Введение к работе
Актуальность. Теоремы о непрерывности вложения функциональных пространств , устанавливающие оценку нормы функции в одном пространстве через нормы этой же функции в других пространствах , широко применяются в математической физике, теории оптимального управления и др. Начиная с классических работ С. JL Соболева , выполненных в тридцатые годы двадцатого века , теоремы вложения становятся предметом глубоких математических исследований .одним из ведущих направлений современного анализа . Значительные результаты в этом направлении были получены О. В. Бесовым. , В, її. Ильиным , В. И. Кондрашовым , 1-Л.Лионсом , ДХЛитдвудом. ,С. М.. Никольским , М. О. Отелбаевыы, КФридрихсом , Г-.Харди и др . Среди математических проблем , возникающих в связи с теоремами вложения , отметим задачу практического нахождения нормы оператора вложения минимальной константы , входящей в неравенство, характеризующего непрерывность вложения пространств . Знание этой величины , в частности ,' позволяет получить более точные априорные оценки решения уравнений математической физики , применяемые при'их качественном и количественном исследовании . S ряде случаев для-этой задачи можно указать конструктивный способ решения . В частности , для нахозкдения константы вложения энергетического пространства линейного неограниченного оператора на некотором гильбертовом пространстве в само это пространство достаточно найти минимальное обобщенное собственное число оператора. Получаемое при этом неравенство Фрид-
- 4 -рихса характеризует вложение соответствующих пространств . Нахождение минимального собственного числа может осуществ-лятся с использованием вариационных методов . Таким образом может быть найдена норма оператора вложения пространств Соболева в пространство Lz() функций , интегрируемых с квадратом. Непосредственное распространение этой методики на банаховы пространства связано с существенными трудностями и не приводит к какой либо спектральной задаче. Возникает необходимость в разработке математического аппарата и численных методов для нахождения констант вложения банаховых пространств достаточно общего вида.
Цель работы Разработать общие вариационные методы нахождения констант вложения банаховых пространств. Доказать теоремы существования решения получаемых экстремальных задач . Установить для них необходимое условие экстремума на основе различных методов оптимизации . Провести качественные и количественные исследования получаемых при этом нелинейных уравнений математической физики . Найти консталты вложения , соответствующие теореме Соболева .. . ;
Установить влияние формы.и размеров областд а также показателя интегрируемости на значение константы вложения.
Задачи и методика исследования . Задача нахождения константы вложения относится к,теории функциональных пространств . Она сводится к задаче на безусловный экстремум невыпуклого функционала или к задаче минимизаций выпуклого функционала на некоторой сферической поверхности . В случае компактности вложения пространств разрешимость полученных задач может быть, установлена классическими методами . При отсутствии компактности вложения доказывается существование
- 5 -приближенного решения экстремальных задач на основе вариационного принципа Экланда .
Для исследования задач на безусловный экстремум получа
ются условия стационарности . Изопериметрические вариационные
задачи решаются с помощью бесконечномерного метода множите
лей Лагранжа или на основе метода минимизации функционалов
на гладком подмногообразии банахова пространства . Получен
ные таким образом необходимые условия экстремума представля
ют собой краевые задачи для нелинейных уравнений с частными
производными , допускающие неединственное решение . Для чис
ленного решения полученных краевых задач применяются различ
ные итерационные методы , -
Научная новизна . Предлагается общий способ отыскания констант вложения функциональных пространств ,, основанный на вариационных методах . Доказаны теоремы существования полученных вариационных задач . С помощью трех методов установлены необходимые условия экстремума соответствующих задач . Найдены значения констант Соболева в зависимости от формы и размеров области , а также показателя интегрируемости .
Практическая ценность. Найденные значения констант вложения конкретных функциональных пространств могут быть использованы для получения априорных оценок решения широкого класса задач математической физики при их качественном и количественном исследовании.
Апробация работы . Материалы диссертации докладывались и обсуждались на научных семинарах под руководством академика HAH РК А. Т. Лукьянова (Казахский национальный государственный университет им. Аль-Фараби ), профессора С. А. Айсагали-ева (Казахский национальный государственный университет
им. Аль-Фараби ) , профессора Е. Ы. Бидайбекова ( Алматинский государственный университет им. Абая ),кандидата физико-математических наук М. Т. Дженалиева ( Институт теоретической и прикладной математики НАН РК ) , доцента С. Я. Серовайского (Казахский национальный государственный университет им. Аль-Фараби ).
Публикации. Основные материалы диссертации опубликованы в,.трех работах /1/-/4/.
Осноннъэ положения , вшгасшыэ на задиту . Разработка общего вариационного метода нахождения констант вложения функциональных пространств. Доказательство разрешимости соответствующих экстремальных задач и обоснование необходимых условий экстремума для них . Практическое нахождение констант Соболева для ряда частных случаев . Установление характера зависимости констант Соболева от формы и размеров области и от показателя интегрируемости .
Структура и объем диссертации. Диссертация включает в себя .введение , три главы , выводы и список;литературы . В первой главе дается постановка задачи нахождения констант вложения которая сводится к исследованию.двух вариационных задач . Доказывается их разрешимость . Во второй главе различными методами устанавливаются необходимые условия экстремума . Численное решение получаемых задач и практическое нахождение констант вложения осуществляется в третьей главе .
