Содержание к диссертации
Введение
Глава I. О погружении областей п -мерного пространства лобачевского в (2/w)-meph0e эвклидово пространство 35
I.. Лемма о голономности главных направлений на подмно гообразии отрицательной кривизны . 36
2. Координатная сеть линий кривизны на погруженной области пространства 39
3. Основная система погружения L в Е и локально аналитические погружения 44
4. Теоремы о грассмановом образе 47
5. Изучение основной системы погружений L вС . 57
6. Гиперболическое уравнение для коэффициентов; Лямэ . 60
7. Существование выпуклой функции Дарбу 62
8. Преобразование Бианки для области многомерного пространства Лобачевского 64
10. Изометрические погружения L вС, при которых линии кривизны одного семейства - геодезические; 74
II. Функционально вырожденные погружения 83
12. Локальные погружения L в Е с гиперплоским грассмановым образом 87
13. Основная система погружения L в Е с гиперплос ким грассмановым образом 98
14. Изометрические погружения L в Е и движение твердого тела с закрепленным центром масс в поле тяготения 107
15. О погружениях L в С с семейством вполне геодези ческих поверхностей кривизны 112
Глава II. О неустойчивости минимальной поверхности в п -мерном римановом пространстве положительной кривизны 119
I. Вторая вариация площади поверхности ...120
2. Сумма двух вторых вариаций 124
3 . Вариации, определяемые кручением поверхности «126
4. Доказательство теоремы о неустойчивости 131
5. Теорема об устойчивости .«. 137
Глава III. Внешни диаметр погруженного риманова многообразие 140
I. Оценка внешнего диаметра подмногообразия через модуль вектора средней кривизны 140
2. Оценка внешнего диаметра fl -мерного подмногообразия в (2К1-3 )-мерном эвклидовом пространстве через объекты внутренней геометрии 147
3. Оценка внешнего диаметра геодезического круга на поверхности отрицательной кривизны в Е 151
4. Оценка внешнего диаметра гиперповерхности эвклидова пространства через объекты её внутренней геометрии..» 158
5. О неограниченности минимальной поверхности в римановом пространстве неположительной кривизны I'О
Глава ІV. О двумерных поверхностях в четырехмерном эвклидовом пространстве 179
1. О грассмановом образе двумерной поверхности в четырехмерном эвклидовом пространстве 2. Определение поверхности в 4-мерном эвклидовом пространстве по её грассманову образу
9 3. О погружениях L в П с h полями главных направлений 214
4. О погружениях областей L в с нулевым гауссовым кручением 220
Литература
- Координатная сеть линий кривизны на погруженной области пространства
- . Вариации, определяемые кручением поверхности
- Оценка внешнего диаметра fl -мерного подмногообразия в (2К1-3 )-мерном эвклидовом пространстве через объекты внутренней геометрии
- Определение поверхности в 4-мерном эвклидовом пространстве по её грассманову образу
Введение к работе
Актуальность темы. Классическая теория поверхностей содержит в себе многие геометрические идеи, получившие в дальнейшем глубокое развитие. Одна из них - идея о внутренней геометрии поверхности при многомерном обобщении привела к чрезвычайно стройной и глубокой теории римановой геометрии. Другим направлением обобщения теории поверхностей может рассматриваться, на наш взгляд, геометрия погруженных многообразий, касающаяся в основном свойств поведения погруженных многообразий в пространстве.
В последние годы интерес к геометрии погруженных многообразий значительно вырос. На эту тему появилось много работ, причем в них, наряду с локальными вопросами, начали исследоваться вопросы геометрии в целом, которые раньше ставились лишь для поверхностей в трехмерном пространстве.
Развитие геометрии погруженных многообразий стимулируется и тем важным обстоятельством, что некоторые задачи теоретической физики и механики формулируются на языке погруженных многообразий и для их решения используются многомерные пространства и многомерные погруженные многообразия.
