Содержание к диссертации
Введение
Глава 1. Структурно-временной подход к разрушению 35
1.1.0 некоторых способах моделирования хрупкого разрушения материалов 35
1.2. Критерий инкубационного времени 39
1.3. Применение структурно-временного подхода к разрушению при отколе 42
1.4. Критерий инкубационного времени и корневая асимптотика напряжений 44
1.5. Определение направления разрушения в окрестности кончика трещины при сложном напряженном состоянии 46
Глава 2. Анализ разрушения хрупких сред при отколе 50
2.1. Время и место разрушения при воздействии минимальных разрушающих импульсов 52
2.2. Временная зависимость прочности 64
2.3. Зоны разрушения при отколе 68
2.4. Определение структурного времени по результатам эксперимента по отколу 70
2.5. Определение двух характеристик материала из результатов экспериментов 76
2.6.0 соотношении квазистатического и динамического механизмов разрушения при отколе 78
Глава 3. Поведение энергии в шаре и некоторые одномерные задачи 80
3.1. Акустическое приближение 80
3.2. Решение упругой задачи 85
3.3. Поведение внутренней энергии в шаре при воздействии импульсовдавления 93
3.4. Разрушение предварительно нагруженного шара при внезапномснятии нагрузки 107
3.5. Кавитация в жидкости 118
3 6. Структурные превращения фуллерена 122
Глава 4. Асимптотика напряжений у вершины трещины в динамических задачах теории упругости 127
4.1. Антиплоская динамическая задача о нагружении плоскости с полубесконечным разрезом 129
4.2. Плоская динамическая задача о нагружении плоскости с полубесконечным разрезом 137
4.3. Нагрузка на берегах разреза 149
4.4. Асимптотика напряжений на продолжении разреза 150
4.5. Анализ асимптотик напряженно-деформированного состояния у вершины трещины 152
Глава 5. Анализ динамического разрушения у вершины трещины 162
5.1. Разрушение мгновенным импульсом напряжений 163
5.2. Пороговые импульсы напряжений 168
5.3. Критерий критического коэффициента интенсивности напряжений 176
5.4. Критерий инкубационного времени и корневая асимптотика напряжений 181
5.5. Динамическая вязкость разрушения и критерий инкубационного времени 186
5.6. Определение критических характеристик материала из результатов испытаний 191
5.7. Определение направления разрушения при асимметричном ударе 201
Заключение 206
Список литературы
- Применение структурно-временного подхода к разрушению при отколе
- Временная зависимость прочности
- Поведение внутренней энергии в шаре при воздействии импульсовдавления
- Плоская динамическая задача о нагружении плоскости с полубесконечным разрезом
Введение к работе
Актуальность проблемы. Потребности современной техники предъявляют к прочности материалов повышенные требования. Выявление закономерностей разрушения и создание эффективных методов оценки прочности материалов и конструкций становится не только технической, но и крупной экономической проблемой. По оценкам Бюро Стандартов США прямые потери от разрушения только в Соединённых Штатах ежегодно составляют сотни млрд. долларов. С другой стороны, всё большее развитие получают чрезвычайно энергоёмкие технологические процессы, связанные с целенаправленным разрушением материалов. Это заставляет искать пути применения закономерностей разрушения для создания наиболее экономичных режимов в таких процессах.
Механика разрушения как наука сформировалась за последние десятилетия. Удалось сформулировать её основные положения, корректно поставить математические задачи и разработать аппарат их решения. Имеется значительное продвижение в изучении закономерностей разрушения во многих принципиально различных ситуациях. Вместе с тем остаются многие важные вопросы, требующие своего разрешения. Один из наиболее проблемных разделов науки о разрушении связан с динамическим разрушением материалов. Большой вклад в становление и развитие динамической механики разрушения внесли Г.И. Канель, Б.В. Костров, Н.Ф. Морозов, В.С. Никифоровский, Л.В. Никитин, В.3. Партон, Ю.В. Петров, Л.И. Слепян, Г.П. Черепанов, Е.И. Шемякин, J.D. Achenbach, K.B. Broberg, J.W. Dally, H. Gao, J. Fineberg, L.B. Freund, A.W. Maue, A.S. Kobayashi, J.F. Kalthoff, W.G. Knauss, K. Ravi-Chandar, A. J. Rosakis, G.C. Sih, D.A. Shockey, A. Shukla и другие российские и зарубежные ученые.
