Содержание к диссертации
Введение
Глава 1. Моделирование процесса деформирования горных выработок в массивах, обладающихупруговязкопластическими свойствами ...20
1. Уравнения, определяющие процесс деформирования упруговязкопластических сред 20
2. Линеаризация соотношений теории течения, граничных условий и условий сопряжения 23
3. Моделирование плоского деформированного состояния на основе линеаризированных соотношений 27
4. Математическая модель горного массива с круговой вертикальной выработкой 31
5. Математическая модель горного массива с вертикальной выработкой, имеющей в поперечном сечении форму эллипса 33
6. Математическая модель горного массива с вертикальной выработкой, имеющей в поперечном сечении форму правильного многоугольника 38
Глава 2. Моделирование процесса потери устойчивости массива горных пород в окрестности некруговых выработок при упруговязкопластическом поведении материала 43
1. Моделирование задач устойчивости в механике деформируемых сред на основе трехмерной линеаризированной теории устойчивости 44
2. Основные соотношения трехмерной линеаризированной теории устойчивости деформируемых тел в цилиндрической системе координат. Выбор метода решения статических упруговязкопластических задач устойчивости 49
3. Исследование устойчивости состояния равновесия горного массива около вертикальной выработки эллиптического поперечного сечения при неупругой работе массива 62
4. Локальная неустойчивость вертикальной выработки, имеющей в поперечном сечении форму правильного многоугольника со сглаженными углами в массивах, обладающих упруговязкопластическими свойствами 80
Заключение 86
Литература 88
- Моделирование плоского деформированного состояния на основе линеаризированных соотношений
- Математическая модель горного массива с вертикальной выработкой, имеющей в поперечном сечении форму правильного многоугольника
- Основные соотношения трехмерной линеаризированной теории устойчивости деформируемых тел в цилиндрической системе координат. Выбор метода решения статических упруговязкопластических задач устойчивости
- Локальная неустойчивость вертикальной выработки, имеющей в поперечном сечении форму правильного многоугольника со сглаженными углами в массивах, обладающих упруговязкопластическими свойствами
Введение к работе
Создание подземных сооружений различного назначения, в том числе глубоких подземных сооружений всевозможной конфигурации, непосредственно связано с необходимостью разработки обоснованных методов их расчета. Этого в первую очередь требуют условия безопасности труда и сохранности находящегося в сооружениях сырья, оборудования и т.д.
Практически нет ни одной отрасли промышленности и строительства, где бы методы и результаты теории неупругой устойчивости не применялись в инженерной деятельности. Развитие научно-технического прогресса, связанное с применением и созданием новых материалов, а также внутренние потребности механики деформируемых тел вызвали необходимость разработки трехмерной линеаризированной теории устойчивости деформируемых тел, методов решения и решения отдельных классов задач в трехмерной постановке.
Одной из важнейших сторон трехмерной линеаризированной теории устойчивости деформируемых тел является исследование задач механики горных пород об устойчивости горных выработок и подземных полостей. Анализ возможности разрушения массива возле них с учетом его последствий, а также разработка конструктивно-технологических мероприятий, обеспечивающих безаварийное функционирование выработок, являются одной из основных проблем этой отрасли науки.
Разрушение горного массива возле выработки может произойти в
результате следующих двух ситуаций: 1) достижение в массиве возле
выработки напряженно-деформированным состоянием пределов
прочности; 2) достижение напряженно-деформированным состоянием критических значений, соответствующих локальной потере устойчивости (отказу) возле выработки. Первый вопрос ранее являлся предметом
5 внимания для большого числа специалистов и рассмотрен в работах [13,
16, 17, 35, 75, 76-78] и [26, 70, 88, 94, 103, ПО, 111, 122, 151].
Исследованию второй ситуации посвящено значительно меньшее число
работ. Основоположником этого направления является Л. В. Ершов [83],
первая статья которого в этом направлении была опубликованна в 1962 г.
В ней рассмотрена осесимметричная задача об устойчивости вертикальной
горной выработки кругового поперечного сечения при моделировании
горной породы упругим изотропным сжимаемым телом. В последующие
годы выполнены исследования отдельных задач, результаты которых
изложены в работах Л. В. Ершова, А. Н. Спорыхина, М. Т. Алимжанова,
А. Н. Гузя [8-13, 55, 129, 151], А. И. Шашкина [159-139] и в ряде других.
Как показано в работах [13, 55, 151] и др. второе направление предпочтительнее, так как локальная потеря устойчивости горного массива вокруг выработки при упругопластическом деформировании происходит раньше, чем исчерпание несущей способности.
Общим для указанных выше работ и ряда других является применение приближенного подхода, в трехмерной теории устойчивости деформируемых тел. Сущность этого подхода заключается в том, что вместо линеаризированных уравнений устойчивости применяются линейные уравнения, а параметры нагружения вводятся в граничные условия. Это обстоятельство существенно упрощает решение задач и дает возможность легко получить конкретные результаты.
Первоначально решение проблем устойчивости основывалось преимущественно на статическом критерии Эйлера. Исследования, которые были проведены в этом направлении [30, 120, 123, 151, 154] показали, что методы, основанные на бифуркации форм равновесия, имеют ограниченную область применения. Статические подходы пригодны в основном лишь в случае консервативных систем, а для
неконсервативных систем надо рассматривать процесс движения системы во времени, то есть использовать динамические методы.
Впервые, учитывая соображения физического характера, Р. В. Саусвелл [170], позднее К. В. Бицено, К. Генки, получили трехмерные уравнения упругой устойчивости при малых докритических деформациях. М. А. Био [165, 166] вывел соотношения трехмерной теории устойчивости, линеаризируя уравнения нелинейной теории упругости, Е. Треффтц [172] -вариационным методом при определенных допущениях. Идеи Е. Треффтца нашли свое развитие в работе Р. Каппуса [170], где получены впервые строго линеаризированные уравнения движения деформируемого тела при конечных докритических деформациях и для частного вида соотношений напряжения-деформации рассмотрены упрощения в случае малых деформаций. Позже линеаризированные соотношения трехмерной теории устойчивости были получены В. В. Новожиловым [119] в лафанжевых координатах, которые до деформации совпадали с прямоугольными координатами.
