Содержание к диссертации
Введение
Глава I. Используемые в работе модели сред и методы решения . 29
1. Уравнения установившегося движения упругой среды. 29
2. Задача о движении разрыва смещений в упругой среде . 31
3. Основные этапы численной реализации метода граничных элементов на примере решения статических
задач линейной механики разрушения. 36
4.Уравнения движения сред и методы их численного решения. 44
ГЛАВА II. Движение симметричного жесткого тела в линейно упругой среде. 58
1. Основные уравнения. 58
2. Постановка и решение задачи о движении симметричного тела при отсутствии трения на поверхности контакта со средой . 60
3. Движение симметричного тела в упругой среде при наличии трения 68
4. Сверхзвуковое движение жесткого тела в упругой среде при наличии трения. J76
Глава III. Разрушение среды телом при движении со скоростью меньшей, чем скорость волн Рэлея . 92
1. Схема движения с зоной разрушения при отсутствии сил трения. 92
2. Движение затупленного тела со скоростью меньшей, чем скорость волн Рэлея, для случая вязкого разрушении. 100
3. Движение затупленного тела со скоростью меньшей, чем скорость волн Рэлея, при наличии трения. 107
ГЛАВА IV. Влияние асимметрии тела и присутствия свободной поверхности на процесс движения тела в упругой среде 111
1. Движение несимметричного тела в упругой среде. 111
2. Движение тела в упругом полупространстве со свободной поверхностью. 116
Глава V. Задача разрушения среды жидкостью. Взаимодействие трещины гидравлического разрыва с естественными неоднородностями среды . 127
1. Автомодельная задача о движении вязкой жидкости в канале с упругими стенками в рамках нелокального взаимодействия 127
2. Численное решение задачи гидравлического разрыва упругой среды 136
3. Взаимодействие трещины гидравлического разрыва с естественным разломом. 149
Глава VI. Прикладные задачи нестационарного взаимодействия упругопластических тел . 159
1. Косое проникание твердого тела в упругопластическую преграду конечной толщины. 159
2. Взрывное метание пластин в жесткие формы. 166
4. Задачи проникания и прочности. 183
Заключение 205
Список литературы
- Задача о движении разрыва смещений в упругой среде
- Постановка и решение задачи о движении симметричного тела при отсутствии трения на поверхности контакта со средой
- Движение затупленного тела со скоростью меньшей, чем скорость волн Рэлея, при наличии трения.
- Численное решение задачи гидравлического разрыва упругой среды
Введение к работе
Диссертация состоит из введения, обзора литературы, шести глав и заключения. Общим и объединяющим началом данной диссертации является предмет исследований - разрушение деформируемых сред движущимися в этих средах инородными включениями. В роли таких включений в данной работе рассматриваются абсолютно твердые тела, жидкость, пластически деформируемые объекты. В работе исследовано влияние на процесс движения прочности среды, геометрии контура подвижных включений, сил трения в области контакта. При этом определялась сама область контакта и точки отрыва среды от поверхности тела. Рассмотрены случаи движения инородных тел в безграничной среде и при наличии в ней свободной от напряжений границы.
В разделе обзор литературы излагается история научного развития вопросов, которые исследуются в диссертации. Показана актуальность и практическая значимость рассматриваемых задач, поскольку они являются составной частью таких важных проблем, как: прикладные задачи внешней баллистики проникания и прочности проникающих тел; обработка материалов; теория гидравлического разрыва сред. Сделан анализ состояния исследуемых вопросов и выделены отличия результатов данной работы от результатов, полученных ранее другими авторами. Многие рассмотренные в работе постановки задач, предложенные схемы движения и результаты являются новыми.
В первой главе представлены модели сплошных сред, которые используются в данной диссертации. Здесь также приведено описание численных методов решения, которые применяются для решения задач гидравлического разрыва сплошной среды, а также для решения задач проникания и прочности тел. В данной главе приводятся результаты тестирования используемых численных методов решения с целью проверки достоверности получаемых с их помощью результатов. Сравнение с имеющимися аналитическими решениями, экспериментальными данными и численными результатами, полученными другими авторами, позволяет сделать вывод о возможности и целесообразности использования данных методов в последующих исследованиях широкого круга задач: гидравлического разрыва; проникания тел в деформируемые прочные среды; для задач сложного контактного взаимодействия тел с подвижными деформируемыми границами; при определении прочности и сохранности проникающих тел.
Остальную часть диссертации можно условно разбить на три основные части.
В первой части работы (главы II - IV) аналитически исследована плоская задача движения твердого тела конечных размеров в деформируемой неограниченной и ограниченной среде во всем диапазоне скоростей движения тела. Исследован вклад трения на поверхности котакта тела и среды.