Ранее были получены интересные результаты в теории погруженных многообразий в работах Жанэ, Э. Картана, Бурстина, Аллендорфера и других. Однако долгое время эта теория оставалась в тени. Интенсивное развитие геометрии происходило в области римановой геометрии и в теории двумерных поверхностей в трехмерном эвклидовом пространстве. Это развитие индуцировалось прикладными вопросами, сопровождалось построением многочисленных примеров поверхностей, выделением классов поверхностей и пространств. В геометрической теории погруженных многообразий интересные примеры, которые бы использовали специфику коразмерности большей единицы в общем, немногочисленны. Между тем построение примеров весьма важно для развития геометрических представлений. Многомерные геометрические конструкции, возникающие при погружении многообразий, являются полезным аппаратом в некоторых вопросах механики и теоретической физики Один из способов построения примеров дает теорияі изометрических погружений. Этой важной и трудной теории было уделено много внимания. Еще в 1916 г. Г. Вейлем была поставлена и принципиально решена задача о реализации метрики положительной кривизны, заданной на двумерной сфере, в виде метрики на поверхности трехмерного эвклидова пространства. Для аналитических метрик полное решение этой проблемы было дано Г. Леви. Принципиально новое решение проблемы Г. Вейля для общих метрик было дано А.Д. Александровым,С1].
А.В. Погорелов рассмотрел проблему изометрического погружения двумерной метрики в трехмерное риманово пространство. Он доказал, что для данного риманова пространства И с регулярной метрикой существует постоянная П% , зависящая только от кривизны пространства, такая что всякое двумерное замкнутое риманово многообразие г1 с регулярной метрикой и кривизной большей Kjq допускает изометрическое погружение в R в виде регулярной замкнутой поверхности, Г2"] .
Важные результаты по теории изометрических погружений были в [3] получены и для поверхностей отрицательной кривизны. Н.В. Ефимовым было доказано, что не существует регулярное изометрическое погру-жение в с полного многообразия с двумерной метрикой, кривизна которого меньше некоторой отрицательной постоянной. Это утверждение является обобщением теоремы Д. Гильберта о поверхностях отрицательной кривизны. С другой стороны Э.Г. Лозняком была доказана возможность изометрического погружения в трехмерное эвклидово пространство любого геодезического круга с регулярной класса L метрикой строго отрицательной кривизны. Доказана также возможность реализации любого геодезического круга без сопряженных точек для аналитических метрик, вообще говоря, переменной кривизны, LН-5] .
Рассматривались также вопросы реализации римановых метрик в других римановых пространствах. Общая теорема о возможности изометрического погружения риманова многообразия произвольной размерности ґі в эвклидово пространство достаточно большой размерности /V(n) была доказана Дж. Нэшем С 61 .
Для двумерной метрики, заданной на плоскости, Э.Г. Позняк доказал возможность изометрического погружения любой ее компактной части в виде поверхности в 4-мерном эвклидовом пространстве. Однако еще остаются многие трудные вопросы, которые требуют развития геометрических представлений о свойствах погруженных многообразий .
Цель диссертации - Построение теории изометрических погружений областей П -мерного пространства Лобачевского в (&УІ-І )-мерное эвклидово пространство и установление связи этой теории с задачами механики и теоретической физики.
Исследование явления неустойчивости минимальных погружений замкнутых поверхностей в римановом пространстве положительной кривизны.
Получение общих оценок внешнего диаметра погруженных многообразий.
Развитие новых геометрических представлений, связанных с грас-смановым образом многообразия погруженного в эвклидово пространство.
Научная новизна, теоретическая и практическая ценность» Все основные, полученные в диссертации результаты, являются новыми.