Для построения трехмерной линеаризированной теории устойчивости деформируемых тел обычно используют следующие два положения.
Первое положение заключается в том, что в основном (докритическом) и возмущенном состояниях действуют одни и те же внешние нагрузки, а напряженно-деформированное состояние среды описывается соотношениями одной и той же нелинейной теорией деформируемых тел.
Второе положение состоит в том, что возмущения являются значительно меньшими величинами по сравнению с величинами докритического состояния. Таким образом, по постановке задачи возмущения являются сколь угодно малыми величинами. Следовательно, в линеаризированной механике деформируемых тел (даже
7 при малых начальных деформациях), начальные деформации
(деформации невозмущенного состояния) следует считать конечными
величинами по отношению к возмущениям.
А. Н. Спорыхин в своей работе [130] подразделил публикации по трехмерной теории устойчивости на три группы.
К первой группе относятся те работы, в которых предполагается наличие конечных докритических деформаций. В основном задачи этой группы [48, 51, 53, 73, 80, 169, 173] выполнены для нелинейно-упругих тел. С использованием потенциала гармонического типа решены задачи осесимметричной и неосесимметричной формы потери устойчивости полого и сплошного цилиндров и сферы под действием внешнего давления [169]. В работах [73, 80] также рассматривается задача устойчивости сферической оболочки, находящейся под действием внутреннего [80] и внешнего [73] давлений. В первом случае для вывода соотношений нелинейной теории упругости используется потенциал трехчленной теории, во втором - материал считается изотропным, несжимаемым, с произвольной формой упругого потенциала. Некоторыми авторами решены задачи устойчивости при конечных вязко-упругих [174, 175] и упруго-пластических [128, 129, 137, 146, 160, 173] деформациях.
С помощью применения теории конечных деформаций можно не только исследовать устойчивость тел, подверженных большим деформациям, но и оценить погрешность различных более приближенных теорий. В работе А. Н. Гузя [51] изложена история формирования и развития трехмерной теории устойчивости деформирования упругих тел, дана классификация постановок задач и обзор исследований в этом направлении.
Ко второй группе относятся работы, в которых докритические деформации предполагаются малыми. В этих исследованиях авторы переходят от теории конечных начальных деформаций к первому варианту
8 теории малых начальных деформаций, который предполагает удлинения,
сдвиги, а, следовательно, и компоненты тензора деформаций малыми по
сравнению с единицей. То есть, не учитывается изменение площадей и
объемов. Чтобы перейти ко второму варианту теории малых начальных
деформаций кроме перечисленных предположений необходимо начальное
состояние определять по геометрически линейной теории. Для перехода к
третьему варианту, кроме допущений первых двух вариантов,
дополнительно предполагаются малыми по сравнению с единицей углы
поворота. К этой группе можно отнести большое количество задач для
различных материалов. В частности, это работы [1-6, 20-25, 27, 30, 50, 52,
55-57, 60, 64, 66-68, 81, 103, 108-110, 120, 128, 129, 131, 136, 138, 144, 145,
147, 148, 157, 158, 160-161, 166].
К третьей группе отнесены исследования, в которых используется приближенный подход Л. С. Лейбензона и А. Ю. Ишлинского [94, 105]. Основой этого метода является то, что трехмерные линеаризированные уравнения устойчивости заменяются уравнениями Ламе, а параметр нагружения вводится в граничные условия, которые учитывают изменение формы граничной поверхности. Для его применения в каждом конкретном случае требуются дополнительные обоснования. Исследование задач при этом значительно упрощается, так как параметр нагружения не входит в основные соотношения. В рамках данного подхода авторами [12, 13, 15, 83-86, 144, 153, 159] исследовались некоторые вопросы горной механики.
Полная классификация задач по методам исследования приведена в монографиях [59, 151] и обзорных статьях [62, 63]. На основе данной классификации вводятся соответственно статический и динамический критерии устойчивости. Последний является более общим и сводится к анализу поведения возмущений во времени. Для тел с реологическими свойствами в рамках линеаризированной теории состояние равновесия или движения считается устойчивым, если возмущения во времени затухают, и
9 неустойчивым - если возрастают [54, 59, 62]. Поскольку на средних и
больших глубинах горные породы приобретают явно выраженные
неупругие свойства, поэтому необходимость предсказания отказов горных
выработок потребовала разработки и применения более сложных
математических моделей сред, описывающих с большей степенью
точности процессы деформирования. С использованием моделей сложных
сред, в которых учитываются такие свойства, обнаруживаемые у реальных
физических тел, как пластичность, вязкость, трансляционное и изотропное
упрочнение, необратимая сжимаемость. Спорыхиным А. Н. исследован
широкий класс задач устойчивости для сред, обладающих
упруговязкопластическими свойствами [133, 135, 139, 142, 151, 152], в
основном при подходе Л. С. Лейбензона - А. Ю. Ишлинского.
В монографии [99] вводится концепция потери устойчивости процесса деформирования, которая является частным случаем исследования устойчивости движения. Также в ней рассмотрены различные процессы нагружения и возникающие при этом трехмерные и двухмерные линеаризированные задачи.
Критические нагрузки будут называться приведенно-модульными, если при их определении учитывать образование дополнительных зон разгрузки. Задачи устойчивости тонкостенных конструкций при таком подходе изложены в публикациях [89, 160]. Если учитывать предположение о совпадении зон разгрузки в докритическом и возмущенном состояниях при определении критических нагрузок, то последние будут называться касательно-модульными [98]. Многочисленные эксперименты показали, что минимальная нагрузка, при которой стержень начинает выпучиваться, соответствует касательно-модульной нагрузке. Дальнейшие исследования в этой области привели к так называемой концепции продолжающегося нагружения [49, 55, 59, 62, 97, 99], когда разгрузка в процессе потери устойчивости не учитывается и,
10
следовательно, упругопластическая граница определяется из
докритического состояния.