Во второй части работы (глава V) аналитически и численно исследована задача разрушения среды жидкостью. Впервые решена задача гидравлического разрыва упругой среды с учетом прочности при разрушении и области отставания жидкости от края трещины. Впервые исследована задача о взаимодействии трещины гидравлического разрыва с естественным разломом пласта.
В третьей части работы (глава VI) предложены методики расчета задач нестационарного трехмерного взаимодействия упругопластических тел. Рассмотрены конкретные прикладные задачи взрывной штамповки и наклонного проникания.
В первой части диссертации рассмотрены плоские задачи разрушения упругой среды подвижным твердым телом. Все результаты, полученные в этой части работы, являются точными аналитическими решениями.
Показано, что при рассматриваемом установившемся движении существенную роль играет диапазон скоростей тела. Характер и рассматриваемая схема движения зависят от неравенства, связывающего скорость тела с тремя характерными скоростями среды: скоростью волн Рэлея, скоростью поперечных волн, скоростью продольных волн. В зависимости от диапазона, в котором находится скорость тела, меняется общая схема обтекания. При переходе на сверхзвуковые скорости меняется и тип уравнений.
При движении со скоростью, меньшей скорости поперечных волн, уравнения являются эллиптическими. Решение в этом случае удалось свести к задачам сопряжения для системы двух аналитических функций. Найденные в данной работе замены искомых функций, позволили свести решения к задаче Римана - Гильберта с постоянными по областям границы коэффициентами. В результате удачно найденных замен искомых функций, полученные задачи сопряжения удалось свести к классической задаче Дирихле - определению функции по ее скачку на границе. Основные результаты данных глав опубликованы в работах [58], [59], [60], [61], [62], [69], [70], [72], [225].
Во второй главе рассмотрены задачи движения симметричного тела во всем диапазоне скоростей, превышающих скорость волн Рэлея.
Первый параграф является вводным. В нем приведены основные уравнения.
Во втором параграфе второй главы при отсутствии трения рассматривается движение симметричного тела со скоростью, превышающей скорость волн Рэлея, но меньшей, чем скорость поперечных волн. Место отрыва среды от поверхности тела определяется в ходе решения. Полученное аналитическое решение позволило исследовать влияние геометрии контура и определить характер распределения сил, действующих на поверхности проникающего тела. Отдельно рассмотрена актуальная задача определения точки отрыва среды от тела. Следует отметить, что в разных разделах механики задача нахождения данной точки далека от полного и исчерпывающего решения. Все существующие критерии дают одностороннюю оценку для места отрыва. В данной диссертации место отрыва среды от выпуклой поверхности определялось условием равенства нулю производной давления. Показано, что давление и его производная равны нулю только в одной точке контура поверхности, которая и считалась точкой отрыва. В этом случае кривая контура свободной поверхности среды имеет касание второго порядка к контуру тела. Примечательно, что при отсутствии трения положение точки отрыва не зависит от скорости тела и целиком определяется видом поверхности.
В третьем параграфе данной главы рассмотрены плоские задачи движения симметричного тела при наличии трения в области контакта среды с поверхностью тела. В результате удалось получить аналитические решения и исследовать влияние скорости и трения на параметры движения тел с различной выпуклостью контура. Оказалось, что влияние трения является существенным фактором. В отличие от рассмотренного в первом параграфе второй главы движения без трения, оно, как и скорость, увеличивает область контакта среды с поверхностью выпуклого тела. Как и следовало ожидать, скорость движения тела, равная скорости волн Рэлея, оказалась особой. Скорость волн Рэлея соответствует резонансной скорости для упругого полупространства с границей, свободной от напряжений. При движении тела в упругой среде граница после точки отрыва среды от поверхности тела становится свободной от напряжений.
В четвертом параграфе второй главы рассмотрена задача о движении со скоростью, превышающей скорость поперечных волн, но меньшей скорости продольных волн и движение со скоростью большей скорости продольных волн. Оказалось, что продольная скорость, также как и скорость волн Рэлея, является особой. В линейной постановке движение с такими скоростями приводит к бесконечно большим значениям сил, действующих на тело. Напротив, переход через скорость поперечных волн порождает более слабую особенность, поскольку при таком переходе сила сопротивления остается конечной. И это несмотря на то, что при переходе скорости тела через ее значение, меняется тип одного из уравнений движения (оно из уравнения эллиптического типа становится гиперболическим). Физически это связано с тем, что основной вклад в силу сопротивления вносит давление, которое связано, прежде всего, с продольными волнами.
В третьей главе рассматривается движение затупленного тела со скоростями меньшими, чем скорость волн Рэлея. Характерной особенностью для таких задач в данном диапазоне скоростей является наличие застойных зон разрушения среды, расположенных впереди тела. Все решения получены в аналитическом виде.
