Введение к работе
Актуальность тгмч. Диссертационная работа посвящена построения и свойствам голоморфных интегральных многообразий и келинеііши проекторов в применении к решению задач оптимального управления.
Интегральные многообразия, объединяющие множество решений систем дифференциальных или разностных уравнений, используются при исследовании устойчивости движения, при расцеплении решений и понижении порядка названных систем, в задачах анализа и синтеза оптимального управления.
Идеи теории интегральных многообразий восходят к работам А.Пуанкаре, А.Н.Ляпунова, Ж.Адамара, 0.Перрона, Л.Боля. В работах А.Пуанкаре и А.Н.Ляпунова были разработаны качественные методы исследования свойств решений систем дифференциальных уравнений, использование которых не требовало полного -интегрирования исследуемых систем. С увеличением порядка рассматриваемых систем уравненил задачи качественного исследования значительно усложняются. Поэтому уже в работах А.Пуанкаре и А.М.Ляпунова стали разрабатываться новые методы, позволявшие понижать порядок исследуемых систем с помощью объединения в одно целое множества различных решений. Совокупность отих методоз получила впоследствии название теории интегральных многообразий. Эта теория далее была существенно развита в работах Н.Н.Боголюбова и Ю.А.Митропольского.
В дальнейшем идеи теории интегральных многообразий в нелинейной механике получили широкое развитие и обобщение и стали существенно использоваться для исследования сложных явлений, наблюдаемых в самых разнообразных динамических системах, в теории героскопов, в теоретической физике, в задаче устойчивости движения, при исследовании решений задач автоматического регулирования. Методы интегральных многообразий позволяют свести задачу высокой размерности к задаче более низкой размерности. В этом заключаются их основное значение при исследовании многомерных динамических систем.
Проблема анализа устойчивости движения различных физических систем, в том числе и систем управления, продолжает привлекать' к зебе внимание специалистов различных профилей и в силу отсутствия с настоящему времени ее полного решения продолжает оставаться од-юй из наиболее актуальных проблем в прикладной математике, меха-«ше и теории управления.
Решение задачи синтеза оптимального управления привело к необходимости построения и изучения свойстз голоморфных интегральных многообразий. В диссертации показано, что построение оптимальных регуляторов' может быть сведено к отыскании специальных интегральных многообразий решений некоторой вспомогательной динамической системы. Эти интегральные многообразия решений называются оптималь- ными.
3 работе разрабатываются конструктивные способы построения оптимальных интегральных многообразий с цельа применения их з теории автоматического управления, методы их численного построения, используемые для синтеза оптимального управления нелинейных динамических систем. В итоге теория интегральных многообразий получает новое важное применение к решению прикладных задач синтеза оптимальных регуляторов.
Развиваемая в диссертационной работе теория интегральных многообразий и ее применение в задачах устойчивости движения и синтеза оптимальных управлений непосредственно опирается на идеи, развитые в работах Н.Н.Боголюбоза, К.Г.Валеева, Ю.Л.Далецкого и М.Г.Крей-на, В.И.Зубова, Н.Н.Красовского, В.М.Кунцевича и М.М.Лычака, О.Б-.Лыковой, Ю.А.Ыитропольского, Ю.И.Неймарка, Ю.П.Петрова, В.А.Плис-са, Л.С.Понтрягина, В.Г.Больтянского, Р.В.Гамкрелидзе и Е.0.Мищенко, А.М.Самойленко, Л.Э. Эльсгольца, Л.С.Гноенского и Г.А.Каменского, а также Р.Беллмана, Р.Калмана, А.Хапаная, Док.Хейла и др.
Объект исследования. Основу диссертации составляет изложение теории обыкновенных дифференциальных, разностных и дифференциально-разностных уравнений. Уравнениями этих типов наиболее часто описывается поведение управляемых систем.
Объектами исследования являются: системы нелинейных дифференциальных и разностных уравнений с аналитическими правыми частями; системы дифференциальных и разностных уравнений в бесконечномерном пространстве; нелинейные сингулярно возмущенные системы дифферерен-циальных уравнений; непрерывные и дискретные системы управлений, управляемые системы с запаздыванием.
Цель работы. Целью работы является построение оптимальных интегральных многообразий решений для указанных классов нелинейных динамических систем, построение нелинейных проекторов решений, позволяющих производить расщепление многомерных динамических систем и их применение к решении задач оптимального управления.
Научная новизна. В диссертации решена научная проблема построения теории интегральных многообразии в применении к решению задач оптимального управления:
построена теория интегральных многообразий для систем дифференциальных и разностных уравнений с аналитическими правыми частями;
получены оценки радиуса сходимости-разложений нелинейных проекторов, определяющих оптимальные интегральные многообразия решений и позволяющих производить расщепление многомерчых динамических систем;
разработан общий принцип оптимального многообразия, который позволяет осуществить синтез оптимального управления для линейных и нелинейных нестационарных динамических систем;
найдена необходимые и достаточные условия оптимальности для линейной и нелинейной систем дифференциальных, разностных и дифференциально-разностных уравнений с постоянными и переменными ко-оффициентами, получены законы оптимального управления для этих уравнений;
разработаны конструктивные способы построения оптимальных интегральных многообразий и дано их применение при исследовании решений задач автоматического регулирования;
получены аналитические решения уравнения Беллмана.
Теоретическая и практическая ценность. Результаты, сформулированные в диссертации, имеют теоретическое и практическое значение и являются новыми. Они представляют собой дальнейшее развитие теории автоматического управления. Разработанные теоретические положения могут быть квалифицированы как новые крупные достижения в развитии теории автоматического управления. Полученные результаты могут быть использованы при построении методов решения прикладных задач: при исследовании вопросов устойчивости в различных задачах теории автоматического регулирования, для построения функций Ляпунова при исследовании колебаний в системах с распределенными параметрами, в теории дифференциальных, разностных и дифференциальных уравнений с запаздывающим аргументом, теории функций комплексного переменного, в функциональном анализе и вычислительной математике.
Апробация работы. Результаты диссертационной работы докл «щипались на семинарах отдела дифференциальных уравнений и отдела мл-
тематической физики и теории нелинейных колебаний Ин-та математики АН УССР, Ин-та кибернетики АН УССР (г.Киев); на научных семинарах кафедры высшей математики Киевского ин-та народного хозяйства; .на Всесоюзной конференции по теории и приложениям функционально-дифференциальных уравнений (г.Душанбе, 1977); на Всесоюзной конференции по нелинейным проблемам дифференциальных уравнений и математической физики (г.Тернополь, 1989); на Республиканской конференции по применению вычислительной техники и математических методов в научных и экономических исследованиях (г.Шацке, 1988); на Республиканской конференции по теории и приложениям дифференциальных уравнений (г.Душанбе, -1990); на научных семинарах кафедры функционального анализа и дифференциальных уравнений Таджикского госун-та; Ин~те математики АН Тадж.ССР; кафедре математического анализа Душанбинского педагогического ин-та.
Публикации. Основные результаты диссертационной работы опубликованы в работах[29-32, 170-186]. Результаты автора вошли также в монографию "Аналитические интегральные многообразия" - Душанбе: Дониш, 1991. - 340 с.
Структура и объем работы. Диссертационная работа изложена на 375 страницах машинописного текста и состоит из введения, четырех глав, выводов, приложений и списка литературы, содержащего 186 наименований.
