Содержание к диссертации
Введение
ГЛАВА I. Нелинейные проекторы решений систем дй«ренщальных уравнений с аналитическими правыми частями
I.I. О некоторых аналитических свойствах нелинейного оператора Грина 15
1.2. Некоторые аналитические свойства нелинейных проекторов 20
1.3. Построение нелинейных проекторов решений системы дифференциальных уравнений с аналитической правой частью 25
ГЛАВА II. Построение интегральных многообразий систем дашрендольных уравнений с аналитической правой частью ... 33
2.1. Основные понятия и формулировки проблемы по тео рии интегральных многообразий 33
2.2. Построение интегральных многообразий системы 'дифференциальных уравнений, содержащих малый параметр 40
2.3. Построение интегральных многообразий методом
ГЛАВА III. Принцип сведения в теории дошренциальных уравнений ... 60
3.1. О принципе сведений в теории дифференциальных уравнений 60
3.2. Некоторые свойства разрешающего оператора систем дифференциальных уравнений 64
3.3, Построение специального интегрального многообра зия решений с аналитической правой частью 69
3.4. Неокторые аналитические свойства односторонних нелинейных проекторов 77
ГЛАВА ІV. Аналитические свойства решения уравнения беллманаи оптимального управления ... 85
4.1. Необходимые и достаточные условия оптимальности для общей задачи динамического программного уп равления
4.2. Построение оптимальных интегральных многообразий систем дифференциальных уравнений с аналитической правой частью 90
4.3. Принцип оптимального многообразия для системы разностных уравнений с аналитической правой частью 100
Литература
- Некоторые аналитические свойства нелинейных проекторов
- Построение интегральных многообразий системы 'дифференциальных уравнений, содержащих малый параметр
- Некоторые свойства разрешающего оператора систем дифференциальных уравнений
- Построение оптимальных интегральных многообразий систем дифференциальных уравнений с аналитической правой частью
Введение к работе
Во многих областях естествознания широко используются нелинейные дифференциальные и разностные уравнения. Стремление к более точному математическому описанию физических явлений, как правило, приводит к усложнению уравнений и увеличению их порядка. Лишь немногие из нелинейных уравнений, описывающих реальные физические процессы, допускают точное решение. Так как очень часто требуется знать качественную картину "в целом" без нахождения самих решений, то изучение дифференциальных и разностных уравнений с этой точки зрения требует специальных качествен -ных методов исследования. С увеличением порядка рассматриваемых уравнений и усложнением их вида задача качественного исследования значительно усложняется.
Основы качественной теории дифференциальных уравнений были заложены А.Пуанкаре [105], а также исследованиями А.М.Ляпунова [70] об устойчивости движения. Значительные обобщения теории А.Пуанкаре были получены в работах Бендиксона [ 9 ] , Биркгофа [10], Брауэра, Дюлака, Янгеля. Для систем выше второго порядка расположение интегральных кривых на торе рассматривали Данжуа и Кнезер. Топологические методы Пуанкаре успешно применялись в работах А.А.Андронова и его учеников [2, 3], В.В.Немыцкого и В.В.Степанова [91] и во многих работах зарубежных авторов [57, 65, 108, 122, 126 ]. Использованию результатов качественной теории для решения различных вопросов механики и физики посвящены работы Л.И.Мандельштама [74], Н.Д.Папалекси [93], А.А.Андронова [2, 3] и их учеников. Среди аналитических методов широкое распространение получили методы малого параметра, связанные с именами Эйлера, Лагранжа, Пуассона.
Важной задачей качественного исследования дифференциальных уравнений является задача об устойчивости решений. Общую задачу об устойчивости движения в ее классической постановке разрешил А.М.Ляпунов [703. Для решения этой задачи Ляпунов предложил два метода. Первый метод состоит в построении общего решения в виде рядов, сходящихся при t* 0 .По виду решения устанавливается факт его устойчивости или неустойчивости. Второй метод приводит к отысканию функций, обладающих специальными свойствами. Рассматривая эти функции на решениях, можно сделать заключение об устойчивости этих решений. В основе второго метода Ляпунова лежат теоремы Ляпунова об устойчивости движения. Для исследования устойчивости в особых случаях А.М.Ляпунов использовал метод, по -лучивший в последствии название принципа сведения. В настоящее время этот метод определился как частный случай более общего метода интегральных многообразий, предложенного Н.Н.Боголюбовым [II] и развитого в работах Ю.А.Митропольского и его учеников [12, 14, 85, 86].