В первом параграфе третьей главы рассмотрено движение тела в среде с хрупким разрушением при отсутствии трения. В качестве критерия разрушения принят силовой критерий, а именно, достижение коэффициентом интенсивности напряжений своего критического значения. В ходе решения определяется размер области разрушения и силы, действующие на тело. Исследован характер зависимости величины области разрушений и силы сопротивления от скорости движения. Оказалось, что с приближением скорости тела к скорости волн Рэлея размеры области разрушения уменьшаются, а сила сопротивления стремится к бесконечности. В результате получилось, что в рассматриваемом случае движения затупленного тела решение слабо зависит от формы тела и в основном определяется его толщиной.
Во втором параграфе третьей главы рассматривается схема движения для среды с вязким разрушением, когда перед телом имеется зона пластического течения. В качестве критерия пластичности принят критерий Треска о равенстве максимального касательного напряжения своему критическому значению. В этом случае, с ростом скорости тела длина области пластического течения увеличивается и стремится к бесконечности, когда скорость движения стремится к скорости волн Рэлея. При малых скоростях движения сила сопротивления пропорциональна модулю прочности тела и практически не зависит от скорости.
В третьем параграфе данной главы рассматривается движение затупленного тела с хрупким разрушением, когда на границе разрушенной среды действуют силы сцепления и трения. В отличие от ранее рассмотренных задач в данном случае на бесконечности действует заданное давление. Полученное аналитическое решение позволило определить характер зависимости основных характеристик задачи от скорости, коэффициента трения и давления, действующего на бесконечности. В данном случае, как и при отсутствии сил трения, размер области разрушений с ростом скорости уменьшается, а сила сопротивления становится бесконечно большой, когда скорость тела становится близкой к скорости распространения поверхностных волн Рэлея.
В четвертой главе рассмотрены плоские задачи при отсутствии симметрии тела при его движении в безграничной среде и в среде, ограниченной свободной поверхностью.
В первом параграфе четвертой главы рассмотрена задача о движении в безграничной среде тела, не обладающего симметрией. Дана постановка задачи и получено аналитическое решение в общем случае геометрии контура тела. В полном объеме рассмотрена и исследована задача о движении под углом атаки пластины. Получены значения для силы сопротивления и подъемной силы. Исследовано влияние силы трения.
Во втором параграфе данной главы задача решена для упругого полупространства, т.е. в том случае, когда тело движется под заданным углом атаки на заданной глубине параллельно свободной поверхности упругого полупространства. Для тела в виде пластины удалось аналитически полностью исследовать движение среды для двух вариантов угла атаки (положительного и отрицательного) в случае большой и малой глубины движения. Показано, что в случае большой глубины (под глубиной понимается расстояние от линии движения тела до границы свободной поверхности) решение допускает предельный переход к задаче движения в безграничной среде. Для малой глубины движения тела, решения для углов атаки разных знаков имеют существенные отличия как для кинематики среды, так и для значений действующих на тело сил.
Вторая часть диссертации посвящена проблеме гидравлического разрыва. В ней приведены аналитические и численные результаты для задач, связанных с совместным движением упругой среды и разрывающей эту среду вязкой жидкости. Основные результаты данной главы опубликованы в работах [26], [27], [65], [67], [68], [217], [225], [226].
В первом параграфе пятой главы получено и исследовано аналитическое автомодельное решение задачи о гидравлическом разрыве в приближенной постановке. Отличием данного решения от решений, полученных другими авторами, заключается в попытке учесть нелокальный характер взаимодействия жидкости и упругой среды. Оказалось, что данное решение имеет одну примечательную черту - скорость жидкости в каждый данный момент времени постоянна вдоль оси канала. В работе это связывается с тем, что именно при таком распределении скорости, сила сопротивления движению жидкости минимальна.
Во втором параграфе данной главы поставлена и численно решена задача о совместном движении жидкости и упругой среды в задаче гидравлического разрыва, с учетом прочности при разрушении и наличием области отставания жидкости от движения вершины трещины. В данной постановке задача решена впервые. Следует отметить, что для прямолинейной трещины имеются решения данной задачи, когда пренебрегается прочностью среды и при отсутствии свободного от жидкости участка. Полученное в диссертации решение сравнивалось с решениями других авторов. Оказалось, что при малой прочности результаты практически совпадают, а при большой прочности существенно отличаются. Причем наибольшие отличия характерны для начальных времен движения трещины гидравлического разрыва. При больших временах, когда трещина становится длинной, эти различия не столь существенны. Решение получено с использованием авторской программы, основу которой составляет метод граничных элементов, изложенный в первой главе. Существенно, что предложенный метод позволяет решать аналогичные задачи в более общей постановке. Это продемонстрировано в следующем параграфе данной главы.