В большом количестве работ [12, 13, 15, 84, 85, 135, 144],
посвященных устойчивости горных выработок, используется
приближенный подход Л. С. Лейбензона - А. Ю. Ишлинского. А. Н. Гузь
в своих работах [52, 55] при исследовании устойчивости состояния
равновесия горного массива в окрестности выработок применял
трехмерную линеаризированную теорию устойчивости и разработал
общий метод решения таких задач на основе вариационных принципов.
Эта теория в дальнейшем получила широкое развитие в работах Ф. М.
Асамидинова [20, 21, 103], Акопяна [1 - 6, 120], Г. Н. Баклановой [22, 27],
И. Ю. Бабича [22, 24, 120], А. Н. Гузя [21 - 24, 34, 55, 57, 58, 61, 65, 120],
Л. В. Дериглазова [65-68, 120], А. К. Егорова, С. А. Константинова [73,
100], Г. Г. Кулиева [21, 103], С. Б. Лобовика [24, 108-110], М. В. Миронова
[113], А. В. Новояна [25, 61, 114], В. М. Назаренко [115-118], А. Н.
Спорыхина [133, 137, 145-148], А. И. Шашкина [159-161] и других
авторов. Ими были решены конкретные задачи устойчивости горных
выработок.
Основными объектами исследования теории устойчивости горных
выработок можно считать сами выработки. Основная часть публикаций,
относящихся к задачам устойчивости горных выработок содержит вопросы
исследования устойчивости вертикальных и горизонтальных выработок, а
так же подземных полостей. Основные упрощения, принятые почти во
всех работах состоят в следующем [55]:
- потеря устойчивости возле горных выработок имеет локальный
характер, поэтому для возмущенного состояния можно ставить условия
затухания при удалении «на бесконечность» и рассматривать задачи,
соответственно, для бесконечных областей с полостями
соответствующей формы;
для сравнительно жестких пород докритическое состояние достаточно определять в рамках геометрически линейной теории;
при определении начального состояния и исследовании задач устойчивости можно пренебречь действием всех сил на горный массив за исключением сил собственного веса;
действие газа или жидкости, находящихся в горных выработках, моделируется действием равномерного внутреннего давления на крепь горных выработок;
потеря устойчивости на рассматриваемой глубине обуславливается действием горного давления, а не краевыми эффектами;
выработки достаточно удалены от дневной поверхности.
Исследование устойчивости горизонтальных горных выработок вариационными методами проведено в работах [20 - 22, 25, 27, 61, 66, 68, 115-118]. Породный массив моделировался сжимаемым линейно-упругим изотропным [13, 20, 21, 25, 61, 103, 114] и ортотропным [66, 68] телами. В публикации [103] сделан вывод о том, что случай равномерного сжатия для выработки кругового поперечного сечения является наименее устойчивым. Рассмотрение выработок овального и квадратного поперечного сечения [20, 21, 71, 72, 88] позволило выяснить, что наиболее неустойчивой из выработок криволинейного сечения является круговая.
Решена пространственная упругопластическая задача устойчивости горной выработки кругового поперечного сечения в несжимаемом массиве [27]. В этой работе использовалась деформационная теория пластичности со степенной зависимостью между интенсивностью напряжений и деформаций. В работах [115-118] проводились исследования аналогичного вопроса с позиции теории пластического течения. Также решались задачи устойчивости горной выработки, когда материал приконтурного слоя моделировался однородным несжимаемым телом с трансляционным упрочнением [115, 116].
12 Динамическим методом решены [151] задачи устойчивости
горизонтальной, вертикальной и сферической полостей в упрочняющемся
упруговязкопластическом массиве [131]. Дана оценка приближенного и
точного подхода.
Результаты по устойчивости вертикальных горных выработок впервые получены для выработок кругового поперечного сечения в сжимаемом линейно-упругом массиве [1, 2, 5], в трансверсальном сжимаемом изотропном массиве [120, 151] и в упругопластическом массиве [151]. Из этих работ следует, что потеря устойчивости выработок происходит по осесимметричной форме. В публикациях [34, 152] была изучена проблема неустойчивости ствола скважины (вертикальной выработки) на больших глубинах.
Одной из наиболее сложных задач в разделе математической теории пластичности является пространственная упругопластическая (упруговязкопластическая) задача. Сложность уравнений для большинства реологических моделей сред приводит к значительным трудностям принципиального характера, кроме того, в таких задачах граница раздела областей упругого и пластического деформирования заранее неизвестна, и ее нужно определять в ходе решения. Одним из методов, позволяющих получить приближенное аналитическое решение подобных задач, является метод возмущений, основанный на введении величин, малых по сравнению с некоторыми данными, так или иначе «возмущающих» те или иные исходные решения. Применению этого метода в механике деформируемого твердого тела посвящена монография Д.Д. Ивлева и Л.В. Ершова [91]. В обзорных статьях и монографиях М.Т. Алимжанова, А.Н. Гузя, А.Н. Спорыхина [7, 8, 13, 55, 59, 62, 63, 151] отражено состояние исследований в теории устойчивости трехмерных деформируемых тел, проведенных с помощью метода возмущений.
13 Л.А. Галин [64] для случая плоской деформации в 1946 г. дал точное
решение задачи о двухосном растяжении плоскости с круговым
отверстием. Д.Д. Ивлев и Л.В. Ершов [91] рассмотрели случай, когда
пластическая зона развивается от некоторой границы и целиком
охватывает ее. В рамках такого подхода в публикациях [13, 17, 61, 91] и
некоторых других было получено решение ряда двухмерных и
трехмерных задач.
