Содержание к диссертации
Введение
Глава I. Постановка задачи и методы решения 15
1.1 Постановка задачи 15
1.1.1 Законы сохранения 16
1.2 Математические модели разрушения 17
1.2.1 Параметры поврежден ноет и. Эффективные напряжения 18
1.2.2 Общий вид определяющих уравнений 22
1.3 Численные методы решения 27
1.3.1 Представление разрушенного материала дискретными частицами 29
1.3.2 Моделирование разрушения материала в методе частиц 32
1.4 Выводы 33
Глава II. Модель разрушения сплошной среды 35
2.1 Термомеханическая модель деформирования и рассеянного разрушения сплошной среды 35
2.1.1 Основные предположения 38
2.1.2 Задача о расширении и схлопывании сферической поры в вязкопластическом материале 42
2.1.3 Система определяющих уравнений 46
2.1.4 Критерий начала макроразрушения 49
2.1.5 Определение констант материала 51
2.2 Численное решение задачи о соударении пластин 53
2.2.1 Макроразрушсиие 53
2.2.2 Одномерное соударение пластин (определение параметров модели) 54
2.2.3 Моделирование одномерного соударения пластин методом частиц 59
2.3 Определяющие соотношения с учетом распространения ударных волн 65
2.3.1 Уравнение состояния 65
2.3.2 Система уравнений с учетом уравнения состояния ... 69
2.4 Выводы 71
Глава III. Метод частиц (SPH - метод) 73
3.1 Введение 73
3.1.1 Бессеточные методы частиц (БСМЧ) 78
3.1.2 Стратегия решения бессеточных методов 80
3.2 Концепция метода частиц (SPH - method) 80
3.3 Аппроксимация законов сохранения в лагранжевой форме ... 84
3.3.1 Закон сохранения массы (уравнение неразрывности) . . 85
3.3.2 Закон сохранения импульса (уравнение движения) ... 86
3.3.3 Закон сохранения энергии (уравнение притока внутренней энергии ) 87
3.4 Ядро аппроксимации 89
3.4.1 Выбор ядра аппроксимации , 90
3,5 Описание техники нормализации и корректировки 93
3.5.1 Нормализация ядра 93
3.5.2 Коррекция производных 94
3.5.3 Система уравнений с учетом нормализации и корректировки 97
3.6 Искусственная вязкость 98
3.7 Выводы 100
Глава IV. Моделирование процессов деформирования и разрушения пластин при ударном нагружении 101
4.1 Процесс деформирования при соударении пластин 102
4.2 Разрушение материала пластины-мишени при иагружении ударом летящего упругопластического ударника 112
4.3 Разрушение материала пластины-мишени при иагружении ударом летящего повреждаемого ударника 112
Заключение 118
Список литературы 119
Приложение I 143
Приложение II 145
Приложение III 147
- Постановка задачи
- Термомеханическая модель деформирования и рассеянного разрушения сплошной среды
- Стратегия решения бессеточных методов
- Процесс деформирования при соударении пластин
Введение к работе
Настоящая диссертация посвящена изучению поведения мате риалов под действием интенсивных кратковременных нагрузок. Проблемы, требующие решения задач динамики деформируемо- го твердого тела, возникают в авиационной и космической промышленности, при конструировании объектов атомной и химической промышленности, а также во многих других отраслях современного машиностроения. Во всех таких задачах требуется описать поведение конструкционных материалов, подвергнутых действию кратковременных нагрузок различной природы, оце- нить, как распространяются и затухают в них ударные волны, как возникают и развиваются микро- и макроповреждения, образуются поверхности разрушения.
В настоящее время существует достаточно много подходов для описания разрушения и опубликовано достаточное число монографий как в России так и за рубежом. В первую очередь следует отметить работы Л. М. Качанова [38], [39], [153], Ю. Н. Работнова [78], [80], А. А. Ильюшина [35], В. И. Астафьева, Ю. Н. Радаева, \ Л. В. Степановой [4], В. Б. Пенькова [218], [219], [220], В. Тамужа,
Н. Ромалис, В. Е. Петровой [227], С. Мураками и Ю. Н. Радаева [69], Г. П. Черепанова [102], И. М. Лавита [60], [61], Chaboche [122], [123], Krajcinovic [161], Lemaitre [167], Lemaitre и Chaboche [168], Murakami [214], [215], Maugin [201].
