Содержание к диссертации
Введение
1. Аналитический обзор и постановка задачи 11
1.1. Феноменологические модели фазовых превращений в многокомпонентных системах 11
1.2. Влияние структуры среды на особенности фазовых превращений и эффектов памяти формы 13
1.3. Обратимое термоупругое мартенситное превращение в твердых телах 16
1.4. Математические модели фазовых превращений в сплавах с памятью формы 19
1.5. Постановка задачи и общая схема расчета 26
2. Моделирование фазовых превращений в однородной упругой среде 33
2.1. Локальные уравнения нестабильной среды с зародышами новой фазы 33
2.2. Тензор Грина для системы уравнений равновесия 37
2.3. Вычисление макроскопических характеристик микронеоднородной среды 44
2.4. Вычисление макроскопических характеристик для матричной смеси 51
Выводы 62
3. Моделирование фазовых превращений в компонентах композиционных материалов 63
3.1. Моделирование изотермических фазовых превращений во включениях композиционных материалов 63
3.2. Моделирование изотермических фазовых превращений в компонентах матричной смеси 77
3.3. Моделирование изотермических фазовых превращений в матрице композиционных материалов 91
Выводы 105
Заключение 106
Список использованных источников и литературы
- Влияние структуры среды на особенности фазовых превращений и эффектов памяти формы
- Постановка задачи и общая схема расчета
- Вычисление макроскопических характеристик микронеоднородной среды
- Моделирование изотермических фазовых превращений в компонентах матричной смеси
Введение к работе
Теоретическое прогнозирование процессов фазовых превращений в твердых телах является одной из актуальных проблем механики деформируемого твердого тела. Построение математических моделей превращений фазовых структур позволяет приемлемо оценивать механические свойства нестабильных материалов и сплавов, эффекты сверхупругости, памяти формы и т.д.
Влияние фазовых превращений на характер изменений физико-механических свойств металлов и сплавов хорошо известно и широко применяется при их термомеханической обработке (закалка, отпуск, структурное упрочнение и т.д.) [10]. Термомеханическое воздействие на металлы и сплавы создает такую неоднородную структуру, внутренние микронапряжения которой обеспечивают требуемые механические макроскопические свойства материалу. Кроме того, в ряде областей машиностроения используют преимущества нестабильных металлов и сплавов, обладающих интересным и полезным сочетанием таких физико-механических свойств, как повышенная кавитационная стойкость, высокая демпфирующая способность и т.д. [12]. При этом в проявлении эффекта нестабильности существенное место занимают именно фазовые превращения [11]. Вблизи точек фазовых переходов наблюдается эффект сверхпластического поведения металлов, при котором в значительной степени облегчается сопротивление пластическому деформированию, а остаточные деформации достигают сотен процентов [54]. Во всех этих случаях основную роль в изменении физико-механических свойств материалов играет эволюция напряженно-деформированного состояния в условиях фазового перехода.
Существующие в этой области феноменологические теории позволяют моделировать наиболее существенные особенности механического поведения материалов в форме реологических соотношений. При таком
подходе влияние непрерывно изменяющейся структуры твёрдого тела, претерпевающего фазовое превращение, учитывается в формулируемых определяющих уравнениях, которые содержат экспериментально определяемый набор материальных констант и функций [55].
Альтернативой феноменологическому подходу при моделировании процессов фазовых превращений в твердых телах является структурно-феноменологический подход, согласно которому определяющие уравнения и их физико-механические параметры и геометрические особенности структуры задаются на микроуровне для составляющих фаз, а макроскопические уравнения поведения всей нестабильной среды устанавливаются методами механики микронеоднородных сред [38, 87].
Важной задачей этого направления является построение математических моделей изотермического фазового перехода. Согласно этим моделям новая фаза зарождается и вырастает из старой фазы под действием внешних нагрузок. Возникновение и развитие новой фазы обусловлено перестройкой кристаллических состояний, при которых в ней образуются необратимые структурные деформации. При этом на поверхности раздела фаз напряжения, деформации и физико-механические характеристики материалов претерпевают разрывы первого рода, а неупругие деформации за пределом упругости являются ограниченными и за ними вновь следует новая область упругого деформирования.
