Содержание к диссертации
Введение
1 Постановка контактных задач, некоторые общие методы решения уравнений и другие вспомогательные результаты 31
2. Контактные задачи для цилиндрических тел конечных размеров 62
3. Плоские контактные задачи для четырехугольников . 112
4 Контактные задачи для сектора сферического слоя, сферического слоя, усеченных шара и конуса 167
5 Контактные задачи для тел конечных размеров неканонической формы 193
6 Контактные задачи для тел периодической структуры 235
7 Контактные задачи для слоя и клина 259
Заключение 298
Литература
- Постановка контактных задач, некоторые общие методы решения уравнений и другие вспомогательные результаты
- Контактные задачи для цилиндрических тел конечных размеров
- Плоские контактные задачи для четырехугольников
- Контактные задачи для сектора сферического слоя, сферического слоя, усеченных шара и конуса
Постановка контактных задач, некоторые общие методы решения уравнений и другие вспомогательные результаты
Рассматриваемые в диссертации контактные задачи можно условно разделить на четыре группы в соответствии с геометрией взаимодействующих со штампом упругих тел. К первой группе относятся контактные задачи для тел конечных размеров канонической формы, граничные поверхности которых совпадают с координатными поверхностями цилиндрических, декартовых, полярных, биполярных и сферических координат. Ко второй группе относятся контактные задачи для тел конечных размеров неканонической формы, когда часть граничных поверхностей не является координатной поверхностью (декартовы и цилиндрические координаты). К третьей группе относятся контактные задачи для полубесконечных тел (полоса, цилиндр) периодической структуры. И к четвертой группе относятся плоская и пространственные контактные задачи для слоя (при наличии трения и тепловыделения) и для пространственного клина.
Отметим, что в рассматриваемых задачах обычно задан характер и величина перемещения штампа и требуется, как правило, определить распределение контактных напряжений в области контакта, область контакта (если она не задана), связь между перемещением штампа и приложенными к нему нагрузками в зависимости от параметров задач. Для отдельных задач проводилось исследование и других зависимостей механического и геометрического характера, например, таких как деформация поверхности упругих тел вне штампа, В-резонансы и других.
В цилиндрических координатах (r, p,z) рассмотрены осесимметричные контактные задачи для цилиндра, когда штампы взаимодействуют, либо с плоской либо с цилиндрической его поверхностью. Задачи С\, С Пусть абсолютно жесткий штамп закреплен в области г а поверхности z = h упругого цилиндра г Л, 0 z К (а R) и поворачивается на некоторый угол S приложенным к штампу моментом. При этом поверхность цилиндра 2=0 закреплена, вне штампа поверхность z — h свободна от напряжений, а поверхность г — R либо закреплена (задача Сі), либо свободна от напряжений (задача Съ) (см. рис. 2.1 на стр. 63). Задача С$ Рассматривается тот же цилиндр и в его поверхность z — h в области г а вдавливается штамп, трение между штампом и цилиндром отсутствует, поверхность цилиндра z — 0 лежит без трения на жестком основании, а на боковой поверхности г = R заданы условия отсутствия нормальных перемещений и касательных напряжений (см. рис. 2.4 на стр. 79). Задача С\. Пусть круговой цилиндр г R, \z\ h из нелинейно-упругого изотропного несжимаемого материала равномерно сжат или растянут силами, приложенными к боковой поверхности г = Я. Торцы цилиндра свободны от нагрузки. На описанную однородную конечную деформацию накладывается малая деформация, обусловленная внедрением в торцы цилиндра при г а двух симметрично расположенных круговых штампов. Трение между штампами и упругим телом отсутствует, а на боковой поверхности цилиндра г R заданы условия отсутствия касательных напряжений и нормальных перемещений (см. рис. 2.6 на стр. 92). В силу предположений о малости добавочной деформации контактная задача рассматривается в линеаризованной постановке. Задача CV На внешней поверхности полого цилиндра \z\ 6, R\ г #2 симметрично насажен