Содержание к диссертации
Введение
ГЛАВА 1. Постановка коэффициентных обратных задач электроупругости 17
1. Постановка задач о колебаниях электроупругих тел с неоднородными пьезосвойствами 17
2. Постановка коэффициентных обратных задач электроупругости для стержня ... 22
Задача 1. Определение неоднородной поляризации стержня по информации об относительном смещении его торцов в случае поперечной поляризации 22
Задача 2. Определение неоднородной поляризации электроупругого стержня при силовой нагрузке по информации о смещении его торца 24
Задача3. Определение неоднородной поляризации стержня по информации о токе в цепи в случае продольной поляризации 27
Задача 4. Определение неоднородной поляризации стержня по информации об относительном смещении его торцов в случае продольной поляризации 31
ГЛАВА 2. Некоторые методы исследования коэффициентных обратных задач 33
1. Метод линеаризации 34
2. Методы регуляризации. Метод регуляризации А.Н. Тихонова..37
3. Метод проекций сопряженных градиентов на множествах специальной структуры 42
ГЛАВА 3. Решение коэффициентных обратных задач электроупругости ...46
1. Решение коэффициентной обратной задачи для стержня в случае поперечной поляризации по информации об относительном смещении его торцов 46
2. Решение коэффициентной обратной задачи для стержня при силовом нагружении по информации о смещении торца стержня 51
3. Решение коэффициентной обратной задачи для стержня в случае продольной поляризации по информации о токе в цепи 58
4. Асимптотическое решение коэффициентной обратной задачи для стержня в случае продольной поляризации по информации о токе в цепи 64
5. Решение коэффициентной обратной задачи для стержня в случае продольной поляризации по информации об относительном смещении его торцов 68
6. Численное решение коэффициентных обратных задач для стержня 71
Заключение 79
Литература 80
Приложения 95
- Постановка коэффициентных обратных задач электроупругости для стержня
- Определение неоднородной поляризации стержня по информации о токе в цепи в случае продольной поляризации
- Метод проекций сопряженных градиентов на множествах специальной структуры
- Решение коэффициентной обратной задачи для стержня в случае продольной поляризации по информации о токе в цепи
Введение к работе
В настоящее время создано большое количество разнообразных элементов пьезоэлектронной техники, на основе которых разрабатываются эффективные устройства радиоэлектроники, акустики, автоматики, вычислительной и измерительной техники, в приборах дефектоскопии и медицинской диагностики [26, 65]. Особое внимание к таким материалам, как пьезоэлектрики, связано с открытым в 1880 году братьями Кюри явлением пьезоэффекта, которое состоит в том, что при деформировании кристаллов некоторых кристаллографических классов или пьезокерамик на их поверхностях появляются электрические заряды, пропорциональные деформации. Термодинамический анализ показывает существование обратного эффекта, который заключается в возникновении механических напряжений в кристалле при действии электрического ПОЛЯ.
Обзор реальных устройств пьезоактивных материалов, их характеристики и примеры использования в технике изложены в монографиях и статьях [2, 3, 29, 36, 38, 45, 50, 65, 75, 79).
Пьезокерамические элементы характеризуются высокой помехозащищенностью, технологичностью изготовления и надежностью в эксплуатации, повышенной радиационной и химической стойкостью. Использование пьезоэлектрических материалов в автоматике и приборостроении позволяет уменьшить размеры и массу многих элементов устройств, создать различные эффективные преобразователи энергии. Необходимость обеспечения надежности и выбора оптимальных условий функционирования конкретных технических устройств является причиной активного изучения свойств пьезокерамических материалов.
Так, например, исследованию свойств пьезоматериалов посвящены работы [81, 95, 107, 113, 122].
Среди наиболее значимых работ по математическим моделям в электроупругости необходимо отметить монографии и статьи [4, 7, 8, 12, 22, 28, 30, 40,44, 56, 59, 60, 63, 64, 67, 73, 74, 78]. Отметим также ряд обзорных статей, например [48, 49], в которых обсуждены различные вопросы функционирования устройств с пьезокерамическими элементами.