В 1961 году на Международном симпозиуме по нелинейным колебаниям, состоявшемся в г.Киеве, был представлен обзорный доклад Н.Н.Боголюбова и Ю.А.Митропольского, посвященный исследованию интегральных многообразий в нелинейной механике. Содержание этого доклада было опубликовано как в СССР [14], так и в США [15]. В нем излагалась общая идея метода интегральных многообразий в нелинейной механике, основные результаты, полученные рядом авторов в направлении развития и обобщения метода, а также были сформулированы возникающие здесь наиболее актуальные проблемы и намечены пути развития и обобщения метода.
Появление указанной работы, а также обзоров по теории ин- тегральных многообразий [16, 17, 80-82] оказало существенное влияние на дальнейшее развитие метода интегральных многообразий в нелинейной механике как в СССР, так и за рубежом (США., ЧССР, СРР). По намеченным в С14] наиболее актуальным проблемам появилось большое число работ. Метод интегральных многообразий был распространен на бесконечные системы уравнений, на различные классы уравнений, содержащих "малый" и "большой" параметр, на уравнения в функциональных пространствах, на системы уравнений с малым параметром при производных, систем с запаздыванием и др.
В настоящее время идеи метода интегральных многообразий в нелинейной механике получили широкое развитие и обобщение и стали существенно использоваться для исследования сложных явлений, наблюдаемых в самых разнообразных динамических системах, описываемых дифференциальными уравнениями, содержащими малый параметр. Метод интегральных многообразий в настоящее время является самостоятельным и эффективным направлением в теории дифференциальных уравнений, позволяющим получать не только качественные, но и количественные результаты при исследовании доста -точно сложных динамических систем.
После работ Н.Н.Боголюбова и Ю.А.Митропольского, начиная с 1957 года, теория интегральных многообразий получила свое развитие в работах учеников Ю.А.Митропольского: А.М.Самойленко [114-117], О.Б.Лыковой [67, 68] , В.И.Фодчука [120], а также других авторов как в СССР, так и за рубежом [131 - 145].
Кроме указанных работ, исследованию интегральных многообразий посвящены работы Ю.И.Неймарка, В.А.Плисса, Ю.Л.Далецкого, К.Г.Валеева и др.
Исследовав вначале проблему о существовании, единственности, зависимости от параметра и гладкости инвариантных поверхностей точечного отображения, Ю.И.Неймарк применил эти результаты для изучения аналогичного круга вопросов для интегральных многооб- разий дифференциальных уравнений. Им установлены условия существования и грубости тороидальной интегральной поверхности автономной системы дифференциальных уравнений. Результаты Ю.И.Неймарка и его учеников содержатся в работах [87, 88, 40-42].
Ряд результатов по теории инвариантных многообразий получен А.М.Самойленко. Так, им предложен новый подход к теории возмущения инвариантных тороидальных многообразий динамических систем, связанный с использованием функций Грина для линеаризованной задачи. Этот подход позволяет с общей точки зрения изложить теорию возмущения как гладких, так и недифференцируемых инвариантных многообразий динамических систем. Подробное изложение этих результатов содержится в работах LH3-II6].
Значительные результаты по теории инвариантных поверхностей принадлежат В.А.Плиссу [98-101] и другим советским авторам (см. [8, 31, 36, 43, 53, 54, 59, 123]).
Существенный вклад в теорию интегральных многообразий внес К.Г.Валеев [22-33]. Им созданы, в частности, конструктивные схемы построения интегральных многообразий для различных классов линейных и нелинейных систем, которые он в дальнейшем использовал для построения функции Ляпунова и нелинейных проекторов. Предложенные К.Г.Валеевым схемы построения интегральных многообразий , существенно использованы в диссертации.
Значительный вклад в развитие идей и методов теории интегральных многообразий и в применении их к исследованию проблемы возмущения для широкого класса нелинейных дифференциальных уравнений внесли многие зарубежные ученые: в США - С.Дилиберто [132], В.Кайнер [138], А.Келли [136], Н.Левинсон [139], В.Лауд [140] , М.Маркус [141], Р.Сакер [142], Г.Хаффорд [135], Дж.Хейл [134] , Н.Чейфи [131] и др.; в Японии - Т.Йоншзава"[145], М.Урабе [144]; в Чехословакии - Я.Курцвейль [1371, в Румынии - Халанай [133].