С точки зрения механики деформируемого твердого тела фазовый переход в нестабильной среде означает возникновение и развитие в объеме рассматриваемого тела новой компоненты, ограниченной поверхностью. Изменение этого объема и его поверхности характеризует количественную сторону процесса фазового превращения, вызванного внешними механическими воздействиями, изменением температуры и т.д. При этом в новой фазе образуется материал с новыми свойствами. Разрывы деформаций при переходе через фазовую поверхность образуют неупругие, так
называемые структурные деформации, которые оставляет за собой движущаяся поверхность. При этом уровень структурных деформаций всегда ограничен, а их второй инвариант является одной из физико-механических констант среды.
Фазовый переход в однородном упругом материале или многокомпонентном композите превращает его в нестабильную гетерогенную (в общем случае многокомпонентную) среду, к расчету макроскопических свойств которой могут быть применены методы механики композиционных материалов [60].
Целью работы являются построение математических моделей изотермических фазовых превращений в однородных средах и компонентах композитов и исследование влияния структурных деформаций на нелинейное упрочнение рассматриваемых материалов.
Научная новизна результатов диссертации заключается в разработке варианта метода статистического осреднения уравнений равновесия нестабильной микронеоднородной среды.
На основе этого метода построены новые модели изотермических фазовых переходов, при которых новая фаза зарождается и вырастает из старой под воздействием внешних нагрузок.
Получены новые модели изотермических фазовых переходов во включениях композиционного материала, в матрице композиционного материала и компонентах матричной смеси.
Достоверность основных результатов диссертационной работы основана на использовании классических уравнений механики деформируемого твердого тела и совпадении результатов работы с известными моделями в области упругого и упругопластического деформирования. Она также подтверждается сравнением полученных в работе моделей с экспериментальными исследованиями других авторов.
Практическая ценность результатов диссертационного исследования заключается в возможности прогнозирования элементов конструкций из сверхупругих материалов и материалов с памятью формы.
Результаты работы могут быть использованы в конструкторских бюро и НИИ, изучающих свойства формозапоминающих металлов и сплавов и материалов с демпфирующими свойствами.
Апробация. Материалы диссертационной работы представлялись, докладывались и обсуждались на следующих конференциях, семинарах и школах:
Всероссийском научном семинаре "Механика микронеоднородных материалов и разрушение", 26-27 марта1999, г. Екатеринбург;
IX межвузовской конференции "Математическое моделирование и краевые задачи", 25-27 мая 1999, г. Самара;
VII Международной конференции "Математика. Экономика. Экология. Образование", 26 мая- 1 июня 1999, г. Ростов-на-Дону;
X межвузовской конференции "Математическое моделирование и краевые задачи", 29-31 мая 2000, г. Самара;
XI межвузовской конференции "Математическое моделирование и краевые задачи", 29-31 мая 2001, г. Самара;
II международном симпозиуме "Фазовые превращения в твердых растворах и сплавах" ОМА II, 24-26 сентября 2001, г. Сочи;
IX международной конференции "Математика. Компьютер. Образование", 28 января - 2 февраля 2002, г. Дубна;
XII межвузовской конференции "Математическое моделирование и краевые задачи", 29-31 мая 2002, г. Самара;
Международной школе-семинаре "Применение симметрии и косимметрии в теории бифуркации и фазовых переходов. SCDS-2002", 27 августа - 2 сентября 2002, г. Сочи;
- Научном семинаре кафедры "Высшая математика и информатика" Самарского государственного университета под руководством д-ра физ.-мат. наук, проф. Л.А. Сараєва, 2003.
Публикации. Основные результаты диссертации опубликованы в следующих работах:
І.Архипова Н.В., Ильина Е.А., Михеев А.Г. Определяющие уравнения фазовых превращений в нелинейно-упругой среде // Математическое моделирование и краевые задачи: Труды XII научной межвузовской конференции. - Самара: СамГТУ. - 2002. - Ч. 1. - С. 26-31.
2. Ильина Е.А., Сараев Л.А. Математическая модель изотермического фазового превращения в матрице двухкомпонентного композиционного материала // Вестник СамГТУ. Серия "ФМ науки". - Вып. 16. - 2002. -С. 81-83.
З.Ильина Е.А., Сараев Л.А. Моделирование изотермических фазовых превращений в компонентах композиционных материалов // Применение симметрии и косимметрии в теории бифуркации и фазовых переходов - SCDS-2002: Труды международной школы-семинара. -Сочи. - 2002. - С. 62-65.
Сараев Л.А., Фартушнова Е.А. К теории изотермических фазовых превращений в двухкомпонентном композиционном материале // Математика. Компьютер. Образование. IX международная конференция: Тез. докл. - М. - 2002. - С. 238.
