Содержание к диссертации
Введение
Глава 1. Нелинейная механика деформируемых тел 18
1.1. Кинематика движения среды 18
1.2. Напряженное состояние. 28
1.3. Уравнения движения. 33
1.4. Принцип виртуальных мощностей 34
1.5. Вариационное уравнение в скоростях напряжений. 38
Глава 2. Физически нелинейные материалы определяющие соотношения 41
2.1. Свойство индифферентности 41
2.2. Нелинейно упругое тело 45
2.3. Стандартный материал второго порядка 47
2.4. Определяющие соотношения в виде линейного закона Гука 49
2.5. Условие пластичности 50
2.6. Основные положения теории пластического течения 54
2.7. Метод проецирования напряжений на поверхность текучести 55
2.8. Основные положения теории ползучести 57
Глава 3. Метод пошагового нагружения 63
3.1. Общий алгоритм 63
3.2. Итерационное уточнение текущего НДС 66
3.3. Исследование закритического состояния , 69
3.4. Конечноэлементная дискретизация 73
3.5. Пересчет напряжений и геометрии. 78
3.6. Решение СЛАУ 79
3.7. Описание пакета прикладных программ 81
Глава 4. Численные примеры 85
4.1. Изгиб балки в кольцо 85
4.2. Упругопластическое деформирование толстостенной трубы 89
4.3. Упругое деформирование прямоугольной плиты 94
4.4. Упругопластическое деформирование балки. 97
4.5. Исследование закритического поведения арки 102
4.6. Растяжение вязкоупругого бруса 106
4.7. Вязкоупругопластическое деформирование «подковы» 107
4.8. Упругопластическое деформирование трубы. 111
4.9. Расчет грунтовой насыпи 116
Заключение 120
Список литературы 122
- Вариационное уравнение в скоростях напряжений.
- Определяющие соотношения в виде линейного закона Гука
- Метод проецирования напряжений на поверхность текучести
- Упругопластическое деформирование толстостенной трубы
Введение к работе
В последнее время со стороны исследователей значительно возрос интерес к нелинейным задачам механики твердого деформируемого тела, учитывагощих все более сложные процессы. Такие задачи возникают в производстве, где широко используются материалы со сложными физико-механическими свойствами, также существует проблема моделирования технологических процессов. При этом нужно учитывать, что в элементах конструкций могут возникать конечные деформации, и решение задач такого рода осложняется тем, что материалы характеризуются различными физическими свойствами, такими как упругость, пластичность, вязкость. Поэтому создание эффективных методик исследования нелинейных процессов деформирования, применимых к более широкому классу задач, является актуальной задачей на сегодняшний день.
Настоящая работа посвящена разработке и численной реализации методики исследования напряженно-деформированного состояния (НДС) вязкоупругопластических трехмерных тел с учетом больших перемещений, поворотов и конечных деформаций. Используется процедура пошагового нагружения в рамках комбинированного лагранжево-эйлерового описания деформирования среды. Для исследования закритического поведения используется алгоритм, основанный на методе продолжения решения по параметру. Пространственная дискретизация основана на методе конечных элементов (МКЭ) в рамках полилинейной трехмерной изопараметрической аппроксимации.
Для решения нелинейных задач используются, как правило, численные методы, к которым относится МКЭ. В настоящее время МКЭ является самым популярным способом решения практических задач механики деформируемого твердого тела (МДТТ). С его помощью проводят расчеты по определению НДС и несущей способности реальных конструкций самых различных отраслей техники и строительства. При этом эффективно решаются задачи как общей, так и локальной прочности. Развитие метода конечных элементов на динамические и нелинейные проблемы предоставляют возможность достоверно моделировать такие сложные процессы, как разрушение, удар, потеря устойчивости, штамповка, вытяжка и т.д. Практически все задачи МДТТ получили постановку и алгоритмы решения в рамках конечноэлементных методик. Существует множество публикаций, в которых обсуждаются теоретические и практические аспекты применения МКЭ. Среди них можно отметить работы [3, 4, 5, 17, 26, 33, 39, 50, 51, 58, 74, 75, 82, 84-87, 89, 93, 110-112,174-176].
