Содержание к диссертации
Введение
1. Состояние и нерешенные проблемы динамики тонких круговых цилиндрических оболочек с начальными неправильностями. особенности математических моделей 21
1.1. Введение 21
1.2. "Линейное" направление 26
1.3. Расщепление изгибного частотного спектра 31
1.4. "Нелинейное" направление 33
1.5. Влияние начальных неправильностей 41
1.6. Учет тангенциальных граничных условий 43
1.7. Исследования в близкой области 43
1.8. Нерешенные проблемы. Выводы 45
2. Математическая модель 49
2.1. Уравнения нелинейной теории пологих оболочек 49
2.1.1. Гипотеза Кирхгофа - Лява 49
2.1.2. Перемещения и деформации 51
2.1.3. Связь между усилиями и деформациями 52
2.1.4. Уравнения движения 53
2.2. Граничные и начальные условия 55
2.3. Конечномерная модель оболочки 56
2.4. Модальные уравнения 59
2.5. Заключение 61
3. Изгибные колебания бесконечно длинной оболочки (кольца при плоской деформации) 62
3.1. Собственные колебания 63
3.1.1. Математическая модель 63
3.1.2. Традиционное решение 65
3.1.3. Новое решение. Колебания без растяжения 67
3.1.4. Колебания с растяжением 72
3.1.5. "Статический" прием 73
3.1.6. Численное моделирование методом конечных элементов 75
3.1.7. Выводы 77
3.2. Нелинейное взаимодействие форм колебаний идеального кругового кольца 78
3.2.1. Вводные замечания 78
3.2.2. Математическая модель 79
3.2.3. Предположения о нелинейном взаимодействии форм колебаний 80
3.3. Свободные нелинейные колебания несовершенного кольца 81
3.3.1. Математическая модель 81
3.3.2. Скелетная кривая одномодового режима. Метод Бубнова — Галеркина 82
3.3.3. Метод Рунге — Кутта 84
3.3.4. Колебания без растяжения 86
3.3.5. Асимптотический метод Крылова — Боголюбова 87
3.3.6. "Статический" прием 88
3.3.7. Режим бегущей волны 89
3.4. Вынужденные нелинейные колебания несовершенного кольца 90
3.4.1. Модальные уравнения 90
3.4.2. Симметричная реакция 92
3.4.3. Устойчивость симметричной реакции 93
3.4.4. Несимметричная реакция 96
3.4.5. Устойчивость несимметричной реакции 98
3.4.6. Прохождение зоны главного резонанса 102
3.4.7. Заключительное замечание 104
3.4.8. Выводы 105
3.5. Влияние переменной толщины 106
3.5.1. Математическая модель 106
3.5.2. Модальные уравнения 107
3.5.3. Собственные колебания 107
3.5.4. Численное моделирование методом конечных элементов 108
3.5.5. Линейные вынужденные колебания 109
3.5.6. Нелинейные колебания 110
3.5.7. Скелетные кривые 111
3.5.8. Симметричная реакция и ее устойчивость 112
3.5.9. Несимметричная реакция и ее устойчивость 114
3.5.10. Прохождение зоны главного резонанса 117
3.5.11. Выводы 118
3.6. Влияние малой присоединенной массы 118
3.6.1. Вводные замечания 118
3.6.2. Математическая модель 118
3.6.3. Расщепление изгибного частотного спектра. Выводы. 119
4. Линейные колебания оболочки 122
4.1. Собственные колебания идеальной оболочки 122
4.1.1. Вводные замечания 122
4.1.2. Уравнения движения 122
4.1.3. Частоты и формы собственных колебаний 124
4.1.4. Пренебрежение тангенциальными составляющими сил инерции 125
4.1.5. Численное моделирование методом конечных элементов 127
4.2. Продольно-радиальные колебания оболочки с осесимметричой начальной погибью 127
4.2.1. Вводные замечания 127
4.2.2. Уравнения движения 128
4.2.3. Частоты и формы собственных колебаний 129
4.2.4. Идеальная оболочка 130
4.2.5. Оболочка с начальной погибью 133
4.2.6. Выводы 137
5. Линейные изгибные колебания оболочки с асимметричными несовершенствами 138
5.1. Традиционное решение для оболочки с отклонениями в окружном направлении 138
5.1.1. Математическая модель 138
5.1.2. Модальные уравнения 139
5.1.3. Расщепление изгибного частотного спектра. Выводы 140
5.2. Традиционное решение для оболочки с неправильностями, соответствующими характеру ее волнообразования 142
5.2.1. Математическая модель 142
5.2.2. Модальные уравнения и собственные частоты 142
5.3. Новое решение для оболочки с отклонениями в окружном направлении. 144
5.3.1. Формы движения несовершенной оболочки. Модальные уравнения 144
5.3.2. Частоты и формы собственных колебаний 147
5.3.3. Численное моделирование методом конечных элементов 153
5.4. Новое решение для оболочки с неправильностями, соответствующими характеру ее волнообразования 154
5.4.1. Математическая модель 154
5.4.2. Модальные уравнения 155
5.4.3. Частоты и формы собственных колебаний 156
5.5. Упрощение модальных уравнений 161
5.5.1. "Статический" прием 161
5.5.2. Уточнение "статического" приема 162
5.6. Взаимодействие несопряженных форм 165
5.7. Влияние формулировки тангенциальных граничных условий 168
5.7.1. Математическая модель 168
5.7.2. Модальные уравнения 168
5.7.3. Собственные частоты 174
5.7.4. Амплитудно-частотные кривые 179
5.8. Оболочка, нагруженная всесторонним внешним статическим давлением 180
5.8.1. Статическая задача 180
5.8.2. Собственные частоты 183
5.9. Жестко защемленная по торцам оболочка 186
5.9.1. Вводные замечания 186
5.9.2. Традиционное решение 187
5.9.3. Новое решение 190
5.10. Выводы 196
6. Линейные изгибные колебания оболочки с осесимметричной погибью 198
6.1. Интегральное удовлетворение тангенциальным граничным условиям 198
6.1.1. Формы колебаний несовершенной оболочки 198
6.1.2. Модальные уравнения 201
6.1.3. Собственные частоты 202
6.1.4. Численное моделирование методом конечных элементов 203
6.2. Точное удовлетворение тангенциальным граничным условиям 204
6.2.1. Уравнение движения. Собственные частоты 204
6.2.2. Численное моделирование методом конечных элементов 213
6.3. Оболочка, нагруженная всесторонним внешним статическим давлением 214
6.3.1. Статическая задача 214
6.3.2. Уравнение движения. Собственные частоты 214
6.4. Жестко защемленная по торцам оболочка 220
6.4.1. Уравнения движения 220
6.4.2. Собственные частоты 222
6.5. Выводы 224
7. Свободные нелинейные колебания оболочки 225
7.1. Идеальная оболочка 225
7.1.1. Вводные замечания 225
7.1.2. Традиционный подход к построению нелинейной конечномерной модели оболочки 225
7.1.3. Новый подход 226
7.1.4. Традиционное решение. Модальные уравнения 227
7.1.5. Одномодовый режим движения оболочки 229
7.1.6. Двухмодовый режим движения оболочки 232
7.1.7. Новое решение. Модальные уравнения 233
7.1.8. Одномодовый режим движения оболочки 235
7.1.9. Двухмодовый режим движения оболочки 239
7.1.10. Заключительное замечание 240