Сараев Л.А., Фартушнова Е.А. К теории фазовых превращений в твердых телах // Математическое моделирование и краевые задачи: Труды IX научной межвузовской конференции. - Самара: СамГТУ. -1999.-Ч. 1.-С. 162-167.
Сараев Л.А., Фартушнова Е.А. Макроскопические определяющие уравнения для изотермических фазовых превращений в упругой среде // Исследования и разработки ресурсосберегающих технологий на железнодорожном транспорте: Межвузовский сборник научных трудов с международным участием / Под ред. д-ра техн. наук В.Н. Яковлева. -Вып. 23. - Самара: СамИИТ. - 2002. - С. 458-460.
Сараев Л.А., Фартушнова Е.А. Макроскопические определяющие уравнения для изотермического фазового перехода в упругой среде // VIII съезд по теоретической и прикладной механике. Аннотация докладов. - Пермь. -2001.-С. 515-516.
Сараев Л.А., Фартушнова Е.А. Макроскопические уравнения изотермического фазового перехода в упругой среде // Математическое моделирование и краевые задачи: Труды X научной межвузовской конференции. - Самара: СамГТУ. - 2000. - Ч. 1. - С. 145-149.
Сараев Л.А., Фартушнова Е.А. Математическая модель изотермического фазового перехода в упругой среде: Тез. докл. VII международной конференции "Математика. Экономика. Экология. Образование". Международный симпозиум "Ряды Фурье и их приложения". Ростов н/Д: Изд-во Рост. гос. эконом, акад. - 1999. -С. 203-204.
Сараев Л. А., Фартушнова Е.А. Прогнозирование параметров изотермического фазового перехода к упругой среде // Механика микронеоднородных материалов и разрушение: Тез. докл. Всероссийского научного семинара / Под ред. Ю.В. Соколкина. -Пермь: ПермГТУ. - 1999. - (Препринт). - С. 45.
Сараев Л.А., Фартушнова Е.А. Уравнения изотермических фазовых превращений в твердых телах с микроструктурой // Фазовые превращения в твердых растворах и сплавах: Труды II международного симпозиума ОМА II. - Сочи. - 2001. - С. 289-292.
12. Сараев Л. А., Фартушнова Е.А. Эффективные характеристики нелинейного упрочнения нестабильной фазовой структуры // Математическое моделирование и краевые задачи: Труды XI научной межвузовской конференции. - Самара: СамГТУ. - 2001. - Ч. 1. -С.163-166.
Структура и объём работы. Диссертационная работа состоит из введения, трех глав, заключения, списка использованных источников и литературы. Объём работы 117 страниц, из них 95 страниц текста, 22 рисунка, список использованных источников и литературы включает 94 наименования.
Влияние структуры среды на особенности фазовых превращений и эффектов памяти формы
Структурным подходам к анализу напряженно-деформированного состояния тел в условиях бездиффузионных фазовых переходов посвящены работы [29, 56-59, 76]. В них на основании соотношений теории упругости рассматривается взаимодействие анизотропного включения с анизотропной матрицей и находится равновесная для данных условий структура, состав и ориентация включений. Основное внимание уделяется построению диаграмм фазового равновесия "напряжение-температура" и оставляется в стороне решение задачи о связи тензоров макроскопических напряжении и макроскопических деформаций. Показано, что наиболее энергетически выгодным является образование так называемого сдвойникованного мартенсита, что соответствует экспериментальным наблюдениям.
В настоящее время большой интерес со стороны исследователей и конструкторов проявляется к материалам с так называемым эффектом механической памяти формы. Сущность этого эффекта заключается в том, что если материалу, находящемуся в высокотемпературной исходной модификации, придать некоторую форму, затем, охладив его через температуру превращения, изменить ее с помощью пластического деформирования, то при обратном нагреве тело вернёт себе исходную форму. При этом величина обратимой неупругой деформации составляет для различных сплавов 6-16 %, а в некоторых случаях до 24 % [2, 3, 83]. Отличительной чертой таких сплавов является то, что фазовое превращение в них может быть вызвано не только температурным воздействием, но и приложением внешних нагрузок. Эффект памяти формы обнаружен и исследован во многих сплавах (NiTi, CuAINi, CuAIMn, CuSn, AuCd, InTl, FeNi, FeMn, CuZnSi, AlCuZn, AgCd), и в чистых металлах (Со, Zr, Ті) [75, 86, 92].