Для решения задач МДТТ с учетом физической и геометрической нелинеиностеи используются численные методы, которые можно разделить на. две группы. Первая предполагает использование итерационных методов (метод простой итерации, метод Ньютона и т.д.) для решения системы нелинейных обыкновенных дифференциальных или алгебраических уравнений. Но в рамках современных численных методов наиболее популярными являются шаговые методы (методы последовательных нагружений), в соответствии с которыми процесс деформирования представляется как последовательность равновесных состояний и переход из текущего состояния в последующее определяется приращением нагрузки (изменением граничных условий, области определения и т.д.). Эти методы условно можно разделить на три подгруппы [79]: первая — предполагает использование принципа виртуальных перемещений, в котором все величины отнесены к. исходному недеформированному состоянию (глобальная лагранжева постановка); вторая - основана на том же вариационном уравнении, но в качестве базовой используется текущая метрика (модернизированная лагранжева постановка) [3, 4, 33, 44, 47, 52, 63, 86, 85, 110-112, 114, 116, 118, 167]; третья — представляет собой комбинированную лагранжево-эйлерову постановку, согласно которой отслеживается поведение материальной точки (элементарного объема) в соответствии с лагранжевым методом описания среды, но в текущем состоянии ставится задача о течении среды в соответствии с эйлеровым подходом [31, 124, 143, 166]. Традиционно в механике деформируемого твердого тела для решения геометрически нелинейных задач получило распространение лагранжево описание среды, согласно которому состояние элементарного объема описывается в компонентах вектора перемещений из недеформированного состояния в деформированное и второго тензора напряжений Пиолы-Кирхгофа, также отнесенного к недеформированному объему. В этом случае хорошо формулируется краевая задача в дифференциальной или вариационной форме, для решения которой возможно использование различных численных методов. Однако подобный подход имеет существенный недостаток в задачах с конечными деформациями. Он связан со сложностью построения определяющих соотношений между используемыми тензорами напряжений и деформаций, который особенно сильно проявляется при постулировании определяющих соотношений в дифференциальной (скоростной) форме. Тогда, если течение среды описывать в эйлеровой постановке, то эти трудности можно обойти.
При решении задач с учетом пластических деформаций применяются методы линеаризации, которые делятся на две группы. К первой группе относятся метод переменной жесткости (или метод касательной жесткости) [127, 134, 137, 173], метод переменных параметров упругости [97], процедура решения которых аналогична методу Ньютона. К недостаткам этих методов относится то, что на каждой итерации приходится переопределять компоненты матрицы системы уравнений, что приводит к значительным затратам времени решения.
Во вторую группу входят методы, основанные на идее метода Ньютона-Рафсона решения нелинейных алгебраических задач," таких как метод упругих решений А.А. Ильюшина [9, 10, 56, 59, 105], метод начальных напряжений [126, 173], метод начальных деформаций [2, 7, 8, 97]. В этом случае коэффициенты матрицы системы алгебраических уравнений на итерациях не изменяется, что является основным преимуществом методов второй группы. Данное обстоятельство позволяет существенно сократить время решения системы линейных алгебраических уравнений.
При решении нелинейных задач с учетом особых точек разработаны алгоритмы, предусматривающие регуляризацию уравнений и получение многозначных решений. Базовым является алгоритм на основе методов продолжения по параметру. Метод продолжения решения по параметру был сформулирован М. Лаэем (М. Lahaye) и Д. Давиденко как метод построения множества решений нелинейных уравнений, содержащих параметр. Простейший пример таких множеств — кривая в многомерном пространстве, координатами которого являются неизвестные и параметр. В основе метода лежит идея движения вдоль множества решений с использованием на каждом шаге информации о решении, полученном на предыдущих шагах. Уже Д. Давиденко отметил, что в качестве параметра продолжения решения можно использовать не только параметр задачи, но и любую из неизвестных. В [43, 125] было показано, что наилучшие вычислительные свойства обеспечиваются, если в качестве параметра продолжения используется длина вдоль кривой множества решений. На этой основе сформулирован метод продолжения по наилучшему параметру или наилучшая параметризация [43, 125]. В книге [103] показано, что метод продолжения по наилучшему параметру применим в любой математической задаче, решением которой является кривая или другое однопараметрическое множество. В [103] рассмотрены задача Коїли для обыкновенных дифференциальных уравнений, интерполяция и аппроксимация кривых и др. Численная реализация метода, осуществляемая в виде шагового процесса по параметру нагрузки и получившая название метода последовательных нагружений В.В. Власова, нашла применение в работах [73, 78]. Являясь, по существу, аналогом метода Эйлера, этот метод характерен тем, что в нем не предусмотрена компенсация погрешности вычислений, вызванной линеаризацией нелинейных уравнений на каждом шаге. Поэтому достижение требуемой точности может быть получено путем уменьшения величины приращения нагрузки. Имеются такие варианты неявных схем интегрирования задачи Коши по параметру с применением различных способов улучшения сходимости итерационных процессов типа метода Ньютона-Рафсона [15, 16, 42, 102].
Изложив некоторые методы решения нелинейных задач, остановимся на работах, близких к теме настоящей диссертации.
В работах [6, 45, 54, 60, 68, 71, 76, 147, 161] приводятся вариационные принципы, с помощью которых получают постановку задачи для нелинейных задач. Различные формулировки для инкрементальной теории пластичности приведены в работах [114, 138]. В [77, 150, 151] рассматриваются. вариационные формулировки задачи упругопластичности в скоростях, вариационное уравнение, сформулированное как в элеровой, так и в лагранжевой формулировках, основано на введение потенциального представления скоростей напряжений. В работах содержится также двойственная формулировка, являющейся аналогом принципа Рейснера в. линейной теории упругости. С использованием предположения о существовании потенциала для яуманновской производной тензора напряжений Коши-Эйлера в работах [107, 108, 109] формулируется вариационные уравнения в скоростях для геометрически нелинейных упругопластических проблем, подобные принципам-Ху-Вашизу, Хеллингера-Рейсснера и дополнительной энергии в теории упругости. Некоторые примеры решения геометрически нелинейных упругопластических задач с использованием вариационного подхода содержаться в работах [115, 120, 137, 151].