Подход, который получил развитие в работах Л. М. Качанова [38] и Ю. Н. Работнова [78], сформировавшийся к настоящему моменту времени в отдельную дисциплину механики сплошной ф среды и получивший название "Механика континуального разру- шения "(см. по данному вопросу монографи Качанова [39], Аста- фьева и др. [4], Chaboche [122], [123], Krajcinovic [161], Lemaitre [167], Lemaitre и Chaboche [168], Maugin [201]), позволяет построить физически и математически корректную модель повреждаемого упругопластического материала (или термовязкоупругопла-стического материала), описывающую появление зоны пониженного сопротивления материала, то есть "зоны разрушения". В механике континуального повреждения, ответственность за разрушение (разупрочнение) возлагается на уравнения поврежденное, которые связаны с другими определяющими уравнениями. Разупрочнение или, в более общем смысле, разрушение основывается на представлениях о разрушении как о потере способности материала к сопротивлению деформации вследствие нарушения внутренних связей с ростом концентрации микроповреждений (Астафьев и др. [4], Maugin [201]). Разрушение описывается как отдельный процесс, характеристики которого, называемые параметрами поврежденности, связаны с деформацией, температурой и другими параметрами состояния через систему определяющих соотношений и начально-краевых условий термомеханики. Спад напряжений независимо от изменений деформации обеспечивается тем фактом, что модули упругости и напряжения убывают с ростом поврежденности, оставаясь при этом всегда не отрицательными. Положительность модулей упругости обеспечивает выполнение необходимых условий корректности начально-краевых задач по Адамару и Драккеру. Потеря способности материала к сопротивлению деформации может вызываться как внешними воздействиями нетермомеханической природы (химические реакции, облучение), так и термомеханически при достижении напряженно - деформированным состоянием некоторых пределов, определяемых критериями разрушения. Последующие развитие теории происходило, в частности, по пути обобщения основных положений механики поврежденного континуума для случая трехмерного состояния анизотропной поврежденности в работах Качанова [152], Lemaitre [167], Murakami [214], [215], Ра-даева [81], [83], [84].
Критерии разрушения могут быть формулироваться как локальные ограничения на параметры напряженно - деформированного состояния в бесконечно малом объеме [39], как интегрально энергетические теоремы для конечных объемов [102], как критерии, ориентированные на градиенты параметров напряженно - деформированного состояния и характеризующие концепцию напряжений и деформаций (нелокальные теории разрушения) [1], [59].
В механике разрушения сплошных сред предполагается, что макроразрушение происходит мгновенно при выполнении критерия разрушения (без учета зарождения и распространения микроразрушения). В таких моделях разрушения (макротрещины) моделируются посредством явного выделения поверхностей разрушения как контактных разрывов типа магистральной трещин. Механика разрушения получила широкое применение в инженерных расчетах, но при этом очевидно, что полученные таким образом результаты механики разрушения не описывают в полной мере всей физики процесса разрушения. Поэтому простое описание процесса разрушения в рамках стандартных моделей упру-гопластических материалов оказывается неудачным. Развитием механики разрушения является континуальный подход к описанию процессов разрушения, который предполагает построение теоретических моделей сплошной среды, описывающих разрушение как процесс на основе единых для разрушенного состояния материала уравнений. Континуальный подход описывает появление и развитие микротрещин и микрозон разрушения без явного их выделения, что при численной реализации отвечает методам сквозного счета. Не случайно поэтому континуальный подход стал развиваться одновременно с появлением численных методов.
Как уже упоминалось, падение напряжений из-за потери материалом способности к сопротивлению деформации может происходить по нетермомеханическим причинам при неизменной деформации. Это говорит о том, что при континуальном описании процессы деформации и разрушения можно и нужно трактовать как независимые (что не исключает взаимовлияния), а развитие разрушения целесообразно характеризовать своим параметром состояния - поврежденностью. Этот важный шаг по пути разработки континуальных теорий разрушения был сделан в работах [38], [78], [35], [11], [39], [58], [51]. Параметр разрушения или поврежденность подчиняется кинематическому уравнению, является скаляром или тензором ([59], [54], [55], [83], [81]) и отвечает за способность среды к сопротивлению деформации. С ростом поврежденности сопротивление среды падает: модули упругости стремятся к нулю, о чем свидетельствует экспериментально фиксируемое падение скоростей распространения малых возмущений.