Материалы с памятью формы обладают некоторыми особенностями механического поведения, интересными с точки зрения технических приложений. Температурная шкала для материалов с памятью делится на несколько интервалов характерными точками: М , - температура конца прямого фазового перехода, М - температура начала прямого фазового перехода, А - температура начала обратного фазового перехода, А,- температура конца обратного фазового перехода, Мd - температуру, выше которой фазовый переход нагружением инициирован быть не может. При температурах А —М, (в области стабильности высокотемпературной фазы) для описываемых материалов характерно сверхупругое поведение [70, 84, 85, 90, 91] (рис. 1.1, 1.2). По достижении некоторого критического напряжения линейность диаграммы нарушается, появляются значительные неупругие деформации. Это критическое напряжение существенно ниже предела пластичности материала и обладает сильной температурной зависимостью [36, 93]. Дальнейшее нагружение часто вновь сопровождается упругим деформированием [70, 89]. Разгрузка приводит к частичному или полному возврату всех деформаций с некоторым гистерезисом. Подобный вид диаграмма имеет для любого способа нагружения (растяжение, сжатие, кручение, изгиб) [41, 78, 85].
Деформирование монокристаллов и поликристаллов сплавов с памятью формы различаются характером поведения в неупругой области. Для поликристаллов характерно интенсивное упрочнение, а монокристаллы испытывают пластическое течение при фиксированном значении напряжения
Такое поведение материалов связано с протеканием в них термоупругого мартенситного превращения [4].
Для температур М,— Af, (область частичной стабильности мартенситной низкотемпературной фазы) поведение исследуемых материалов меняется. Снятие внешней нагрузки не приводит к полному возврату деформаций, при этом величина остаточной деформации возрастает с приближением температуры образца в эксперименте к М f [4]. Нагрев испытываемого образца выше температуры А у снимает полностью, обратимую в сверхупругом состоянии, деформацию (рис. 1.2).
Нагружение с последующей разгрузкой сплавов с памятью формы ниже точки А (область стабильности низкотемпературной фазы - мартенсита) генерирует остаточные деформации. Циклическое нагружение такого материала приведено на диаграмме рис. 1.3. Форма диаграммы напоминает петлю гистерезиса перемагничивания ферросплавов, поэтому такое поведение называется ферроупругим [87]. Особенностью ферроупругого деформирования отсутствие необратимых изменений размеров ферроупругой петли, а напряжение неупругого деформирования значительно ниже предела пластичности [2]. Нагружение за крайние точки петли и повторное нагружение после разгрузки происходят по закону теории линейной упругости [77].
Постановка задачи и общая схема расчета
Пусть упругая среда, в которой происходит фазовый переход первого рода, занимает объем V, ограниченный поверхностью S. Объем зарождающейся и развивающейся новой фазы обозначим V„, объем старой фазы Vm. При прямом фазовом превращении {Ут Ур) в материале новой фазы под воздействием внешних нагрузок возникают и развиваются необратимые структурные деформации ос..(у), вызванные перестройкой кристаллической и доменной структуры материала. При обратном фазовом превращении (V - Vm) структурные деформации а..(г) исчезают. Эти деформации являются ограниченными предельными сдвигами двойниковых доменов где ОСтах - максимальный уровень структурных деформаций, a (r)=0. Упругие свойства нестабильной среды задаются законом Гука -/,(г)=%/(г)(ги(г)-аы(г))- О-5-1)
Здесь (Т.. (г) - компоненты тензора напряжений, б"..(г) - компоненты тензора скоростей деформаций, E..kl(r) - тензор случайных полей модулей упругости, r = (xv х2, хъ ) -радиус-вектор. Пороговые условия прямого и обратного фазовых переходов задаются поверхностями нагружения в шестимерном пространстве напряжений
Геометрические особенности структуры (взаимного расположения составляющих компонентов V) рассматриваемого композиционного материала можно описывать набором индикаторных случайных функций координат /г (г), каждая из которых равна единице на множестве точек объема Vs и равна нулю вне этого множества.
Все физические и геометрические поля рассматриваемой задачи предполагаются случайными, статистически однородными и эргодическими величинами и их математические ожидания заменяются средними значениями по соответствующим объемам [60]
Здесь угловыми скобками обозначена операция статистического осреднения. Для установления макроскопических определяющих уравнений фазовых превращений рассматриваемой нестабильной среды необходимо найти эффективный закон Гука и макроскопические условия фазовых переходов Здесь и далее звездочкой обозначены эффективные значения величин.