Как и в теории дифференциальных уравнений идеи метода интегральных многообразий широко используются в теории разностных уравнений. Приводим лишь краткий обзор работ по теории интег -ральных многообразий разностных уравнений, имеющих близкое отношение к диссертации*
В настоящее время разностные уравнения находят применение во многих разделах современной науки, в том числе в биологии, экономике, химии, строительной механике, технике, физике, в теории электрических цепей, в теории вероятностей. Уравнения в конечных разностях являются удобной математической моделью при описании дискретных динамических систем [89, 121, 124, 125]. К разностным уравнениям сводится приближенное решение начальных или граничных задач для дифференциальных уравнений [35, 1181. Интерес к изучению разностных уравнений повысился еще и в связи с интенсивным развитием ЭВМ и теории импульсных автоматических систем.
Широкое использование численных методов решения дифференциальных уравнений, в особенности метода конечных разностей, вызвало необходимость более детального изучения асимптотических свойств решений разностных уравнений.
Другой подход к качественной теории разностных уравнений связан с методом точечных отображений [90], при использовании которого основная трудность возникает из-за недостаточной изученности свойств решений разностных уравнений и отсутствия общих методов их решения.
Исследованием свойств решений разностных уравнений занимались многие математики. Наиболее общими приемами исследования решений является метод степенных и других рядов и особенно метод контурных интегралов, Лапласа, Эйлера, Фурье и др. Харктеристика состояния и проблем качественной теории разностных уравнений, а также обширная библиография имеются в работах Н.Е.Нормунда[143], И.М.Рапопорта [І06І, Я.В. Быкова, В.Г.Линенко [21], Д.И.Марты-нюка [75], А.А.Миролюбова, М.А.Солдатова [79], А.А.Самарского [112], А.Халаная, Д.Векслера [121] и др.
В работе [34] исследуется стремление к конечным пределам решений систем суммарно-разностных уравнений.
Периодические и квазипериодические решения разностных уравнений изучались в работах [I, 4, 46] и др.
Вопросы существования инвариантных торов систем разностных уравнений рассматривались в работах В.Я.Данилова, Ю.И.Неймарка, А.М.Самойленко, Д.И.Мартынюка [45, 87, 117] и др.
Наиболее близкое отношение к диссертации имеют работы К.Г.Валеева, А.Н.Тихонова, А.Д.Горбунова, в которых при исследовании решений обыкновенных дифференциальных уравнений использо -валась качественная теория разностных уравнений.
При исследовании устойчивости движения с помощью численных методов также существенен вопрос о понижении порядка системы разностных уравнений.
В связи с этими важными и актуальными вопросами являются вопросы исследования асимптотического поведения решений при разностных уравненияхи понижения порядка систем разностных уравнений.
Изучаемые в диссертации системы разностных уравнений можно называть, как и в работах [21, 34] , системами суммарно-разностных уравнений.
В дальнейшем изложении будем пользоваться понятием интегрального многообразия решений системы разностных уравнений вида Vi=KW' Кяіа*"к- *-«*' (Л) - II -
Определение . Множество точек «7 в пространстве переменных ,Х называется интегральным многообразием [33], если из условия (і , ХД& Э , следует, что все точки определяемые уравнением (0.1) с начальным условием t,-t , Л^ = X?, также принадлежат множеству # .
Интегральное многообразие решений иногда будем называть семейством решений.
А.Пуанкаре и А.М.Ляпунов, исследуя устойчивость движения, пришли к понятию устойчивости решений дифференциальных уравнений. Это понятие 0.Перрон перенес на решения разностных уравнений.
Развиваемая в диссертационной работе теории интегральных многообразий, непосредственно опирается на идеи, развитые в работах К.Г.Валеева [21 - 33].
Речь идет о разработке конструктивных способов построения интегральных многообразий с целью применения их для построения нелинейных проекторов, предназначенных для расщепления изучаемых многомерных систем нелинейных дифференциальных и разностных уравнений с аналитическими правыми частями.