В третьем параграфе пятой главы рассмотрена задача о взаимодействии основной трещины гидравлического разрыва с уже имеющимся естественным разломом пласта. Задача решалась с учетом напряжений, действующих на бесконечности. Разлом моделировался трещиной, берега которой могут раскрываться или проскальзывать относительно друг друга. Области возможного раскрытия и взаимного скольжения определялись в ходе решения методом последовательных приближений. Считалось, что в случае взаимного скольжения они взаимодействуют по закону Кулона- Мора. Основным исследуемым параметром служил угол между направлением распространения основной трещины гидравлического разрыва и трещиной разлома. Определялось поведение перемещений и напряжений у берегов трещин в окрестности их точки взаимодействия. Проверялись разные возможные пути эволюции гидравлического разрыва после взаимодействия с разломом. В экспериментах отмечено, что возможно как продолжение движения гидравлического разрыва в первоначальном направлении, так и поворот движения жидкости по направлению разлома. В расчетах показана возможность реализации одного из трех сценариев развития. При малых углах между трещинами более вероятен поворот жидкости с дальнейшим движением вдоль разлома. При углах близких к 90°, когда трещина разлома перпендикулярна основной, более вероятно продолжение движения без изменения его направления. При средних углах наклона возможна более сложная комбинация, когда жидкость сначала поворачивает вдоль разлома, а затем повторно меняет направление своего движения. Эти выводы сделаны на основе анализа поля напряжений вблизи берегов трещины. Определялись главные разрывающие напряжения и максимальные касательные напряжения, а также площадки их действия.
В третьей части диссертации рассмотрены решения нескольких важных для приложений задач, связанных с ударным взаимодействием упругопластических тел. Основные результаты данной главы опубликованы в работах [24], [25],[63], [64], [65].
В первом параграфе шестой главы изложена методика приближенного расчета косого проникания затупленного жесткого тела в плиту конечной толщины в рамках гипотезы локального взаимодействия. Материал плиты полагается жесткопластическим. На каждом шаге по времени для контактных точек поверхности тела решается нестационарная одномерная задача пластического течения материала преграды в криволинейной системе координат, учитывающей локальную кривизну поверхности проникающего тела. В результате аналитического решения данной задачи удается определить величину локального давления и деформацию преграды. Известное распределение давления на поверхности контакта позволяет проинтегрировать уравнения движения на текущем шаге по времени и свести задачу к исходной для нового шага по времени. Предложенная методика использована для расчетов проникания тел. Показана возможность определения углов рикошета.
Во втором параграфе шестой главы исследуется задача взрывного метания упругопластической пластины в жесткую форму. Целью работы было исследование влияния на штамповку прочности пластины, толщины слоя ВВ, толщины пластины и геометрии жесткой формы, а также вклад газовой прослойки. К этому времени разными авторами был решен ряд задач о взрывной штамповке пластины в жесткую форму. При этом использовались различные предположения. Основным приближением было то, что пластина рассматривалась как мембрана, или как тонкая оболочка. Влияние газовой прослойки не учитывалось. Одной из целей данной работы, была проверка достоверности таких предположений в зависимости от параметров задачи. Оказалось, что вклад газовой прослойки действительно мал. Основной вклад в энергетический баланс системы вносит работа на пластических деформациях. Моделирование пластины тонкой мембраной оправдано, если ее толщина составляет порядка одной сороковой от радиуса формы, причем на таком этапе ее движения, когда скорость точки контакта пластины и поверхности формы превышает скорость поперечных волн.
В третьем параграфе шестой главы рассматривается задача трехмерного проникания тела в упругопластическую плиту конечной толщины. Исследуются два основных прикладных аспекта проблемы -характер разрушения преграды и определение прочности проникающего тела.
- При исследовании косого проникания цилиндрического тела в мишень удалось обнаружить возможность самостоятельного выхода выбиваемой «пробки» после первого кратковременного взаимодействия тела с преградой. Такая возможность существует, если скорость удара превышает некоторое критическое значение, а углы встречи близки к нулю (под углом встречи понимается угол между скоростью тела и нормалью к мишени). Показано, что процесс разрушения мишени очень сильно зависит от угла встречи. Уже при углах больших 10 наблюдается лепестковый характер разрушения. В этих условиях часто используемый в приложениях приближенный механизм разрушения в виде выбиваемой «пробки» не наблюдается в расчетах.