Область механики динамического разрушения зародилась для хрупких материалов. До 70-х годов прошлого столетия предполагалось, что свойства материалов остаются линейно упругими вплоть до разрушения, а критические характеристики не зависят от истории нагружения. В качестве критерия разрушения предлагалось использовать подходы, принятые в статике. Напряженно-деформированное состояние в динамике зависит от времени, следовательно, максимальное значение соответствующей величины не должно превышать критического значения. Так, при разрушении материала с трещиной величина коэффициента интенсивности напряжений не может быть больше критической. В задачи динамической механики разрушения входило изучение истории коэффициента интенсивности напряжений в зависимости от параметров нагружения. При этом рассматривались как стационарные, так и распространяющиеся трещины, подвергающиеся статическому или волновому нагружению. В частности было определено значение динамического коэффициента интенсивности напряжений для движущейся трещины в зависимости от ее мгновенной скорости. Задачи решались как аналитически так и численно.
Прогресс в создании и совершенствовании средств экспериментальной и вычислительной техники начиная с 70-х годов прошлого столетия позволил проводить нагружение испытуемых материалов длительностью в десятки микросекунд с хорошо контролируемой нагрузкой и достаточно достоверной регистрацией напряженно-деформированного состояния. Это дало возможность проводить серии испытаний, что вызвало быстрый рост числа экспериментальных и теоретических исследований.
Результаты экспериментальных исследований не всегда могут быть описаны с помощью имеющихся математических моделей. Возникающие противоречия приводят к появлению новых, зачастую более сложных теоретических построений.
Наличие большого числа способов описания динамического разрушения материалов с трещинами указывает на отсутствие устоявшегося, устраивающего всех исследователей и объясняющего большинство экспериментальных наблюдений подхода.
Обсуждая состояние дел в обзорах по динамическому разрушению B. N.Cox, H. Gao и др. (2005 г.) и A. J. Rosakis и G. Ravichandran (2000 г.) отмечают в качестве проблем, нуждающихся в разработке, инициирование разрушения тел с трещиной и исследование явления откола.
Весьма актуальной становится проблема создания достаточно простой модели динамического разрушения, в рамках которой можно было бы теоретически исследовать широкий круг задач и объяснять результаты экспериментов.
Цель диссертационной работы состоит в теоретическом исследовании задач инициирования разрушения хрупких сред резко выраженными динамическими импульсами нагрузки. В работе предлагается развитие и обобщение положений линейной механики разрушения на описание процессов инициирования разрушения упругих сред динамической нагрузкой
Метод исследования. В работе предложен критерий инкубационного времени, на основании которого проводится анализ эффектов быстрого разрыва материалов.
Научная новизна. В диссертации получены следующие новые результаты.
Новый структурно - временной подход к анализу быстрого динамического разрушения хрупких сред. Применение структурно - временного критерия позволяет с единой точки зрения рассматривать динамическое разрушение как сред, имеющих специально устроенные макродефекты типа трещин, так и не имеющих таковых.
В рамках предложенного подхода проведено исследование ряда эффектов откольного разрушения твёрдых тел, таких как явление динамической ветви и задержка разрушения. Показана возможность описания зон разрушения. Найдена связь между временем и местом разрушения.
Получено объяснение эффектов при кавитации в жидкости, структурном превращении фуллерена. Применение критерия инкубационного времени позволило получить рекомендации по оптимизации разрушения шара.
Проведено исследование асимтотического поведения решения динамической задачи о полубесконечной трещине на продолжении разреза.
Показано, что в рамках предложенного подхода зависимость коэффициента интенсивности инициирования от времени до разрушения не является функцией материала и может быть легко вычислена, если имеется структурный динамический параметр разрушения и история коэффициента интенсивности напряжений.