Диссертационная работа посвящена построению нелинейных проекторов с аналитическими правыми частями с помощью интегральных многообразий для нелинейных дифференциальных и разностных уравнений в банаховом пространстве.
Целью работы является построение для указанных классов уравнений аналитических интегральных многообразий для обоснования методов построения нелинейных проекторов, а также получение оценок радиуса области сходимости полученных разложений интегральных многообразий и нелинейных проекторов.
Перейдем к изложению результатов, полученных в диссертации. Она состоит из введения;четырех глав.
Первая глава посвящена построению нелинейных проекторов решений дифференциальных уравнений с голоморфными правыми частями.
В I рассматривается нелинейный оператор Грина, изучены его свойства (в частности, аналитичность) и дано его применение для построения нелинейных проекторов.
В 2 строятся нелинейные проекторы с помощью нелинейного оператора Грина, изучаются их аналитические свойства, находится область их сходимости. Рассматриваемый метод иллюстрирован на примере.
В 3 изложен способ построения нелинейных проекторов, основанный на использовании результатов А.М.Ляпунова по интеграьным многообразиям [70].
Вторая глава посвящена построению интегральных многообразий систем дифференциальных уравнений, содержащих малый параметр, с аналитической правой частью в банаховом пространстве.
В I приведены основные понятия и формулировки проблемы по теории интегральных многообразий.
В 2 рассматривается система дифференциальных уравнений nt-го порядка, содержащая малый параметр /и . Используя результаты 1,2 гл. I, исследуются некоторые аналитические свойства интегральных многообразий и нелинейных проекторов, содержащих малый параметр. Формулируются условия существования проекторов и находится область их аналитичности. Рассматриваемый метод иллюстрирован на примере.
В 3 приведено построение интегральных многообразий методом малого параметра. Используя мажорантные ряды, указаны области сходимости нелинейных проекторов. Рассматриваемый метод иллюстрирован на примере. - ІЗ -
Третья глава посвящена принципу сведения в теории дифференциальных уравнений в банаховом пространстве и некоторым аналитическим свойством односторонних проекторов.
В I приведен краткий обзор работ по принципу сведения в теории дифференциальных уравнений.
В Z рассматриваются некоторые свойства разрешающего оператора системы дифференциальных уравнений с аналитической правой частью. Получены некоторые оценки для этого оператора.
В 3 доказывается принцип сведения локального характера с помощью построения аналитических интегральных многообразий и дана оценка радиуса голоморфности этих многообразий.
В 4 рассматриваются некоторые аналитические свойства односторонних нелинейных проекторов и находятся условия их существования.
Четвертая глава посвящена аналитическим свойствам решения уравнения Беллмана и уравнения оптимального управления.
В I приведен краткий обзор работ по теории оптимальных процессов. Приведены уже известные необходимые и достаточные условия оптимальности для общей задачи динамического программирования.
В 2 построены оптимальные интегральные многообразия решений. Сформулированы условия существования оптимальных интегральных многообразий и найдена область аналитичности этих многообразий.
В 3 описывается принцип оптимального многообразия для системы разностных уравнений с аналитическими правыми частями, который позволяет осуществить синтез оптимального управления для рассматриваемого класса систем. Сформулированы условия существования оптимальных интегральных многообразий и найдена их область анали- тичности для задачи синтеза оптимального управления.
Основные результаты диссертации опубликованы в работах [26, 27, 60 - 62] и докладывались на Республиканской конференции молодых ученых по качественной теории дифференциальных уравнений и уравнений математической физики (г.Душанбе, апрель 1982 г.), на научных семинарах кафедры функционального анализа и дифференциальных уравнений Таджикского госуниверситета (руков. доктор физ.-мат.наук, проф. В.Я.Стеценко), Институте математики АН Тадж.ССР (руков. доктор физ.-мат.наук, проф. Э.М.Мухамедиев), кафедры высшей математики Института народного хозяйства им.Д.С.Коротченко, г.Киев (руков. доктор физ.-мат.наук, проф, К.Г.Валеев), кафедры математического анализа Душанбинского госпединститута им.Т.Г.Шевченко, Институте математики АН УССР, г.Киев (руков. академик АН УССР Ю.А.Митропольский).
В заключение выражаю благодарность научному руководителю профессору Киму Галямовичу Валееву за постановку задачи и постоянное внимание к работе.