- Вторым важным прикладным вопросом в задачах проникания является методика определения сохранности и целостности проникающего тела. В данном параграфе приведено решение задачи расчета напряженно-деформированного состояния полого неоднородного тела с заполнителем при его косом проникании в мишень. Главной целью было создание эффективной методики расчета прочности проникающего тела с достаточно сложной геометрией корпуса, при наличии заполнителя из другого менее прочного материала. Для конкретного тела показано существование критической скорости взаимодействия, при превышении которой для всех реальных углов встречи с преградой неизбежно разрушение корпуса. Критическая скорость в основном зависит от соотношения толщины головной части корпуса и преграды. Следует отметить, что расчетный характер разрушения корпуса -вдавливание головной части внутрь тела, также близок к типу разрушения, наблюдаемому в экспериментах.
Задача о движении разрыва смещений в упругой среде
При численном решении многих задач теории упругости можно с успехом использовать методы граничных элементов (МГЭ) [23], [95]. Основу любого такого метода составляет представление решения в виде линейной комбинации некоторых базовых решений уравнений теории упругости, взятых с неопределенными коэффициентами. Сами коэффициенты определяются из граничных условий конкретной решаемой задачи. При этом уравнения упругости выполняются точно, а граничные условия удовлетворяются лишь на дискретном множестве точек границы.
Большим преимуществом таких методов являются два весьма важных обстоятельства. Первое заключается в том, что нет необходимости в дискретном разбиении всей области занятой телом. Достаточно разбить границу тела. Это позволяет фактически понизить при численном решении размерность задачи на единицу. Второе преимущество состоит в том, что полученное решение имеет почти аналитический вид и позволяет исследовать поведение любых элементов задачи, в любой части тела, не решая задачу заново, а пользуясь уже полученным полем смещений, деформаций и напряжений.
Недостатком этих методов, является то, что при их использовании граничные условия выполнены не на всей границе, а только на дискретном, пусть и достаточно плотном множестве точек. Это приводит к тому, что поведение решения в непосредственной близости от границы может отличаться от точного решения. Поэтому одним из возможных способов повышения точности методов является использование таких вспомогательных решений, которые наиболее близко адаптированы к решаемой проблеме. В задачах механики трещин наиболее адаптированными решениями являются решения модельных задач о разрыве перемещений в упругой среде и базирующийся на этих решениях метод разрывных смещений. Для повышения точности метода применяются специальные граничные элементы, отражающие суть поведения решения вблизи концов трещины.
В некотором классе задач присутствует разрез среды, имеющий два берега. В таких задачах при построении численного метода граничных элементов в качестве базисных очень полезны решения о движении произвольного разрыва перемещений. В статических задачах теории упругости аналогичным методом решаются задачи механики разрушения, где основным объектом исследования являются трещины. Сам метод так и называется - метод разрывных смещений. Основными составляющими метода являются два базовых решения. В первом задается разрыв нормального к берегам перемещения, во втором - касательного. Построим аналогичные решения для разрыва перемещений, который движется в упругой среде с постоянной скоростью вдоль оси Ох. В первой задаче разрыв терпит нормальное к отрезку перемещение иу (Рис. 1.2, а), во второй касательное к отрезку перемещение их (Рис. 1.2, б).
Таким образом, базовое решение о движении произвольного разрыва перемещений построено полностью и может быть использовано при решении задач о стационарном движении в упругой среде.
Для прямолинейной трещины в бесконечной области решение получается в конечном виде. Если тело конечно и трещина имеет сложную форму или трещин несколько, получить аналитическое решение часто невозможно. В этом случае используются различные численные методы решения. Достаточно обширные обзоры по применению и примеры использования этих методов можно найти в работах [23, 95]. Остановимся подробно на одном из таких методов, удобном в приложении к расчетам задач для тел с трещинами. Основой метода разрывных смещений является разложение искомых функций в ряды по некоторым базовым решениям. В качестве базовых берутся решения двух краевых задач: Задача I. y = Q;\x\ h: [uy] = Dy; =0. (3.1) Задача II. y = %\x\ h: [ux] = Dx; ауу=0. (3.2)
В (3.1) и (3.2) знак скачка []используется в форме [/] = /+ -/", где / краевые значения функции при у = 0і, Dx,Dy- скачки перемещений.
Воспользуемся представлением поля напряжений и поля перемещений формулами Колосова - Мусхелищвили [111] в случае плоской деформации: + =4Re ) = 4ReO(z);
Полученные пробные решения позволяют строить решения задач численно. Преимущество применения данного метода к механике разрушения состоит в том, что базовые решения позволяют считать трещины линиями с разрывом перемещений, не различая берегов. Кривые трещин разбиваются на линейные элементы выбранной длины 2ht. Для каждого элемента считаются неизвестными величинами раскрытие Dni и сдвиг DTl. Для любой искомой функции решение в любой точке (х;у) представляется в виде суммы где Л ,5 -вклады г-го граничного элемента соответственно для первой и второй задачи о единичном разрыве перемещения в вычисляемую величину / в данной точке.