жесткий бандаж длины 2а в области \z\ а Ь с внутренним радиусом #2 — ${z), а торцы цилиндра взаимодействуют с жесткой плоской опорой. Будем считать, что трение между бандажом и цилиндром, торцевой опорой и цилиндром отсутствует (см. рис. 2.8 на стр. 101). Задача Cg. Рассматривается сплошной круговой цилиндр г R, \z\ Ь из нелинейного упругого изотропного несжимаемого материала. Цилиндр предварительно подвергнут однородному осевому растяжению или сжатию и закреплен торцами между гладкими жесткими поверхностями таким образом, что отсутствуют нормальные перемещения и трение. На описанную деформацию, которая считается конечной, накладывается малая осесим-метричная деформация, вызванная внедрением в поверхность цилиндра при \z\ а жесткого бандажа, при этом трение между цилиндром и бандажом отсутствует, а бандаж имеет радиус R — 5, (6 0) (см. рис. 2.10 на стр. 107). В декартовой системе координат (х,у, z) рассмотрены некоторые плоские контактные задачи для прямоугольника. Задачи Qi, Qi. Рассмотрены две симметричные контактные задачи о действии штампа без трения на поверхность у = h прямоугольника х Ь, 0 5; У h на отрезке \х\ а Ь. На поверхностях \х\ = 6 заданы условия отсутствия нормальных перемещений и касательных напряжений, а поверхность у — 0 либо закреплена (задача Qi), либо лежит без трения на жестком основании (задача Qi) (см. рис. 3.1 на стр. 112). Задача Q$. Отдельно другим методом рассмотрена аналогичная задаче Q2 несимметричная контактная задача для прямоугольника — Ъ х с- 0 г/ ft о действии штампа на отрезке \х\ а min(or6) (см. рис. 3.4 на стр. 120). Задача Q . Рассматривается плоская задача теории упругости о взаимодействии штампа с гранью у h прямоугольника \х\ Ь,0 у h, в котором создано однородное поле начальных напряжений . На смежных гранях х = ±6 прямоугольника заданы условия отсутствия нормальных перемещений и касательных напряжений, противоположная грань у = 0 лежит без трения на жестком основании (см. рис. 3.5 на стр. 112). Для описания свойств упругого тела используется модель нелинейного несжимаемого изотропного материала.
Контактные задачи для цилиндрических тел конечных размеров
Остановимся предварительно на решении двух смешанных задач теории упругости о кручении штампом кругового цилиндра при условии жесткого защемления боковой грани (задача Сі) и отсутствия на ней напряжений . Эти задачи можно рассматривать как модельные для демонстрации эффективности предложенных методов исследования, в то же время они представляют и самостоятельный интерес. Пусть в (2.7) f(x) — Jv(iex). При этом будем иметь в виду, что в общем случае функция f(x) может быть разложена в ряд по функциям Jv{iekx).
Для задачи Сч при R = а из (2.15) получим rfm = 0, Ьтп ф 0, и, следовательно, решение бесконечной системы (2.15) уп — 0. Таким образом при R = а формулы (2.14) и (2.16) дадут известное точное решение задачи о кручении стержня штампом, радиус которого равен радиусу стержня.
Для получения решения рассматриваемых задач для тех областей изменения параметров, где асимптотические формулы, выведенные выше, теряют свою эффективность, исследуем бесконечную систему (2.15) методом урезания, предварительно регуляризовав ее по схеме (1.12). Урезанную систему представляем в виде (1.16) и находим ее решение на ЭВМ. Значение N выбираем в зависимости от заданной точности.
Здесь на примере смешанной осесимметричной задачи С\ теории упругости о кручении штампом кругового цилиндра конечных размеров, поставленной в этом разделе, излагается метод однородных решений для исследования контактных задач для тел конечных размеров, границы которых совпадают с координатными поверхностями ортогональных систем координат. Этот метод позволяет получить решения подобных задач практически для любых значений параметров. Такая эффективность метода определяется тем, что решение задачи сводится к решению бесконечной алгебраической системы второго рода высокого качества типа нормальных систем Пуанкаре-Коха. Решение рассматриваемой здесь задачи для случая большого значения отношения (R—a)/ti и малых значениях отношения A = h/a получено в этом разделе выше.