Некоторые аналитические свойства нелинейных проекторов
В этом параграфе, используя доказанное нами в І.І свойство аналитичности нелинейного оператора Грина H(t,T,X) , установлена аналитичность нелинейного проектора, введенного впервые в работе 33].
Из теоремы I.I вытекает, что при выполнении условий (ІЛЛІ) решение системы дифференциальных уравнений представимое формулой X.(і) = H (t,Z, X) Ct t), равномерно экспоненциально стремится к нулю при t—+ос , а решение, представимое формулой X2(i)=H(t, z:}X) (i t) , равномерно экспоненциально стремится к нулю при t -— - оо . Введем нелинейные операторы
(t,X) = H(ttO,t,X) , Р(і,Х) = -На-0,і,Х), Ь2.2) которые будем называть нелинейными проекторами. Из формулы (1,1.7) и (І.І.8) вытекает следующее тождество P(t,X) + P(t ) э X . (1.2.3) Векторные уравнения х( =J»( ,x), г --Pt(t, ) (1-2-4) можно рассматривать как параметрические уравнения интегральных многообразий G. , G решений с различным асимптотическим поведением при t —- ±
Из разложения (1.2.3) видно, что XeCi , если выполнено равенство Х=Р{а,Х) или P(t,X) = 0 (1.2.5) и - X е Q , если выполнено равенство X Р2 (М) или P{(t,X) = 0 . (1.2.6) Из равенств (1.2.5), (1.2.6) и аналитичности нелинейного оператора Грина в области Ъ1 (I.I.I2) вытекают следующие аналитические свойства нелинейных проекторов в этой области Pk(i,P(t,X)) = rt,X), Sk-0(k s), ftfi(k.s-U). i-2-7 где SI - символ Кронек ера.
Если система дифференциальных уравнений (I.2.I) является линейной, то эти свойства превращаются в известные свойства линейных проекторов (см., например, [33, 44]). При каждом значении X разложение (I.I.I0), где Х6 G{, Х2е еДинственно в СИЛУ теоремы I.I. Поэтому вектор X единственным образом представляется в виде (1.2.3), где РС,Х) є GJ , -Ра,Х)є . (1.2.8)
Уравнения, определяющие многообразие Gi , будут иметь вид =Р (М) (1.2.9) а уравнения, определяющие многообразие С , будут иметь вид - - rt,X). (I.2.I0) Интегральные многообразия G{ , ? могут пересекаться лишь по решению Х = 0 .Из (1.2.4) вытекает, что если X(t)- -0 пщ +, то , если ХМ —О при і- --оот
Окончательный вывод сформулируем в виде теоремы.
Теорема 1.2. Пусть выполнены все условия теоремы 1.2. Тогда в области (І.І.І2) существуют, нелинейные проекторы R(t,X) (fc= 1,2) , определяемые по формулам (1.2.2), голоморфно зависят от х.,х ., х - проекций вектора X и удовлетворяют условию
HPfc(t,X) (1 + 0)11X11 . (I.2.II) Последнее неравенство следует из формулы (I.I.I5) при i=t . Пусть у системы уравнений -7Г = А«)Х, - « , (I.2.I2) at существует интегральное многообразие размерности а решений, стремящихся к нулю при t +оо ,и интегральное многообразие раз мерности р = пг-а, решений,экспоненциально стремящихся к нулю при {—-о . Тогда и система нелинейных уравнений (І.2.І) будет иметь интегральное многообразие G-d решений, стремящихся к нулю при t- -hoo, имеющее размерность о , а также интегральное многообразие G2 решений, стремящихся к нулю при t- —, имеющее размерность о .
Замечание 1.2. При достаточно малых возмущениях правых частей системы дифференциальных уравнений (I.2.I) измерения интегральных многообразий G , &„ сохраняются. Замечание 1.3. Если правые части системы дифференциальных уравнений (I.2.I) не зависят от времени t (периодически зависят от времени, почти периодически зависят от времени t ), то и нелинейные проекторы R(ttK) (к = іч2)не зависят от времени (периодически зависят от времени, почти периодически зависят от времени).