Проведено сравнение расчетов с экспериментальными результатами динамического инициирования роста трещин в упруго - хрупкой среде. Показано, что предложенный подход качественно объясняет и описывает известные экспериментальные эффекты.
Практическая ценность Результаты, полученные в работе имеют непосредственное отношение к проблеме разрушения материала в условиях ударного нагружения и могут быть использованы для определения критических характеристик динамической прочности и условий эффективного разрушения материалов.
Апробация работы. Полученные в работе результаты были представлены автором на следующих конференциях [1,2,7,8,14,20,23,26,27]. Кроме того, на международных конференциях EUROMECH (1992, 1994 гг.), Advanced Problems in Mechanics (APM) (2002, 2003, 2005 гг.), Харитоновские тематические научные чтения (2001, 2005 гг.), Int. Aristotle conference (1990 г.), Int. Symposium on Strength and Fracture (1994 г.) и др. На всероссийских конференциях «Актуальные проблемы прочности» (1991, 1999, 2005 гг.), Поляховские чтения (2000, 2003 гг.), «Дефекты структуры и прочность кристаллов» (2002 г.), Всерос. симп. по механике деформ. твердого тела (1994 г.). Неоднократно результаты докладывались на семинарах кафедры теории упругости Санкт-Петербургского университета и центра «Динамика».
Публикации. По теме работы имеется 28 публикаций, в том числе два учебных пособия и 10 публикаций в журналах, рекомендованных ВАК. В совместных работах [1-13, 15-18, 22] соавторами была проведена постановка задач и обсуждение полученных результатов. В [14] С.В. Смирнова и Г.Д. Федоровский провели измерения, а Ю.В. Петрову принадлежит постановка задачи и анализ результатов. В работе [19] соавтор осуществлял проведение эксперимента. Опытные данные в [20] получили А.Н. Березкин и С.И. Кривошеев, а Ю.В. Петрову принадлежит постановка задачи и общее руководство. В работах [21, 22] экспериментальные данные получены А.С. Бесовым и В.К. Кедринским. В [21] совместно с А.А. Груздковым автор участвовал в разработке динамического критерия кавитации. В [22] Н.Ф. Морозову и Ю.В. Петрову принадлежит постановка задачи. В работах [25, 27] С.И. Кривошеевым были проведены динамические испытания, а Г.Д. Федоровским – статические; фрактографический анализ осуществляла С.А. Атрошенко; Ю.В. Петрову принадлежит постановка задач и общее руководство.
Структура и объем работы. Диссертационная работа состоит из введения, пяти глав, заключения и списка литературы, насчитывающего 216 наименований. Число иллюстраций равно 68. Общий объем работы 228 страниц.
Поддержка. Работа выполнялась при частичной поддержке Российского Фонда Фундаментальных Исследований и программ ОЭММПУ РАН в научно-исследовательском центре «Динамика» (СПбГУ-ИПМаш РАН).
Применение структурно-временного подхода к разрушению при отколе
В работе [143] Дж. Кальтхофф и Д. Шоки, анализируя свои опыты по динамическому разрушению образцов с макротрещинами, предположили, что для каждого материала существует некоторое структурное время, управляющее процессом быстрого разрушения, который в свою очередь определя ется интегральным поведением коэффициента интенсивности на структурном временном интервале. На основе этого предположения они предложили новый критерий разрушения, назвав его критерием минимального времени (minimum time criterion). Главной особенностью нового подхода является введение некоторого структурного параметра тіпс, имеющего размерность времени и отвечающего за инкубационные процессы, предшествующие макроразрушению. Инкубационное время тіпс объявляется константой, связанной со свойствами материала. Согласно этой концепции разрушение наступает при условии, что текущее значение коэффициента интенсивности напряжений Kj(t) в течение некоторого минимального времени тшс, необходимого для развития макротрещины, превосходит динамическую вязкость разрушения Км. Здесь динамическая вязкость разрушения Кш определяется по квазистатической формуле, например, для дисковой трещины KId = ІРлГа І п, где а — размер трещины, Р — пороговая (минимальная) амплитуда соответствующего импульса (прямоугольной формы) динамического напряжения, при котором происходит разрушение.
