Введение к работе
Актуальность темы. Теория интегральных многообразий своими идеями восходит к основополагающим работам А. Пуанкаре, А.М.Ляпунова, Ж.Адамара, О. Перрона, Л. Боля. В работах А. Пуанкаре и A.M. Ляпунова были разработаны качественные методы исследования свойств решений систем дифференциальных уравнений, использование которых не требовало полного интегрирования исследуемых систем. С увеличением порядка рассматриваемых систем уравнений, задачи качественного исследования значительно усложняются. Поэтому уже в работах А. Пуанкаре и А.М.Ляпунова стали разрабатываться новые методы, позволяющие понижать порядок исследуемых систем с помощью объединения в одно целое множество различных решений. Совокупность этих методов получила впоследствии название теории интегральных многообразий.
В дальнейшем идеи теории интегральных многообразий в нелинейной механике получили широкое развитие и обобщение, и стали существенно использоваться для исследования сложных явлений, наблюдаемых в самых разнообразных динамических системах, в теории гироскопов, в теоретической физике, в задаче устойчивости движения, при исследовании решений задач автоматического регулирования. Методы интегральных многообразий позволяют свести задачу высокой размерности к задаче более низкой размерности. В этом заключается их основное значение при исследовании многомерных динамических систем.
Существенный вклад в теорию интегральных многообразий внесли Н.Н. Боголюбов и Ю.А. Митропольский. Она получила свое развитие также в работах бывших советских исследователей К.Г. Валеева, Ю.Л. Далецкого, Ю.И. Неймарка, О.Б. Лыковой, В.А. Плисса, A.M. Самойлен-ко, В.И. Фодчука, а также в работах зарубежных математиков С. Дили-берто, В. Кайнера, Ал. Келли, Я. Курцвейля, А. Халаная, Дж. Хейля, Н.Чейфи и др.
Проблема анализа устойчивости движения различных физичес-ких систем, в том числе и асимптотическое поведение решений, продолжает оставаться одной из наиболее актуальных проблем в прикладной математике и её приложениях.
В диссертации разрабатываются конструктивные способы построения интегральных многообразий с целью исследования асимптотических поведений решений систем нелинейных дифференциальных и интегральных уравнений на этих многообразиях.
Развиваемые в данной диссертационной работе методы интегральных многообразий в теории дифференциальных и разностных уравнений опираются на идеи, предложенные в работах К.Г.Валеева.
Объектом исследования диссертационной работы являются нелинейные системы дифференциальных и разностных уравнений с аналитическими правыми частями, а именно;
-нелинейные неавтономные системы дифференциальных уравнений;
-нелинейные неавтономные системы дифференциальных уравнений, содержащие малый параметр;
-нелинейные системы разностных уравнений, содержащие малый параметр.
Цель работы. Целью работы является построение для указанных классов уравнений голоморфных интегральных многообразий, их обоснование, а также получение оценок радиуса сходимости полученных интегральных многообразий в виде степенных рядов и исследование асимптотического поведения решений названных систем на них.
Научная новизна:
-развита теория интегральных многообразий для систем дифференциальных и разностных уравнений с аналитическими правыми частями;
-обосновано применение интегральных многообразий, полученных в виде сходящихся рядов для описанных выше классов систем;
-исследована сходимость соответствующих разложений в виде степенных рядов и даны оценки их радиусов сходимости;
-дано применение полученных результатов при исследовании асимптотического поведения решений рассматриваемых многомерных систем (принцип сведения), указан способ применения интегрального многообразия в теории устойчивости движения.
Теоретическая и практическая ценность. Результаты, сформулированные в диссертации, имеют теоретическое и практическое значения и являются новыми. Они представляют собой дальнейшее развитие теории интегральных многообразий. Разработанные теоретические положения и конструктивные построения интегральных многообразий нелинейных систем дифференциальных и разностных уравнений могут быть квалифицированы как новые достижения в развитии теории интегральных многообразий. Полученные результаты могут быть использованы при построении методов решения прикладных задач, при исследовании вопросов устойчивости различных задачах теории автоматического регулирования, при построении нелинейных проекторов, позволяющих производить расщепление многомерных динамических систем, для построений функций Ляпунова, при исследовании устойчивости колебательных движений механической системы с распределенными параметрами, в теории дифференциальных, разностных и
дифференциальных уравнений с запаздывающим аргументом, теории функции комплексного переменного, в функциональном анализе и вычислительной математике.
Апробация работы. Основные результаты были доложены на Международной научно - практической конференции, посвященной 80 -летию со дня рождения одного из основателей Таджикского технического университета А. С. Сулейманова, Душанбе, 1998, Международной научной конференции, посвященной 60-летию Т. Собирова «Дифференциальные уравнения и их приложения», ТГНУ, Душанбе, 2000, Международной научно-практической конференции « 16 сессия Шурой Оли Республики Таджикистан (12- созыва) и ее историческая значимость в развитии науки и образования», ТТУ, Душанбе, 2002, на семинаре Института математики АН РТ, на научных семинарах кафедры функционального анализа и дифференциальных уравнений, кафедры теории функций и математического анализа, кафедры высшей математики Российско-Таджикского (Славянского) Университета, кафедры математического анализа Таджикского государственного педагогического университета имени С.Айни, кафедры высшей математики Таджикского технического университета имени академика М. С. Осими, кафедры высшей математики Института экономики Таджикистана.
Публикации. Основные результаты диссертации опубликованы в девяти научных статьях и тезисах, список которых приведен в конце автореферата. Постановки задач принадлежат научному руководителю Кур-баншоеву С.З., а формулировки задач и их доказательства принадлежат автору.
Объём и структура работы. Диссертация состоит из введения, трёх глав и списка литературы, содержащего 128 источников. Объём диссертации составляет 95 страниц машинописного текста.