Следующие работы посвящены реализации МКЭ в физически и геометрически нелинейных задачах. В статьях [117, 123, 127, 133, 136, 135, 143] рассматривается вопрос физически нелинейных задач с учетом конечных деформаций в рамках инкрементального подхода. В [117, 143] используется эйлерова формулировка, в [123, 127, 133, 135, 136] - лагранжева. В работах [3, 4, 86, 85] изложены основы моментной схемы метода конечных элементов, описаны алгоритмы решения задач прочности, динамики и устойчивости пластин, дисков, массивных осесимметричных и пространственных тел. При исследовании устойчивости и закритического поведения используется метод продолжения решения по параметру. Также в статье моделируется процесс деформирования тел с трещинами, железобетонных конструкций на упругопластическом основании, гибких конструкций из композитных эластомеров, приводится исследование НДС комбинированного большепролетного покрытия спортивно-зрелищного сооружения.
Работа [53] посвящена реализации метода продолжения по параметру в геометрически и физически нелинейных задачах. Уравнения продолжения записаны в недеформированной конфигурации тела, параметром продолжения служит параметр длины интегральной кривой множества решений. При упругопластическом деформировании используется теория течения с аддитивным разделением деформаций, поверхность текучести определяется условием Губера-Мизеса. Приводятся результаты численных расчетов.
Работы [НО, 139, 143] посвящены исследованиям конечных упругопластических деформациях в лагранжевой и эйлеровой формулировках. Обсуждаются недостатки и преимущества той или иной формулировок, показано, что при определенных физических соотношениях оба подхода приводят к одинаковому результату.
Вопросы точности и некоторые вычислительные аспекты МКЭ обсуждаются на примерах в статьях [134, 137, 143, 149, 165, 167, 170]. Исследованию напряженно-деформированного состояния различных конструкций с учетом геометрической нелинейности посвящены работы [18, 19,41,58, 119, 126, 128, 138, 156,159, 160, 167, 172].
Работы [57, 61, 116, 118, 130, 132, 140, 144, 148, 152, 153, 169, 171] посвящены: проблеме моделирования процессов обработки металлов. В [118, 152, 169, 171] описывается применение МКЭ для решения технологических задач упругопластичности, относящихся к обработке металлов давлением. В статье [116] используется уравнения Прандтля-Рейсса для описания упругопластического поведения материала в модернизированной лагранжевои формулировке. В статье [124] моделируется процесс холодного выдавливания в рамках, как и текущей лагранжевои, так и комбинированной лагранжево-эйлеровой формулировки. Полученные численные решения сравниваются с экспериментальными данными, которые демонстрируют, что применение комбинированной лагранжево-эйлеровой формулировки приводят к более точным результатам. В работе [166] используется комбинированная лагранжево-эйлеровая формулировка для исследования процесса горячей обкатки. В работе [144] моделируется технологический процесс обработки металлов, в [140, 144] процесс моделируется в модернизированной лагранжевои постановке, в [132, 130] - в эйлеровой, в [112, 175] используется комбинированная постановка. В [153] используется вязкопластическая. реологическая модель для исследования горячей и холодной прокатки, используется теория жестковязкопластического течения в рамках теории Леви-Мизеса.
Работы [100, 101] посвящены выводу определяющих уравнений для упругих и упругопластических сред при конечных деформациях. При формулировке физических соотношений в рамках скоростной постановке возникает вопрос о выборе объективной производной тензора напряжений. В работах [ПО, 116-118, 123, 127, 129, 133-136, 137, 139, 143, 152, 167, 169, 171] в качестве скорости изменения напряжений используется производная Яуманна тензора напряжений Копій, в [157] используется производная Трузделла. В статье [122] рассмотрены как производная Яуманна так и Трузделла.
В работе [141] приведена методика исследования предельного состояния материалов, обладающих внутренним трением, в качестве критерия пластичности используется условие Мора-Коломбо и Мизеса-Боткина (Друкера-Прагера). Используется ассоциативный закон течения, рассмотрены численные примеры. В [146] исследуется большие деформации вязкоупругих и вязкоупругопластических геоматериалов. Используется модель Максвелла. В [ 106] рассматриваются задачи о больших деформациях гиперупругих-вязкопластических твердых тел в модернизированной лагранжевой постановке.
При моделировании упругопластических деформаций чаще всего используется теория течения. В [129, 143, 154, 155, 157] применяется метод проецирования на поверхность текучести при конечных деформациях. Также существует два подхода разделения полной деформации на упругую и пластическую составляющие. В работах [4, 65, 80, 121, 134, 143] используется аддитивное предоставление, в [66, 67, 106, 124, 145, 162-164, 168] — мультипликативное.
Таким образом, исходя из анализа научных публикаций в данном направлении, перед автором была поставлена следующая задача: на основе пошагового нагружения в рамках комбинированного лагранжево-эйлерового описания сплошной среды разработать методику исследования процесса деформирования трехмерных неупругих тел с учетом больших перемещений, поворотов и конечных деформаций; построить определяющие соотношения в скоростях напряжений, рассмотреть класс гиперупругих, упругопластических и вязкоупругопластических материалов; получить разрешающие уравнения и разработать алгоритм решения задач механики твердого деформируемого тела с учетом физической нелинейности; на основе метода продолжения по параметру разработать алгоритм исследования закритического поведения при потере устойчивости; на основе метода конечных элементов разработать алгоритм и создать программное обеспечение для решения указанного класса задач; решить ряд тестовых и прикладных задач нелинейного деформирования неупругих тел.