Разупрочнение или разрушение материалов сопровождается явлением локализации деформаций в зонах ослабленного сопротивления материала. Во многих используемых численных моделях континуального разрушения (см., например, [65], [100]) расчетные зоны разрушения неправдоподобно обширны и локализация деформаций выражена слабо. Анализ таких численных моделей затруднен, и порой даже не возможен. Появление обширных зон рассеянного разрушения можно наблюдать в экспериментах с вязкими материалами, которые имеют сравнительно медленный рост (накопление) плотности микротрещин (поврежденно-сти). Еще более медленное накопление повреждений определяется как усталостное разрушение. Уменьшение влияния регуляри-зирующих членов при моделировании сильной локализации деформаций приводит в большинстве случаев к аномальной зависимости решения от размера и формы ячеек сетки, что означает потерю сходимости. Поэтому построение численных алгоритмов для аккуратной реализации континуальных моделей разрушения представляет собой самостоятельную проблему.
В большинстве имеющихся моделей разрушения можно выделить два основных недостатка: 1) неопределенная количественная связь с результатами физических экспериментов и 2) неустойчивое поведение численных моделей разрушения из-за сильной чувствительности к параметрам дискретизации. И в физических, и в вычислительных экспериментах результаты сильно меняются при малых изменениях входных данных, что отвечает физике явления разрушения.
Помимо сложностей физического и численного характера разрушение материала может иметь очень медленные и очень быстрые этапы при общем нелинейном поведении сплошной среды. Поэтому моделирование разрушения требует значительных усилий при расчете или измерении характеристик общего термомеханического процесса, на фоне которого происходит разрушение. Это делает проведение параметрических исследований очень трудоемким. Поэтому, в силу специфики процесса разрушения, реальное согласование теории и эксперимента может ожидаться только для основных интегральных характеристик процесса.
Способы описания явления разрушения (разупрочнения), сохраняющие корректность задачи, до конца неясны, и вопрос о том, какими свойствами должны обладать математические модели континуальной маханики для эффективного описания локализации деформаций и эволюции зон разрушения, остается до сих пор открытым и актуальным.
В настоящей работе в рамках стандартной теории повреждаемой упругопластической среды формулируется теоретическая модель, предлагается соответствующая методика численного решения и, таким образом, делается попытка преодоления отмеченных выше недостатков существующих моделей.
В данной работе излагаются теоретические основы и методика решения задач континуального разрушения для моделей повреждающейся термовязкоупругопластической среды. Представлены связанные термодинамически корректные определяющие соотношения термовязкоупруголпастической среды с внутренними параметрами поврежденности, сформулирована общая начально-краевая задача и описан явный метод частиц (Smooth Particle Hydrodynamic (SPH - method)) для решения задач континуального разрушения. Расчеты выполняются с учетом сил инерции независимо от скорости макроразрушения (образование свободных поверхностей предполагается мгновенным), что позволяет учитывать возрастание скорости изменения напряженно - деформированного состояния с развитием зон разрушения с ослабленным сопротивлением деформации. Теоретическая модель повреждаемой вязкоупругопластическои среды, представленная в данной работе, справедлива для случая конечных пластических деформаций и учитывает зарождение и развитие микроповреждений, а также так называемое явление залечивания повреждений. Me- тодика построения термодинамически корректной повреждаемой вязкоупругопластической среды, используемая в данной работе, не является принципиально новой, поскольку все ее элементы так или иначе уже обсуждались и применялись в других работах. Однако трудно указать работу, в которой именно такое сочетание компонентов алгоритма было бы реализовано. Кроме того, было проведено сравнение с экспериментальными данными и получены значения для нестандартных параметров модели повреждения, которые могут быть полезны для дальнейшего развития континуального подхода к проблеме расчета разрушения.