Построение интегральных многообразий системы 'дифференциальных уравнений, содержащих малый параметр
Если вещественные части всех и-l рассматриваемых характеристических показателей отрицательны, многообразие Sj. обладает свойством притяжения всех близких к нему решений, т.е. если х= x(i) - любое решение уравнения (2.1.1), проходящее при некотором i = t0 через какую-либо точку области D- ,x( )ej)-, то для него при і tQ будут выполняться неравенства хШ P(t,Q(t),,)\ $ /)е / , (2.1.12) dO(i) -/ - } (2.1.13) С/б)е
Если все п-1 вещественные части положительны, то можно найти такое і - tQ , что x(t) ej)„ . (2Л.І4) 6. Если s рассматриваемых вещественных частей отрицатель ны, а остальные УЬ-І-S положительны, то в области 2 _ сущест вует s -мерное точечное многообразие Ш, такое, что из соотно о шения (V Ші0 (2.І.І5) вытекает экспоненциальное стремление к нулю выражения (2.1.12) при t - -оо , а из соотношений х(і) єі) , x(t)e. т. (2.1.16) до о вытекает справедливость соотношения (2.1.14) при некотором t{ tQ.
Таким образом, если хотя бы одна из вещественных частей рассматриваемых характеристических показателей положительна, многообразие 5 . неустойчиво. Любое,не принадлежащее к нему решение x(t) , для которого x(t ) лежит в области Ъ- и не находится на особом точечном многообразии WJ. низшей размёр ности, с течением времени покинет ($ $)
В последствии этот фундаментальный результат Н.Н.Боголюбова получил развитие в смысле расширения классов систем, для которых были исследованы интегральные многообразия в смысле углубления теории и в смысле применения, в частности, к теории устойчивости.
Большой вклад в теорию интегральных многообразий внес Ю.А.Митропольский [80 - 86], который по праву считается одним из создателей метода интегральных многообразий. В частности, Ю.А.Митропольский впервые построил теорию интегральных многообразий для уравнений с переменными коэффициентами [85]. du = a ct) + P( f а АО» at (2.1.17) dk — = нет аа,$,к,&).
Применив для исследования уравнений, описывающих поведение интегральных кривых на многообразии, метод усреднения, Ю.А.Митропольский изучил явление синхронизации, наблюдаемое в рассматриваемой нелинейной системе. На основе метода интегральных многообразий им было дано обоснование одночастотного метода для колебательных систем, описываемых нелинейными дифференциальными уравнениями с медленно меняющимися параметрами [85].
Существенный вклад в теорию интегральных многообразий внес К.Г.Валеев [24, 33] . Им созданы,в частности, конструктивные схемы построения интегральных многообразий для различных классов линейных и нелинейных систем, которые он в дальнейшем использовал для построения функций Ляпунова, и нелинейных проекторов, произ водящих расщепление рассматриваемых динамических систем. В работе [24] построены интегральные многообразия для нелинейной системы следующего вида: dx — = A(t)x + f(t,x)+pcp(ttx,f) , осе Bd , (2 I 19) -Ї-= Bit)у + (Jip(t,X,ty) , yeB2, dt где В , В - банаховы пространства, х - вектор измерения а, ; и - вектор измерения (т-а),
В данной главе диссертации метод, предложенный в работах [24, 33], применен для исследования интегральных многообразий некоторых классов систем нелинейных дифференциальных уравнений.
Построение интегральных многообразий систем дифференциальных уравнений, содержащих малый параметр
Представляет практический интерес рассмотрение нелинейных проекторов с аналитическими свойствами,относительно входящего в них малого параметра и .
В данном параграфе устанавливаются некоторые аналитические свойства нелинейных проекторов, зависящих от малого параметра и, изученных раннее в 2, 3 главы I. Сформулированы условия су -ществования таких проекторов и находится область их аналитичности.
Некоторые свойства разрешающего оператора систем дифференциальных уравнений
В данном параграфе доказывается принцип сведения локального характера с помощью построения аналитических интегральных многообразий. Установлены условия существования и сходимости интегральных многообразий и дана оценка радиуса голоморфности этих многообразий.
Рассмотрим систему диффренциальных уравнений (3.2.1), для которой выполнены условия (3.2.2)-(3.2.6).
Все решения системы (3.2.1) при фиксированном начальном значении У и произвольных значениях Х0 образуют интегральное многообразие. Обозначим это многообразие через СУ0)
Найдем условия, при которых интегральное многообразие в(У0) можно описать уравнением вида (3.3.1) Предположим, что оператор (, Х/),3, ) (см. (3.2.8)) известен. Тогда решение системы (3.2.1) сводится к интегрированию дифференциального уравнения Значения оператора R(t,XCU),yo ,//) определены, если известны значения функции X СС) при 0 4 t t.