Результаты научной деятельности автора нашли отражение в диссертации, которая состоит из введения, четырех глав, заключения и списка литературы из 176 наименований.
Первая глава посвящена нелинейной механики твердого деформируемого тела. Рассматривается кинематика деформируемой среды, вводятся тензоры и меры деформации и геометрический смысл их компонент. Приведены различные тензоры напряжений, получившие распространение в механике деформируемого твердого тела, а также уравнения движения среды. Рассматривается вариационное уравнение принципа виртуальных мощностей, получено уравнение в скоростях напряжений.
Во второй главе рассматривается вопрос о построение определяющих соотношений и разрешающих уравнений. Рассмотрено свойство индифферентности и инвариантности различных тензоров, вводится в рассмотрение производная Яуманна тензора напряжений Коши-ЭЙлера. Получены определяющие соотношения в скоростях напряжений для стандартного материала второго порядка, определяющие соотношения, выражающие производную Яуманна тензора напряжений Коши-Эйлера через деформации скорости для упругопластических и вязкоупругопластических тел. Используется аддитивное представление для деформации скорости. Приведены условия пластичности Губера-Мизеса и Мизеса-Боткина, выписаны основные соотношения теории пластического течения и ползучести, описана методика решения задач с учетом пластических деформаций и деформаций ползучести.
Третья глава посвящена методике, основанной на процедуре пошагового нагружения, численного решения нелинейных задач. Приводится общий алгоритм решения, на каждом шаге проводится итерационное уточнение текущего НДС. Для исследования закритического поведения конструкций разработан алгоритм на основе метода продолжения по параметру. Дается конечноэлементная дискретизация на базе восьмиузлового полилинейного элемента. Получена система линейных алгебраических уравнений, решение которой осуществляется с помощью компактной схемы Гаусса.
В четвертой главе приводятся решение тестовых и прикладных задач. В качестве тестовых рассмотрены следующие задачи: изгиб упругой балки в кольцо, упругопластическое деформирование толстостенной балки под действием внутреннего давления, исследование закритического поведения упругой арки, растяжение вязкоупругого бруса; приводятся сравнения с результатами, полученными аналитическим путем. В качестве новых и прикладных задач решены: упругопластическое деформирование балки, упругое деформирование плиты из стандартного материала второго порядка, вязкоупругопластическое деформирование «подковы», упругопластическое деформирование трубы с учетом потери устойчивости, расчет грунтовой насыпи.
На защиту выносится: методика исследования напряжено-деформированного состояния вязкоупругопластических тел с учетом больших перемещений, поворотов и конечных деформаций, основанная на методе пошагового нагружения в рамках комбинированного лагранжево-эйлерового описания сплошной среды; методика исследования закритического поведения при потере устойчивости на основе метода продолжения решения по параметру; численный алгоритм и программное обеспечение на базе конечноэлементной дискретизации, позволяющее решать задачи указанного класса; результаты решения ряда нелинейных задач механики деформируемого твердого тела.
Основные результаты диссертации опубликованы в [20-25, 27-30, 32, 34-39-37, 89, 92, 93]. Работы [20-25, 27-30, 32, 34-39-37] выполнены совместно с научным руководителем проф. Головановым А.И., [24, 37]-проф. Коноплевым Ю.Г., доц. Кузнецовым С.А., в докладе [20] объединены результаты исследования совместно с проф. Головановым А.И., проф. Коноплевым Ю.Г., доц. Кузнецовым С.А и асп. Борецким О.И., в [27, 89] — Сенниковой А.С. Голованову А.И. принадлежит постановка задач об исследование НДС трехмерных вязкоупргопластических тел с учетом конечных деформаций МКЭ, обсуждение алгоритмов конечноэлементного решения и результатов расчетов. Соискателем разработана методика исследования, ее конечноэлементная реализация, в виде программного пакета, и апробация, решены конкретные задачи.
Работа выполнена на кафедре теоретической механики Казанского государственного университета во время очного обучения в аспирантуре. Отдельные результаты докладывались и обсуждались на итоговых научных конференциях КГУ (Казань, 2003-2005);
Международных молодежных школах-конференциях «Лобачевские чтения» (Казань, 2002, 2003); городском научно-методическом семинаре . кафедры теоретической механики КГТУ (Казань, 2003); итоговой научной конференции казанского научного центра РАН (Казань, 2003); XV Всероссийской межвузовской научно-технической конференции «Электромеханические и внутрикамерные процессы в энергетических установках, струйная акустика и диагностика, приборы и методы контроля природной среды, веществ, материалов и изделий» (Казань, 2003); городской научно-практической конференции «Студенты Зеленодольску» (Зеленодольск, 2003);
Международной научной конференции «Фундаментальные и прикладные вопросы механики» (Хабаровск, 2003);
Всероссийской научной конференции «Математическое моделирование и краевые задачи» (Самара, 2004);
Всероссийском семинаре «Сеточные методы для краевых задач и приложения (Казань, 2004);
Международной научной конференции «Актуальные проблемы математики и механики (Казань, 2004); XVII сессии Международной школы «Модели механики сплошной среды» (Казань, 2004); X и XI Международных симпозиумах «Динамические и технологические проблемы механики конструкций и сплошных сред» (Ярополец, 2004, 2005); XII международной конференции по вычислительной механике и современным прикладным программным системам (Владимир, 2003); XIV международной конференции по вычислительной механике и современным прикладным программным системам (Алушта, 2005);
Школах молодых ученных по механике сплошных сред (Пермь, 2003, 2005); XX и XXI Международных конференциях «Математическое моделирование в механике сплошных сред. Методы граничных и конечных элементов» (Санкт-Петербург, 2003, 2005).