В диссертации получена основная система уравнений погружения ft -мерного пространства Лобачевского в (Яп-! )-мерное эвклидово пространство, являющаяся естественным обобщением уравнения исинус Гордона", и установлены классы решений этой системы, найдены связи этой системы с системой уравнений Кирхгофа, известной в теории движения твердого тела в поле тяготения, получены принципиально новые теоремы о грассмановом образе. Многомерное и естественное обобщение уравнения нсинус Гордона" может быть полезно при построении моделей нелинейных физических полей высокой размерности. Некоторые полученные теоремы могут оказаться полезными при построении качественной теории движения твердого тела с закрепленной точкой. Доказан ряд общих и сильных теорем, являющихся принципиально новыми о неустойчивости минимальных погружений сферы в риманово пространство. Тем самым дано решение для двумерной сферы проблемы о неустойчивости, поставленной Саймоксом и Лавсоном. для минимальных потоков в полном односвязном пространстве с і-защемленной кривизной, см.С?]. Найдены оценки снизу для важной геометрической характеристики произвольного погруженного многообразия - его внешнего диаметра и доказан ряд теорем о неограниченности многообразия в пространстве, связанных с проблемой Є.С. Черна, см. С 81. Поставлена общая задача о восстановлении погруженного многообразия по его грассманову образу. Дано локальное решение этой задачи для двумерной поверхности в четырехмерном эвклидовом пространстве Полученные в диссертации результаты представляют теоретический интерес и могут быть полезны в дальнейших исследованиях по геометрии в нцелом", в теоретической физике и механике. Отдельные параграфы диссертации могут быть использованы при чтении спецкурсов.
Апробация, Изложенные в диссертации результаты докладывались на харьковском общегородском семинаре по геометрии в ХГУ под руководством академика А«В. Погорелова, на семинаре по геометрии в ицелом" в МГУ под руководством члена-корр. АН СССР профессора Н.В. Ефимова и профессора Э.Г. Позняка, на семинаре по геометрии в МТУ под руководством профессора П.К. Рашевского, на семинаре по геометрии в ЛГУ под руководством профессора В.А. Залгаллера и доктора физ.-мат. наук Ю.Д. Бураго, на семинаре по геометрии в ЛГПИ им А.И. Герцена под руководством профессора АЛ. Вернера, на семинаре по геометрии в Таганрогском педагогическом институте под руководством профессора В.Т. Фоменко, а также на общесоюзных и республиканских конференциях по геометрии в Вильнюсе в 1975 г», в Казани в 1976 г., в Симферополе в 1980 г., на советско-венгерском симпозиуме по дифференциальным уравнениям, геометрии и топологии в Новосибирске в 1981 г. и на симпозиуме по геометрии в целом и основаниям теории относительности в Новосибирске в 1982 г. По полученным автором результатам в 1979 г, им был прочитан цикл лекций в семестре по дифференциальной геометрии в международном математическом центре им. С. Банаха в Варшаве.
Два последних параграфа посвящены вопросу изометрического по-гружения области из L в с с п полями: главных направлений, в частности погружениям области L в Е с нулевым гауссовым кручением. Подход, который мы используем, тесно связан с результатами первой главы, особенно с результатами § 3 и § 15. Система погружения L в Е с нулевым гауссовым кручением очень напоминает систему погружения L в С с семейством вполне геодезических поверхностей кривизны, но содержит на два уравнения меньше. Её можно представить, как систему двух дифференциальных уравнений второго порядка для двух функций OJ и 0 .
Мы находим классы решений этой системы.
С чувством глубокой благодарности я вспоминаю очень полезные советы и замечания по моим работам, поддержку в проведении геометрических исследований со стороны моего) учителя. Н.В. Ефимова.
Выражаю глубокую благодарность за очень полезные советы академику А.В. Погорелову, профессору Э.Г. Позняку, своим коллегам, и также участникам семинаров по геометрии «в целом" в ХГУ и МГУ.
Координатная сеть линий кривизны на погруженной области пространства
Теорема ІІЛ. Каждое решение системы погружения L в С с гиперплоским грассмановым образом общего вида определено и ана-литично над всем пространством параметров Однако при этом функции Н могут обращаться в ноль и даже менять знак.