В общем случае получение соотношений (1.5.3), (1.5.4) достигается статистическим осреднением системы уравнений, состоящей из закона Гука (1.5.1), уравнений равновесия связывающих компоненты тензора деформаций є., (г) с компонентами вектора перемещений и.(г). Граничными условиями для этой системы являются условия отсутствия флуктуации величин на поверхности S объема V
Для установления макроскопических законов (1.5.3), (1.5.4) соотношения (1.5.1) необходимо усреднить по полному объему V
Соотношение (1.5.8) показывает, что для установления связи между макронапряжениями и макродеформациями нужно вычислить средние по объемам компонентов величины (є..) и (а..) . Величины {є..) находятся из известного соотношения [60]
Здесь с = —— объемные содержания компонентов, штрихами обозначены флуктуации величин в объеме V. Вычисление случайных моментов \Ks є.. ) осуществляется с помощью осреднения системы (1.5.1), (1.5.5) - (1.5.7). Эта система путем исключения компонентов тензоров ст..(г), ..(г) сводится к системе уравнений равновесия рассматриваемой среды в перемещениях
В свою очередь уравнения (1.5.10) с помощью соответствующего тензора Грина G (r) преобразуются к системе интегральных уравнений компонентов. Подстановка уравнений (1.5.11) в соотношение (1.5.9) и попытка вычислить величины (є..) приводит к появлению случайных моментов высоких порядков. При этом возникает бесконечная статистическая цепочка уравнений, которую для получения неформального решения задачи необходимо на каком-либо этапе оборвать, применив один из статистических методов осреднения [60].
После установления макроскопического соотношения (1.5.3) выполняется операция усреднения локальных пороговых условий (1.5.2) и определяются макроскопические условия фазовых превращений (1.5.4) и их эффективные параметры.
Основной сложностью и отличием этих моделей от обычных моделей механики микронеоднородных сред является то обстоятельство, что объемное содержание вновь образующейся фазы есть переменная величина, зависящая от уровня структурных деформаций
Вычисление макроскопических характеристик микронеоднородной среды
1) Разработаны новые математические модели изотермического фазового перехода первого рода в однородной упругой среде. Первая модель описывает образование и рост отдельных включений (зародышей). Вторая модель описывает формирование структур из развившихся зародышей в виде взаимопроникающих смесей.
2) Сформулировано кинетическое уравнение роста структурных деформаций в зависимости от роста объема новой фазы.
3) Для первой модели получены стохастические уравнения нестабильной среды со сферическими включениями, содержащие необратимые структурные деформации, а также сформулированы условия взаимного и обратного фазовых переходов в виде поверхностей линейного кинематического упрочнения в шестимерном пространстве напряжений.
4) Для второй модели получены стохастические уравнения нестабильной микронеоднородной среды, компоненты которой образуют матричную смесь, а условия прямого и обратного фазовых переходов также представляют собой уравнения кинематического упрочнения.
5) С помощью статистического осреднения обеих систем уравнений равновесия установлены макроскопические определяющие соотношения для первого и второго этапов фазового перехода, вычислены эффективные модули упругости и параметры макроскопических условий прямого и обратного фазовых переходов.
6) Численный анализ построенных моделей показал хорошее соответствие известным экспериментальным данным.
Применим результаты, полученные во второй главе, для описания фазовых превращений в компонентах композиционных материалов. Различают два типа структур двухкомпонентных материалов. Это композиты образованные связующей матрицей и отдельными включениями и композиты образованные взаимопроникающими каркасами.
Таким образом, для двухкомпонентных материалов возможны три модели фазовых превращений. В первом случае нестабильным является материал включений, во втором случае фазовый переход осуществляется в одном из компонентов матричной смеси, в третьем случае фазовым превращениям подвергается материал матрицы.
Пусть двухкомпонентный композиционный материал, занимает объем F, ограниченный поверхностью S. Первый компонент Vl образует связующую матрицу, второй компонент V2 представляет собой отдельные включения сферической формы. Фазовый переход первого рода происходит в объеме включений V2. Объем зарождающейся и развивающейся новой фазы внутри включений обозначим V , объем старой фазы V Уп а г) При фазовом превращении (V2 — V ) в материале новой фазы под воздействием внешних нагрузок возникают и развиваются необратимые структурные деформации а., (г), вызванные перестройкой кристаллической и доменной структуры материала.