Полностью работа была доложена на семинарах кафедры теоретической механики КГУ и лаборатории механики оболочек НИИММ КГУ им. Н.Г. Чеботарева, ИЦПЭ КазНЦ РАН, (Казань, 2005), НИИМ ИНГУ им. Н.И. Лобачевского (Н.Новгород, 2005).
Автор работы выражает благодарность за постоянное внимание и поддержку научному руководителю проф. А.И. Голованову, коллективам кафедры теоретической механики КГУ и лаборатории механики оболочек НИИММ КГУ им. Н.Г. Чеботарева, доц. КГУВГ. Насибулину.
СПИСОК ОСНОВНЫХ ОБОЗНАЧЕНИИ е( ~ орты глобальной декартовой системы координат; .' - материальные координаты точки тела; (/) = et е. - единичный тензор; х' ~ координаты материальной частицы в недеформированном состоянии; У ~ координаты материальной частицы в деформированном состоянии; r[^J)=xi[^J)el - радиус-вектор материальной частицы в недеформированном состоянии;
Щ/= y'\Jfti ~ радиус-вектор материальной частицы деформированном состоянии; u\gJ ) = и1 \gJ-fa — вектор перемещения точки тела из недеформированного в деформированное состояние; v\J)~ о1 \j pt -вектор скорости перемещения произвольной частицы; V^ = et—- - оператор Гамильтона в исходном состоянии; V = et —т - оператор Гамильтона в текущем состоянии; (f) = (V ЛІ = ~~etei - тензор градиента деформации; (f?y - \yxRJ- ~~ei є, - тензор градиента места; (с) = (f)t (f) = -^- ~^~ve( є, - тензор меры деформации Коши-Грина; дх' дх} (в) = (р)- (f)t - т т ei ej - тензор меры деформации Фингера; дхт дхт (h) = еі е, — тензор пространственного градиента скоростей; {d^ — d^e^e'j - тензор деформаций скорости; (а>)=о}иё1- 6j — тензор скоростей поворота; J = —- = det(F) - относительное изменение (Ґ) = стие1 6j— тензор истинных напряжений Коши-Эйлера, / — вектор массовых и поверхностных сил; р ~ вектор поверхностных сил; оу — предел текучести; и, — интенсивность напряжений; {Д'м„,} - вектор приращения узловых перемещений для m-ой итерации на 1-м шаге нагружения; [К\ — матрица левых частей на 7-м шаге нагружения; \&'Р\ - вектор приращения узловых сил на 1-м шаге нагружения; ['Н$ - вектор невязки на 1-м шаге нагружения; {'""} - вектор дополнительных напряжений для m-ой итерации на 1-м шаге нагружения; |'РС j - вектор фиктивных сил на 1-м шаге нагружения.
Вариационное уравнение в скоростях напряжений.
Для решения задач с учетом физической нелинейности (в первую очередь задач пластического деформирования) в предположении малости ускорений и получили распространение формулировки разрешающих вариационных уравнений в скоростях деформаций и напряжений. В этом случае необходимо в качестве разрешающих уравнений использовать уравнения, в которых фигурируют деформаций скорости и скорости напряжений. Такие уравнения могут быть получены дифференцированием по времени уравнения принципа виртуальных мощностей в актуальной конфигурации где Q - текущий объем, S - часть его поверхности, на которой заданы усилия, f , р — векторы массовых и поверхностных сил соответственно. Продифференцируем обе части уравнения Фигурирующая в (1.35) вариация \Sd), получается следующим образом. Из выражения (1.10) получим В предыдущей главе были рассмотрены общие вопросы кинематики и динамики сплошной среды, применимые к различным материалам и процессам. Поведение конкретного материала при деформировании, прежде всего, зависит от физических соотношений для данного материала. Настоящая глава посвящена построение определяющих соотношения для гиперупругих, упругопластических и вязкоупругопластических тел. Приводится основные положения теории пластического течения, реологические модели поведения материалов, метод решения задач с учетом пластических деформаций, деформаций ползучести, получены системы разрешающих уравнений. При постулировании определяющих (физических) соотношений, связывающих напряжения с деформациями или скорости изменения этих величин между собой, необходимо следить за свойствами входящих в эти зависимости тензоров.