В данной работе рассматривается поведение материалов при ударном нагружении, которое приводит к образованию зон значительных растягивающих напряжений и образованию откола. Проблема количественного описания явления удара представляет собой сложную задачу, и поэтому с ней связано целое научно-техническое направление исследований, интенсивно развивающееся в последние время. Достаточное интенсивное нагружение материала часто приводит к возникновению нарушений сплошности материала в результате разрушения. Так, например, при соударении тонких пластин происходит откол. Под откольным разрушением будем понимать образование макроскопической полости внутри материала, которая может быть замкнутой либо может выходить на границу материала, а в некоторых случаях возможно отделение части материала. Нагружение тонкой пластины-мишени (толщина пластины мишени меньше диаметра ударника) компактным или удлиненным бойком с плоской головной частью обычно приводит к сдвиговому разрушению (образованию зон адиабатического сдвига) мишени с образованием отхода (пробки). Под сдвиговым разрушением будем понимать зарождение в результате локализации деформаций на периферии ударника кольцевого разрыва сплошности материала, который прорастает вглубь мишени. При выходе разрыва на тыльную поверхность мишени происходит выделение отхода.
Для иллюстрации работоспособности предложенного вычислительного алгоритма выполнены следующие модельные расчеты: а) соударение медных пластин в осесимметричной постановке. Рассмотрен нормальный удар пластины-ударника о покоящуюся пластину. Пластина-ударник (радиус 1.0 см, толщина Н—0.4 см) металась продуктами взрыва на медную преграду радиусом 1.5 см, толщиной 1 см. На рис. 4.2 - 4.6 приведено положение пластин в различные моменты времени. Скорость налетающей пластины равна Vo = 100 м/с.
Для иллюстрации работоспособности предложенной математической модели повреждаемой термовязкоупругопластической среды и вычислительного метода выполнены расчеты: б) соударение пластин в одномерной постановке. Ударник сде лан из алюминия, а мишень - из титана. Толщина hi — 2 мм для ударника, и /^ = 10 мм для мишени, как в эксперименте [37] (Канель и др ., 1996). На основе экспериментальных данных для скорости удара Vo = 660 м/с были определены нестандартные па раметры предложенной модели повреждаемой термовязкоупру гопластической среды. На основе полученных данных проведен численный расчет для скорости удара Vq — 1900 м/с. Полученные данные согласуются с экспериментальными данными [37] (Ка-нель и др ., 1996). На рис. 2.3 и 2.4 приведено сравнение скорости тыльной поверхности мишени с экспериментальными данными при использовании метода частиц (SPH-метод); в) основываясь на характеристиках процесса соударения тон ких пластин, вычислительные области (пластины) были рассмот рены как прямоугольные параллелепипеды (ударник- 0.01см х 0.01см х 0.2см, мишень - 0.01см х 0.01см х 1.0см) (см. рис. 2.5). Условия симметрии применяются для боковых поверхностей рас сматриваемой области, результатом этого является одноосное рас пространение волн вдоль параллелепипеда (основное свойство со ударения тонких пластин). Условие свободных поверхностей ре ализуется на передней и задней поверхностях параллелепипедов (см. рис. 2.5). Все характеристики динамического процесса соуда рения пластин описываются достаточно хорошо (форма импуль са, упругий предел Гюгонио, уровень напряжения), увеличение числа частиц не приводит к значительным улучшениям. Удар ник выполнен из алюминия, а мишень - из титана. Свойства ма териалов и параметры модели были аналогично рассмотренным выше; г) в заключение были рассмотрены двумерные задачи о раз рушении пластин в осесимметрическом постановке. Рассмотрен удар пластины-ударника (упругопластического или повреждае мого) по нормали о покоящуюся пластину (повреждаемую). Пла стина - ударник (радиус 1.0 см, толщина Н=0.4 см) металась про дуктами взрыва на титановую преграду радиусом 1.5 см, толщи- ной 1 см. На рис. 4.15 - 4.21 приведено положение пластин в различные моменты времени. Скорость налетающей пластины равна Vo = 700 м/с.
Постановка задачи
Рассмотрим систему Т из N тел в пространстве Мп, п — 2,3 с декартовой системой координат. Пусть каждое тело имеет объем V , массу ті и начальную скорость центра масс U. С точки зрения механики, соударение является процессом взаимодействия элементов этой системы в результате наличия у них разных скоростей. При этом, не нарушая общности, можно принять, что любое из тел может быть описано как деформируемое или как абсолютно жесткое тело. Выберем систему отсчета, связанную с одним из тел системы Т так, чтобы относительно этой системы тело покоилось, и назовем его мишенью, а все остальные тела, имеющие ненулевую скорость, ударниками. Естественно, что в силу разных относительных скоростей ударники могут соударяться между собой и для каждого из этих случаев такая ситуация будет повторяться.