Уравнения пьезоэлектричества, сформулированные в начале 60х годов прошлого столетия Миндлиным [118], являются основой краевых задач электроупругости [56, 59,60], которые имеют важные приложения при расчете пьезодатчиков различного функционального назначения [26, 38, 75, 83, 109].
Широкое внедрение в практику устройств, в основе функционирования которых лежит пьезо- и пироэффект, определяет интерес исследователей к описанию свойств пьезоматериалов. Свойства поляризованной керамики и эффекты, которые возникают в этой среде при действии управляющих полей, составляют основу создания разнообразных элементов автоматики и вычислительной техники. В частности, работа некоторых пьезоэлектронных элементов основана на изменении поляризации пьезокерамики под действием электрического поля, механической нагрузки и температуры. Наиболее часто на практике для расчетов используется модель электроупругости, в которой свойства материала описываются при помощи набора постоянных (упругих модулей, пьезоэлектрических модулей, диэлектрических про-ницаемостей) [60]. Вместе с тем, ряд экспериментальных данных
свидетельствует о том, что этим материалам присуща неоднородность физических свойств, которая возникает как на стадии изготовления пьезокерамики, так и на стадии эксплуатации устройств на ее основе из-за сильного влияния на свойства пьезоактивных материалов соответствующих тепловых режимов. Так, частичная или полная располя-ризация пьезоэлемента может возникать при нагревании его части выше точки Кюри [60]. Задача об определении степени располяриза-ции или неоднородной поляризации пьезоэлемента сводится к определению зависимостей пьезомодуля от координат по известным функционалам или операторам от решений. В качестве такой известной информации используются либо амплитудные зависимости тока в цепи, либо смещения части поверхности при механическом и электрическом нагружении. Определение характеристик пьезоэлемента по данным о токе или смещении части образца приводит к коэффициентным обратным задачам электроупругости, впервые рассмотренным в работах [23, 24], в которых изучены подобные исследуемым в настоящей работе проблемам в рамках установившихся колебаний, и которые посвящены определению пьезомодулей по току в цепи.
Цель многочисленных экспериментов, проводимых в различных областях науки и техники, в том числе и в механике материалов с пьезосвойствами, состоит в изучении свойств объектов или процессов и построении математических моделей на их основе. При этом весьма распространенными являются ситуации, в которых объект или процесс либо принципиально недоступны для непосредственного наблюдения, либо его наблюдение связано с очень большими материальными затратами. Характерной чертой возникающих при этом
задач интерпретации результатов эксперимента является то обстоятельство, что исследователь должен сделать заключение о свойствах объекта или процесса по измеренным в результате эксперимента их косвенным проявлениям. Таким образом речь идет о задачах, в которых требуется определить причины, если известны полученные в результате наблюдений следствия. С точки зрения соотношения причина -следствие, все задачи математического моделирования условно можно разделить на два больших класса:
І.Ярллше-известньї причины, требуется определить следствия;
2.0брат?ше-известны следствия, требуется определить причины.
Решению прямых задач посвящены многочисленные исследования на протяжении последних 200 лет. Для них доказаны теоремы существования и единственности, разработаны эффективные численные методы на основе граничноэлементных и конечноэлементных технологий, разностных схем. Интерес к обратным задачам особенно интенсивен в последние 30-40 лет в связи с многочисленными приложениями в различных областях естествознания и техники [31, 41, 85, 88, 94, 96, 110].
Решение обратных задач, состоящих в обращении причинно-следственных связей, как правило, связано с преодолением существенных трудностей, и успешный результат зависит как от количества и качества экспериментальной информации, так и от совершенства методов ее обработки. Первый из указанных факторов представляет собой техническую проблему, решаемую экспериментатором, в то время как второй - обработка результатов эксперимента - одна из обширных сфер приложения математических методов.