Предполагая, что интегральное многообразие G(yo) можно., представить уравнением вида. (3.3.1), строим вспомогательное дифференциальное уравнение вида все решения которого удовлетворяют уравнению (3.3.2). В отличие от уравнения (3.3.2), для вычисления правой части уравнения (3.3.3) достаточно знать значение X(t) в момент t . При известном x(t) значение У находится по формуле (3.3.1). Уравнение (3.3.3) описывает систему (3.2.1) на интегральном многообразии (У ) .
Возможность сведения системы (3.2.1) к вспомогательному дифференциальному уравнению (3.3.3) зависит от существования интегрального многообразия, определяемого формулой (3.3.1). Если функция WtyХ,У0,{ ) существует, то Ш,Х,У0, )2 R(t,X(t),y0,{), (3-3 4) т X(V = P(T,t)K+ffp(,S)F(s,X(S),V(s,X(S)yy0,/u),(u)ds. (3.3.5) t Имеет место следующая теорема. Теорема 3.1. Если для системы дифференциальных . уравнений (3.2.1) выполнены условия (3.2.2), (3.2.3), (3.2.4), (3.2.6) и Q \( \ (JD , где j = ,0 \} Л, (3.3.б) где г = пгях. (А ,д) , то в некоторой области А(р) ( Р{ рУ) существует интегральное многообразие G(yQ ) , представимое уравнением (3.3.4), на котором лежат все решения системы (3.2.1), удовлетворяющие начальным условиям У = У0 при t = 0 . (3.3.7) - 71 Функция V(і,X ,/и) может быть найдена из равенства V(t,X,(t)= & Ул(і,Х)(и) . (3.3.8) п- Последовательность (3.3,8) равномерно сходится по t7X,/u в области 4(0.) . При условии (3.3.6) W t,% ( ) будут голоморфными относительно м и проекций вектора X в этой области. Доказательство . Для построения функций W(t,X ,У0,іі) используем метод последовательных приближений в форме, предложенной в 3 главы I.
Докажем теперь, что последовательность Ч іЬ,Х,іі) сходится при \и\ /U к функции WCt} X,LI) в области Л (р) . Пусть дЬ - множество непрерывных по t f X ,/J вектор-функций Z (t,X,/U) . Введем норму IIZ(t,X,(/)ll ssuplZa,X )le ), 0 \ Л. (3.3.19) t,Z Тогда множество ?2г с нормой (3.3.19) является банаховым пространством tib . Полагая в системе уравнений (3.2.8) прийдем к системе интегральных уравнений
Решение по методу последовательных приближений сходится в пространстве fy , если нелинейный оператор Z является оператором сжатия. Оценивая в области л (сО норму разности, получим при t 0 и Г = О
Последовательность . (ttX ,/J) сходится равномерно no t,X , при i к единственному ограниченному при всех t, X , /и решению У/И,Х, ) при выполнении условия (3.3.б). Более того, из условий (3.3.13), (3.3.15) и (3.3.18) вытекает, что 1\т II / а,0,(0 II =0 . (3.3.21) Следовательно, по теореме Вейерштрасса [39] в области д (р ) вектор-функция yS(t,X,L/) будет голоморфно зависеть от м, X при t 0 . Следствие 3.1. При I/Ul 0 оператор WCt.X, ) голоморфно зависит от /и и проекции вектора X и может быть представлен абсолютно сходящимся рядом по степеням параметра її и проекции вектора X в области А(р ) и члены этого ряда будут ограничены в этой области
Построение оптимальных интегральных многообразий систем дифференциальных уравнений с аналитической правой частью
Во многих областях естествознания широко используются нелинейные дифференциальные и разностные уравнения. Стремление к более точному математическому описанию физических явлений, как правило, приводит к усложнению уравнений и увеличению их порядка. Лишь немногие из нелинейных уравнений, описывающих реальные физические процессы, допускают точное решение. Так как очень часто требуется знать качественную картину "в целом" без нахождения самих решений, то изучение дифференциальных и разностных уравнений с этой точки зрения требует специальных качествен -ных методов исследования. С увеличением порядка рассматриваемых уравнений и усложнением их вида задача качественного исследования значительно усложняется.