Основную систему погружения можно преобразовать к системе с двумя независимыми переменными трехмерные векторы, компоненты которых выражаются через Hi и и і . Мы доказываем, что условие интегрируемости этой системы выполнено и её решение определяется, заданием постоянных. т.е. когда грассманов образ лежит в единичной сфере S с центром в начале координат, подсистема (fO ) преобразуется к виду постоянные числа. При 0 с точно стью до обозначений это есть система уравнений движений твердого тела вокруг его центра масс в центральном поле тяготения, Г f 81 стр. 278 . Каждому движению твердого тела с неравными моментами инерции \лі с неподвижной точкой - центром масс в центральном поле тяготения можно сопоставить некоторое изометрическое погруже / з с5" ние области L в t с гиперплоским грассмановым образом общего вида. Наоборот, если известно погружение области L в С указанного вида и 0 , то взятые вдоль некоторых прямых (в координатах Ui ) на погруженной области векторы Н и F. являются соответственно единичным ортом в пространстве, в котором происхо-т дит движение тела, с координатами Ні по отношению к связанной с телом подвижной системе координат, и вектором мгновенной угловой скорости тела. В качестве времени берется Г " з Четыре первых квадратичных интеграла, о которых идет речь в теореме при- о —О являются линейными комбинациями известных в механике четырех первых интегралов, см. С 181 . В частности интеграл (Н &) Cotobt известен в механике как интеграл площадей. Но у нас эти интегралы относятся к более широкой системе.
Установленная связь теории изометрических погружений пространства постоянной кривизны с задачей механики с одной стороны показывает естественность основной системы погружения (3), с другой стороны открывает, на наш взгляд, некоторые новые возможности для качественного описания движения твердого тела, в частности для исследования инвариантных многообразий, определяемых первыми интегралами .
Эта связь позволяет применить развитые в механике методы для построения решений системы погружений. Например, мы используем построенные Стекловым решения системы уравнений движения твердого тела для нахождения решений системы погружений L в с .
Интересным является вопрос о существовании особых точек погружения полного пространства L . Мы доказываем, что если Г лежит в единичной сфере о , погружение относится к общему виду и первый интеграл площадей равен нулю, то погружение полного простран I з rS ства и в с имеет особенности. Эта теорема означает, что на инвариантном многообразии с найдутся точки,в которых одно из п обращается в ноль.
К особому типу погружений относятся погружения с семейством вполне геодезических поверхностей кривизны. И в этом случае / o с центром в начале координат. Локальные погружения такого вида существуют с произволом в две функции одного аргумента и некоторого числа постоянных.
Не существует регулярного класса С изо-метрического погружения полного L в Е с семейством вполне геогг дезических поверхностей кривизны.
Множество известных погружений областей L в и. можно расширить с помощью многомерного аналога преобразования Бианки. Это преобразование определяется следующим образом. Пусть линейный элемент L записан в виде и пусть X x(41t..., 4 ) - радиус-вектор погруженной области. Тогда подмногообразию L с радиус-вектором х поставим в 7-/1 — Л 2х соответствие подмногообразие L с радиус-вектором Xs Х- тггг . Имеет место Теорема б. і. Преобразование Бианки переводит п, -мер-ное подмногообразие постоянной отрицательной кривизны в Г в подмногообразие той же постоянной отрицательной кривизны.
Вторая глава диссертации посвящена исследованию явления неустойчивости минимальной поверхности в А -мерном римановом пространстве. Под минимальной поверхностью понимается регулярная поверхность с нулевым вектором средней кривизны: Н=0. Это условие является необходимым условием для того, чтобы любая область на поверхности давала минимум площади среди всех поверхностей с закрепленным граничным контуром. Однако, существуют минимальные поверхности, которые на самом деле не дают минимума площади среди близких к ним. Такие поверхности называют неустойчивыми. Для минимальных поверхностей в трехмерном эвклидовом пространстве явление неустойчивости рассматривал еще Г «А. Шварц в 19 веке, который определил условия устойчивости области на минимальной поверхности и построил ряд примеров. Г.А. Шварцем было показано, что если гауссово отображение минимальной поверхности F из Е на сферу о взаимнооднозначно с образом и область Ф из р такая, что ее сферический образ содержится на полусфере, то область ) - устойчива. Из недавних результатов отметим результат де Кармо и
Если площадь сферического образа области минимальной поверх-ности в с строго меньше ZTT , ТО область устойчива. С другой стороны, де Кармо и С.К, Пенгом в Г 1 было доказано, что полная устойчивая минимальная поверхность в Е является плоскостью. Эта теорема является одним из вариантов обобщения теоремы С.Н. Бернштейна о минимальной поверхности над всей плоскостью. В работе CZ51 А В. Погорелов дал новые достаточные условия для того, чтобы односвязная минимальная поверхность была неустойчива. Из этих условий довольно просто в односвязном случае вытекает сформулированная выше теорема де Кармо и С.К. Пенга.