Основные специфические моменты теории обратных задач наиболее
полно изложены в монографиях [11, 13, 34, 66, 89]. Среди главных особенностей обратных задач - нелинейность, неединственность и некорректность.
Важной особенностью обратных задач является то обстоятельство, что исходная информация в этих задачах, полученная в результате обработки эксперимента, известна приближенно, так как приборы, используемые при наблюдении, имеют определенный уровень погрешности. Таким образом, методы решения обратных задач должны обладать устойчивостью к малым изменениям в исходных данных. В свете этой необходимости растет интерес к анализу и совершенствованию уже существующих методов решения обратных задач и построению новых методов [21, 42, 84, 94, 112], позволяющих получать достаточно устойчивые результаты.
Исследование любой обратной задачи, связанной с изучением некоторого реального процесса или объекта, проводится в рамках определенной математической модели. И чем шире класс величин, подлежащих определению при решении обратной задачи, чем больше определенных факторов учитывается при решении обратной задачи, тем сложнее модель и тем труднее ее разрешение. Поэтому для выявления общих тенденций той или иной проблемы большой интерес представляют различные специальные частные случаи, которые часто предваряют собой переход к более общим постановкам.
Наиболее сложными для исследования классами обратных задач являются коэффициентные [106, 114, 115] и геометрические [21]. Коэффициентные обратные задачи - это задачи об определении коэффициентов дифференциальных операторов (обыкновенных или в частных производных) по некоторой информации о решении. При этом
подходы при определении коэффициентов имеют как общие черты, так и существенные различия для различных типов операторов в частных производных (эллиптические, гиперболические [42, 104], параболические [93, 120]).
К настоящему времени накоплен достаточный опыт по исследованию одномерных обратных коэффициентных задач для операторов гиперболического типа. Эти методы основаны либо на предварительном сведении задач к нелинейному операторному уравнению типа Вольтерра и его численному решению [66у 80, 89], либо на прямом использовании методов обращения разностной схемы [42].
Для негиперболических операторов или операторов смешанного типа (например, для оператора электроупругости) обратные коэффициентные задачи ранее рассматривались лишь в работах [23, 24], где они изучены в случае установившихся колебаний и приведены к обратным задачам для обыкновенных дифференциальных операторов. Интерес к решению коэффициентных обратных задач для операторов негиперболического типа продиктован широким использованием модели линейной электроупругости при расчете различных пьезоэлементов.
Решение любой количественной задачи состоит в определении некоторого элемента z (решения задачи) по исходным данным и и может быть представлено в виде процедуры решения операторного уравнения
Az = и.
При этом обычно предполагается, что исходные данные и являются элементами некоторого метрического пространства U: и Є U, а решение z ищется в метрическом пространстве Z: z Є Z, A : Z —> U - некоторый оператор.
Согласно Ж. Адамару [99], задача называется корректно поставленной на паре пространств Z, U, если выполняются следующие условия:
Vu Є U 3 решение задачи z Є Zt
Vit Є і/ решение задачи гЄЛ единственно,
решение задачи z непрерывно зависит от исходных данных и. Задачи, не удовлетворяющие хотя бы одному из этих условий,
называются некорректно поставленными.
Коэффициентные обратные задачи в подавляющем большинстве своем являются нелинейными и некорректными, и при построении решения требуют специальной математической обработки.
Теория и методы решения некорректных задач получили интенсивное развитие после выхода в свет основополагающих работ А.Н. Тихонова [68] - [70]. Им было введено важнейшее понятие решения некорректной задачи [70], а также понятие регуляризирующего алгоритма как способа приближенного решения некорректной задачи. Большой вклад в развитие этого направления внесли также А.Б. Бакушинский, А.В. Гончарский, A.M. Денисов, М.М. Лаврентьев, В.А. Морозов, ВТ. Романов и другие ученые [5, 6, И, 34, 51, 57, 66, 71, 72, 80].