7.2. Влияние осесимметричной погиби и всестороннего внешнего статического давления 242
7.2.1. Модальные уравнения 242
7.2.2. Скелетные кривые 244
7.3. Влияние асимметричных несовершенств и всестороннего внешнего статического давления 247
7.3.1. Модальные уравнения 247
7.3.2. Скелетные кривые 250
7.4. Влияние тангенциальных граничных условий 253
7.4.1. Функция напряжений 253
7.4.2. Модальные уравнения 256
7.4.3. Скелетные кривые 259
7.5. Выводы 264
8. Вынужденные колебания оболочки 266
8.1. Идеальная оболочка 266
8.1.1. Модальные уравнения 266
8.1.2. Симметричная реакция и ее устойчивость 268
8.1.3. Несимметричная реакция 271
8.1.4. Устойчивость несимметричной реакции 274
8.1.5. Прохождение зоны главного резонанса 278
8.2. Влияние осесимметричной погиби 278
8.2.1. Модальные уравнения 278
8.2.2. Симметричная реакция и ее устойчивость 280
8.2.3. Несимметричная реакция 282
8.2.4. Устойчивость несимметричной реакции 285
8.2.5. Прохождение зоны главного резонанса 288
8.3. Влияние асимметричных несовершенств 289
8.3.1. Модальные уравнения 289
8.3.2. Симметричная реакция и ее устойчивость 290
8.3.3. Несимметричная реакция 293
8.3.4. Устойчивость несимметричной реакции 295
8.3.5. Прохождение зоны главного резонанса 299
8.3.6. Заключительное замечание 300
8.4. Выводы 303
8.5. Экспериментальные результаты 304
Заключение 307
- "Линейное" направление
- Граничные и начальные условия
- Нелинейное взаимодействие форм колебаний идеального кругового кольца
- Влияние переменной толщины
Введение к работе
Актуальность проблемы. Замкнутые тонкостенные круговые цилиндрические оболочки находят широкое применение в аэрокосмической и судостроительной промышленности, в других отраслях техники. В условиях эксплуатации оболочки обычно подвергаются действию интенсивных динамических, в частности периодических, нагрузок, что может привести к возникновению вибрационных хлопков, а также других сложных нестационарных процессов, нежелательных с точки зрения обеспечения их прочности. Поэтому понятен тот большой и постоянный интерес исследователей к проблемам динамики оболочек.
Во многих случаях решение проблемы динамической прочности оболочки связано с изучением взаимодействия ее упругих колебаний. Взаимосвязанными могут оказаться радиальные и продольные колебания, изгибные и радиальные и т. д. На практике чаще всего наблюдается взаимодействие изгибных форм колебаний (сопряженных и несопряженных). Это объясняется тем, что низшие частоты собственных изгибных колебаний оболочки, как правило, много меньше основных частот продольных, крутильных и радиальных колебаний.
Наиболее сильно взаимодействие изгибных форм проявляется при колебаниях оболочки с большими амплитудами и определенных соотношениях между собственными частотами, что создает известные предпосылки для перераспределения энергии между обобщенными координатами. Такая "перекачка" энергии, вследствие которой могут возникать интенсивные колебания по формам, непосредственно не возбуждаемым внешней нагрузкой, способна привести к аварийной ситуации.
Несмотря на важность проблемы взаимодействия форм колебаний оболочки, ей посвящено недостаточное количество научных исследований. Анализ выполненных работ показывает, что до настоящего времени некоторые фундаментальные вопросы остаются не до конца выясненными.
При изготовлении оболочки неизбежны отклонения от идеальной формы w0(x,y), называемые начальными неправильностями, начальными несовершенствами. Сильное влияние w0 на устойчивость оболочки общеизвестно. Не менее сильно w0 влияют и на динамическое поведение оболочки, в частности на ее собственные частоты, являющиеся, как и критическая нагрузка, интегральными характеристиками жесткости. Начальные неправильности оказывают влияние на формы собственных колебаний и их взаимодействие, на амплитудно-частотные кривые и т. д. Однако и это влияние изучено еще недостаточно.
Среди исследований, посвященных изучению влияния начальных неправильностей на изгибные колебания оболочек, наметилось два направления: "линейное" и геометрически "нелинейное". Математическая модель, как правило, базируется на известных уравнениях теории пологих оболочек. Оболочка считается свободно опертой по торцам. Анализ основывается на предварительном сведении континуальной оболочки к системе с конечным числом степеней свободы. Тангенциальные краевые условия удовлетворяются "в среднем".
В работах "линейного" направления установлено, что w0, соответствующие
характеру волнообразования оболочки, связывают сопряженные изгибные формы. Частотный спектр существенно расщепляется, при этом основная частота увеличивается по сравнению со случаем идеальной оболочки. Однако эти выводы противо-
речат известным опытным данным. Необходимо установить причины, приводящие к такому, вероятно ошибочному, результату, и получить новое решение задачи о влиянии w0 на частоты и формы собственных колебаний (в том числе и при точном
удовлетворении тангенциальным граничным условиям), находящееся в соответствии с реальным поведением оболочки.
В работах "нелинейного" направления устанавливается связь между амплитудой и частотой - в случае свободных колебаний оболочки, и амплитудой и параметрами внешнего периодического воздействия - в случае вынужденных колебаний. Несмотря на практическую важность полученных результатов, высокую степень разработанности ряда задач, некоторые фундаментальные вопросы и в этом направлении остаются невыясненными. Так, в научной литературе, по существу, отсутствует решение задачи об изгибных колебаниях свободно опертой по торцам относительно короткой оболочки при точном удовлетворении граничным условиям. Все известные решения получены на основе нелинейных конечномерных моделей, которые не отвечают условию свободного опирання торцов оболочки по изгибающему моменту. Тангенциальные краевые условия удовлетворяются при этом "в среднем". Поэтому эти модели, приводящие к мягкой скелетной кривой, правомерны только для относительно длинных оболочек. Попытки решить эту же задачу, используя конечномерные модели, удовлетворяющие всем граничным условиям, оказались безуспешными. Они всегда приводили к жесткой скелетной кривой, качественно не согласующейся с известными опытными данными. Сложилась парадоксальная ситуация, при которой все усилия по уточнению конечномерной модели оболочки приводят к потере ее адекватности.