Рассматривались минимальные подмногообразия и в римановом пространстве. Саймонсом была доказана неустойчивость замкнутых минимальных гиперповерхностей в римановом пространстве положительной кривизны и неустойчивость замкнутых минимальных подмногообразий сферы Г 26].
. Вариации, определяемые кручением поверхности
В заключение рассмотрим вопрос: возможны ли регулярные погружения полного пространства L в Е с семейством вполне геодезических поверхностей кривизны? Ответ на него дает теорема
Теорема 13. і . Не существует регулярного класса С изометрического погружения всего пространства Лобачевского в Е с семейством вполне геодезических поверхностей кривизны.
Для доказательства используем уравнение (3). Правая часть этого уравнения имеет вид ZЛ knZ% , где А і . Далее доказательство проведем также, как доказательство теоремы Гильберта і в Е . На поверхности Mt=Cenjt введем координаты р и Q , положим р + -Уг. $ Р Я-Щ Тогда уравнение (3) перепишется в виде интегрируя которое по координатному четырехугольнику /7 :р,р рг, Cjf Q Qz , мы получим где (/7) - площадь прямоугольника П . Если погружение всюду регулярно, то OCy.Cj.. Поэтому Z Ь(Л) 7Г .. Но так-как поверхность X4-i= bsvJit является плоскостью L , то при неограниченном увеличении размеров прямоугольника П.- его площадь — сю Полученное противоречие доказывает теорему.
Минимальную поверхность, не дающую минимум площади среди близких к ней с той же границей, называют неустойчивой. В этой главе доказывается следующая
Теорема І. С . Пусть г - минимальная поверхность,гомеоморф-ная сфере, в полном односвязном ориентиaруемом римановом пространстве К , кривизна которого лежит в интервале (тг ІЛ . Тогда г - неустойчивая минимальная поверхность.
Иначе говоря, не существует устойчивого минимального погружения двумерной сферы в полное ориентируемое односвязное риманово пространство гг , кривизна которого лежит в интервале ( ji] .
Теорема i. Z. остается справедливой, если условие полноты и односвязности пространства К заменить условием тривиальности нормального пучка г . Если же М я 4, то имеет место более сильное утверждение.
Теорема Z. 2 . Пусть г - минимальная поверхность, гомеоморф-ная сфере, в ориентируемом римановом пространстве п , кривизна которого из интервала ( , 1 ] Тогда F - неустойчивая поверхность.
В случае локально конформно плоских пространств ограничение на кривизну пространства может быть ослаблено до условия ее положительности. Именно: не существует устойчивого минимального погружения двумерной сферы с тривиальным нормальным пучком в локально конформно плоское ориентируемое пространство R положительной кривизны.