Известно, что процедура решения операторного уравнения Фред-гальма первого рода с непрерывным ядром некорректна [34]. Методы решения некорректных задач, сформулированных в виде операторных уравнений первого рода с компакты ми операторами (линейных и нелинейных), представляют собой основу методов приближенного решения различных конкретных обратных задач и тем самым привлекают к себе интерес исследователей [91, 101, 82, 112].
В связи с тем, что обратные задачи, возникающие при обработке результатов экспериментов, как правило, являются некорректно поставленными, особое значение приобретают вопросы единственности и устойчивости решения обратной задачи. В [103] содержится обзор интересных результатов в вопросах единственности и устойчивости. при избыточной информации на границе. В работах [32, 92, 100, 110] затрагивается проблема единственности решений различных обратных задач. Исследование единственности решения обратной задачи, по сути дела, представляет собой ответ на вопрос о том, достаточно ли имеющейся экспериментальной информации для однозначного определения искомой характеристики. В работе [108] предлагается метод доказательства теоремы единственности для широкого класса коэффициентных обратных задач для различных типов дифференциальных операторов. В статье [И 1] приведен пример, когда имеющейся в рассматриваемой постановке информации недостаточно для единственности решения задачи.
Проблема устойчивого решения обратных задач связана с построением таких методов, которые позволяют определять приближенные решения, близкие к искомому, на основе имеющейся приближенно заданной исходной информации. Впервые проблема устойчивого решения обратных задач была поставлена А.Н. Тихоновым [68], который предложил подход к устранению неустойчивости решения обратной задачи, основанный на использовании априорной информации о точном решении задачи, положив начало методу регуляризации на компактных множествах. Априорная информация о точном решении достаточно часто имеется при анализе различных обратных задач. Как правило, она связана с тем, что неизвестная величина представляет собой
некоторую физическую характеристику объекта, имеющую определенные свойства (например, положительность, монотонность, ограниченность и др.). Такого типа априорная информация позволяет в ряде случаев сузить класс элементов, которому принадлежит точное решение, до некоторого компактного множества М, на котором решение обратной задачи будет устойчиво. Идея сужения класса возможных решений обратной задачи до некоторого множества, на котором решение ее устойчиво, лежит также в основе введенного М.М. Лаврентьевым понятия корректности по Тихонову или условной корректности задачи [51].
Однако для многих обратных задач априорная информация о принадлежности решения некоторому множеству корректности отсутствует. И в том и в другом случае для построения приближенных решений некорректной задачи используется фундаментальное понятие регуляризирующего оператора [69] - [72], [119]. В работах [97, 117] рассматриваются различные способы построения регуляризирующих алгоритмов; автор статьи [121] проводит сравнительный анализ трех методов регуляризации. В работе [90] авторы рассматривают вопрос сходимости метода регуляризации А.Н.Тихонова.
Для построения регуляризирующих алгоритмов широко используются итерационные методы. Итерационная регуляризация - одно из наиболее перспективных направлений теории некорректных задач. Важные результаты в развитии этого направления принадлежат таким ученым как М.М. Лаврентьев [51], О.М. Алифанов, Е.А. Артюхин [1], А.В. Бакушинский, А.В. Гончарский [5].
Основной целью настоящей диссертационной работы является осу-
ществление постановок и построение способов решения коэффициентных обратных задач для операторов смешанного типа - коэффициентных обратных задач электроупругости и определение располяризации пьезоэлементов по различным характеристикам электрического поля и поля перемещений, а также анализ эффективности рассмотренных методов на примере одномерных коэффициентных обратных задач для электроупругого стержня.
Основным инструментом исследования задач в диссертационной работе является метод, основанный на преобразовании Лапласа по времени и последующем решении краевых задач для обыкновенных дифференциальных уравнений в пространстве изображений по Лапласу. Ключевым моментом процедуры решения обратной задачи является сведение ее к стандартной некорректной задаче - интегральному уравнению Фредгольма первого рода с гладким ядром.