Несмотря на отсутствие четкой аналитической формулировки, критерий минимального времени является заметным шагом вперед, так как вводит в анализ разрушения следующие принципиальные допущения.
Во-первых, отмечается существование некоторого структурного параметра, имеющего размерность времени, который управляет процессом разрушения. Заметим, что в квазистатике разрушение определяется некоторым параметром с размерностью длины. Таким образом при переходе от статического нагружения к динамическому в процесс включается новая структурная характеристика.
Во-вторых, утверждается, что разрушение обусловливается не мгновенными состояниями локального силового поля вблизи вершины трещины, но представляет собой интегральный во времени процесс, распределенный на структурно-временном интервале.
Критерий минимального времени допускает возможность существования такой необычной, с традиционной точки зрения, ситуации, в которой разрушение происходит на временном участке уменьшения интенсивности локального силового поля. В самом деле, с позиций классической механики, если разрушения не происходит, когда коэффициент интенсивности напряжений достигает наибольших значений, то и при меньших его значениях оно произойти не может. Напротив, критерий минимального времени вполне допускает такую возможность. Как уже отмечалось, эксперименты с пороговыми импульсами подтвердили существование данного эффекта, который аналогично подобному явлению при отколе можно назвать эффектом задержки разрушения.
Совместное развитие перечисленных идей может дать достаточно простую механическую концепцию динамического разрушения, которая и рассматривается дальше.
Обращаясь к силовому подходу в механике разрушения, заметим, что он имеет смысл достижения критического значения мгновенной локальной силой, действующей в месте разрыва. Однако, в динамике следует учитывать свойство инерции, т.к. элементы среды, примыкающие к месту разрыва, могут двигаться с очень большой скоростью. Так, в модельном механизме разрушения не учитывается, что при высокоскоростном разрыве наряду с упругим сопротивлением материала необходимо преодолевать также инерцию среды. В случае приложения уравнения энергетического баланса к динамическому разрушению слагаемое, соответствующее кинетической энергии, традиционно отбрасывается как малое по сравнению с остальными (В. 3. Партон, В. Г. Борисковский [61,62], Л. Фройнд [121,123,124]).
Очевидно, что при высокоскоростном деформировании подобный подход является некорректным. Соответствующий такому подходу силовой критерий формулируется как требование достижения коэффициентом интенсивности напряжений (или локальными значениями напряжения в предполагаемом месте разрушения материала) некоторого критического значения, которое определяется свойствами материала.
Физическое несовершенство указанного критерия заключается в том, что в соответствии с ним материал должен разрушаться при достаточно большом мгновенном значении действующей в вершине трещины локальной силы. На самом же деле значительное количество движения хотя и маленьких, но очень быстро движущихся частиц среды определяет зависимость не только от мгновенных составляющих силового поля, но и от времени их действия.
Поэтому, для того, чтобы произвести разрушение, локальная сила должна действовать в течение определенного времени. С другой стороны, по аналогии со структурным размером В.В. Новожилова в статике, в динамике естественно рассматривать структурные времена. Естественно рассматривать средние на структурно - временном интервале значения от разрывающего напряжения. Таким образом, считаем, что имеется некоторый характерный промежуток времени г, отвечающий за инкубационный (скрытый) период развития макроразрушения. В общем случае параметры d и т следует рассматривать как независимые, так как т может определяться сложными процессами, происходящими в структуре материала.