Пусть вся граница области, включая трещины, содержит N граничных элементов. Для нахождения 2N неопределенных коэффициентов Dni,Dri выполним граничные условия в центре каждого граничного элемента. То есть плоская краевая задача в случае линейных граничных условий сводится к решению системы 2N линейных уравнений. Рассмотрим в качестве примера криволинейную трещину под действием внутреннего давления Р0.
Аппроксимируем линию трещины прямолинейными граничными элементами длиной 2Л;. В глобальной системе координат, одной для всех граничных элементов, каждый элемент характеризуется координатами своего центра (хи,уи) и углом наклона у, (рис. 1.4). В данной задаче в центре каждого элемента необходимо выполнить граничные условия Здесь вектор т направлен по касательной, а вектор п -по нормали к соответствующему граничному элементу. Введем локальную систему координат, связанную с этим элементом (рис.1.4). Тогда положение точки М в локальной системе координат задается координатами (х,у). Введем для удобства записи модули и аргументы комплексных векторов АМиВМ: \АМ\=а, гх%АМ = а; \BM\=b, argA/ = p. (3.14) При введенных обозначениях действительные и мнимые части функций, входящих в выражения для напряжений (3.6), (3.10), в соответствии с (3.7), (3.8), (3.11), (3.12) будут такими:
Постановка и решение задачи о движении симметричного тела при отсутствии трения на поверхности контакта со средой
Контактное разрушение является важной составной частью многих технологических процессов. В роли разрушающего тела может выступать как твердое тело (проникающий снаряд, резец, ударник), так и жидкость под давлением. В первом случае можно считать тело абсолютно жестким. Задачи о движении тел в различных средах возникли в механике давно, что вызвано большим классом практических проблем, решение которых включает описание движения тела в среде и возникающие при этом поля напряжений и деформаций. Классическими задачами такого типа являются задачи внешней баллистики гидро и аэродинамики. Но аналогичные задачи возникают и для других сред. При обработке почвы (пахота, культивация), при проектировании проникающих снарядов, при бурении, при работе резцов, при изучении свойств среды методами динамического внедрения и т.д. и т.п., одним из основных элементов процесса является движение тела в твердой деформируемой среде.
Существенной особенностью таких задач является наличие прочности в среде, где происходит движение тела. Это приводит к необходимости вместе с решением задачи внешней баллистики одновременно решать проблему разрушения среды. Поскольку разрушаемая среда является твердой, краевые задачи, характерные для контактного разрушения, являются достаточно трудными и мало изученными задачами со смешанными граничными условиями. Поскольку места отрыва среды от поверхности тел заранее неизвестны, то сами точки смены граничных условий должны определяться в ходе решения. При больших скоростях движения необходимо учитывать инерционные силы и возможность отрыва среды от поверхности тела. Сложность задач заставляет делать дополнительные упрощающие предположения, позволяющие получить конечные результаты. Если считать, что пластические области при движении малы по сравнению с самим телом, то, как и в задачах линейного разрушения, можно рассматривать среду как упругую.
В данной главе рассматриваются задачи о движении с постоянной скоростью жесткого симметричного тела в неограниченной линейно упругой среде. Коренным отличием таких задач для упругой среды является наличие сдвиговой прочности, трения на поверхности тела и невозможность безотрывного обтекания. Это приводит к необходимости решения достаточно сложных смешанных краевых задач теории упругости с заранее неизвестными точками смены граничных условий.
Рассмотрим движение твердого тела в упругой среде. Будем считать, что на той части границы упругой среды, где она находится в контакте с поверхностью тела, должно быть выполнено условие равенства нормальных составляющих скорости среды и тела, а также закон трения Кулона-Мора Vn = V0smy(x),anr = k(7nn, где у(х)-угол между осью Ох и касательной к контуру тела. Предполагая угол у малой величиной, граничные условия на поверхности контакта линеаризуем, сохраняя только величины первого порядка малости, V, = VMx),(rv = k(r„, (2.1) где у=Уо(х)-уравнение контура тела, у(х) & у 0(х). Условия (2.1) предполагаются физически реализуемыми (сжатие среды в месте контакта), что равносильно выполнению дополнительного условия о- -о- 0. (2.2) На свободной поверхности будем считать равным нулю вектор напряжений ат =0, 7nr = 0, или после линеаризации !„ = 0, = 0. (2.3) Поскольку тело считается тонким, будем сносить граничные условия на невозмущенное положение границы, т.е. на ось Ох. Предположим, что тело симметрично и схема движения реализуется в виде, показанном на рис.2.1. Тогда, предполагая длину области контакта равной L, а также учитывая симметрию движения и условия (2.1) и (2.3), получим: j; = 0+,x 0, Vy = 0, 0- =0; у = 0+,0 x L, Vy = V0y(x), (rv = ka„\ (2.4) y = 0+,L x,ayy = 0 axy = 0. Длина области контакта является также определяемой величиной. Она находится из условий выполнения (2.1),(2.2) на границе контакта, т.е. в точке А (рис.2.1, х = L). Кроме того, в точке схода среды, скорость должна быть конечной величиной.