В работе [19] автор, основываясь на схеме Ивлева-Ершова, получил приближенные решения задач о растяжении плоскости из упрочняющегося упругопластического и упруговязкопластического материала с круговым, эллиптическим и многоугольным отверстием, подверженных действию внутреннего давления.
Исследование локальной неустойчивости задач геомеханики в первую очередь связано с определением основного (докритического) напряженно-деформированного состояния. В случае нестандартных поперечных сечений горных выработок не удается построить точных аналитических решений. Одним из методов, позволяющих получить приближенное аналитическое решение, является метод малого параметра [91]. При определении напряженно-деформированного докритического состояния использовался этот подход. Как следует из обзора выполненных работ, вопрос локальной потери устойчивости горной выработки с эллиптической или правильной многоугольной формой поперечного сечения в упруго-вязко-пластическом массиве, в рамках точных трехмерных уравнений устойчивости до настоящего времени не исследовался, что и определило тему данной работы.
Актуальность темы. При добыче полезных ископаемых должно быть пройдено большое количество вертикальных стволов, которые являются долговременными и дорогостоящими инженерными сооружениями, жизненно важными для функционирования шахты в целом. Состояние
14 горных выработок в зависимости от их назначения должно удовлетворять
различным требованиям, основным из которых является обеспечение
безопасных условий для работающих людей. Под влиянием действующих
усилий массив возле выработки может потерять устойчивость, что
нежелательно. Поэтому анализ возможности потери устойчивости массива
возле выработок представляет собой важную и актуальную задачу.
Известно, что решение задач горной механики, относящихся к процессам проведения и охраны горных выработок, сводится к моделированию их отказов при упруго-пластических деформациях. На основании вышесказанного решение вопроса о нахождении критического давления, распределенного по контуру некруговой выработки (вертикальной) является в настоящее время актуальной задачей.
Цель работы. Математическое моделирование локальной потери
устойчивости и разработка на этой основе метода расчета критических
нагрузок для вертикальной горной выработки, имеющей в поперечном
сечении форму эллипса и правильного многоугольника. Средством
достижения поставленных задач является: аналитическое исследование
напряженно-деформированного докритического состояния;
математическое моделирование отказов горных сооружений в рамках трехмерной линеаризированной теории устойчивости деформируемых тел; получение и разработка метода решения характеристических уравнений; вычисление критических параметров; анализ полученных решений.
Методы исследования. В работе основные вопросы решались моделированием и анализом моделей с помощью математического аппарата механики сплошной среды и трехмерной линеаризированной теории устойчивости деформируемых тел.
Научная новизна.
Впервые
- разработаны математические модели для анализа потери
устойчивости вертикальной горной выработки с эллиптической и правильной многоугольной формой поперечного сечения в упруговязкопластическом массиве на основе трехмерной линеаризирванной теории устойчивости;
разработан алгоритм и дано приближенное решение трехмерных уравнений математических моделей описывающих локальную потерю устойчивости вертикальной горной выработки с эллиптической или правильной многоугольной формой поперечного сечения в упруговязкопластическом массиве;
построены характеристические уравнения рассмотренных задач; проведен вычислительный эксперимент; построены области критических значений параметров нагружения, обнаружены новые эффекты.
Практическая ценность. Полученные результаты в виде аналитических и приближенных решений, алгоритма могут быть использованы при определении докритического напряженно-деформированного состояния около выработок с эллиптической или правильной многоугольной формой поперечного сечения в упруговязкопластическом массиве, а также для определения оптимальных критических параметров контактных давлений.
Приведенные решения задач устойчивости могут быть использованы для проведения мероприятий обеспечивающих безаварийную эксплуатацию рассмотренных горных конструкций.
Построенный алгоритм численной реализации исследуемых процессов может применяться к ряду смежных задач горных конструкций при действии различных нагрузок.
Достоверность. Исследования, выполненные в работе, основаны на корректной математической постановке задач с дальнейшими строгими выкладками. Численная реализация построенного алгоритма для
приведенных задач устойчивости основана на конечно-разностном методе, который широко применяется во многих задачах механики сплошных сред и показал достаточную эффективность. Совпадение теоретических результатов в частных случаях с известными и согласование с общими физическими представлениями окончательных результатов работы также служит подтверждением их достоверности.
Апробация. Основные результаты работы докладывались и обсуждались на: международной школе-семинаре «Современные проблемы механики и прикладной математики», г. Воронеж, 2004 г.; Воронежской весенней математической школе «Понтрягинские чтения -XVI», г. Воронеж, 2005 г.; международной школе-семинаре «Современные проблемы механики и прикладной математики», г. Воронеж, 12-17 сентября 2005 г.; VII научной конференции «Нелинейные колебания механических систем», Н. Новгород, 19-22 сентября 2005 г.; семинарах кафедры теоретической и прикладной механики Воронежского госуниверситета 2002 - 2005 гг.
Публикации. По теме диссертации опубликованы работы [37-41, 74].
Структура и объем диссертации. Диссертационная работа состоит из введения, двух глав (10 параграфов), заключения и списка литературы, включающего 175 наименования. Работа содержит 107 страниц машинописного текста, включая 7 рисунков. Кратко остановимся на вопросах, рассматриваемых в диссертационной работе, и структуре работы.
Во введении дан краткий обзор исследований по проблеме устойчивости горных выработок и сделан анализ существующих направлений и методов, применяемых в этих исследованиях. Обоснована актуальность темы, сформулирована цель работы, научная новизна, основные положения, выносимые на защиту.
17 В первой главе приведены основные уравнения, описывающие
напряженно-деформированное состояние упруго-вязко-пластических сред, в рамках геометрически линейной теории, с помощью которых моделировались процессы деформирования вертикальных горных выработок некруговой формы. Дана постановка задач горной механики, имеющих выработки некруговой формы в массивах со сложными реологическими свойствами. В рамках метода возмущений (метода малого параметра) рассмотрен способ определения напряженно-деформированного состояния такого класса задач. Приведены, следуя известным работам, аналитические решения поставленных задач горной механики в случае выработок эллиптической и многоугольной форм. Результаты решений представлены в первом приближении.