Диссертация состоит из введения, трех глав, заключения, списка литературы и приложения. Главы делятся на параграфы со сквозной нумерацией.
Постановка коэффициентных обратных задач электроупругости для стержня
Теория и методы решения некорректных задач получили интенсивное развитие после выхода в свет основополагающих работ А.Н. Тихонова [68] - [70]. Им было введено важнейшее понятие решения некорректной задачи [70], а также понятие регуляризирующего алгоритма как способа приближенного решения некорректной задачи. Большой вклад в развитие этого направления внесли также А.Б. Бакушинский, А.В. Гончарский, A.M. Денисов, М.М. Лаврентьев, В.А. Морозов, ВТ. Романов и другие ученые [5, 6, И, 34, 51, 57, 66, 71, 72, 80].
Известно, что процедура решения операторного уравнения Фред-гальма первого рода с непрерывным ядром некорректна [34]. Методы решения некорректных задач, сформулированных в виде операторных уравнений первого рода с компакты ми операторами (линейных и нелинейных), представляют собой основу методов приближенного решения различных конкретных обратных задач и тем самым привлекают к себе интерес исследователей [91, 101, 82, 112]. В связи с тем, что обратные задачи, возникающие при обработке результатов экспериментов, как правило, являются некорректно поставленными, особое значение приобретают вопросы единственности и устойчивости решения обратной задачи. В [103] содержится обзор интересных результатов в вопросах единственности и устойчивости. при избыточной информации на границе. В работах [32, 92, 100, 110] затрагивается проблема единственности решений различных обратных задач. Исследование единственности решения обратной задачи, по сути дела, представляет собой ответ на вопрос о том, достаточно ли имеющейся экспериментальной информации для однозначного определения искомой характеристики. В работе [108] предлагается метод доказательства теоремы единственности для широкого класса коэффициентных обратных задач для различных типов дифференциальных операторов. В статье [И 1] приведен пример, когда имеющейся в рассматриваемой постановке информации недостаточно для единственности решения задачи.
Проблема устойчивого решения обратных задач связана с построением таких методов, которые позволяют определять приближенные решения, близкие к искомому, на основе имеющейся приближенно заданной исходной информации. Впервые проблема устойчивого решения обратных задач была поставлена А.Н. Тихоновым [68], который предложил подход к устранению неустойчивости решения обратной задачи, основанный на использовании априорной информации о точном решении задачи, положив начало методу регуляризации на компактных множествах. Априорная информация о точном решении достаточно часто имеется при анализе различных обратных задач. Как правило, она связана с тем, что неизвестная величина представляет собой некоторую физическую характеристику объекта, имеющую определенные свойства (например, положительность, монотонность, ограниченность и др.). Такого типа априорная информация позволяет в ряде случаев сузить класс элементов, которому принадлежит точное решение, до некоторого компактного множества М, на котором решение обратной задачи будет устойчиво. Идея сужения класса возможных решений обратной задачи до некоторого множества, на котором решение ее устойчиво, лежит также в основе введенного М.М. Лаврентьевым понятия корректности по Тихонову или условной корректности задачи [51].
Однако для многих обратных задач априорная информация о принадлежности решения некоторому множеству корректности отсутствует. И в том и в другом случае для построения приближенных решений некорректной задачи используется фундаментальное понятие регуляризирующего оператора [69] - [72], [119]. В работах [97, 117] рассматриваются различные способы построения регуляризирующих алгоритмов; автор статьи [121] проводит сравнительный анализ трех методов регуляризации. В работе [90] авторы рассматривают вопрос сходимости метода регуляризации А.Н.Тихонова.
Для построения регуляризирующих алгоритмов широко используются итерационные методы. Итерационная регуляризация - одно из наиболее перспективных направлений теории некорректных задач. Важные результаты в развитии этого направления принадлежат таким ученым как М.М. Лаврентьев [51], О.М. Алифанов, Е.А. Артюхин [1], А.В. Бакушинский, А.В. Гончарский [5].