Начнем построение решения для самого простого случая - при отсутствии трения в области контакта (к = 0). Подставим в граничные условия (2.4) представление напряжений и скоростей с помощью комплексных потенциалов Ф(г{)У(22) из (1.7), (1.8). В результате получим при у = 0+:
Таким образом, рассматриваемая схема движения тела физически реализуется лишь при скоростях превышающих скорость волн Рэлея, когда величина А 0. Но и в этом случае решение задачи остается незавершенным, поскольку в задаче есть еще один неопределенный параметр - длина области контакта L. Этот параметр существенным образом зависит от вида функции определяющей контур тела, т.е. от функции у(х). Ограничимся рассмотрением движений тел с контуром границы имеющим кривизну одного знака. Т.е. Мы рассматриваем тела с контуром поверхности вогнутым или выпуклым вплоть до задней кромки. Покажем, что в том случае, когда угол наклона касательной к контуру не убывает с ростом координаты х(это означает, что контур тела вогнут или имеет форму клина), интеграл не меняет своего знака. В этом случае отрыв среды от поверхности произойдет лишь на задней кромке движущегося тела. Для этой цели, рассмотрим тело с контуром в виде клина конечной длины у{х) = const.
Движение затупленного тела со скоростью меньшей, чем скорость волн Рэлея, при наличии трения.
Рассмотрим отрывное обтекание жесткого тонкого тела упругой средой. Считая движение установившимся в системе координат связанной с телом, картину обтекания примем в виде схемы, приведенной на рис.4.1.
Предполагаем, что отрыв среды от тела происходит в точке А для верхней части контура (абсцисса точки А: хА = /,) и в точке В для нижней части контура (абсцисса точки В: хв=1г). Введем угол наклона между осью Ох и касательной к контуру, как у+(х) для верхней части контура и соответственно - -fix) для его нижней части. Причем толщину тела и угол у (х) будем считать малыми величинами, пренебрегая в задаче величинами второго порядка малости.
Обозначим: их,щ- компоненты перемещения; УХ,УУ- компоненты скорости частиц упругой среды относительно неподвижной системы координат, в которой тело движется с постоянной скоростью к0; т„,Oy,Oyy -компоненты тензора напряжений, \,\i- упругие постоянные Ламе, р- плотность среды. Линеаризованные граничные условия при наличии трения {к-коэффициент трения) в данной задаче будут иметь следующий вид:
Уравнениям движения удовлетворяют произвольные функции (p(x,y) = Re Ф(г{), ц(х,у) = Ке 4 ) комплексных переменных 7, = х + iay, z2 = х + фу. Введем в рассмотрение новые функции: нормаль, S0 -та часть контура тела, где оно контактирует со средой.
Тогда для сопротивления и подъемной силы можно получить их значения с точностью до величин второго порядка малости по углу у0 и коэффициенту трения к: = = 1/оИН/о10 + 2 2)); Fn=Fy =- -W4 1—2arctg\kA2) J.
Отсюда следует, что сила сопротивления растет с ростом коэффициента трения, а подъемная сила убывает. Если считать малыми одного порядка величины у0,к и оставить только величины до второго порядка малости включительно, получим F(=M WJ); F bH L. (4.3)
Воспользуемся полученным решением для определения траектории частиц, попадающих на переднюю кромку пластины. В системе координат, связанной с пластиной уравнения линий тока при установившемся движении будет иметь вид
Интересно отметить тот факт, что угол 0О+ не зависит от угла наклона пластины и определяется скоростью движения и углом трения.
Величина этого угла всегда больше 45 , поскольку а р, к \. При стремлении скорости тела к скорости поперечных волн, этот угол стремится к 90.
При отсутствии трения он также равен 90. Эти факты говорят о том, что движение очень тонкого симметричного тела может быть неустойчивым, поскольку при бесконечно малом нарушении симметрии движения, возможен отрыв среды с одной из поверхностей тела и реализация картины обтекания, рассмотренной в данном параграфе.