Рассмотрим теперь двухкомпонентный композиционный материал, в котором оба компонента Vl и V2 образуют взаимопроникающие каркасы (матричную смесь). Фазовый переход первого рода происходит в объеме второго компонента V2. Объем зарождающейся и развивающейся новой фазы внутри V обозначим V , объем старой фазы V ( V + V = V2 ). При фазовом превращении (V2— V) в материале новой фазы под воздействием внешних нагрузок возникают и развиваются необратимые структурные деформации ОС..(г), вызванные перестройкой кристаллической и доменной у структуры материала.
Пусть двухкомпонентный композиционный материал, занимает объем V, ограниченный поверхностью S. Первый компонент У\ образует связующую матрицу, второй компонент V2 представляет собой отдельные включения сферической формы. Фазовый переход первого рода происходит в объеме матрицы Vy Объем зарождающейся и развивающейся новой фазы внутри матрицы обозначим V , объем старой фазы V ( Рр + , = 1) При фазовом превращении (У\— У) в материале новой фазы под воздействием внешних нагрузок возникают и развиваются необратимые структурные деформации а., (г), вызванные перестройкой кристаллической и доменной структуры материала.
Моделирование изотермических фазовых превращений в компонентах матричной смеси
1) Разработаны новые математические модели нелинейного формирования композиционных материалов, в компонентах которых происходит изотермический фазовый переход первого рода.
2) Построены стохастические уравнения равновесия для композита, образованного упругой матрицей и включениями из нестабильного материала. С помощью способа статистического осреднения, развитого во второй главе, установлены макроскопические уравнения прямого и обратного фазовых переходов и вычислены их эффективные характеристики.
3) Построены стохастические уравнения равновесия для композита, образованного взаимопроникающими компонентами, один из которых изготовлен из нестабильного материала. Установлены макроскопические уравнения прямого и обратного переходов и вычислены их эффективные характеристики.
4) Построены стохастические уравнения равновесия для композита, образованного матрицей из нестабильного материала и упругими включениями. Методом осреднения установлены макроскопические уравнения прямого и обратного фазовых переходов такой среды и вычислены их эффективные характеристики.
Основные результаты диссертационной работы состоят в следующем:
1) Разработаны новые математические модели изотермического фазового перехода первого рода в однородной упругой среде. Первая модель описывает образование и рост отдельных включений (зародышей). Вторая модель описывает формирование структур из развившихся зародышей в виде взаимопроникающих смесей.
2) Сформулировано кинетическое уравнение роста структурных деформаций в зависимости от роста объема новой фазы.
3) Для первой модели получены стохастические уравнения нестабильной среды со сферическими включениями, содержащие необратимые структурные деформации, а также сформулированы условия взаимного и обратного фазовых переходов в виде поверхностей линейного кинематического упрочнения в шестимерном пространстве напряжений.
4) Для второй модели получены стохастические уравнения нестабильной микронеоднородной среды, компоненты которой образуют матричную смесь, а условия прямого и обратного фазовых переходов также представляет собой уравнения кинематического упрочнения.
5) С помощью статистического осреднения обеих систем уравнений равновесия установлены макроскопические определяющие соотношения для первого и второго этапов фазового перехода, вычислены эффективные модули упругости и параметры макроскопических условий прямого и обратного фазовых переходов.
6) Численный анализ построенных моделей показал хорошее соответствие известным экспериментальным данным.
7) Разработаны новые математические модели нелинейного формирования композиционных материалов, в компонентах которых происходит изотермический фазовый переход первого рода.
8) Построены стохастические уравнения равновесия для композита, образованного упругой матрицей и включениями из нестабильного материала. С помощью способа статистического осреднения, развитого во второй главе, установлены макроскопические уравнения прямого и обратного фазовых переходов и вычислены их эффективные характеристики.
9) Построены стохастические уравнения равновесия для композита, образованного взаимопроникающими компонентами, один из которых изготовлен из нестабильного материала. Установлены макроскопические уравнения прямого и обратного переходов и вычислены их эффективные характеристики.
10) Построены стохастические уравнения равновесия для композита,
образованного матрицей из нестабильного материала и упругими
включениями. Методом осреднения установлены макроскопические
уравнения прямого и обратного фазовых переходов такой среды и вычислены
их эффективные характеристики.