Временная зависимость прочности
Как было показано в предыдущем пункте, структурно-временной подход позволяет определить структурное время по величине минимального разрушающего импульса в том случае, если известна статическая прочность JC . Предположим, что нам неизвестно ни структурное время, ни статическая прочность. И пусть известно два минимальных разрушающих импульса разной продолжительности. Обозначим формы нагрузок этих импульсов f;(t) и f2(t) а их амплитуды Р1 и Р2 соответственно. Поскольку эти импульсы минимальные разрушающие, то согласно критерию будет выполнено сгс=-Р. так \ft{s)ds. (2.13) Формулы (2.13) представляют из себя два уравнения с двумя неизвестными сгс и т. Если продолжительность воздействия Т в обоих случаях не превышает величины инкубационного времени т, то промежуток интегрирования будет захватывать продолжительность воздействия полностью. В этом случае, согласно импульсной трактовке критерия инкубационного времени оба уравнения будут совпадать. Определить две неизвестные величины в этом случае не удастся. Следовательно, хотя бы в одном случае продолжительность воздействия должна превышать величину инкубационного времени. Ввиду того, что инкубационное время требуется определить, т.е. заранее оно неизвестно, можно сначала найти нижний предел - это наибольшая продолжительность воздействия. Затем найти минимальный разрушающий импульс большей продолжительности и попытаться определить искомые величины вновь.
При больших значениях структурного времени необходимо провести более сложный анализ с учетом взаимодействия падающих и отраженных волн. Полученные таким образом зависимости можно отобразить на графике. Точка, в которой кривые пересекутся и даст искомые значения статической прочности и инкубационного времени.
На рис. 2.17 приведены две кривые для определения статической прочности и инкубационного времени. Здесь Р1 =303.5 Мпа, Р2 =80.4 Мпа, fl{t) = sm2{n:tlTx), j2{t) = sin2(ntIT2), 7] = 6.9 мксек, Г2=36.2 мксек Таким образом, знание двух минимальных разрушающих импульсов может позволить определить две константы материала - статическую прочность и структурное время. J.
Проведенный анализ позволяет сделать некоторые выводы о взаимосвязи и диапазонах проявления квазистатического и динамического механизмов разрушения при отколе. Основной характеристикой откольной прочности является полученная диаграмма временной зависимости прочности материала. На этой диаграмме динамическому механизму разрушения отвечает пороговое значение динамической ветви, определяющейся структурной характеристикой т. При этом положение динамической ветви не связано со статической прочностью материала стс, что подтверждается экспериментами
Переходная зона, распространяющаяся на времена порядка нескольких структурных интервалов, отвечает совместному проявлению динамического и квазистатического механизмов разрушения. Здесь порог разрушения существенным образом определяется как динамическим параметром разрушения, так и критической силовой характеристикой. Достаточно большие времена разрушения, на порядок и больше превосходящие структурный интервал, могут рассматриваться как времена, отвечающие диапазону действия квазистатического механизма разрушения. В этом случае с успехом можно использовать критерий критического напряжения. Оценка и сопоставление с опытом времен разрушения некоторых металлов [19,20] приводят к выводу, что диапазон существенного влияния структурно - временных особенностей разрушения определяется временами порядка нескольких микросекунд.
Изменения структурно - временной и силовой характеристик разрушения приводят к смещению участков диаграммы временной зависимости прочности. Так, уменьшение скорости распространения волны изменяет положение динамической ветви так, что откольная прочность материала повышается. Следовательно, например, нагрев полимерного материала до температуры высокоэластичного состояния может приводить к увеличению его откольной прочности. Этот вывод согласуется с экспериментальными наблюдениями зависимости откольной прочности полимерных композитов от температуры [14]. Пороговая диаграмма на рис. 2.12 позволяет заключить, что эффективность разрушения сильно зависит от исходной статической прочности на разрыв и скорости распространения волн напряжений. Последняя определяется упругими модулями, плотностью материала. С учетом этого можно сделать вывод, что более жёсткие и менее массивные материалы хуже сопротивляются быстрому динамическому разрушению.