Движение тела в упругом полупространстве со свободной поверхностью Постановка задачи и построение решения. Рассмотрим плоскую задачу о движении тонкого тела в упругом полупространстве со свободной поверхностью. Будем считать скорость тела постоянной, а движение установившимся в системе координат, связанной с телом. Это предположение можно считать обоснованным, если считать, что движение происходит достаточно долго, а скорость тела параллельна свободной поверхности (рис.4.3).
Численное решение задачи гидравлического разрыва упругой среды
Некоторые прикладные проблемы связаны с необходимостью решения задачи втекания и движения вязкой жидкости в канале с деформируемыми границами. К ним, например, можно отнести задачу о гидравлическом разрыве нефтяного пласта, который производится с целью повышения добычи нефти. Такие же проблемы возникают в геофизике, когда моделируются восходящие потоки магмы, разрушающие горную породу. Похожие задачи необходимо решать при изучении течения крови в сосудах. Характерной особенностью этих проблем является необходимость решения взаимно согласованной задачи о течении жидкости и деформации границ канала. Для нефтяных пластов такая задача была впервые поставлена и в некотором приближении решена в работах [169], [200]. Тем не менее, в задачах гидравлического разрыва остается еще много вопросов, которые требуют дополнительного исследования. К таким вопросам относится исследование влияния прочности среды на процесс разрушения и скорость трещины гидравлического разрыва. Поскольку в пластах, как правило, присутствуют естественные нарушения среды в виде трещин и включений разного масштаба, есть необходимость изучения их влияния на продвижение основной трещины. В данной главе приводятся решения трех задач, которые касаются выше затронутых проблем[67], [68], [71], [26], [27], [226].
В первом параграфе изложено автомодельное решение о движении вязкой жидкости в канале с упругими стенками. При получении аналогичных аналитических решений используется гипотеза о локальном взаимодействии. Класс автомодельных решений в случае локального взаимодействия в рамках гипотезы плоских сечений [211] рассмотрен в работе [40]. При получении излагаемого решения данная гипотеза не используется.
Во втором параграфе рассмотрена задача гидравлического разрыва, при решении которой учитывается прочность среды при разрушении и возможное отставание переднего фронта жидкости от края трещины разрыва. Предложенная схема численного решения апробирована сравнением с результатами других авторов. Анализ показал, что предложенная методика, позволяет достаточно эффективно решать задачу гидравлического разрыва в прочной среде [226].
В третьем параграфе исследуется взаимодействие основной трещины, которая находится под давлением, с другими естественными трещинами (разломами пласта), которые изначально закрыты [26], [71].
В данном параграфе рассматривается модельная задача о разрыве вязкой жидкостью изначально сомкнутых границ канала, упруго противодействующих давлению жидкости. Задача рассматривается в одномерном стационарном приближении, когда инерция границ не учитывается.
Постановка задачи. Линейно-вязкая несжимаемая жидкость втекает с заданным объемным расходом Q(t) в начало (JC = 0) первоначально сомкнутого канала х 0 (рис.5.1). Если считать текущую ширину канала h(x,t) малой величиной по сравнению с его текущей длиной L(t), задачу можно рассматривать в одномерной постановке. При этом на выделенный малый элемент жидкости действует помимо давления сила вязкого трения со стороны стенок канала. Считая течение достаточно медленным, будем пренебрегать силами инерции жидкости. В этом случае уравнение баланса объема и импульса можно представить в следующем виде где t - время, V(xj) -скорость жидкости, F(x,t) -плотность вязких сил трения, действующих на единицу длины жидкости со стороны стенок. Плотность вязких сил можно взять аналогично тому, как это делается при решении задачи о течении вязкой жидкости в подшипнике F(X)t) = - :V(x,t). (1.2) 12// h\x,t)
Уравнения (1.1), (1.2) замыкаются связью между давлением в жидкости P(x,t) и возникающим в результате действия этого давления перемещением стенок, которое характеризуется шириной канала h(x,t). Эта связь может быть достаточно сложной. Например, в том случае, когда за стенками канала находится упругая среда для нахождения этой связи необходимо добавить к уравнениям (1.1),(1.2) уравнения теории упругости и решать совместную задачу гидроупругости. В упрощенной постановке, например в теории гидроудара, эту связь считают локальной, в рамках локальной связи аналогичная задача рассмотрена в работе [40].
Рассмотрим случай линейной связи между давлением и раскрытием канала в виде Упругий модуль в (1.3) может зависеть от длины деформированной части канала, что позволяет, в какой то мере, учитывать возможные эффекты нелокального взаимодействия. В том случае, когда упругий модуль не зависит от длины канала, взаимодействие жидкости со стенками имеет чисто локальный характер.