Требуется установить причины, приводящие к такому неожиданному результату. Необходимо разработать новый подход к построению нелинейной конечномерной модели оболочки любой длины (с w0 или без) и получить новое решение задачи
о колебаниях оболочки с большими амплитудами при точном удовлетворении всем граничным условиям, в том числе и тангенциальным.
Целью диссертации является теоретическое исследование в линейной и геометрически нелинейной постановках недостаточно изученного влияния начальных неправильностей на свободные и вынужденные (периодические) изгибные колебания тонкостенных круговых цилиндрических оболочек; развитие положений этого раздела механики деформируемого твердого тела; уточнение математической модели и уже известных решений; получение новых научных результатов и предложение рекомендаций по их использованию.
Научная новизна. Традиционная математическая модель исследования динамических характеристик оболочек с начальными неправильностями состоит, как правило, из следующих частей: уравнения нелинейной теории пологих оболочек; граничные и начальные условия; конечномерная модель оболочки, позволяющая свести задачу о колебаниях континуальной оболочки к системе динамических (модальных) уравнений, описывающих движение ее дискретной модели; модальные уравнения, из анализа которых определяются динамические характеристики оболочки. Все части этой математической модели, за исключением первой, в настоящей диссертационной работе уточняются.
Одной из важнейших частей математической модели является конечномерная модель оболочки. Традиционный подход к ее построению основан на следующем. В
линейной постановке считается, что w0 приводят к взаимодействию сопряженных
изгибных форм. В нелинейной постановке, помимо упомянутого взаимодействия, подход предполагает и некоторые геометрические модельные представления о деформировании оболочки при больших прогибах (нерастяжимость контура поперечного сечения срединной поверхности оболочки, "преимущественное выпучивание вовнутрь"). В диссертационной работе показано, что в линейной постановке этот подход приводит к результатам, которые не согласуются с известными опытными данными, а в нелинейной постановке - к непреодолимым проблемам, связанным с удовлетворением граничным условиям.
Автором предлагается новый подход к построению конечномерной модели оболочки. Он предполагает, что возбуждение изгибных колебаний оболочки по одной из собственных форм приводит к возникновению радиальных колебаний, которые, в свою очередь, генерируют сопряженную изгибную форму. В линейной постановке механизмом, "запускающим" такое взаимодействие форм колебаний, являются неизбежные начальные неправильности, а при колебаниях с большими амплитудами - начальные несовершенства и/или нелинейность оболочки.
Движение оболочки, согласно предлагаемому подходу, напоминает описанное X. Гюйгенсом явление самосинхронизации двух маятников, установленных на общем податливом основании, когда колебания одного маятника вызывает некоторое движение основания, а последнее, в свою очередь, возбуждает колебания второго маятника. Новый подход реально отображает физические процессы, происходящие при колебаниях оболочки (радиальные колебания оболочки были идентифицированы и измерены, например, М. Олсоном).
На основе уточненной математической модели в работе в линейной и геометрически нелинейной постановках выполнено исследование влияния:
начальных отклонений от идеальной круговой формы, малой присоединенной массы и разнотолщинности на свободные и вынужденные изгибные колебания бесконечно длинной оболочки (кольца при плоской деформации);
осесимметричной начальной погиби на взаимодействие малых радиальных и продольных колебаний оболочки;
статической нагрузки, формулировки граничных условий (в том числе и тангенциальных), осесимметричных и асимметричных начальных неправильностей на свободные и вынужденные изгибные колебания оболочки.
Новый подход к построению конечномерной модели оболочки может быть, по мнению автора, использован и при изучении широкого круга проблем, близких к проблемам, затрагиваемым в настоящей диссертации: устойчивость оболочек, параметрические колебания, панельный флаттер и др.
Автор защищает:
уточненную математическую модель;
методику оценки влияния начальных неправильностей на линейные и нелинейные динамические характеристики оболочки конечной длины, а также кольца при плоской деформации;
результаты решения многочисленных новых задач динамики оболочек с динамической асимметрией, а также качественные и количественные уточнения, внесенные в уже известные решения.
Достоверность исследования. Результаты работы основываются на строго доказанных выводах фундаментальных и прикладных наук. Они получены с помощью известных, проверенных практикой, теоретических методов исследования. Результаты работы многократно сопоставляются с численными результатами, полученными методом конечных элементов в MSC/NASTRAN, с надежными опытными данными, а также с результатами известных теоретических исследований, выполненных другими авторами. Проверка адекватности конечномерной модели оболочки осуществляется контролем предельных переходов, выполнением граничных условий, соответствием здравому смыслу и др.
Практическое значение. Новые теоретические положения и результаты работы свидетельствуют о том, что во многих случаях нельзя пренебрегать влиянием начальных неправильностей, неизбежных у реальной оболочки, на ее динамические характеристики. Предложенная методика, позволяющая с достаточной степенью точности оценить влияние w0, может быть в первом приближении использована при
выполнении динамических расчетов реальных оболочек, применяемых в ракетостроении, судостроении и других отраслях техники.
С технической точки зрения очень важно знать фактические начальные несовершенства оболочки для возможности предсказания ее поведения. Прямой подход, который используется в настоящее время для контроля формы оболочек, сложен и требует длительных измерений. В известной работе А. Розена и И. Зингера предложен косвенный подход, позволяющий дать предварительную оценку величины начальных несовершенств по отклонению основных частот несовершенной и идеальной оболочек. Результаты настоящей работы, могут быть использованы для осуществления и дальнейшего развития косвенного подхода, а также для определения фактических условий закрепления торцов оболочки.
Апробация работы. Основные результаты и положения диссертации докладывались на совместном заседании кафедр теории и проектирования корабля, механики деформируемого твердого тела и конструкции судов ДВГТУ (1999), семинаре ИММ ДВО РАН (2000), семинаре отдела механики деформируемого твердого тела Института гидродинамики им. М.А. Лаврентьева СО РАН (2000), заседании диссертационного совета по динамике и прочности машин при МГТУ им. Н.Э. Баумана (2001), семинарах ИАПУ ДВО РАН (2000, 2009). Автором сделаны доклады на Всесоюзной научно-технической конференции "Проблемы прочности и надежности конструкций перспективных транспортных судов и плавучих сооружений" (Ленинград, 1979), V Всесоюзной конференции "Статика и динамика пространственных конструкций" (Киев, 1985), Всесоюзной конференции "Актуальные проблемы прочности в машиностроении" (Севастополь, 1989), международной конференции "Кораблестроение и океанотехника. Проблемы и перспективы" (Владивосток, 1998), международной научной конференции "Синергетика. Самоорганизующиеся процессы в системах и технологиях" (Комсомольск-на-Амуре, 1998), международной конференции "Проблемы прочности и эксплуатационной надежности судов" (Владивосток, 1999), XIX международной конференции "Математическое моделирование в механике сплошных сред. Методы граничных и конечных элементов" (Санкт-Петербург, 2001), конференции по строительной механике корабля, посвященной памяти профессора П.Ф. Папковича (Санкт-Петербург, 2002), научной конференции "Фундаментальные и прикладные вопросы механики" (Хабаровск, 2003), региональ-
ной научно-технической конференции с международным участием "Кораблестроительное образование и наука - 2003" (Санкт-Петербург, 2003), XXI международной конференция по теории оболочек и пластин" (Саратов, 2005), VIII всероссийской конференции "Нелинейные колебания механических систем" (Нижний Новгород, 2008), VII международной конференции по математическому моделированию (Ульяновск, 2009) и др.