Поведение внутренней энергии в шаре при воздействии импульсовдавления
Напряжение Jr на фронте волны такое же, как и в акустическом приближении, но в упругой задаче с удалением от фронта оно быстро меняется. Чем ближе фронт волны к центру, тем больше это изменение. Выражение (3.40) справедливо для времени t Rl сх. Если фронт волны находится в центре (t = Rl сх), то г0 = 0, и (3.40) принимает вид
Как следует из (3.33)—(3.35), при временах t Rlcx значение напряжения на фронте имеет скачок величиной P0R/r. Однако, напряжение между фронтом волны и центром в отличие от акустики не обращается в ноль. Поэтому, суммарное напряжение на фронте будет отлично от P0R/r. В окрестности центра напряжение уже не имеет особенности. Из (3.33), (3.34) получим при / Rlcx и t 3R/cx Ay{3-Ay y fw1{t-Rlcx) + {2y2-\)wx(t-Rlcx)) ar=P0 j— і. (3.42) " Зл/l-r На рис.3.2 а-г приведено распределение напряжения аг в различные моменты времени. При этом фронт волны находится в одном и том же месте (r = 2/3R и r = l/6R). Расчет производился при y = l/y/3 (v = 0.25). Из рис. 3.2в видно, что при t 2R/cx (т.е. на третьем проходе волны) между центром и фронтом волны будет область, в которой напряжение станет растягивающим. Таким образом, в упругой постановке, прикладывая к границе шара сжимающую нагрузку, можно получить растягивающее напряжение. Изучим поведение внутренней энергии в упругой задаче. Величина кинетической энергии в шаре в рассматриваемом случае, т.е. с одной отличной от нуля компонентой перемещения, принимает вид
Значение кинетической энергии при различных / приведено на рис. 3.3а. Зависимость величины кинетической энергии от времени носит немонотонный характер. Промежутки времени между максимумами и минимумами примерно одинаковы для каждой кривой, но меняются при изменении у. При небольших у величины кинетической энергии в упругой задаче и при акустическом приближении мало отличаются друг от друга. Найдем теперь потенциальную энергию деформации. Ее величина, выраженная через компоненты тензора напряжений ст. и тензора деформаций єіу, имеет вид M = Tjtf W n.
В нашем случае отличными от нуля компонентами тензора напряжений, кроме приведенной в (3.32) - (3.35) величины сгг , будут также а(р и ow . Их значение можно найти из перемещения: Проведенные, согласно (3.44) расчеты для различных у приведены на рис. З.Зб. Зависимость величины потенциальной энергии деформации от времени носит также, как и для кинетической энергии немонотонный характер. Однако их максимумы и минимумы не совпадают по времени. Максимальное значение потенциальной энергии деформации примерно в 4 раза выше, чем кинетической. Тем не менее, величина кинетической энергии в некоторые моменты времени может превышать значение потенциальной энергии деформации и наоборот. Сумма кинетической и потенциальной энергии деформации дает полную внутреннюю энергию шара. Ее значение численно должно быть равно работе, затраченной на перемещение границы шара, приложенной силой Р0, то есть, K{t) + P(t) = 4TT-R2-P0- u(t, R). (3.45)
На рис. 3.16 показана зависимость от времени полной внутренней энергии шара при различных /. В соответствии с (3.45) аналогичная зависимость будет характеризовать и перемещение точек границы шара. В отличие от акустического приближения, перемещение не обращается в ноль в момент возвращения фронта волны на границу {t = 2R/сх). При небольших/ перемещение близко к наблюдаемому при акустическом приближении. Существенным является осциллириующий характер изменения полной внутренней энергии (рис. 3.16), причем при малых значениях у величина внутренней энергии периодически падает практически до нуля. Полученный эффект на первый взгляд может показаться парадоксальным: при постоянно действующем давлении на поверхности шара его полная внутренняя энергия периодически «исчезает»! В действительности, однако, парадокса нет.
Полученный эффект является принципиальным для динамики деформирования и обусловлен возможностью энергообмена между нагружаемым телом и внешними загружающими устройствами, задающими соответствующий потенциал внешних сил. Данный эффект подчеркивает важное значение учета энергетических факторов при динамических испытаниях материалов, в частности, при определении предельных характеристик разрушения твердых тел (например, по методу Шарли).