Сведение задачи С\ к бесконечной системе Пуанкаре-Коха. Предлагаемый здесь метод однородных решений заключается в следующем. Теперь нетрудно убедиться в том, что функция v(r, z) = v \r,z) — vW(r,z) удовлетворяет уравнению (2.1) и граничным условиям (2.2).
Видим, что при Я а свободные члены системы (2.35) и коэффициенты ее матрицы экспоненциально убывают с ростом номеров. Таким образом, система (2.35) относится к типу нормальных систем Пуанкаре-Коха. Такие системы возникают также при исследовании некоторых типов смешанных задач методом кусочно-однородных решений [255].
Для вычисления элементов системы (2.35) необходимо знать решения интегральных уравнений (2.34), которые соответствуют хорошо изученной контактной задаче о кручении штампом упругого слоя, и поэтому для их решения с успехом могут быть использованы эффективные асимптотические методы [96].
Таким образом, используя метод больших А для решения уравнения (2.34), удалось получить решение задачи для больших значений параметра А через решение бесконечной системы (2.35) в элементарных выражениях с любой степенью точности, при этом в формулах для контактных напряжений особенность явно выделена. Коэффициенты бесконечной системы также получены в элементарных выражениях. Об области применимости такого подхода к решению задачи будет сказано ниже.
Рассмотрим парное уравнение (2.37), эквивалентное уравнению (2.34), и получим его решение методом сведения к бесконечной системе линейных алгебраических уравнений с сингулярной матрицей [47]. В качестве решения последней возьмем главный член его асимптотики при малых А [64]. Таким образом, при малых значениях параметра А для искомых величин задачи получено два набора формул: (2.55), (2.56), (2.35) и (2.58), (2.59). Первый набор связан с решением бесконечной системы (2.35), (2.56), второй набор с этим не связан, но учитывает малость параметра ае. Об области применимости этих результатов сказано ниже.
Числовые примеры и анализ результатов. Исследуем численно безразмерные величины М = УЩвба3)- !, т {р) = {GSy ipa) (О р 1), (2.60) характеризующие соответственно связь между приложенным к штампу моментом и углом поворота штампа и контактные напряжения под штампом, при разных значениях параметров A = h/а и Я = R/а. При этом для вычисления величин М и т (г) будем использовать алгоритмы и формулы, полученные выше. Метод больших А позволяет с использованием ПК находить с любой степенью точности величины М и т(р) при А 1 и любых практически возможных R . Ограничение по А связано со сходимостью рядов типа (2.46). Бесконечную систему (2.35) - (2.36) будем решать методом урезания. Обозначим через щ число уравнений системы. Коэффициенты этой системы и величины (2.60) будем вычислять с точностью до членов порядка 0(Х П2) При этом щ и П2 будем выбирать такими, чтобы погрешность окончательных результатов не превышала заданного значения.
Плоские контактные задачи для четырехугольников
В декартовых координатах (х,у) рассмотрим изображенный на рис. 3.1 прямоугольник 0 у ft, — Ь х Ь. Пусть нижняя часть прямоугольника лежит без трения на жестком основании (задача Q\), либо закреплена (задача Q2). Далее для обеих задач будем предполагать, что на боковых гранях а; — Ъ отсутствует трение и нормальное перемещение, а в грань х = h внедряется на величину 6 штамп, форма подошвы которого описывается функцией f{x). Эти задачи и аналогичные им по постановке рассматривались и другими авторами (например, [2, 39, 69, 68, 73, 249, 90] и др.). Полученные формулы для контактных напряжений д(х) и жесткости PS Y позволяют провести качественный анализ их зависимости от безразмерного параметра /? = bh l. Из вида элементов матрицы и правой части бесконечной системы и формул (3.9) можно заключить, что при /3 — оо (3.11) = д0 + О(е 2В ь-а Л ), где г7т полюса функции А"(и), при чем Re 7m 0. В (3.11) величины qQo(x)1 QQ, SQ от параметра /3 = 6Л"1 не зависят. Анализируя теперь соотношения (3.8) и учитывая, что согласно (3.5) для задачи Q\ UQ ф О, а для задачи Qi no = 0, получим важный качественный вывод о влиянии параметра /3 на распределение контактных напряжений и жесткость прямоугольника, а именно: при увеличении параметра /3 его влияние затухает как 1//? для задачи Q\ и по экспоненциальному закону для задачи Qi. Проведен численный анализ влияния геометрических параметров и коэффициента Пуассона на д(х) и Р для задачи Q\. При вычислениях принималось j?L = 1.174, р2 = 2.208, 5i = 1.496, g2 = 1.732 и при этом погрешность аппроксимации функции (3.27) для задачи Q\ не превышает 2%. Формулы (3.14) выписаны с точностью до членов 0(A-2 V-2) и значение N выбирается в зависимости от заданной точности.