Основной целью настоящей диссертационной работы является осу ществление постановок и построение способов решения коэффициентных обратных задач для операторов смешанного типа - коэффициентных обратных задач электроупругости и определение располяризации пьезоэлементов по различным характеристикам электрического поля и поля перемещений, а также анализ эффективности рассмотренных методов на примере одномерных коэффициентных обратных задач для электроупругого стержня.
Основным инструментом исследования задач в диссертационной работе является метод, основанный на преобразовании Лапласа по времени и последующем решении краевых задач для обыкновенных дифференциальных уравнений в пространстве изображений по Лапласу. Ключевым моментом процедуры решения обратной задачи является сведение ее к стандартной некорректной задаче - интегральному уравнению Фредгольма первого рода с гладким ядром.
Диссертация состоит из введения, трех глав, заключения, списка литературы и приложения. Главы делятся на параграфы со сквозной нумерацией.
Определение неоднородной поляризации стержня по информации о токе в цепи в случае продольной поляризации
Для исследования сформулированных в первой главе обратных задач и формулировки разрешающих операторных уравнений необходимо уметь строить решения прямых задач, как правило, для дифференциальных операторов в частных производных с переменными коэффициентами. Обычно для гиперболических операторов, которые описывают распространение волн в упругих средах (в том числе и в одномерном случае), используется подход, основанный на выделении оператора с постоянными коэффициентами, обращении его при помощи фундаментального решения и сведении прямой задачи к операторному уравнению второго рода [80]. Такой подход при решении обратных задач обычно приводит к нелинейному уравнению Вольтерра, которое решается численно [66].
Основным инструментом исследования задач в настоящей работе является метод, опирающийся на преобразование Лапласа по времени и исследование краевых задач для обыкновенных дифференциальных уравнений в пространстве изображений по Лапласу. При этом возможны два пути исследования возникающих задач. Первый связан с непосредственной линеаризацией задачи в предположении, что неизвестная функция мало отличается от постоянной, а второй основан на точной формулировке систем нелинейных операторных уравнений и последующем их решении на основе итерационной процедуры. В обоих случаях ключевым элементом процедуры решения обратной задачи является сведение ее к стандартной некорректной задаче - уравнению Фредгольма первого рода с гладким ядром. Известно, что процедура решения уравнения Фредгольма первого рода с гладким ядром требует регуляризации в той или иной форме. В настоящей работе для решения возникающих операторных уравнений такого типа используются два регуляризующих алгоритма - метод регуляризации А. Н. Тихонова и метод проекций сопряженных градиентов на множествах специальной структуры.
В настоящей главе излагается идея метода линеаризации применительно к коэффициентным обратным задачам электроупругости, приводятся упомянутые выше методы регуляризации для интегральных уравнений Фредгольма первого рода с гладкими ядрами. и граничных условий вида (1.1.5)-(1.1.7) или (1.1.8)-(1.1.10). При этом обратная задача может оказаться как линейной, так и нелинейной. В случае, когда обратная коэффициентная задача об определении пьезомодулей dijk{x) (или их части) по некоторой дополнительной информации о полях перемещений на части границы и о токе в цепи нелинейна, ее решение можно построить в рамках метода линеаризации. Будем считать, что
Дополняя задачи (2.1.4) и (2.1.5) нулевыми начальными условиями, получим, что эти задачи представляют собой однотипные начально-краевые задачи электроупругости с постоянными коэффициентами и отличающиеся лишь наличием или отсутствием правых частей в соответствующих дифференциальных и граничных операторах.
Применив к задачам А и В преобразование Лапласа по времени, получим линейные краевые задачи электроупругости, аналогичные задачам для установившихся колебаний (р = ги). Для решения этих задач может быть применен, например, метод граничных уравнений первого рода [25]; этот метод позволяет сразу сформулировать систему граничных интегральных уравнений и найти граничные значения полей, которые в дальнейшем служат для формулировки систем интегральных уравнений Фредгольма первого рода с гладкими ядрами для определения поправок щХ{х).