Публикации. Основные результаты диссертационной работы опубликованы в 2 монографиях и 49 научных статьях. В конце автореферата приведен список основных публикаций из 28 наименований.
Структура и объем диссертации. Текст диссертации, состоящей из введения, восьми глав, основных выводов и библиографического списка из 173 наименований, изложен на 329 страницах. Работа содержит 155 рисунков и 4 таблицы. К диссертации прилагаются три акта внедрения.
Работа выполнена в Комсомольском-на-Амуре государственном техническом университете при частичной поддержке гранта 2.1.2/3046 Министерства образования и науки РФ по целевой программе "Развитие научного потенциала высшей школы. Проведение фундаментальных исследований".
Выражаю признательность своему Учителю, ныне покойному, доктору технических наук, профессору Владимиру Сергеевичу Калинину.
Благодарю своего научного консультанта, доктора технических наук, профессора Николая Алексеевича Тарануху за многие полезные советы, которые способствовали написанию диссертации и подготовке ее к защите.
"Линейное" направление
Обзор ранних работ "линейного" направления сделан в 1974 г. Н.Ф. Гришиным и B.C. Калининым [43]. Начало теоретическим исследованиям влияния w0(x,y) на колебания оболочек было положено в 1964 г. в работе О.П. Проценко [113]. В ней рассматривается свободно опертая по торцам оболочка с асимметричными несовершенствами где /ю и /20 - амплитуды; / - длина оболочки; п — число волн в окружном направлении. Считается, что форма несовершенств соответствует одному из членов ряда, которым представляется прогиб. Тангенциальные граничные усилия удовлетворены "в среднем". В дальнейшем задача сведена к анализу системы с одной степенью свободы. Показано, что несовершенства вида (1.,2) увеличивают собственные частоты, при этом основной частоте соответствует большее число волн п в окружном направлении, чем для случая идеальной оболочки. Вывод автора об увеличении основной частоты противоречит здравому смыслу. Поскольку и авторы последующих исследований, в которых изучалось влияние начальных неправильностей вида (1.2), пришли к аналогичному выводу, мы, в дальнейшем, остановимся на этом вопросе более подробно. В 1970-1974 г. г. Н.Ф. Гришин опубликовал серию статей по обсуждаемой тематике. В работе [38] изучаются собственные изгибные колебания оболочки с осесимметричной начальной погибью Прогиб представлен одним членом двойного тригонометрического ряда, удовлетворяющим условиям свободного опирання торцов оболочки. Тангенциальные граничные условия удовлетворены "в среднем ". Обнаружено, что с ростом амплитуды погиби f30, направленной к. оси оболочки, частота основного тона сначала снижается, проходит минимум и далее начинает возрастать. В случае выпуклой образующей (/30 0) основная частота всегда увеличивается. В работах [39, 40] влияние погиби вида (1.3) изучено более подробно. Рассмотрены четыре типа тангенциальных закреплений торцов оболочки, которые впервые были удовлетворены точно. При сопоставлении решений с различными тангенциальными граничными условиями установлено, что степень влияния w0(x) на собственные частоты меняется. Наиболее сильное понижающее влияние погиби наблюдается при свободном сближении торцов оболочки.
Показано, что удовлетворение тангенциальным граничным условиям "в среднем" приводит к существенной погрешности в собственных частотах. Эта погрешность убывает с ростом относительной длины оболочки. К сожалению, в этих работах автором была допущена ошибка при ортогонализации уравнения движения, что, в конечном итоге, повлияло на количественную оценку влияния начальной погиби и формулировки тангенциальных граничных условий на собственные частоты. Эта ошибка, заметная для относительно коротких оболочек, обнаружена и устранена автором в настоящей диссертации. В [39] влияние погиби (1.3) изучалось на основе уравнений движения оболочки, записанных с учетом тангенциальных составляющих сил инерции. Установлено, что погрешность уравнений теории пологих оболочек для низ- ших собственных частот очень незначительна. В статье [41] решена задача о свободных колебаниях оболочки с погибью (1.3), нагруженной всесторонним внешним статическим давлением. Статическое напряженное состояние оболочки, свободно опертой по торцам, найдено с учетом обжатия ее торцов. Динамический прогиб по концам оболочки равен нулю. Условия отсутствия на торцах оболочки динамических продольного усилия Nx и окружного перемещения v{x,y,t) удовлетворены точно. Показано, что удержание в бесконечном двойном тригонометрическом ряду, которым аппроксимировался динамический прогиб, только одного члена ряда приводит при определении основной частоты оболочек короткой и средней длины к ошибке менее трех процентов. Начальная погибь искажает весь частотный спектр. Наиболее сильное снижение основной частоты наблюдается при приближении давления к критическому значению, вычисленному с учетом w0 (х). В работе [42] Н.Ф. Гришиным изучено влияние начальных неправильностей более сложной формы: они включали в себя осесимметричную и асимметричную составляющие. Показано, что расчет частот основного тона с достаточной степенью точности можно вести по первому приближению. Характер влияния начальных неправильностей на частоты, в общем, такой же, как и в вышеупомянутых исследованиях. В частности, для случая только асимметричных несовершенств вывод автора совпадает с выводом статьи [113]. Результаты, по-видимому, первого экспериментального изучения влияния w0 на собственные частоты оболочки представлены в [39]. Получено качественно хорошее согласование опытных и расчетных собственных частот. Первым исследованием влияния начальных неправильностей на собственные колебания оболочек, выполненным за рубежом, является, по-видимому, работа А. Розена и И. Зингера [115]. В ней рассмотрена оболочка с погибью (1.3), свободно опертая по торцам и равномерно сжатая вдоль оси. Использованы уравнения теории пологих оболочек. Тангенциальные граничные условия удовлетворены "в среднем". Показано, что влияние wQ (л) на частоты сильное. Оно возрастает по мере приближения значения статических сжимающих усилий к критическому. Результаты работы аналогичны тем, что получены ранее Д.Е. Липовским и В.М. Токаренко [97], а также Р.Е. Гейзенблазеном [24, 25]. Принципиально важным и на сегодняшний день остается вопрос о том, увеличивают или уменьшают асимметричные начальные неправильности основную частоту. Вывод авторов [42, 113] об увеличении основной частоты по сравнению со случаем идеальной оболочки является ошибочным. В этом легко убедиться, если в выражении для отношения квадратов частот несовершенной и идеальной оболочек, приведенном в этих исследованиях, устремить длину оболочки к бесконечности. Тогда, например, при /20 = 0 получим Из (1.4) видно, что при предельном переходе к бесконечно длинной оболочке (к кольцу при плоской деформации) и, например, при f]0=h это отношение равно 7, что, вне всякого сомнения, противоречит здравому смыслу.