В книге В. Бляшке [56] дается вывод формулы для второй вариации площади минимальной поверхности в трехмерном евклидовом пространстве Е при условии, что варьирование происходит по нормалям к поверхности, и при условии закрепления границы Г. Более общую формулу можно установить, если допустить, что при варьировании граница Г может перемещаться по некоторой поверхности Т . Для упрощения записи будем считать, что каждая точка Х Г перемещается по Т ортогонально к Г . Во внутренних точках это перемещение, вообще говоря, произвольно. Если записать варьирование: радиус-вектора области Юс Г в виде где X(u,v) - радиус-вектор поверхности г , Х, - касательный и - нормальный векторы, Р и ҐІ - дифференцируемые функции такие, что р = /7 =0 при t=0 , и положить 8-тг при t-0 , то для второй вариации имеет место формула
Здесь К - гауссова кривизна минимальной поверхности, feH - нормальная кривизна поверхности Т $ по которой происходит смещение в направлении, ортогональном Г , причем в качестве нормали к Т в точках Г берется нормаль к Г на поверхности F » внешняя, по отношению к области ) «
Для вариации с закрепленной границей / контурный интеграл равен нулю. Так как для минимальной поверхности первая и третья квадратичные формы связаны соотношением ]Ц = - КI » то выраже - 121 ниє для второй вариации можно записать в этом случае так: где б(си - элемент площади сферического образа, сь-цг - оператор Бельтрами на единичной сфере, лу-/рг) - образ области при сферическом отображении. Таким образом, устойчивость минимальной поверхности с закрепленной границей полностью определяется ее сферическим образом.
Исходя из указанной формулы, Г.А. Шварц сделал заключение.: для того чтобы минимальная поверхность в Е имела площадь,меньшую, чем близкие поверхности с той же границей, необходимо, чтобы все собственные значения краевой задачи удовлетворяли; неравенству и достаточно, чтобы мерном римано вом пространстве Д формула для второй вариации -мерной площади- при закрепленной границе установлена А. Душеком Г35].
Пусть Xі - координаты в д и X -X (udlT) - семейство поверхностей, зависящее от параметра t , такое, что при t-0 получим минимальное подмногообразие г . Пусть QLK - метри ческий тензор Д и Y&& - метрический тензор F .
Оценка внешнего диаметра fl -мерного подмногообразия в (2К1-3 )-мерном эвклидовом пространстве через объекты внутренней геометрии
Мы установим общую оценку снизу для радиуса шара, содержащего полное регулярное риманово многообразие г в евклидовом пространства Е , /V n . Обозначим через г/ вектор средней кривизны.
Оценки (I) и (2) вытекают из более общей оценки для области с внутренним радиусом . Поведение функции при Z - со существенно различное при я 2 и Оценки не зависят от коразмерности. Заметим, что если коразмер - 141 ность велика, то никакое внутреннее условие само по себе не может обеспечить такую оценку. Действительно, по теореме Дж. Нэша любое достаточно регулярное риманово многообразие г имеет регулярное изометричное вложение в, любой малый шар евклидова пространства достаточно большой размерности, зависящей только от И Поэтому условие на Н существенно при большой разности /У- п .
Как легко видеть, полное минимальное многообразие в С некомпактно. Многие известные полные минимальные поверхности в Е He-ограничены в Е . В связи с этим в обзорной статье ГЪ \ С.С. Черн поставил общий вопрос: будет ли неограниченным в пространстве полное минимальное многообразие евклидова пространства? Из теорем I и 2 вытекает с Е с ограни ченной снизу гауссовой кривизной неограничена в Е . Полное мир/У нимальное многообразие в с с кривизной Риччи, стремящейся к нулю на бесконечности во внутреннем смысле, неограничено в Е Если полная минимальная поверхность г с: " обладает тем свойством, что существует 0 такое, что для любой точки 0& г геодезический круг радиуса с центром в О одно значно проектируется на касательную плоскость в точке 0 , то поверхность F неограничена в Е . Действительно, из неравен ства Хайнца-Хопфа-Осеермана 59] (стр. 116) для гауссовой кривиз ны /КЇ0) .?" С /г (С - абсолютная постоянная) следует, что К ограничен на F .
Вместо условия полноты в этих утверждениях можно предполагать, что г , быть может с границей, имеет бесконечный внутренний радиус.
Метод, используемый нами, позволяет устанавливать также неограниченность строго субгармонических функций на многообразии.