Особое значение это имеет в случае конечных деформаций и поворотов. Речь идет о свойстве «индифферентности» тензора скоростей изменения напряжений [79]. Как известно, движение элементарного объема деформируемого тела представляется в виде суммы движений как твердого целого (поступательного и вращательного) и деформации (изменение длин и углов). Очевидно, что характеристики тензора напряжений при поступательном движении не меняются. При жестком повороте можно показать, что тензор напряжения (S) сохраняет свою внутреннюю структуру, т.е. поворот главных осей не меняет собственные значения этого тензора. Однако для скорости изменения этого тензора, определенного как (І) = & jei е} это свойство теряется (он неиндифферентен). В этом случае вводится понятие объективной (индифферентной, конституционной, коротационной) производной тензора напряжений (в частности тензора напряжений Коши-Эйлера). В литературе чаще всего приводятся производные Яуманна (Jaumann), Труздела (Truesdell). Условие индифферентности вводится следующим образом. Рассмотрим два возможных состояния: R и полученное из первого путем жесткого движения R, = (О) -R + R0, где R0 - некий вектор смещения, (Q) — ортогональный тензор. Тогда для индифферентных тензоров должно выполнятся следующее соотношение Также рассмотрим инвариантные тензоры, т.е. тензоры, компоненты которых в отсчетном базисе не меняются при жестких движениях. Условием инвариантности тензоров является Тензоры, которые удовлетворяют условиям индифферентности или инвариантности, называются объективными. Рассмотрим, какими свойствами обладают введенные выше кинематические характеристики. При жестком движении для вектора скорости и тензора скорости градиента деформаций справедливо
Определяющие соотношения в виде линейного закона Гука
В процессе моделирования вводят специальные характеристики прочности, которые определяют- несущую способность материала. Первой из них является константа С - коэффициент сцепления, который характеризует прочность среды на срез при отсутствии сжимающих напряжений. Второй служит угол внутреннего трения р, который характеризует повышение прочности на сдвиг при всестороннем сжатии. Эти величины определяются экспериментально для каждого. В этом случае функция текучести имеет вид Условие пластичности Губера-Мизеса можно трактовать как частный случай условия Мизеса-Боткина при отсутствии внутреннего трения материала, т.е. при 7 = 0, тогда На рис. 2.3 изображены поверхности текучести Губера-Мизеса и Друкера-Прагера в системе главных осей. В рамках теории течения используются аддитивное представление для полной деформации скорости, т.е. где уе) - упругая составляющая, a (dp) - пластическая. При этом для многих материалов относительное изменение объема является упругой деформацией скорости, т.е. Предполагается справедливость ассоциированного закона течения, согласно которому пластические деформации скорости перпендикулярны поверхности текучести. Формально это можно записать в виде где Л скорость пластических деформаций. Рассмотрим в качестве критерия упругого деформирования условие Губера-Мизеса (2.16), а определяющие соотношения выберем в виде (2.14). Тогда пластическую деформацию скорости можно записать следующим образом Пусть имеется два бесконечно близких состояния / и (1+\).
По известным параметрам 1-го состояния определим (2+\)-ое по следующей формуле где At - приращение параметра (времени), определяющее переход от предыдущего состояния к последующему. Найдя из уравнения равновесия \dj, определим с помощью соотношений (2.5), (2.14) и (2.20) шаровую часть тензора напряжения (l+l)-vo состояния Теперь найдем девиатор тензора напряжения, используя соотношения (2.5), (2.18), (2.19) и (2.20) здесь предполагается, что величина девиатора скорости пластических деформаций \d p) зависит от напряжений в текущий момент времени, в то время как конвективные слагаемые в выражении производной Яуманна вычисляются по значениям вращений ( ) и напряжений ( ) взятых в предшествующий момент времени. Запишем последнее: соотношение в следующем виде Здесь (і ) - так называемый девиатор тензора «пробных» напряжений, отсюда получаем Вычислим интенсивность напряжений в (/+1)-ом состоянии Таким образом, девиатор истинных напряжений определяются как проекция девиатора «пробных» на поверхность текучести. Этот метод в [98] называется «сносом» напряжений на поверхность текучести. В предыдущих разделах предполагалось, что при неизменных во времени воздействиях напряженно-деформированное состояние рассматриваемого тела остается неизменным. Однако многие материалы, например полимеры, бетоны, композиты и т.д., даже при комнатных температурах обладают способностью медленно деформироваться во времени при постоянных напряжениях. Это свойство материалов называют ползучестью. Необходимость учета ползучести в расчетных моделях возникла в середине XX столетия благодаря запросам инженерной практики, прежде всего турбостроения. Впоследствии эти модели нашли свое применение в атомной энергетике, химическом машиностроении, авиастроении, реактивной технике, строительстве. Запросы машиностроения привели к резкому увеличению экспериментальных и теоретических исследований в области ползучести. Ползучесть экспериментально можно исследовать при растяжении цилиндрических образцов. Графики роста деформаций со временем при постоянных напряжениях называются кривыми ползучести. На рис. 2.5 схематически показаны условия испытания и кривая ползучести. Верхний конец образца закрепляется, а к нижнему прикладывается нагрузка. Ведется наблюдение за изменением длины в расчетной части образца, строится кривая изменения деформации от времени. Деформация увеличивается от своего начального значения, которое отражает упругие свойства материала и соответствует «мгновенно» приложенной нагрузке.