Способность оболочки сопротивляться внешнему воздействию ослабевает при наличии wQ(x,y), а это, в свою очередь, должно приводить к уменьшению, а не к увеличению основной частоты, являющейся интегральной характеристикой жесткости оболочки. Этот факт был подтвержден в 1975 г. в работе автора диссертации [61]. В ней рассмотрена свободно опертая по торцам оболочка с начальными неправильностями вида (1.2) (при /20 = 0). Анализ основывался на уравнениях теории пологих оболочек. В отличие от предыдущих исследований прогиб оболочки впервые был аппроксимирован выражением предполагающим, что асимметричные неправильности приводят к взаимодействию изгибных колебаний оболочки с радиальными. Тангенциальные граничные условия удовлетворены "в среднем". Показано, что частоты преимущественно изгибных колебаний уменьшаются по сравнению со случаем идеальной оболочки. Однако в этой статье не учтено взаимодействие сопряженных изгиб- ных форм, обусловленное несовершенствами и установленное, правда, позднее. Авторы последующих работ [55-57, 60, 172], а также ряда других исследований, упомянутых, например, в обзорах [46, 58], по-видимому, не были знакомы с результатами работы [61]. Их вывод — асимметричные начальные неправильности, соответствующие характеру волнообразования оболочки, увеличивают основную частоту по сравнению со случаем идеальной оболочки. В работе [65] автором было продолжено изучение влияния асимметричных начальных неправильностей на собственные колебания свободно опертой оболочки. Впервые получено решение задачи для четырех вариантов тангенциальных граничных условий, удовлетворяемых точно. Показано, что w0(x,y) снижают частоты преимущественно изгибных колебаний, при этом для оболочки конечной длины степень влияния начальных несовершенств существенно зависит от формулировки тангенциальных граничных условий. Результаты, полученные в [38, 40-42], были проанализированы автором в работе [14] на примере ненагруэюенной оболочки. Прогиб представлен выражением (1.5). Рассмотрены четыре варианта тангенциальных закреплений торцов оболочки, которые удовлетворены точно.
Граничные и начальные условия
В настоящей работе, как и в подавляющем большинстве других аналогичных исследований , рассматривается оболочка, по краям которой реализуются условия свободного опирання. Поэтому два из четырех граничных условий, сформулированных для прогиба w, записываются виде Два других граничных условия необходимы для нахождения функции напряжений Ф(х,у,ґ). В зависимости от условий закрепления кромок срединной поверхности оболочки и при отсутствии их нагружения они могут быть выбраны из следующих четырех возможных комбинаций: Считается, что на оба торца оболочки накладываются одинаковые связи. В работах [14, 15, 18, 39-42, 46, 50, 154 и др.] подробно изучалось влияние тангенциальных граничных условий на линейные динамические характеристики оболочек. Однако в них рассматривались либо идеальные оболочки, ли- бо, если учитывались несовершенства, во внимание не принималось взаимодействие форм колебаний. В настоящей работе условия (2.14) выполняются точно, как при линейных, так и при нелинейных колебаниях оболочки. Отметим, что в традиционной математической модели [1—3, 9, 18, 56—58, 60, 152 и др.] в нелинейной постановке второе граничное условие (2.13) по изгибающему моменту не выполняется, а тангенциальные краевые условия (2.14) и в линейной, и в нелинейной постановке удовлетворяются только "в среднем". Для замкнутой оболочки помимо условий (2.13) и (2.14) необходимо учитывать и условие периодической непрерывности (или условие "возврата" [28]), то есть требование о том, чтобы все величины, определяющие напряженно-деформированное состояние оболочки, возвращались к своим прежним значениям после обхода ее контура поперечного сечения. Автор не ставит своей целью подробно и тщательно исследовать влияние различных способов закрепления торцов на динамические характеристики несовершенной оболочки, поэтому другие варианты граничных условий в работе не рассматриваются. Исключение составляют последние подразделы пятой и шестой глав, в которых кратко изучается влияние начальных неправильностей на динамические характеристики оболочки с жестко защемленными торцами. При интегрировании уравнений движения должны быть удовлетворены и начальные условия, сформулированные относительно перемещений и скоростей точек срединной поверхности оболочки. невозможным точное определение динамических характеристик оболочки.
Учет геометрической нелинейности приводит к тому, что в движение оболочки вовлекаются все ее формы собственных колебаний. Это побуждает искать приближенное решение, которое, с одной стороны, было бы достаточно простым, а с другой стороны, правильно отображало реальное поведение оболочки. Так мы приходим к одному из ключевых моментов в математической модели — к построению конечномерной модели, позволяющей свести задачу о движении континуальной оболочки к динамическим уравнениям, описывающим колебания ее дискретной модели. Так как многомерные системы трудно поддаются нелинейному анализу и не допускают ряда качественных и наглядных приемов, следует максимально уменьшить число степеней свободы оболочки. При этом известно, что объем вычислений быстро растет с увеличением размерности конечномерной модели [5, 6, 56, 58, 134]. Разумно также строить приближения лишь до такого уровня точности, который соответствует точности исходных уравнений движения оболочки, поскольку построение высших приближений может дать лишь иллюзию повышения точности анализа. Традиционный подход к построению конечномерной модели оболочки основан на следующем. В линейной постановке несовершенная оболочка сводится к дискретной модели с двумя степенями свободы, что эквивалентно учету в выражении для ее прогиба двух сопряженных изгибных форм. В нелинейной постановке этот подход помимо взаимодействия сопряженных изгибных форм предполагает и некоторые геометрические модельные представления о деформировании оболочки при больших прогибах. Такой подход позволил объяснить ряд важных особенностей динамического поведения оболочек. Однако, как будет показано ниже, линейная конечномерная модель приводит к результатам, которые не согласуются с опытными данными и противоречат здравому смыслу, а нелинейная конечномерная модель не позволяет удовлетворить граничным условиям задачи, что делает ее приемлемой только для длинных оболочек. В настоящей работе предлагается иной подход к построению конечномерной модели оболочки. Считается, что возбуждение изгибных колебаний оболочки по одной из собственных форм приводит к возникновению радиальных колебаний, которые, в свою очередь, генерируют сопряэ/сенную изгибную форму. Механизмом, "запускающим" такое взаимодействие форм колебаний, в линейной постановке являются неизбежные начальные отклонения от идеальной круговой формы, а при колебаниях с большими амплитудами — начальные несовершенства и/или геометрическая нелинейность. Согласно новому подхо- ду колебания оболочки напоминают описанное X. Гюйгенсом явление самосинхронизации двух маятников, установленных на общем податливом основании, когда колебания одного маятника вызывает некоторое движение основания, а последнее, в свою очередь, возбуждает колебания второго маятника. Для перехода от нелинейных уравнений в частных производных (2.9) или (2.12), описывающих движение континуальной оболочки, к динамическим уравнениям, которые описывают колебания системы с конечным числом степеней свободы, используется метод Бубнова - Галеркина [18, 58, 139 и др.]. В соответствии с традиционным подходом прогиб оболочки с начальными неправильностями аппроксимируется следующими выражениями. В линейной постановке: где сопряженные изгибные формы sin fiy sin ODC, cos уф sin ox являются формами собственных колебаний идеальной оболочки. В нелинейной постановке: где (х,_у,/) — некоторое дополнительное слагаемое, выбираемое автором. Установлено, что форма дополнительного слагаемого оказывает существенное влияние на конечный результат, определяющий нелинейное поведение оболочки.
