростью поперечных волн.Деформация в этом случае такова,что каждое плоское сечение поворачивается вокруг оси цилиндра как целое.Члены же,соответствующие более высоким частотам (к л), являются дисперсионными,что есть следствие влия-ния боковой поверхности цилиндра .При этом с увеличением номера К возрастает число нулей функций \ на отрезке «Ч седоват ельно, плоские сечения, оставаясь плоскими, искажаются таким образом,что радиусы скручиваемого полого цилиндра искривляются, имея тем больше число перегибов,чем больше Vc .Отметим, что появление возмущений, соответствующих частоте 5"к .зависит от заданной на торце нагрузки OUfc.) .Если функция ОС. (Jtfo такова,что в ее разложениях по функциям Ct C) все коэффициенты равны нулю, кроме одного 0 (А) ,то в решении будут отсутствовать все члены,кроме члена с номером I .Если же форма нагрузки &Съ.) близка к форме Vc=t ,то и в полученном решении доминирующее влияние среди всех возмущений будет иметь возмущение, соответствующее частоте. Определим поведение решения (5.26) на фронте волны .Функция № )исследована в первой главе,поэтому отметим лишь следующее. Для регулярного ядра решение б обладает скачком на фронте волны и затухает по экспоненциальному закону,а для слабосингулярного ядра решение на фронте волны не обладает скачком и имеет место физическая дисперсия;образуется квазифронт,скорость распространения которого,уменьшаясь,приближается к равновесной скорости.