Теорема З.З.Пуеть г - полное риманово многообразие с неотрицательной кривизной Риччи и у - строго субгармоническая функция: Vzy }rn 0 , nt=C0K4t , Тогда. /у / неограничен. В любой области с внутренним радиусом 1 колебание функции не меаыпе И1 с Если г имеат ограниченную снизу гауссову кривизну, то /у/ не ограничен. Доказательство оценок (I) и (2). Пусть X - радиус-вектор F и Р= X /2 . Имеет место уравнение где V2 - оператор Лапласа-Бельтрами. Действительно, для кова-риантных производных имеем: причем - метрика вторая квадратичная форма для нормального вектора 6 4 ІГ", N - У) . Поэтому %f = f,{j $ = П + (Lcj дЧ, X) = n + И-СН x). В частности, для минимального многообразия Р= Л . Пусть г лежит в шаре радиуса К- . Поместим начало координат в центр этого шара, тогда с К /2 . Если F компактно, то в точке максимума Р что и доказывает (I) и (2). Поэтому будем считать далее., что г некомпактное и 1 HQR-M0 О . Следовательно, Р /7 W0. - 143 Поясним идею оценок на случае л = Z . Введем новую метрику где JU - положительная постоянная, выбор которой сделаем ниже. По условию (д4 имеет гауссову кривизну где d -некоторая постоянная. Тогда для гауссовой кривизны / метрики имеем Kff = Є/Р( НС +/»fy ) -о1 + Z mj (5) при условии, что с W0/K & . Пусть Л) - область на Г с внутренним радиусом Z и точка 0 наиболее удаленная в метрике cUz от границы области, т.е. расстояние от 0 до границы области равно внутреннему радиусу . Пусть Г - кратчайшая в метрике ci(Jz , идущая от 0 до границы области. Для ее длины і_с в метрике (лСг имеем
Рассмотрим теперь многообразие г с с , А7 3 Обозна чим через 6Г длину дуги кратчайшей / в метрике СІ б , от считываемой от 0, и положим . ПуСТЬ І1 , . . у Г А7 / ортонормированные параллельно переносимые вдоль /" поля векто- ров, ортогональные к Г . Рассмотрим сумму вторых производных вариаций функции действия д і Сем. Г 01, стр;. 116), положив в качестве варьирующих полей Wt = &ктгс г± t і e 1,.. ., И-1 П -/( TTt/ n-DTT1- Lfo- « } # , (9) о где rUc - кривизна Риччи метрики dcz в направлении кривой / Интеграл взят по Г Тензор Риччи Kt- метрики oUl связан с тензором Риччи Re,- метрики CLCZ следующим образом (см. Г 1 стр. 114): где волна сверху обозначает, что величина вычислена с помощью метрики cL(Jz Vy Р - первый дифференциальный параметр Бельтра-ми, 0 , - коэффициент метрики ск С Заметим, что
Поэтому выражение в правой части СЮ) упрощается. Найдем теперь связь между кривизнами Риччи. Пусть направление кривой имеет контравариантные компоненты Xі , которые будут одинаковы в обоих метриках. Тогда кривизна Риччи Нес по направлению кривой Г в метрике d Tг выражается через соответствующую кривизну Риччи: jlit в метрике cUl следующим образом:
Определение поверхности в 4-мерном эвклидовом пространстве по её грассманову образу
Поставим следующую общую задачу: по заданаому регулярному подмногообразию Гпс:( тП+гг, найти подмногообразие; F ="F имеющее Г своим грассмановым образом. Мы рассмотрим эту задачу при m»na2 , т.е. будем искать поверхность F в четырехмерном эвклидовом пространстве Е по ее заданному грассманову образу - двумерной поверхности / в U 2,V Имеет место
Теорема Z.H . Пусть / - двумерная поверхность в G , регулярная класса С . Пусть кривизна К грассманова многообразия &2,ч для площадки, касательной к поверхности Г в точке Р0 , удовлетворяет неравенству К і . Тогда существует окрестность точки /о на Г , являющаяся грассмановым образом регулярной класса С поверхности г с Е
Условие К і в этой теореме существенно. Мы указываем пример поверхности в Gv ,v » с К- і , которая даже локально не является грассмановым образом поверхности из с .