Вторая глава посвящена исследованию потери устойчивости массива горных пород в окрестности выработок при упруговязкопластическом поведении материала. В этой главе рассматривается моделирование задач устойчивости - в механике деформируемых сред на основе трехмерной линеаризированной теории устойчивости. Приведены основные соотношения трехмерной линеаризированной теории устойчивости деформируемых тел в цилиндрической системе координат. Выбирается метод решения поставленных статических упруговязкопластических задач устойчивости механики горного давления.
Проведено исследование устойчивости состояния равновесия горного массива около вертикальной выработки эллиптического поперечного сечения при неупругой работе массива. Исследуется локальная неустойчивость вертикальной выработки, имеющей в поперечном сечении форму правильного многоугольника со сглаженными углами в массивах, обладающих упруговязкопластическими свойствами.
18 Приводится приближенное решение поставленных задач, основанное
на применении метода конечных разностей. Проведен анализ полученных
результатов.
В заключении сформулированы результаты, полученные в
диссертации. Приведем основные из них:
В рамках принятой модели среды дана постановка задач и разработана математическая модель деформирования горного массива содержащего вертикальную выработку эллиптического поперечного сечения и правильного многоугольника со сглаженными углами в массивах, обладающих упруговязкопластическими свойствами. Приведены аналитические решения соответствующих докритических напряженно-деформированных состояний.
В рамках трехмерной линеаризированной теории устойчивости разработаны математические модели для исследования отказов вертикальной выработки эллиптического . поперечного сечения и правильного многоугольника со сглаженными углами.
Для неоднородных докритических состояний построен алгоритм и дано приближенное решение пространственных задач устойчивости горных выработок, имеющих в поперечном сечении форму эллипса и правильного многоугольника.
4. На основе конечно-разностного метода приведены
характеристические уравнения в виде определителя для каждой
рассматриваемой задачи.
5. Получены области критических значений параметров нагрузок.
6. Проведен теоретический и численный анализ полученных
решений. Результаты представлены в виде графиков.
На основании численных результатов сделаны следующие выводы:
а) наличие в горном массиве поверхностей раздела зон упругого и
пластического деформирования может существенно влиять на устойчивость вертикальных выработок некруговой формы;
б) существенное влияние на потерю устойчивости оказывают как физико-
механические, так и геометрические параметры конструкций (глубина
заложения выработки);
в) с ростом коэффициента упрочнения область устойчивости
увеличивается;
г) критическая нагрузка на контуре выработки при увеличении вязкости
уменьшается, т.е. вязкость оказывает стабилизирующую роль;
д) в случае круговой цилиндрической выработки область устойчивости
будет больше, чем в случае выработки, имеющей в поперечном сечении
некруговую форму;
е) используемый численный конечно-разностный метод является
достаточно эффективным для решения рассмотренных задач.
Моделирование плоского деформированного состояния на основе линеаризированных соотношений
При плоской деформации поле напряжений и перемещений в цилиндрической системе координат (r,0,z) таково, что: В этом случае, функция нагружения (1.1.8) в цилиндрической системе координат примет вид: Таким образом, для случая плоской деформации выведены линеаризированные соотношения EVP тела, и задача определения напряжений и перемещений для любого приближения может быть сведена к решению уравнений (1.3.7) и (1.3.12). В случае идеальной пластичности в соотношениях (1.3.1)-(1.3.12) следует положить с =0 и ц = 0(/ -» оо), тогда правая часть уравнения (1.3.7) примет вид при п 2 Отметим, что уравнения (1.3.7), (1.3.12), (1.3.16) принадлежат к гиперболическому типу, что устанавливается обычным способом. Итак, в случае идеальной пластичности задача определения напряжений и перемещений, также как и в случае EVP сред, сводится к решению уравнений (1.3.7) с правой частью (1.3.5) и уравнения (1.3.16), соответственно. Таким образом, алгоритм построения приближенного решения задач теории течения упруговязкопластического тела с произвольным упрочнением сводится к следующему. Выполняется процедура разложения по малому параметру системы уравнений (1.1.1) -(1.1.9), описывающих рассматриваемую задачу. Рассматривается n-ое приближение, а именно: 1. Используя решение предыдущих приближений, вычисляются правые части уравнений (1.3.7), служащих для определения напряжений в пластической зоне.
Так как правые части этих уравнений зависят от компонент пластической деформации искомого приближения, то в качестве первой итерации пластическим деформациям присваивается значение пластических деформаций предыдущего приближения. И, таким образом, решается уравнение (1.3.7) для определения напряжений в пластической зоне. 2.Определяются граничные условия для задачи в упругой зоне: на внешней границе, исходя из заданных при постановке задачи граничных условий (1.1.2); на границе задачи упругой и пластической областей, исходя из условий сопряжения решений на этой границе (1.1.5)-(1.1.6). Как показано в [91], граничные условия для величин любого порядка сносятся с искомой упругопластической границы на невозмущенную, при этом требуется знать все предыдущие приближения. 3. Находятся решения в упругой зоне согласно [28]. 4. Полученные решения для перемещений в упругой зоне используются в условиях сопряжения перемещений на упругопластической границе. 5. Решается уравнение, полученное из соотношения ассоциированного закона пластического течения (1.3.12), причем, учитывая, что правая часть этого уравнения содержит компоненту пластической деформации искомого приближения, для вычисления интеграла в правой части этого уравнения используем итерационный процесс аналогичный пункту 1. 6. Вычисляются слагаемые текущего приближения, входящие в уравнение упругопластической границы [91].