Рассмотрим теперь воздействие сжимающей нагрузки продолжительностью Т. Ограничим рассмотрение времени действия нагрузки величиной T Rlcx. Как отмечалось при изучении акустического приближения, прикладываемое воздействие в этом случае можно рассматривать как сумму волны сжатия и начавшей действовать через момент времени Т после ее возбуждения волны растяжения. Ввиду того, что значение напряжения за фронтом волны быстро падает по абсолютной величине (формула (3.40)), следует ожидать, что уже на первом проходе волны (ґ і?/с,) можно получить растягивающее напряжение. На рис. 3.4 приведено значение напряжения при различной продолжительности действия нагрузки Т и при разных у. Видно, что после разгрузки напряжение не обращается в ноль, а становится растягивающим. При этом максимальное значение величины растягивающего напряжения возрастает при продвижении волны к центру. Уменьшение величины у ведет к быстрому уменьшению растягивающего напряжения. По мере дальнейшего продвижения волны фронты будут занимать относительно друг друга различное положение. Напряжение при этом будет существенном образом зависеть от этого расположения и от продолжительности воздействия. При этом, как и в акустике, напряжение между фронтами будет иметь значение порядка P0R/r. Его величина будет положительной, если фронт волны растяжения будет расположен ближе к центру, чем фронт волны сжатия и отрицательной в противном случае. Напряжение в области между центром и ближайшим к нему фронтом и между другим фронтом и поверхностью будет иметь величину порядка 1. На рис. 3.5 приведено значение напряжения при различном взаимном расположении фронтов.
На рис. 3.5а приведено распределение напряжения в момент встречи фронтов. В этот момент напряжение во всем шаре будет иметь величину порядка 1. На рис. 3.56 изображен случай, когда фронт волны растяжения расположен ближе к центру, а на рис. 3.5в этот фронт находится ближе к поверхности. Наконец на рис. 3.5г показано, что распределение напряжения существенно зависит от продолжительности воздействия.
Плоская динамическая задача о нагружении плоскости с полубесконечным разрезом
Рассмотренные примеры показали, что для повышения точности в задачах динамики недостаточно внести в значение коэффициента интенсивности некоторую поправку, пусть даже зависящую от времени. Соответствующие асимптотики не являются равномерными, и для правильного представления решения на всем временном диапазоне необходимо знать следующие члены в разложении решения по степеням х. Полученные выводы имеют важное значение при использовании асимптотических формул для оценки предельных динамических нагрузок в задачах о разрушении упругих тел [164]. В частности, ниже будет показано, что учет дополнительных членов асимптотического разложения решения позволяет объяснить известные расхождения результатов эксперимента.
Критерий инкубационного времени можно с успехом применять, как это было показано, к изучению динамического разрушения «бездефектных» сред. Анализ разрушения тел с дефектами типа трещин является значительно более сложной проблемой. Определение напряженно - деформированного состояния областей с разрезом представляет собой нелёгкую задачу даже в статике. При этом, как известно, можно ограничиться нахождением коэффициента интенсивности. Определение коэффициента интенсивности может привести к успеху и в некоторых задачах динамики. Однако, когда воздействие носит концентрированный характер, знание коэффициента интенсивности может оказаться недостаточным, а применение концепции критического коэффициента интенсивности безуспешным. В этом случае необходимо иметь более полное решение задачи теории упругости, а для анализа разрушения можно использовать не связанный с корневой асимптотикой критерий инкубационного времени. Целесообразно начать изучение динамического разрушения тела с трещиной с математически наиболее простого случая -антиплоской задачи теории упругости. Все экспериментальные исследования проведены или на плоских моделях или при более сложном напряженно-деформированном состоянии. Поэтому представляет интерес рассмотрение разрушения в плоской задаче, хотя бы в наиболее простых модельных ситуациях, и сравнение возникающих при этом закономерностей с полученными при изучении разрушения в антиплоской задаче. Чтобы оценить работоспособность структурно-временного подхода при анализе разрушения необходимо хотя бы качественно сравнить полученные при этом результаты с имеющимися экспериментальными исследованиями. Необходимо также изу 162 чить возможность применения при анализе разрушения более простых приёмов. Всё это и составит предмет изучения этой главы.