Основы качественной теории дифференциальных уравнений были заложены А.Пуанкаре [105], а также исследованиями А.М.Ляпунова [70] об устойчивости движения. Значительные обобщения теории А.Пуанкаре были получены в работах Бендиксона [ 9 ] , Биркгофа [10], Брауэра, Дюлака, Янгеля. Для систем выше второго порядка расположение интегральных кривых на торе рассматривали Данжуа и Кнезер. Топологические методы Пуанкаре успешно применялись в работах А.А.Андронова и его учеников [2, 3], В.В.Немыцкого и В.В.Степанова [91] и во многих работах зарубежных авторов [57, 65, 108, 122, 126 ]. Использованию результатов качественной теории для решения различных вопросов механики и физики посвящены работы Л.И.Мандельштама [74], Н.Д.Папалекси [93], А.А.Андронова [2, 3] и их учеников. Среди аналитических методов широкое распространение получили методы малого параметра, связанные с именами Эйлера, Лагранжа, Пуассона.
Важной задачей качественного исследования дифференциальных уравнений является задача об устойчивости решений. Общую задачу об устойчивости движения в ее классической постановке разрешил А.М.Ляпунов [703. Для решения этой задачи Ляпунов предложил два метода. Первый метод состоит в построении общего решения в виде рядов, сходящихся при t 0 .По виду решения устанавливается факт его устойчивости или неустойчивости. Второй метод приводит к отысканию функций, обладающих специальными свойствами. Рассматривая эти функции на решениях, можно сделать заключение об устойчивости этих решений. В основе второго метода Ляпунова лежат теоремы Ляпунова об устойчивости движения. Для исследования устойчивости в особых случаях А.М.Ляпунов использовал метод, по -лучивший в последствии название принципа сведения. В настоящее время этот метод определился как частный случай более общего метода интегральных многообразий, предложенного Н.Н.Боголюбовым [II] и развитого в работах Ю.А.Митропольского и его учеников [12, 14, 85, 86].
В 1961 году на Международном симпозиуме по нелинейным колебаниям, состоявшемся в г.Киеве, был представлен обзорный доклад Н.Н.Боголюбова и Ю.А.Митропольского, посвященный исследованию интегральных многообразий в нелинейной механике. Содержание этого доклада было опубликовано как в СССР [14], так и в США [15]. В нем излагалась общая идея метода интегральных многообразий в нелинейной механике, основные результаты, полученные рядом авторов в направлении развития и обобщения метода, а также были сформулированы возникающие здесь наиболее актуальные проблемы и намечены пути развития и обобщения метода.
Появление указанной работы, а также обзоров по теории ин - 7 тегральных многообразий [16, 17, 80-82] оказало существенное влияние на дальнейшее развитие метода интегральных многообразий в нелинейной механике как в СССР, так и за рубежом (США., ЧССР, СРР). По намеченным в С14] наиболее актуальным проблемам появилось большое число работ. Метод интегральных многообразий был распространен на бесконечные системы уравнений, на различные классы уравнений, содержащих "малый" и "большой" параметр, на уравнения в функциональных пространствах, на системы уравнений с малым параметром при производных, систем с запаздыванием и др.
В настоящее время идеи метода интегральных многообразий в нелинейной механике получили широкое развитие и обобщение и стали существенно использоваться для исследования сложных явлений, наблюдаемых в самых разнообразных динамических системах, описываемых дифференциальными уравнениями, содержащими малый параметр. Метод интегральных многообразий в настоящее время является самостоятельным и эффективным направлением в теории дифференциальных уравнений, позволяющим получать не только качественные, но и количественные результаты при исследовании доста -точно сложных динамических систем.
После работ Н.Н.Боголюбова и Ю.А.Митропольского, начиная с 1957 года, теория интегральных многообразий получила свое развитие в работах учеников Ю.А.Митропольского: А.М.Самойленко [114-117], О.Б.Лыковой [67, 68] , В.И.Фодчука [120], а также других авторов как в СССР, так и за рубежом [131 - 145]. Кроме указанных работ, исследованию интегральных многообразий посвящены работы Ю.И.Неймарка, В.А.Плисса, Ю.Л.Далецкого, К.Г.Валеева и др.