Метод проецирования напряжений на поверхность текучести
В предыдущих разделах предполагалось, что при неизменных во времени воздействиях напряженно-деформированное состояние рассматриваемого тела остается неизменным. Однако многие материалы, например полимеры, бетоны, композиты и т.д., даже при комнатных температурах обладают способностью медленно деформироваться во времени при постоянных напряжениях. Это свойство материалов называют ползучестью. Необходимость учета ползучести в расчетных моделях возникла в середине XX столетия благодаря запросам инженерной практики, прежде всего турбостроения. Впоследствии эти модели нашли свое применение в атомной энергетике, химическом машиностроении, авиастроении, реактивной технике, строительстве. Запросы машиностроения привели к резкому увеличению экспериментальных и теоретических исследований в области ползучести. Ползучесть экспериментально можно исследовать при растяжении цилиндрических образцов. Графики роста деформаций со временем при постоянных напряжениях называются кривыми ползучести. На рис. 2.5 схематически показаны условия испытания и кривая ползучести. Верхний конец образца закрепляется, а к нижнему прикладывается нагрузка.
Ведется наблюдение за изменением длины в расчетной части образца, строится кривая изменения деформации от времени. Деформация увеличивается от своего начального значения, которое отражает упругие свойства материала и соответствует «мгновенно» приложенной нагрузке. Далее можно выделить три характерных участка кривой ползучести. На первом из них (АВ) скорость ползучести высока, но монотонно убывает, начиная с некоторого большого значения. Это участок неустановившейся ползучести. Второй участок кривой (ВС) почти прямолинеен и характеризует установившуюся ползучесть. Здесь скорость ползучести практически постоянна. Наконец, можно наблюдать участок (CD), предшествующий разрушению, где скорость ползучести монотонно увеличивается. Необходимо отметить, что ползучесть наблюдается при любых напряжениях, и указать какой-либо предел ползучести невозможно. Явление уменьшения напряжений в твердом теле при постоянной деформации называется" релаксацией. В реальных элементах конструкций ползучесть и релаксация как реономные. свойства материала проявляется одновременно, взаимосвязано. Их можно отразить аналитически, вводя время t в связь напряжений и деформаций твердого тела. Предложенный Больцманом способ описания этой взаимосвязи основан на предположении о влиянии всего предшествующего времени действия напряжений на деформацию в данный момент. Подобные среды называются линейными вязкоупругими наследственного типа. Первоначальное развитие теории вязкоупругости связано с именами Больймана, Максвелла, Кельвина, Фойхта. Многие достижения современного ее состояния определяются работами Ильюшина, Ишлинского, Колтунова, Москвитина,Работнова, Слонимского, Рэканицына, Победри и других отечественных ученых. В частности, Ильюшиным подробно разработана общая теория термовязкоупругости, предложен эффективный метод решения частных задач - метод аппроксимаций [55]. Рассмотрим сплошную среду, которая кроме упругих и пластических свойств обладает и вязкими.
Поведение различных материалов под нагрузкой можно упрощенно рассмотреть с помощью реологических моделей. Деформационные свойства идеально упругого тела, подчиняющего закону Гука, при простом растяжении полностью моделируется пружиной (рис. 2.6, а), жесткость которой и усилие растяжения эквивалентны соответственно модулю Юнга и напряжению. Идеально вязкая среда может быть представлена демпфером (рис. 2.6, б), а пластичность - элементом трения (рис. 2.6, в). Модель Кельвина-Фойхта (рис. 2.7, а), представляющая пружину и демпфер, работающих параллельно, схема демпфер-пружина, предложенная Максвеллом (рис. 2.7, б) имитируют отдельные свойства упруговязких тел. Вязкоупругопластическая среда может быть охарактеризована моделью (рис. 2.8), включающей в себя пружину, демпфер и элемент трения. Рассмотрим модель Максвелла, обобщенную для трехмерного случая. Полные деформации скорости представляются в виде суммы скорости упругих деформаций и скорости деформаций ползучести Считаем, что для упругих деформаций скорости выполняется физические соотношения в виде (2.14) деформации скорости, характеризующие ползучесть выражается в следующем виде где rj — коэффициент вязкости. Тогда девиатор тензора скорости полных деформаций будет Используя соотношения (2.5), (2.25), (2.26) скорость изменения напряжений Коши-Эйлера можно записать в виде Подставляя определяющие соотношения (2.27) в уравнение (1.38), получим разрешающее уравнения Рассмотрим теперь вязкоупругопластическую модель. При учете пластических деформаций используется теория течения, описанная в параграфе 2.6. Полные деформации скорости представляются в виде суммы Относительное изменение объема является только упругой деформацией скорости в качестве критерия пластичности используется условие Губера-Мизеса (2.16), тогда девиатор полных деформаций скорости можно записать в виде Методика решения вязкоупругопластичеких задач основано на методе, подобном, описанном в параграфе 2.7.