Как показали числовые эксперименты, сходимость метода (выбор значения N) не зависит от параметра /5 и улучшается с увеличением А. При этом решение можно получить с любой степенью точности при А 1. Важно отметить, что коэффициенты при степенях А-1 в суммах из (3.14) знакопеременны. Для получения заданной точности, например в 1 %, в (3.14) следует взять N = 3 при А = 2, N = 8 при А = 1.3, N = 17 при А = 1.2, N = 26 при А = 1.15. Предположим, что на гранях у = О, х = — 6, х = с отсутствуют касательные напряжения и нормальные перемещения, а в грань у = h на участке \х\ а вдавливается силой Р штамп на величину 8. Схема такой задачи изображена на рис. 3.4. Можно показать, что элементы матрицы и правой части бесконечной системы (3.33) убывают с ростом номеров по экспоненциальному закону при Ь а, с а, что говорит о том, что эта система относится к типу нормальных систем Пуанкаре-Коха и ее решение может быть получено методом редукции. Таким образом, контактные напряжения под штампом даются соотношениями (3.36), а связь между силой Р и перемещением штампа - соотношением (3.35), в которых хь, уь - решения бесконечной системы (3.33), а Чк{х) - решения интегральных уравнений (3.30). Заметим, что при численных расчетах интегралы (3.43), (3.45) вычислялись путем почленного интегрирования разложений Б ряд подынтегральных функций.
В этом разделе рассматривается плоская задача теории упругости Q$ о взаимодействии штампа с гранью прямоугольника, в котором создано однородное поле начальных напряжений. На смежных гранях прямоугольника заданы условия отсутствия нормальных перемещений и касательных напряжений, противоположная грань лежит без трения на жестком основании . Задача приведена к парному ряду-уравнению Щ по тригонометрическим функциям, для ЗІГ решения которого используется метод сведения его к бесконечной системе алгебра- —-ических уравнений с сингулярной матрицей. После регуляризации найдено реше ниє системы и проведен числовой анализ поставленной задачи в зависимости от различных параметров задачи.
Рассмотрим плоское упругое тело, занимающее в декартовых координатах прямоугольную область \х\ &, \у\ k. В теле имеется однородное поле начальных напряжений, создаваемое силами, приложенными к вертикальным кромкам х — ±6 и действующими в горизонтальном направлении. Грани прямоугольника х = ±6 находятся в условиях скользящей заделки. Это означает, что точки вертикальных граней могут скользить без трения вдоль прямых х — \Ь\У не отрываясь от них, В горизонтальные грани прямоугольника внедряются симметрично расположенные штампы ширины 2а, контактирующие с упругим телом без трения. Эта задача равносильна исходной задаче Q .
Был проведен расчет контактных давлений и жесткости системы "штамп - прямоугольник", характеризуемой величиной Р/5. Функции q(z) и Р вычислялись по формулам (3.66), (3.67), (3.68), в которых хп - решение системы линейных алгебраических уравнений вида (1.16), в которой значение JV выбиралось в зависимости от заданной точности. С увеличением параметра (Ь — a)/h для достижения заданной точности значение N уменьшается. Например, при (Ь — a)/h = 0.2 точность в 3% достигается при N = 40, а при (Ь — a)/h = 2, когда N = 10.
