Введение к работе
Актуальность темы. Задачи об оценке напряженно-деформированного состояния упругих анизотропных тел при установившихся колебаниях представляют собой важную задачу механики деформируемого твердого тела. Учет анизотропии продиктован физическими свойствами сталей, композитов, кристаллов, биологических тканей, грунтов и горных пород. Среди современных вычислительных технологий, позволяющих анализировать подобные задачи, отметим методы конечных и граничных элементов.
Среди современных методов численного анализа методу граничных элементов МГЭ (или BEM в зарубежной литературе) принадлежит особое место. Благодаря своим достаточно простым математическим формулировкам и очевидному физическому содержанию МГЭ является эффективным и очень распространенным методом решения различных задач математической физики, механики сплошной среды, важной особенностью которого по сравнению с методом конечных элементов является снижение размерности задач на единицу. В исторической основе этого метода лежит классическая теория потенциала, позволяющая сводить решение задачи к решению граничных интегральных уравнений и систем меньшей размерности. Дальнейшая процедура дискретизации этих интегральных уравнений при помощи разбиения границы на элементы, последующая аппроксимация неизвестных функций на элементе и выполнение уравнений в наборе точек приводит к хорошо обусловленным системам линейных алгебраических уравнений относительно узловых значений неизвестных.
Ключевым моментом при практической реализации классического метода граничных интегральных уравнений (ГИУ) является построение фундаментальных решений. Однако, в случае установившихся колебаний для сред, не обладающими свойством сферической симметрии (анизотропия различного типа), возможно их построение в виде многомерных интегралов Фурье, однако в явном виде через элементарные и специальные функции их получить не удается, что в значительной степени снижает эффективность применения метода ГЭ, поскольку процедура дискретизации требует вычисления кратных интегралов.
Таким образом, дальнейшее развитие метода граничных элементов и вычислительных технологий на их основе применительно к анизотропным средам требует построения интегральных представлений фундаментальных решений для анизотропной среды, корректного сведения краевых задач теории упругости о колебаниях анизотропных тел к системам интегральных уравнений, построению эффективных вычислительных схем на основе гранично-элементных аппроксимаций, которые бы позволили анализировать новые задачи, в том числе и о концентрации напряжений около отверстий.
Цель работы состоит в построении и исследовании нового представления фундаментальных решений для анизотропной среды в случае установившихся колебаний (в плоском случае), которое удобно при численном анализе, в корректной формулировке систем ГИУ, развитии МГЭ и их применении при решении конкретных задач об установившихся колебаниях анизотропной среды, в частности, для бесконечной плоскости с полостью.
Методика исследований основывается на сведении поставленных задач к граничным интегральным уравнениям на основании теоремы взаимности и новом представлении фундаментальных решений для ортотропных и неортотропных материалов, на сведении ГИУ к системам линейных алгебраических уравнений, при формировании матриц которых требуется вычислять лишь однократные интегралы.
Достоверность результатов работы основана на строгом аппарате математической теории упругости, на корректном сведении задач об установившихся колебаниях анизотропной среды с полостью к системам граничных интегральных уравнений, на разработке техники разрывных ГЭ, сравнением результатов, полученных в работе, с известными частными случаями.
Научная новизна работы определяется построением и исследованием нового представления фундаментальных решений в случае установившихся колебаний анизотропной среды (в плоском случае), разработке эффективной вычислительной схемы решения задач на основе гранично-элементных аппроксимаций специального вида.
Практическая ценность результатов исследования состоит в разработке методов решения задач о колебаниях анизотропных упругих тел при наличии полостей произвольной формы.
Апробация работы. Результаты диссертации докладывались на VII, VIII, IX и X Международных конференциях «Современные проблемы механики сплошной среды» (Ростов-на-Дону, 2001, 2002, 2005, 2006 гг.), на VI Всероссийском симпозиуме «Математическое моделирование и компьютерные технологии» (Кисловодск, 2004 г.), на III Международной научно-практической конференции «Актуальные проблемы механики деформируемого твердого тела» (Донецк, 2005 г.), на семинарах кафедры теории упругости факультета математики, механики и компьютерных наук ЮФУ.
Публикации. По теме диссертации опубликовано 9 работ, в том числе 1 статья [6] в журнале «Прикладная механика и техническая физика», рекомендованном ВАК РФ для опубликования основных научных результатов диссертации. Список публикаций приводится в конце автореферата.
Структура и объем работы. Диссертационная работа состоит из введения, четырех глав, заключения, списка литературы из 179 наименований, приложения из 17 рисунков и 1 таблицы общим объемом 136 страниц машинописного текста.