Прежде чем переходить к доказательству теоремы, установим некоторые общие свойства грассманова образа поверхности г с с
Пусть две единичные нормали к г в точка X , ортогональные друг другу, и ; к» j их декартовы координаты. Тогда плюккеровы координаты нормальной плоскости к г имеют вид О = Чг . Набор плюккеровых коордиг нат ( Р ,р ,Р ,Р , р , р ) образует радиус-вектор Р соответствующей точки многообразия и ;9 , вложенного в б-мернае эвклидово пространство Е . Координаты точки многообразия! G t,
В силу первого из них 6r2/v лежит а 5-мерной единичной сфере Ь , Поэтому вектор р - нормаль к ( &,Ч Ь . Метрика Огг,ч ин-Дуцируется вложением в с: Когда, точка х изменяется по поверхности Г , радиус-вектор /3 описывает ее грассманов образ - поверхность Г С Grz,fy . Мы будем обозначать через Z(X& \ бивектор, построенный на векто- pax й и і є Б , который рассматривается как вектор в Е . Тогда вектор р можно записать в виде Г ь г » Обозначим через %i-o loU касательные векторы к. F , ОІСІ - метрический тензор F и Q = oU llQCjW . Единичный бивектор Q b V J является дополнительным бивектором к бивектору р , т.е. его компоненты определяются равенствами Q = 2гзн Р 3 Второе уравнение системы (I) можно записать как условие; ортогональности векторов Р и Q : (р })90 . Дифференцируя это соотношение и: пользуясь симметрией записи полученного выражения в коорди. » натной форме, получим т.е. вектор Q ортогонален ко всем смещениям dp , касательным к бг і/ . Следовательно, вектор Q - нормаль к u ,v. в ТОЧІ-ке р , а так как (pcj )=-0, Q2- 1} то 0 есть единичная! нормаль к Cr ,v » лежащая в касательном пространстве к о Бивекторы С І X: 1 ортогональны к р и Q . Поэтому они являются, касательными векторами к \ z,4 . Многообразие Gz, являг-ется гиперповерхностью в S с нормалью Q . Вторая квадра тичная форма (JZ,4 , которая рассматривается, как гиперповерхность в о , есть {d P, )--(dp do). Нормальная кривизна Z,4 с Ь равна отношению
Покажем, что главные кривизны гиперповерхности Cr;?,v С Ь суть I, I, -1,-1. Хорошо известно представление. Cra,v в виде прямого произведения двух единичных двумерных сфер Qz,4 = то в силу системы (I) эти векторы имеют единичную длину и концы их задают точки на of и Ьг соответственно. Нетрудно найти., что
Поэтому нормальная кривизна ft, S будет равна
Отсюда следует, что 1)?н 1 Пусть JU0 и У0 фиксиг рованные точки в Sf и S2 соотватственно. Тогда для. любого направления, касательного к подмногообразию Ь х У о нормальная, кривизна bHs" і , а для любого направления, касательного к JU0 Ьг , нормальная кривизна /?н= 1 . Кратность этих значений нормальных кривизн равна двум.
2. Найдем теперь нормальные кривизны ( 2,і для площадки, касательной к Р . Используя формулы Вейнгартена, запишем сначала касательные векторы к Г где Li ёк - коэффициенты второй квадратичной формы г по отношению к нормали . Будем обозначать Ьск через L Используя разложения Гаусса для г , запишем вторые производные от вектора р / tjiK - коэффициенты кручения; базиса нормалей у, 5г «В правой части этого равенства первые два выражения являются, линейными: комбинациями векторов C t p » т.е. касательными векторами к &%,Ч , Третий вектор направлен по вектору р , а четвертый и одновременно; в S , а вектор Q - одна из ее нормалей. Используя (2), получим выражение нормальной кривизны / по отношению к нормали Q с помощью коэффициентов вторых квадратичных форм г с Е