Контактные задачи для сектора сферического слоя, сферического слоя, усеченных шара и конуса
Рассмотрим некоторую каноническую систему координат (г, р) (рис. 5.1), в которой переменные в уравнении Ламе разделяются. Тогда существует счетный набор однородных решений для областей, ограниченных парами координатных кривых одного семейства. Известно [238] , что таких систем Координат конечное число и они связаны с группой симметрии уравнений Ламе.
Далее мы будем рассматривать задачи теории упругости только для двухмерных областей, хотя аналогичный подход может применяться для существенно трехмерных задач. Рассмотрим следующую задачу теории упругости. Пусть область, занимаемая телом, ограничена парой координатных кривых L L-i и двумя Достаточно гладкими произвольными кривыми C?i, С?2, которые назовем боковыми поверхностями (см. рис. 5.1). На кривых Li, L2 зададим смешанные граничные условия, а на кривых С\,&2 несмешанные. Группа симметрии уравнений Ла ме не очень велика, но тем не ме нее в предлагаемую схему вписыва ется достаточное количество инте ресных задач. В этой главе рассмот рены только три вида задач: анти плоские и плоские задачи для кри волинейной трапеции и осесиммет ричные задачи для тела вращения с плоскими основаниями и криволи- Рис. 5.1: нейными образующими. Аналогично могут быть рассмотрены смешанные задачи для частей полосы, кольца, шарового слоя, клина и конуса, полученных вырезанием при помощи достаточно произвольной образующей.
Решение поставленной задачи строим в виде суперпозиции однородных решений для полубесконечной области, ограниченной кривыми L\,L2, и некоторого неоднородного решения для этой области. Неоднородное решение выбирается так, чтобы выполнялись смешанные граничные условия на Li,L2- Используя произвол в выборе коэффициентов линейной комбинации однородных решений, удовлетворим краевым условиям на боковой поверхности.
Такой подход позволяет использовать хорошо разработанную теорию для полу бесконечных тел [96, 288]. Из граничных условий на поверхности L\,L2 получаем известное интегральное уравнение, для которого есть достаточное количество эффективных методов решения [288].
Если краевым условиям на боковой поверхности удовлетворять точно, то мы столкнемся с рядом проблем. Следы однородных решений на кривых отличных от координатных из-за экспоненциальных членов обладают гораздо худшими аппроксимационными свойствами, чем на координатных кривых. Поэтому невозможно известными способами [288] получить бесконечную систему приемлемого качества. Если же мы получим решение такой бесконечной системы, то остается открытым вопрос о сходимости полученных разложений. Ряд вопросов, связанных с суммируемостью разложений Такого рода, обсуждается в работах [56, 208, 381].
В силу вышеназванных трудностей краевые условия на боковой поверхности мы будем выполнять приближенно при помощи численных методов: Ко л локаций, наименьших квадратов и вариационных, используя первые N однородных решений. Аппроксимационные свойства следов однородных решений на кривых, отличных от координатных, ухудшаются с ростом iVT кроме того растут издержки на вычисление неоднородного решения. Известно также [56], что скорость сходимости наилучших приближений существенно выше скорости сходимости частных сумм рядов, поэтому целесообразно свести задачу удовлетворения условиям на боковой поверхности к задаче Чебышева о наилучшем приближении краевых условий линейной комбинацией однородных решений. Для численного решения задачи о наилучшем приближении мы будем использовать методы Ремеза [297, 295, 296, 299] первого и второго рода.
На неустойчивость по выбору точек обращали внимание авторы работ [9, 144], и др. Самый простой подход, заключающийся в равномерном расположении точек вдоль по кривой, в некотором смысле один из худших. Более рационально выбрать узлы коллокаций в нулях полиномов Чебыше-ва первого рода. Некоторые теоретические и эмпирические соображения в пользу такого выбора можно найти в [56, 395, 396]. В нашем случае метод приемлемо работает только для границ очень близких к координатным кривым и малом количестве точек коллокаций. С другой стороны, если необходимо быстро получить приближенное решение, преимущества его несомненны.
Похожие диссертации на Асимптотические и численно-аналитические методы в контактных задачах теории упругости