Метод проекций сопряженных градиентов на множествах специальной структуры
Введем в рассмотрение множества: 1. Z 4с - множество монотонно невозрастающих (для определенности) функций, ограниченных сверху и снизу соответственно константами d = С и С2 = 0; 2. 2с - множество выпуклых вверх (для определенности) функций, ограниченных константами С и 0; 3. Z 4-f7 " множество выпуклых вверх монотонно невозрастающих ограниченных функций [Z Хс= % lc ftZc). Обладая информацией о монотонности, выпуклости и ограниченности точного решения задачи (2.2.1), для построения приближенного решения можно использовать какой-либо процесс минимизации функционала невязки Ф(г) = \\AhZ — щ\\2 соответственно на множествах Z 4-cv Zc, Z Хс- В случае линейных операторов А и Ah эта задача является задачей выпуклого программирования и решается эффективнее. При переходе к конечно-разностной аппроксимации в задаче (2.2.1) функционал невязки Ф(г) заменяется его конечно-разностной аппроксимацией - квадратичной функцией tp(z), определенной на R", а множества Z lc, Zc, Z lc переходят соответственно в множества векторов из Е". Как уже отмечалось, существуют различные эффективные алгоритмы решения рассматриваемой некорректной задачи, если можно, исходя из качественной информации об искомом решении, выделить компактное множество корректности. Остановимся подробнее на одном из них - на методе проекций сопряженных градиентов на множествах специальной структуры, который используется в настоящей работе. г Будем для простоты считать, что z(s) Є Z 4-е множеству положительных монотонно невозрастающих ограниченных функций: С z 0. За приближенное решение можно принять такой элемент zs Є Z 4-е, что \\AhZ6 щ\\ ЛИ + S. При конечно-разностной аппроксимации на равномерной сетке по s на отрезке [а, Ь] множество где Zf = Z(SJ) - значения функции z(s) в узлах сетки. Таким образом, приходим к задаче построения минимизирующей последовательности для функционала f (z) на множестве М. Условия, определяющие множество М, можно записать в виде Fz д, где F - матрица размера mo х n, д - вектор ограничений длины то, где то = п — 1 - количество условий, определяющих множество. Если z находится на границе множества, то одно или несколько неравенств могут обращаться в равенства. Множеством активных ограничений 1(г) (в точке z) назовем множество индексов, для которых в точке z выполнены равенства Назовем матрицей активных элементов матрицу Fj размера diml х п, строками которой являются строки матрицы F, номера которых принадлежат I{z). Квадратичную функцию (f(z) представим в виде где матрица Q = А А и вектор d = 2A u. Минимизация функции p(z) на множестве М [72] начинается с произвольной допустимой точки ZQ Є М И проводится в Е" методом сопряженных градиентов. На каждом шаге вычисляются направление спуска р : на первом шаге р№ = -gradip(z ), ajt - величина оптимального шага вдоль этого направления р , не выводящего за пределы множества М: _ ( 7гагіу С )»Р ) проектор Р/ на подпространство Е"-"1,определяемый условиями Fiz = ді по формуле На каждом шаге (кроме нулевого) в качестве начальной точки берется z(k+1) =-z№ + акр и всюду вместо grad p(zW) берутся их проекции Pigrad(p(z ). Точный минимум на (та — т)-мерном линейном многообразии находится методом сопряженных градиентов за п — т шагов. Метод проекций сопряженных градиентов на множествах специальной структуры является одним из эффективных алгоритмов решения некорректных задач на специальных множествах, который решает задачу построения приближенного решения за конечное число шагов. Этот метод представляет собой один из градиентных методов итерационной регуляризации, исследованию которой посвящены [1, 72] и другие работы. Отметим его достаточную эффективность в случае использования регуляризации на компактных множествах.