Для изучения разрушения, вызванного мгновенным импульсом напряжений рассмотрим антиплоскую задачу. Пусть в условиях, заданных (4.2) - (4.5) в качестве функции / задана дельта функция, т.е. у=±0 х = U-S(t), (5.1) где U - величина приложенного к берегам разреза мгновенного импульса напряжений. Решение такой задачи можно получить из задачи о воздействии на разрез прямоугольного импульса напряжений дифференцированием по времени или предельным переходом для ступенчатой функции f(t) = U-{H(t)-H(t))/T устремляя продолжительность Т к нулю. Здесь U = Р-Т, Р - амплитуда ступенчатой функции. Тогда из (4.9) на продолжении трещины получим
Чтобы не загромождать формулы множителями типа H{ct - х) будем в дальнейшем полагать значения корней при отрицательных аргументах равными нулю.
Проведем анализ разрушения, вызванного мгновенным импульсом напряжений. Сначала найдём величину силы F, действующей на структурный элемент,
Таким образом, F представляет собой силу, создаваемую дифрагированным полем при воздействии мгновенным импульсом напряжений и действующую на структурный элемент, примыкающий к разрезу. График функции F изображен на рис. 5.1а. Поведение F можно объяснить следующим образом. В момент времени t = 0 производится воздействие на берега разреза. Затем, при 0 t d/c все дифрагированное поле сосредоточено на структурном элементе, и сила, действующая на него в указанный промежуток времени, постоянна. Как только t становится больше die, фронт волны начинает распространяться за пределы структурного элемента, и значение силы, действующей на d начинает медленно уменьшаться и при t — оо F — 0.
Изучив поведение силы, действующей на структурный элемент, перейдем теперь к анализу разрушения. Положим в качестве т величину die. Используя критерий разрушения в виде (1.3), получим msx\l_TF{s)ds\-Ud12. Как только значение U достигнет величины 2 УСТ , произойдет разрушение. Следовательно, минимальное (или критическое) значение разрушающего импульса Максимум в критерии (1.4) достигается при t-r, т.е. через время, равное т после воздействия. При t г значение F, а вместе с ним и величина импульса, уменьшается. Иными словами, разрушение сопровождается задержкой, равной г. Величину die можно рассматривать как время, за которое волна проходит структурный размер, или как время передачи взаимодействия от одного элемента структуры к другому. Это время, необходимое для того, чтобы на элементе структуры d было «накоплено» необходимое для разрушения значение импульса.
Предположим теперь, что приложенное значение импульса U U . В этом случае при t = г на структурном элементе будет сосредоточена величина импульса, большая чем jcrd, а значит, необходимую для разрушения величину получим за время t т. Учитывая, что F{t) = 0 при t 0, из критерия разрушения получим
В том случае, если T dlc величина импульса достигает своего максимального значения также в момент времени t-т. Только в этом случае величина / будет иметь значительно более сложный вид. Увеличение величины приложенного импульса также вызовет уменьшение момента разрушения. Можно в этом случае также получить соотношение, аналогичное (5.6). Зависимость величины приложенного мгновенного импульса напряжений от времени до разрушения при различных значениях структурного времени приведена на рис. 5.2.
Важнейшим обстоятельством является то, что разрушение происходит в момент времени, когда коэффициент интенсивности уменьшается. В рассматриваемом случае, как следует из (5.2) K(t) = j2cU/4ті ct и, следовательно, во времена t U интенсивность локального силового поля у вершины, традиционно связываемая со значениями K{t), была большей нежели в момент разрушения. Этот эффект не может быть получен в рамках традиционной силовой механики разрушения и является одной из принципиальных особенностей механизма быстрого динамического разрыва материалов. Для его дальнейшего исследования необходимо рассматривать более «физич-ные» формы внешних нагрузок, что и будет сделано.