Упругопластическое деформирование толстостенной трубы
Исследуем распределение напряжений в толстостенной длинной трубе под осесимметричным внутренним давлением р при упругопластичном деформировании (рис. 4.11) в геометрически линейной постановке (плоская задача). Внутренний радиус трубы а=\ см, внешний Ь=2 см, модуль упругости =2000000 кг/см2; коэффициент Пуассона//=0.3. Материал полагаем идеально пластическим, критерием пластичности служит условие Губера-Мизеса (2.16), физические соотношения упругого деформирования записываются в виде (2:14). Из аналитического решения было найдено отношение внутреннего давления к пределу текучести /егт=0.7208, при котором радиус пластической зоныс=1.5 см [69].
Так как задача обладает двумя плоскостями симметрии, то рассматривалась четверть трубы со следующими граничными условиями: нижняя грань не имеет вертикальных смещений, а боковая - горизонтальных (рис. 4.12), в силу того, что задача плоская, исключаем осевые смещения всех узлов.
В силу того, что пренебрегаем большими перемещениями и деформациями, задача решается за один шаг по нагрузке, при этом используется метод проецирования напряжений на поверхность текучести с итерационным уточнением. Для определения эффективности методики моделирования упругопластического деформирования исследовалась сходимость при различных сетках конечных элементов, и полученные значения сравнивались с теоретическим решением. Использовались следующие сетки конечных элементов: труба разбивалась на 5 элементов по ширине и 20 элементов по окружному направлению (рис. 4.13), далее — 20x20 (рис. 4.14) и 80x20 (рис. 4.15).
На следующих рисунках показаны распределение радиальных и окружных напряжений в трубе по отношению к пределу текучести на различных сетках (рис. 4.16 - сетка размером 5x20, рис. 4.17 - 20x20, рис. 4.18 - 80 20), а также аналитическое решение (штрихованная линия). Видно, что при увеличении густоты сетки решение сходится и дает хорошую точность.
Далее задача была решена с учетом геометрической нелинейности с использованием сетки конечных элементов размером 40x20. При этом варьировался модуль упругости Е, а величина внутреннего давления р подбиралась таким образом, чтобы радиус пластической зоны соответствовал с=\.5 см. Нагрузка была разделена на 50 шагов.
Так на рис. 4.19 изображены деформированные состояния при различных значениях и р: =2000000 кг/см2, p/ Tj=0.7208 (геометрически линейная задача) - рис. 4.19, а; =200000 кг/см2, p/af=0.65U - рис. 4.19, б; =1000 кг/см2, /7/(77=0.6057 - рис. 4.19, в; =200 кг/см2, /?/ гт=0.3578 -рис. 4.19, г. Темным цветом изображены области пластического деформирования. Исследование показало, что при уменьшении жесткости материала, величина внутреннего давления, необходимого для появления заданной области пластичности, также убывает, а труба все более расширяется. В частности, ее диаметр существенно изменяется, а толщина уменьшается. Также отметим, что при решении задачи с учетом конечных деформаций, перемещений и поворотов, в отличие от геометрически линейной постановки, величина внутреннего давления также падает.
Рассмотрена задача об упругом деформировании плиты из стандартного материала второго порядка (2.12) под действием давления q = 40кг/см2 (рис. 4.20). Плита - квадратная со стороной Й=20 СМ и толщиной А=0.5 СУЙ, со следующими механическими свойствами: модуль упругости =1000 кг/см , коэффициент Пуассона //=0.3. Нижнее ребро плиты не имеет вертикального смещения. В силу симметрии была рассмотрена четверть плиты, использовалась конечноэлементная сетка размером 25х25 4. На рис. 4.21-рис. 4.23 представлен процесс деформирования плиты с полем касательных напряжений, на рис. 4.24 показано распределение интенсивности напряжений в деформированном состоянии. На рис. 4.25 приведен график зависимости вертикального перемещения центральной точки плиты от давления. Как видно из представленных рисунков, плита в процессе нагружения сначала имеет значительные перемещения в вертикальном направлении, а затем в горизонтальном.
Рассмотрим задачу об упругопластическом деформировании жестко защемленной с обоих концов балки прямоугольного поперечного сечения под действием распределенной нагрузки q-25 кг/см (рис. 4.26). Длина балки7=25 см, высота h=\ см, ширина 6=0.125 см, модуль упругости =20000 кг/см -,. коэффициент Пуасонна -0.3, предел текучести af=lb кг/см2. Материал идеально пластический, подчиняющийся критерию пластичности Губера-Мизеса (2.16), определяющие соотношения заданы в виде (2.14), Так как задача является симметричной, то достаточно рассмотреть половину балки, введя дополнительные условия симметрии. При решении используем сетку конечных элементов размером 100 10x1 (рис. 4.27). Нагрузку разбиваем на 100 шагов. На следующих рисунках показано распределение интенсивности напряжений в нагруженном (рис. 4.28) и разгруженном состояниях (рис. 4.29), распределение интенсивности пластических деформаций в нагруженном (рис. 4.30) и разгруженном состояниях (рис. 4.31). Интересно отметить в этой задаче наличие впадины в окрестности защемления, а именно в этой зоне возникают конечные пластические деформации. Наличие этой впадины объясняется учетом физической нелинейности, так как в упругой задаче она не появляется.