Решение коэффициентной обратной задачи для стержня в случае продольной поляризации по информации о токе в цепи
Рассмотрим ряд модельных примеров восстановления пьезомодуля по схемам, описанным выше.
Заметим, что обычный подход к построению уравнения первого рода требует обращения преобразования Лапласа [66]. В настоящей работе в силу того, что известна информация о решении на бесконечном промежутке времени, интегральные уравнения для определения пьезо-модулей можно сформулировать в пространстве изображений по Лапласу, не прибегая к процедуре обращения. Это во многих случаях приводит к интегральным уравнениям с более простыми ядрами.
Итак, во всех рассмотренных случаях исходные обратные задачи свелись к решению интегральных уравнений Фредгольма первого и второго рода с гладкими ядрами, либо систем таких уравнений. Как отмечено во второй главе, процедура решения таких операторных уравнений требует регуляризации в той или иной форме. В настоящей работе используется предварительная дискретизация полученных операторных уравнений на основе квадратурных формул. Для решения полученных задач необходимо аппроксимировать соответствующие интегралы и перейти к конечномерным задачам, для которых и будут применяться вычислительные алгоритмы. Можно рассматривать переход к конечномерной аппроксимации как внесение дополнительной погрешности в оператор. Для численного решения задач, полученных в предыдущих параграфах этой главы, отобразим
Аппроксимируем интегралы в интегральных операторах на равномерной сетке {?/j}"=1, { И=і на отрезке [0,1] для каждого из значений аргумента Сі на равномерной сетке { І}І на интервале [0,1), и потребуем выполнения интегрального уравнения в некотором наборе точек. Таким образом, от интегральных операторов переходим к задачам для алгебраических систем вида где z - п- мерный вектор, составленный из узловых значений неизвестных функций. Матрица оператора Л, аппроксимирующего интегральный оператор, строится на основе использования квадратурных формул - прямоугольников, трапеций, Симпсона.
В качестве вектора правых частей и используется вектор значений правых частей соответствующих операторных уравнений на сетке {A}Li на интервале [0,1).
Проведем ряд вычислительных экспериментов с целью выяснения эффективности предлагаемых подходов для решения исследуемых коэффициентных обратных задач электроупругости. При задании различного вида зависимостей q(y) (линейные, квадратичные, экспоненциальные, ступенчатые) на основании решения прямых задач для неоднородно поляризованных стержней определяется входная информация F(2), согласно (3.1.7), (3.2.5), (3.3.7), (3.4.8) в виде зависимостей трансформант поля перемещений на концах стержня и тока в цепи. На основе этой информации решается обратная задача о восстановлении q(y) в одной из вышеописанных постановок.
Проведем анализ полученных результатов и оценим эффективность используемых в работе методов для различных видов зависимостей В качестве регуляризующих алгоритмов для расчета модельных примеров использовались рассмотренные во второй главе метод регуляризации А.Н. Тихонова и метод проекций сопряженных градиентов на множествах специальной структуры.
Для отыскания минимума сглаживающего функционала А.Н. Тихонова при фиксированном значении параметра регуляризации используем алгоритм многократного решения системы уравнений Эйлера для сглаживающего функционала [72]. Таким образом, задача минимизации функционала Тихонова приводит к решению систем линейных алгебраических уравнений с симметричной трехдиагональ-ной и положительно определенной матрицей. Такие свойства матрицы позволяют применять для решения систем специальные эффективные численные методы. В настоящей работе используется один из таких методов - метод квадратного корня [72]. Для отыскания корня обобщенной невязки использовалась некоторая модификация метода хорд.
Результаты восстановления различных видов функции q(y) в постановке 1 (Задача 1) с применением регуляризующего алгоритма А.Н. Тихонова представлены на рисунках 1, 3, 5, 9, 11, 13, 15. Всюду на рисунках сплошной линией изображен точный вид функции q{y), точками - полученный путем численного восстановления при решении обратных задач.