Затем процесс повторяется. Моделируем горный массив с вертикальной выработкой кругового поперечного сечения толстой плитой с круговой полостью радиуса R0, по периметру сечения которой приложена равномерно распределенная нагрузка q0. На бесконечности напряжения в плите стремятся к величине gh (S - объемный вес породы, И0 - глубина заложения выработки). Величины q0 и gh таковы, что образующаяся пластическая область радиуса у полностью охватывает контур выработки. Материал горного массива моделируется упруговязкопластической средой с трансляционным упрочнением. В качестве определяющих соотношений принимаются соотношения теории упрочняющегося упруговязкопластического материала [151]. Решение приводится для плоской деформации с использованием цилиндрической системы координат (r,0,z). Все соотношения записываются в безразмерном виде. За масштаб напряжения выбран предел текучести при чистом сдвиге, за масштаб длины - радиус упругопластическои упрочняющейся границы у.
Математическая модель горного массива с вертикальной выработкой, имеющей в поперечном сечении форму правильного многоугольника
Здесь, следуя [149], приведем решение задачи об определении напряженно-деформированного докритического состояния горного массива в окрестности вертикальной выработки, имеющей в поперечном правильного многоугольника. На бесконечности напряжения в массиве стремятся к величине gh (g - объемный вес породы, h - глубина заложения выработки), т. е. начальное напряженное состояние в массиве (до проведения выработки) принимается гидростатическим. На контуре отверстия действует нормальное давление Яо (Рис 1.2). Контур многоугольника опишем уравнением гипоциклоиды, параметрическое уравнение которой имеет вид [31]: Приведенные уравнения при 8 = 0 описывают окружность радиуса R0. При п =1 контур L будет представлять собой эллипс с полуосями R0(l + 8), Rg(l-8). Контур L при п \ имеет п + \ точек возврата и напоминает по форме правильный п+1 -угольник, имеющий сглаженные углы. Представим срв виде разложения в ряд по 8 где в - полярная координата контура L. Тогда для cosncp, s\nri(p имеют место следующие разложения по 8: cosncp = ъо? пв-п6х8$лппд +—82(-п2в2х го$ пв-2п6г sin«#) + ... smncp = smnO + пв{8cosпв + — 82(-п2в2 s mne + 2n02 cosne) + ..., (1.6.4) где п є N. Подставляя (1.6.4) в (1.6.2) и учитывая, что декартовы координаты контура L связаны между собой соотношением у = xtg9, определим 6 =sin0, вг ={В-Щ cos ВО,... (1.6.5) где В = п +1. Согласно выражениям (1.6.2) и (1.6.5) уравнение контура в полярных координатах запишем так: где В —количество «сглаженных» углов контура L. Для упрощения решение находим, как и в предыдущей задаче, в безразмерных переменных. Характерные размеры вводим такие же, как и в предыдущей задаче. Граничные условия для рассматриваемой задачи определим по Как видно из (1.6.11) в данной задаче форма упругопластической границы зависит от формы контура внутреннего отверстия. При этом, если в (1.6.6) положить В = 2, то мы придем к задаче Д.Д. Ивлева [91] о растяжении пластины с эллиптическим отверстием. Если в соотношении (1.6.6) положить S = 0, то оно будет описывать напряженно-деформированное состояние пластины с круговым отверстием и соответствовать результатам решения задачи Галина [151] для модели упруговязкопластического тела.
Приведенные поля напряжений (1.6.8), (1.6.10) и деформаций (1.6.12) определяют основное (докритическое) состояние в горном массиве с выработкой, имеющей в поперечном сечении форму правильного многоугольника. Таким образом, в данной главе дана постановка задач горной механики, имеющих выработки некруговой формы в массивах со сложными реологическими свойствами. В рамках метода малого параметра рассмотрен способ определения напряженно-деформированного состояния такого класса задач. Следуя известным работам приведены решения для поставленных задач горной механики в случае выработок эллиптической и многоугольной форм. Решения представлены в аналитической форме в первом приближении, т.к. вычисления последующих приближений связано с численным решением задач [149]. В настоящее время в большинстве случаев добыча и хранение ряда полезных ископаемых продолжительное время ведется в одних и тех же месторождениях. В связи с этим возникают требования по проведению укрепительных работ подземных сооружений, в частности, горных выработок, для безопасных условий труда. Учитывая вышесказанное, проведенные в последующих параграфах моделирование и анализ возможности потери устойчивости горных выработок некруговой формы, имеет большое практическое значение.
Обычно при моделировании задач устойчивости конструкций нагрузка возрастает от нуля до некоторого критического значения, тогда как при моделировании задач теории устойчивости горных выработок о нагрузка убывает от своего верхнего значения p=gh (g - средний о объемный вес вышележащих пород, h - глубина заложения выработки) до некоторой критической величены. Кроме того, наряду с отмеченными во введении предположениями, также будем полагать, что потеря устойчивости происходит от действия внешних нагрузок и никак не связана с краевыми эффектами, то есть выработки достаточно удалены от дневной поверхности. Так же предполагается, что возмущения носят локальный характер, а зона потери устойчивости такова, что зависимостью о внешних нагрузок от величены h можно пренебречь. Для цилиндрической вертикальной выработки не учитываются эффекты, связанные с тем, что выработка имеет конечную глубину.