В настоящее время это слагаемое рекомендуется принимать в виде где обобщенная координата аъ if) представляет собой либо независимую координату [3, 9, 56-58], либо координату, определяемую из условия нерастяжимости контура срединной поверхности оболочки и связанную, таким образом, с координатами ax{t) и a2(t) [9, 56-58, 60, 139, 152]. Заметим, что именно аппроксимация (2.17), используемая в традиционной конечномерной модели в выражении (2.16) для прогиба, и не позволяет удовлетворить граничному условию (2.13) по изгибающему моменту. В настоящей работе, в; соответствии с предлагаемым подходом, прогиб оболочки и в линейной- ив нелинейной постановке представляется в виде:... w{x,y,i) = hux{t)sm J3y,+ где два поеледних.слагаемыхотвечают радиальным колебаниям;оболочкш 2.4; Модальные уравнения.. В: работе изучаются» различные: виды щ.. При;этом»особое внимание, как и большинстве других известньіхіработ,уделя- ется начальным неправильностям, которые соответствуют характеру волнообразования оболочки ишриводят к расщеплению изгибного частотного спектра: w0(x,y)-ha0 sin /Hy + 0)sihca; = h(al0 sin J3y + a20 cos /3y)smccc. (2.19) В (2.19); a0 — безразмерная амплитуда начальных несовершенств; щ — начальный угол отсчета; а10 = aQ cosщ; а20 = а0 sin(pQ. Єчитается, что гармоническая вынуждающая нагрузка "резонансно! распределена по отношению к одной из собственных изгибных форм: . где q — амплитуда, a 0 — частота вынуждающей нагрузки. Решение (2.9) или (2.12) по схеме П.Фі Папковича приводит кмодальным уравнениям, из- которых и определяются динамические характеристики оболочки. Притрадиционном подходе нелинейной постановке: они имеют вид "в ї +с\\к9\ где точками обозначено дифференцирование по безразмерному времени г = At (Л — частота собственных изгибных колебаний идеальной: оболочки); щк — квадраты безразмерных парциальныхчастот; Fik — нелинейные: функции; q — безразмерная амплитуда вынуждающей нагрузки; Q. = /A; индекс "к" означает,что решение задачи является традиционным. В линейной постановке модальных уравнений два ( а3=0), при этом связь между сопряженными изгибными формами носит упругий характер.
Нелинейное взаимодействие форм колебаний идеального кругового кольца
Вводные замечания. Традиционный подход к построению нелинейной конечномерной модели идеальной оболочки предполагает взаимодействие сопряженных изгибных форм, а также некоторые геометрические модельные представления о ее деформировании при конечных прогибах ("преимущественное выпучивание вовнутрь", нерастяжимость контура) [58, 139]. При таком подходе прогиб свободно опертой по торцам оболочки, совершающей колебания вблизи зоны главного резонанса, представляется в виде При этом установлено, что характер нелинейного поведения оболочки существенно зависит от формы {x yj), выбираемой автором. Этот подход прочно вошел в научную и даже в учебную литературу. Однако, как уже отмечалось выше, он приводит к ряду неразрешимых проблем, связанных с удовлетворением граничным условиям. Поэтому традиционный подход может быть использован только для относительно длинных оболочек. Для уточнения представлений об особенностях нелинейного взаимодействия форм колебаний оболочек конечной длины ниже рассматривается более простая, но близкая задача об изгибных колебаниях идеального кругового кольца при плоской деформации с большими амплитудами. Нелинейная конечномерная модель кольца. Предложим иной подход к построению нелинейной конечномерной модели идеального кольца. Будем полагать, что возбуждение изгибных колебаний кольца с большими амплитудами по одной из собственных форм (например, по форме sin /Зу) неизбежно приводит к возникновению радиальных колебаний. Радиальные колебания, в свою очередь, приводят к смещению возбуждаемой изгибной формы в окружном направлении на угол p(t). Прогиб идеального кольца, согласно новому подходу, аппроксимируется выражением где первое слагаемое представляет собой бегущую в окружном направлении из-гибную волну, а второе слагаемое соответствует радиальным колебаниям. Заметим также, что смещение возбуждаемой изгибной формы на угол (p{t) описывает, по существу, возникновение сопряженной изгибной формы. Введя обозначения /, (t) = /(/)cos (pipf, f2 (t) = f(t)s m p(t); /3( ) = Р( ), прогиб (3.2.5) можно представить и в следующем виде Допущение о нерастяжим ости контура кольца. Очень часто [18, 58, 151] при изучении изгибных колебаний замкнутого, кольца с болыиими, амплитудами делается допущение о том, что длина его контура практически не изменяется.