Определяющие соотношения для проблем с конечными деформациями будут представлены в полном лагранжевом формализме, где законы сохранения и определяющие уравнения выражены через материальные координаты X. Обозначим х - элейровы координаты в предположении отсутствия массовых сил, внутренних моментов (среда монополярная), и массовых источников тепла. Одной из первых работ, использующих этот подход, была работа М. Л. Уилкинса [96]; следуя ей, выпишем уравнения законов сохранения.
Термомеханическая модель деформирования и рассеянного разрушения сплошной среды
Рассмотрим термоупругопластическую сплошную среду, которая может иметь изначально распределенные микропоры (повреждения). Модель строится с использованием термодинамических принципов механики сплошной среды и является поэтому термодинамически корректной (см. А. Б. Киселев [51]). Все процессы (деформирования, микроразрушения, тепловые) являются взаимосвязанными. Рассмотрим следующие параметры состояния сплошной среды [45], [46], [51]: о у , e\j и - напряжения, упругие и неупругие (пластические) деформации соответственно; при этом предполагаем, что тензор полных деформаций складываются из упругих и пластических ец = е&ц 4- б?-, и справедливо условие несжимаемости: е\к = 0; F, в и S - удельные (на единицу массы) свободная энергия, внутренняя энергия и энтропия соответственно; Т — абсолютная температура; q — тепловой поток; р — плотность. Вводим также симметрический тензор Wij [51] поврежденности. Параметры поврежденности суть два инварианта тензора поврежденности ojif первый инвариант ь) = сі м/3 - объемная поврежденность иа = \1 ш\- - интенсивность девиатора тензора поврежденности, где Шц = шц — {ojkk/fyfiij сдвиговая поврежденность.
Стратегия решения бессеточных методов
Цель бессеточных методов - это выполнить численный анализ для сложных задач без использования предопределенной сетки, использующей топологическую связь между узлами. Типичное моделирование при помощи бессеточных методов частиц включает:
а. Определяющие уравнения с правильными граничными условиями (ГУ) и/или начальными условиями (НУ).
б. Технику области дискретизации для задания начальной кон фигурации системы частиц.
в. Технику численной дискретизации (слабая форма, сильная форма, методы частиц).
г. Вычислительную технику решения результирующих алгебраических уравнений или обычных дифференциальных уравнений (ОДУ).
Процесс деформирования при соударении пластин
Для понимания процесса разрушения материалов при соударении пластин необходимо изучить процессы деформирования и распространения волн в пластинах. Большое внимание было уделено изучению распространения волн в стержне, которое со времени Тейлора по настоящие время привлекает исследователей. Задача об ударе летящей пластины по жесткой или деформируемой преграде не так часто рассматривалась в исследованиях, что указывает на специфику и сложность моделирования процессов деформирования и разрушения.
Как уже упоминалось ранее, процесс взаимодействия пластин (толщина которых много меньше их радиуса) нашел широкое применение в экспериментальных исследованиях физико - механических свойств материала, где анализ результатов эксперимента проводится на основе однооснодеформируемого состояния [37], [155], [203], [225].
Учет конечной толщины и конечного радиуса характеризуется наличием свободных боковых поверхностей. В результате этого происходит значительное изменение волновой картины процесса. Присутствие свободных поверхностей приводит к отражению волн и формированию волн разгрузки сжатия. Это существенно усложняет волновую картину во взаимодействующих телах и приводит к не одномерному деформированию с искажением первоначальной формы как налетающей, так и покоящейся пластин. Рассмотрим задачу о взаимодействии двух медных пластин. В расчете используются следующие постоянные меди; плотность р = 8900 кг/м3, модуль Юнга = 110 ГПа, и коэффициент Пуассона v = 0.3, предел текучести YQ = 120 МПа.
Рассмотрим нормальный удар пластины-ударника о покоящуюся пластину. Пластина-ударник (радиус 1.0 см, толщина Н=0.4 см) металась продуктами взрыва на медную преграду радиус 1.5 см, толщиной 1 см. На рис. 4.1 приведено положение пластин на момент соударения. Скорость налетающей пластины равна VQ = 100 м/с.