Основные соотношения трехмерной линеаризированной теории устойчивости деформируемых тел в цилиндрической системе координат. Выбор метода решения статических упруговязкопластических задач устойчивости
Как было ранее отмечено, при моделировании трехмерных задач устойчивости с учетом пластических деформаций, следуя [55, 99], принимается обобщенная концепция продолжающегося нагружения. При применении данной концепции приходим к задачам устойчивости для тел с кусочно-однородными свойствами, а положение упругопластической границы определяется из докритического состояния. При этом при динамическом подходе задача сводится к вычислению собственных значений и отысканию из условия (2.1.20) первого в истории нагружения критического значения внешних сил при не изменяющихся зонах разгрузки, возникших в докритическом состоянии. При статическом подходе имеем задачу на собственные значения непосредственно для параметров нагружения соответствующих линеаризированных статических однородных задач и определению по ним критической комбинации параметров внешних сил при не изменяющихся зонах разгрузки, возникших в докритическом состоянии. Таким образом, задачи сводятся к определению отличных от нуля возмущений перемещений и соответствующих собственных значений, а по последним определяются критические комбинации внешних сил для основного состояния равновесия. Следовательно, при принятой концепции [55, 99] основная трудность, заключающаяся в определении положения границ зон разгрузки, устраняется и переносится на задачу определения исходного докритического состояния. Если действующие нагрузки будем считать «мертвыми», тогда в соотношениях (2.1.14) Pj=0. 2. Основные соотношения трехмерной линеаризированной теории устойчивости деформируемых тел в цилиндрической системе координат.
Выбор метода решения статических упруговязкопластических задач устойчивости. Для представления основных линеаризированных соотношений сформулированной в предыдущем параграфе статической краевой задачи в криволинейной системе координат, будем использовать формулы ковариантного дифференцирования тензоров и векторов, то есть В цилиндрической системе координат {r,0,z) ненулевые компоненты метрического тензора определяются соотношениями &и=з.1 = 1 гг=г2 а ненулевые символы Кристоффеля второго рода .. - Г .2 1 соотношениями Г22 = -г, Гп =Г2. = — . Физические составляющие произвольного вектора и и симметричного тензора второго ранга v в системе координат (r,0,z) есть о\ Используя (2.2.1) и (2.2.2), линеаризированные уравнения равновесия (2.1.13) перепишутся в виде 1 Аналогично, используя (2.2.1) и (2.2.2), запишем уравнение (2.1.11), связывающее амплитудные значения напряжений и перемещений для несжимаемой упруго-вязко-пластической модели среды в пластической и упругой областях в форме: Тогда подставляя уравнение состояния (2.2.4), (2.2.5) в (2.2.3) и, учитывая (2.2.2) получим уравнения равновесия в цилиндрической системе координат в перемещениях в форме 1 о r r Граничные условия в напряжениях (2.1.14) будут иметь вид Из физических соображений выберем компоненты вектора нормали следующим образом iV, = 1, N2= N3=0. Тогда граничные условия (2.2.8) с (\ учетом (2.1.11) запишется в форме
При этом в пластической зоне коэффициенты ах,аг...,ап имеют вид (2.2.5), а в упругой надо положить в (2.2.5) а = 0. Условие затухания возмущения перемещений (2.1.3) на бесконечности запишем в виде Условие несжимаемости (2.1.18) представим в форме 1 (2.2.11) и r + — {v0 +и)+ w, = 0 Условия непрерывности вектора поверхностных сил и перемещений (2.1.16), (2.1.17) на границе раздела упругой и пластической областей выписываются аналогично. Решение этих уравнений для цилиндрических задач аппроксимируем двойными тригонометрическими рядами [151] где я, m - параметры волнообразования. Так как система уравнений (2.2.6) - (2.2.11) является линейной и однородной, то каждый член (2.2.12) можно рассматривать отдельно. Для упрощения в дальнейшем индексы n, m опустим. Тогда систему уравнений (2.2.6) - (2.2.11) можно записать в терминах функций A(r), B(r), C(r), D(r) таким образом: - уравнения равновесия A\b{ cosт0 - mb5 s mm0 -m2b6 cosm0 -п2/лгсоътб)+ Ar{b2 cosmO - mb4 smm0) + Arr(b3 cosm0) + Z?(b7 s mm0 + mbu cosmd - m2bn sinm0) + + Вr(bss mm0 + mbl0 cosmO)+ Вrrb9 sinm0 + C(nb]A cosm0 - mnau sin m #) + + С rnbn cos mO + rD r cosmO = 0, A[biS cosmO -mbls s mm0 + m2as cosm0) + Ar(bl6 cosm0-mb]7 smm0) + + Arra9 cosm0 + B[b]g s mm0 + mb2i cosmO - m2bu s mm0 - n2jursmm0)+ + В r(b20 s mm0 + mb22 cosm0)+ В nb2x sin m0 + C(nb25 cosm0 - mnb26 sin m 0) + + С rnau cosm0 + D ms mm0 = 0, - An{X + ju)cosm0 - Arn(X + ju)cosm0 - В тп(Я + ju)cosm0 + + C\rpco2 cosm0 - mb2% s mm0 - m2b29 cosm0 - п2г(Я + 2ju)cosm9)+ b21 cosm0 - 2ттг0 s mm0)+ С rrr[/.i + jr )cosm0 - D rncosm0 = O. - граничные условия
Локальная неустойчивость вертикальной выработки, имеющей в поперечном сечении форму правильного многоугольника со сглаженными углами в массивах, обладающих упруговязкопластическими свойствами
Рассмотрим задачу о пространственной форме потери устойчивости вертикальной выработки, имеющей в поперечном сечении форму правильного многоугольника (В-угольника). Свойства пород приствольной зоны моделируются соотношениями упруговязкопластического тела с трансляционным упрочнением. Как и в предыдущей задаче по контуру отверстия выработки действует нормальное давление интенсивностью q0. На бесконечности напряжения в массиве стремятся к величине gh. Величины q0 и gh таковы, что образовавшаяся пластическая область полностью охватывает контур выработки. Уравнение отверстия контура выработки представим в виде (1.6.6). Неоднородное докритическое состояние в массиве описывается системой уравнений (1.4.2), (1.4.3), (1.6.8), (1.6.10). Граница раздела / упругой и пластической зон определяется из (1.4.6),(1.6.11). Уравнение состояния, как и в предыдущем параграфе, примем в форме (2.1.11)-(2.1.13). Тогда уравнения равновесия для областей пластического и упругого деформирования массива имеют вид (2.2.17). Условия непрерывности напряжений (2.1.5), на упругопластической границе у-у[й) + 8у(]) (О 0 27г) с учетом (2.1.11), (2.1.12), как и в предыдущей задаче, имеют вид (2.3.3). Из условия локальности возмущений (2.2.10) следует