Отсюда следует, что Тогда, вместо (3.2.2) получаем следующее уравнение движения: Условие периодичности окружного перемещения (3.2.4) принимает вид Предположение 1. Геометрическая нелинейность кольца является меха-низмом, запускающим взаимодействие его изгибных и радиальных колебаний. Доказательство. Воспользуемся допущением о нерастяжимости контура кольца. Подстановка (3.2.5) в (3.2.9) позволяет установить следующую зависимость между обобщенными координатами (/) и f(t): Из (3.2.10) следует, что связанность изгибных и радиальных колебаний обусловлена нелинейностью кольца. Следовательно, возбуждение изгибных колебаний колыша с большими амплитудами всегда приводит к возникновению радиальных колебаний, что подтверждает высказанное предположение. Заметим, что в линейной постановке упомянутые колебания идеального кругового кольца происходят независимо друг от друга. Предположение 2. Возбуждение нелинейных изгибных колебаний кольца по одной из собственных форм приводит к возникновению радиальных колеба- ниш Последние колебания, в свою очередь, генерируют сопряженнуючизгибную-форму. Таким: образом, радиальные колебания выступают! в качестве своеобразной инерционной связи между сопряэюеннымиизгибными формами:. Доказательство. Уточним»математическую модель, опуская допущение о нерастяжимости контура кольца. Подставив; (3 2.6). в (3 .2.4),. найдем сначала, функцию cc{t), а затем и усилие N2(t). Ортогонализация второго уравнения/ (3.2.2) к форме прогиба (3;2.6) приводит к,системе трех связанных модальных уравненишотносительно бёзразмерныхкоордината: = ft/h (г = 1, 2, Из первого уравнения (3.2Л1) видно, что возбуждение нелинейных колебаний кольца по одной из собственных изгибных форм приводит: к возникновению радиальных колебаний. Из второго -и третьего уравнений (3:2; 11) следует, что именно радиальные колебания генерируют сопряженнуюызгибную форму, выступая в качестве своеобразной инерционной связи между этими изгибны-ми формами, что подтверждает высказанное предположение: Доказанное предположение свидетельствуют о; том, что нелинейное движение идеального кругового кольца также напоминает описанное X. їїюйгенсом явление самосинхронизации двух маятников:, установленных на общем податливом основании- когда колебания одного маятника вызывает некоторое движение основания, а последнее возбуждает колебания второго маятника. Из первого уравнения (3.3.1) следует, что окружное погонное усилие зависит только от времени, то есть N2{y,t) = N2(t). Тогда, с учетом (2.5), получим Прогиб кольца с начальными; неправильностями аппроксимируем выражением, предполагающим взаимодействие изгибных колебаний с радиальными, а также связанность сопряэюенных изгибных форм: Пусть отклонения соответствуют характеру волнообразования кольца: Условие периодической непрерывности перемещения v(y,t) имеет вид Подстановка (3.3.3) и (3.3.4) в (3.3.5) позволяет сначала найти функцию a(t), а затем по (3.3.2) и само окружное усилие: Ортогонализация второго уравнения (3.3.1) приводит к системе трех связанных динамических уравнений относительно координат at (г) : Из (3.3.7) следует, что взаимодействие изгибных колебаний с радиальными, а также связанность сопряженных изгибных форм обусловлены не только наличием начальных отклонений, но и геометрической нелинейностью кольца. 3.3.2. Скелетная кривая одномодового режима. Метод Бубнова — Га-леркина. Будем полагать, что угол отсчета начальных отклонений р0 = 0 (ат = а0 = /0/h; а20=0). В этом случае, согласно (3.3.7), взаимодействие изгибных колебаний кольца с радиальными, связанность сопряженных изгибных форм, а также расщепление частотного спектра сохраняются.
Периодическое решение системы (3.3.7) для случая одномодового режима движения кольца, когда его колебания происходят только по одной изгибной форме, например smffy (о2(т) = О ), ищем методом Бубнова — Галеркина в виде где ш — нелинейная частота; А10 — смещение, обусловленное наличием в (3.3.7) квадратичных членов; Ап — амплитуда колебаний. Подстановка (3.3.8) в третье уравнение системы (3.3.7) приводит к неоднородному дифференциальному уравнению с частным решением где смещение А30 и амплитуды А31, А32 равны Подстановка (3.3.8) и (3.3.9) в первое уравнение (3.3.7) и выполнение процедуры метода Бубнова - Галеркина приводят к системе двух нелинейных алгебраических уравнений. Одно из них устанавливает связь между смещением Aw и амплитудой колебаний Ап: а другое определяет уравнение скелетной кривой, отвечающей форме sin Ду: При малом значении параметра є, характеризующего относительную толщину кольца, формулы (3.3.11) и (3.3.12) могут быть упрощены: Расчеты, выполненные по приведенным выше формулам, представлены на рис. 3.4. Здесь показаны скелетные кривые мягкого типа, построенные при амплитуде начальных отклонений aQ = 1 для двух значений параметра є. Сплошные линии отвечают формуле (3.3.12), а пунктирные - (3.3.13). Рис. 3.4. Скелетные кривые несовершенного кольца Из приведенных графиков видно, что для тонких колец вторая приближенная формула (3.3.13) дает приемлемые результаты. Так, при є = 0,25 (линии отмечены кружочками) погрешность по частоте не превышает 3 %. 3.3.3. Метод Рунге - Кутта. Динамические характеристики идеального кольца и кольца с начальными отклонениями были определены и методом Рунге - Кутта четвертого порядка. Размер шага по времени выбирался таким, чтобы его дальнейшее уменьшение практически не изменяло результатов. Результаты численного интегрирования системы (3.3.7) сопоставлены с результатами, которые были получены выше методом Бубнова - Галеркина. На рис. 3.5 представлены результаты, полученные методом Рунге - Кутта для идеального кольца при є = 0,1. Начальные условия задавались в виде Видно, что при выбранных начальных условиях сопряженная форма cos уф не возникает, а радиальные колебания происходят по гармоническому закону с двойной частотой, причем амплитуда радиальных колебаний сопоставима с амплитудой изгибных колебаний кольца.
Влияние переменной толщины
Будем считать, что кольцо имеет малые начальные несовершенства в виде чередующихся в окружном, направлении "усилений" и "ослаблений", то есть его толщина h{y) изменяется по закону Изучим влияние разнотолщинности вида (3.5.1) на расщепление изгибно- го частотного спектра и нелинейное поведение кольца в предположении, что амплитуда несовершенств а0 мала, а число "усилений" и "ослаблений" велико («о »1). Заметим, что масса несовершенного кольца, согласно (3.5.1), считается равной массе соответствующего идеального кольца. Прогиб кольца переменной толщины аппроксимируем выражением предполагающим взаимодействие изгибных и радиальных колебаний. Будем считать, что вынуждающая нагрузка q(y,t) "резонансно" распределена по отношению к изгибной форме sin J3y: С ростом амплитуды несовершенств а0 она заметно усиливается. Коэффициенты собственных форм равны лг21 = -\/tg(p0; к22 = tgq u. Из (3.5.9) и (3.5.10) следует, что если # 0=0 или р0-7г/2, то упругая связь между сопряженными изгибными формами в линейной постановке отсутствует, однако расщепление изгибного частотного спектра сохраняется. Как видно из (3.5.10), разнотолщинность, соответствующая характеру волнообразования кольца (п0 = п), увеличивает низшую собственную частоту Q01 по сравнению со случаем кольца постоянной толщины. В следующем подразделе будет показано, что при п0 = 2п влияние начальных несовершенств на частоту Q01 оказывается противоположным. рис. 3.23 представлены результаты динамического расчета кольца переменной толщины, выполненного в пакете MSC/NASTRAN. Кольцо имело следующие параметры: R/h = 200 (R = Мнхс7м ; ширина Ъ = 0,01 м; п0 =10; амплитуд несовершенств /0 = 0,0005 м, фазовый угол ф0 = 0. Число конечных элементов - 3 000. Сопряженные изгиб-ные формы идеального кольца при и = и0/2=5 и соответствующие им частоты представлены на рис. 3.23, а. Эти же сопряженные изгибные формы и собственные частоты для кольца переменной толщины показаны на рис. 3.23, б. Для приближенного решения системы (2.9), описывающей нелинейные колебания оболочки с w0(x,y), применяются раз личные аналитические и численные методы [18, 33-37, 56—58].
При использо вании аналитических методов одним из ключевых моментов является построе ние конечномерной модели оболочки или, иными словами, выбор функций для ее прогиба. В качестве этих функций, используются, как правило, формы малых собственных колебаний идеальной оболочки. Поэтому изучение влияния w0(x,y) на линейные динамические характеристики оболочки мы начнем с краткого рассмотрения задачи о собственных колебаниях идеальной оболочки. 4.1.2. Уравнения движения. В разных литературных источниках уравне ния, описывающие малые собственные колебания оболочки, несколько отли чаются друг от друга, поэтому их вывод был повторен. За основу принят вари ант теории оболочек В.В. Новожилова [105], в котором последовательно вы держивается принцип пренебрежения членами порядка h/R по сравнению с единицей (точность гипотезы прямых нормалей). В результате оказалось, что варианту теории оболочек [105] соответствует следующая система уравнений: где Ъ - h2/\2R2 - малый параметр, характеризующий относительную толщину оболочки. Сравнение (4.1.1) с аналогичными уравнениями, приведенными в других источниках, позволяет сделать выводы о том, что уравнения (4.1.1): тождественны уравнениям (16) [114], аналогичны статическим уравнениям (13.9) [131] и уравнениям (23.1.7) [28]; отличаются коэффициентами некоторых членов и отсутствием других членов от уравнений (12.11) [132] и уравнений (1.78) [29] (дифференциальные операторы этих уравнений несимметричны, что указывает на нарушение основных теорем механики сплошной среды); отличаются второстепенными членами, пропорциональными малому параметру Ъ, от уравнений (211) [133], автор которых исходил из точных выражений для кривизн, а не приближенных [105], приводящих к ошибкам порядка ошибок, вносимых гипотезой прямых нормалей; отличаются от уравнений (13.11) [17] двумя численными коэффи-циентами: во втором уравнении (4.1.1) производная д v/дх" имеет коэффициент ——(l + 4b), а в [17] - — (і + б); во втором уравнении (4.1.1) производ ная d3w/dx2dy и симметричная ей производная dJv/dx2dy из третьего уравне ния имеют коэффициент (2 — ju)b, тогда как в [17] этот коэффициент равен про сто Ъ (различие обусловлено использованием в [17] особого выражения для компонента кручения, несколько отличающегося от общепринятого [105]. Уравнения (4.1.1), условно называемые в дальнейшем точными, могут быть упрощены. Например, для тонких оболочек уже при h/R 0,01 параметр Ъ 10 «1, поэтому в выражении для оператора L22, не теряя точности, можно опустить подчеркнутые слагаемые. Дальнейшее упрощение соответствует приближенному варианту теории оболочек Доннелла - Муштари - Власова (ДМВ). Опуская подробности [105], укажем, что переход от точных уравнений (4.1.1) к уравнениям теории ДМВ равносилен замене операторов Ь2Ъ = L32 на их приближенные выражения: 4.1.3. Частоты и формы собственных колебаний. Определим динамические характеристики оболочки по точным уравнениям (4.1.1) и уравнениям ДМВ. Рассмотрим оболочку с краевыми условиями Навье (2.13), (2.14; 2). Этим граничным условиям соответствует следующее решение системы (4.1.1): где m — число полуволн в продольном направлении; п — число волн по окружности; А — частота собственных колебаний. Подстановка (4.1.3) в соответствующие уравнения движения приводит к системе однородных уравнений относительно амплитуд А, В и С.
Приравнивание к нулю определителя этой системы дает частотное уравнение относительно квадрата безразмерной собственной частоты со2 = pR2А? /Е. При фиксированных значениях тип частотное уравнение всегда имеет три действительных корня, соответствующих различным отношениям амплитуд А, В и С. При этом два корня, как правило, значительно больше третьего, то есть си2 « со\, со2. Так, например, для оболочки с параметрами 1/R — 2,5; R/h = 320 при т = 1; п = 6 квадраты безразмерных собственных частот, найденные по точным уравнениям, равны: со2 =2,SS-10 3; со2 =14,5; щ =42,3 , а по уравнениям ДМВ: со] =2,94-10""3; а \ =14,5; со2 =42,3 . Для оболочки с параметрами 1/R = 0,6; R/h = 200 при т — \; п = 10 квадраты частот, соответственно, равны: Аналогичные результаты получаются, если изменить начало отсчета окружной координаты на угол я/2, то есть представить решение (4.1.3) в виде Заметим также, что решение уравнений движения в виде стоячих волн не является единственным. При определенных начальных условиях движение оболочки представляет собой бегущую в окружном направлении волну [56, 57]. Приведенные выше численные результаты, графики работы [49], а также многочисленные исследования, выполненные другими авторами [18, 44], свидетельствуют о том, что теория ДМВ дает значения всех трех собственных частот близкие к точным значениям. Причем две высших частоты по обеим теориям практически неотличимы. Расхождение в низшей частоте растет с увеличением относительной длины и/или толщины оболочки. При изгибных колебаниях оболочки прогибы w обусловлены непосредственно действующей вынуждающей поперечной нагрузкой. Эти прогибы вызывают окружные перемещения v, которые в общем случае намного меньше, чем w. Перемещения v, в свою очередь, приводят к возникновению продольных перемещений и, которые, как правило, меньше, чем перемещения v. Поэтому меньшему корню о\ отвечают преимущественно изгибные колебания оболочки, а двум другим соответственно — преимущественно крутильные и преимущественно продольные колебания. Указанная зависимость, конечно, определяется размером волн деформаций и справедлива только в том случае, когда длина волн меньше, чем окружные и другие общие размеры оболочки (что характерно для гармонических составляющих деформаций, обычно возникающих в оболочках, применяемых в ракетостроении и судостроении [44]). Так, например, для оболочки с параметрами 1/R = 2,5; Rjh = 320 4.1.4. Пренебрежение тангенциальными составляющими сил инерции. Продолжим упрощение уравнений (4.1.1). Во многих случаях динамические процессы в тонкой оболочке можно рассматривать, не учитывая волновой характер распространения деформаций.