Таким образом получили замкнутую краевую задачу. Найти точное аналитическое решение краевой задачи не представляется возможным. Для решения задачи, как и ранее, будем использовать конечно-разностный метод [60]. Перейдем с помощью аппроксимаций (2.2.19)-(2.2.22) от дифференциальных уравнений к разностным. Процедура получения характеристического уравнения для краевой линеаризированной задачи устойчивости вертикальной горной выработки, имеющей в поперечном сечении форму правильного многоугольника, аналогична процедуре, описанной в предыдущем параграфе. Ненулевые элементы определителя xJ будут иметь вид (1)-(11), где в (1) элементы записаны в точке г = R0(\ +Sd cos В в); в (2) При этом: - в случае выработки, имеющей в поперечном сечении форму квадрата в соотношениях (1 )-(11), следует положить В=4; - в случае формы поперечного сечения, приближенной к окружности (шестидесятиугольника) в (1 )-(11) следует положить В=60. Уравнение det (q0,m,n, Л.)=0 необходимо решать совместно с уравнением для определения радиуса упругопластической границы (1.4.6), (1.6.11), и, учитывая при этом, что докритическое состояние определяется соотношениями (1.6.8)-(1.6.10). Вычисления проводились для случая, когда горный массив содержал выработку, имеющую в поперечном сечении форму квадрата (В=4) со сглаженными углами. На рис. 2.3 - рис. 2.5 представлена зависимость критического давления на контуре выработки от величины гидростатического давления gh. При этом было принято R0=0,4, = 0,06, // = 1, параметры волнообразования п=т=4. На рис. 2.3 кривая 1 соответствует с = 0,9; кривая 2 - с = 0,1; кривая 3-с= 0,01. При этом 77 = 0,001. На рис. 2.4 кривая 1 соответствуют /7 = 0,001; кривая 2 - 77 = 0,01; кривая 3 - г/= 0,1. При этом с = 0,1. На рис. 2.5 верхняя кривая соответствует случаю горной выработки имеющей в поперечном сечении форму правильного четырехугольника со сглаженными углами, нижняя - форму окружности (=60). При этом с=0,9; 77 = 0,001. Анализ численного эксперимента показал: при увеличении глубины заложения величина критического давления на контуре выработки увеличивается (рис. 2.3-рис. 2.5); с ростом коэффициента упрочнения с, величина критического давления на контуре выработки утньшл ется - рис. 2.3, а при увеличении вязкости - область устойчивости увеличивается, в этом смысле вязкость оказывает стабилизирующую роль (рис. 2.4); из рис. 2.5 следует, что в случае круговой цилиндрической выработки область устойчивости будет больше, чем в случае выработки, имеющей в поперечном сечении форму квадрата. - в рамках трехмерной линеаризированной теории устойчивости упругопластических тел разработаны математические модели для исследования устойчивости вертикальных горных выработок некруговой формы; - разработан алгоритм решения задач устойчивости выработок некруговой формы, основанный на конечно-разностной схеме, в рамках которого задачи сведены к бесконечным системам дифференциальных уравнений; - построены характеристические определители для задач об устойчивости вертикальной выработки, имеющей в поперечном сечении форму эллипса или форму правильного многоугольника; - проведен вычислительный эксперимент задачи многомерной оптимизации величины q0 в зависимости от параметров волнообразования п, т, параметров среды Я. и геометрии конструкции; построены зависимости критической величины внутреннего давления # ,; - установлено, что потеря устойчивости происходит по осесимметричной форме при параметрах волнообразования п=т=4; - при увеличении глубины заложения величина критического давления на контуре выработки увеличивается; - с ростом коэффициента упрочнения с, величина критического давления на контуре выработки уМНЫЛ ается, при увеличении вязкости - уменьшатся Tit вязкость оказывает стабилизирующую роль; - если в соотношениях 3 положить = 0, то приходим к результатам работы [151], для случая круговой цилиндрической выработки; - в случае круговой цилиндрической выработки область устойчивости будет больше, чем в случае выработки, имеющей в поперечном сечении форму квадрата; - используемые разностные схемы для краевых задач имеют хорошую сходимость. Вычисления действительных корней характеристических уравнений проводились методом последовательного удвоения числа шагов и заканчивались при совпадении двух последних результатов в третьем знаке после запятой. Дано сопоставление полученных теоретических результатов с известными. В диссертационной работе на основе трехмерной линеаризированной теории устойчивости деформируемых тел проведено математическое моделирование задач механики горного давления - горные выработки некруговой формы. Расчеты представлены для материалов, свойства которых описываются упруговязкопластической моделью тела с трансляционным упрочнением. Результаты изложенные в работе сводятся к следующему. 1.
В рамках принятой модели среды разработана и проанализирована математическая модель, описывающая процесс деформирования горного массива содержащего вертикальную некруговую выработку. 2. Для принятых математических моделей выработок приведены аналитические решения для полей напряжений и деформаций для горного массива содержащего: а) вертикальную выработку с поперечным сечением, имеющем форму эллипса; б) вертикальную выработку с поперечным сечением, имеющем форму многоугольника. 3. Впервые, на основе трехмерной линеаризированной теории устойчивости разработаны математические модели отказов горных выработок с некруговым поперечным сечением (в форме эллипса и в форме правильного многоугольника). 4. Для полученных математических моделей для исследования отказов горных выработок с некруговым поперечным сечением в случае неоднородных докритических состояний построен алгоритм решения задач, основанный на конечно-разностной схеме. 5. В рамках конечно-разностного метода получены характеристические уравнения в виде определителя для каждой из рассматриваемых задач.
