Введение к работе
Актуальность темы
Проблемы, рассматриваемые в диссертации, происходят из теории многомерных вычетов [1] и теории пересечений в алгебраической геометрии и относятся к исследованию интегралов специального вида, а именно представляющих юкавские константы связи в теории суперструн [4]. При этом многообразия, по которым происходит интегрирование, также весьма специфичны. Это трёхмерные комплексные кэлле-ровы многообразия с нулевым первым классом Чорна и с ещё одним дополнительным условием - единственной ненулевой голоморфной формой объёма. Такие многообразия с учётом гипотезы Е.Калаби [9], подтверждённой С.-Т.Яу [18], стали называться многообразиями Калаби-Яу.
Как оказалось юкавские константы связп между полями материн в суперструнной теории представляют собой интегралы по многообрази-ям Калаби-Яу К вида (с.570, [2]):
1Д)л4и)л4м). (1)
к где шу ,...- гармонические (1,1)- формы. Иными словами юкавская константа сопоставляется набору трёх гармонических форм на А'.
Также существует другой тип юкавских констант связи, сопоставляемый набору трёх (2,1)- форм на К. Для таких юкавскпх констант существует другое интегральное представление [10], [11]. Его можно получить, стартуя с голоморфной формы П на К максимальной степени,
рассмотрением периодов:
Vj=Jn(
"ч где -,j базисные 3- циклы на К. При этом юкавские константы связи определяются формулой:
Я лес = — "вJ vdABC&i, (3)
где a = mTSm, т - матрица монодромии многообразия, a S - блочная матрица вида (_jg).
В (3) участвует матрица монодромии многообразия. Для изучения этой матрицы очень важную информацию можно получить, зная аналитическое продолжение одного из периодов, называемого фундаментальным [12].
Изучение интегралов, представляющих юкавские константы связи, как интегралов от внешнего произведения трёх (1,1)-форм достаточно полно проведено в многообразии Калабп-Яу, реализованном в виде полного пересечения двух кубик и одной квадрики в произведении Р3 х Р3 Ж.Дистлером, Б.Грином, К.Кирклиным и Р.Мироном [13]. При этом вычисление интегралов было сведено по двойственности Лефшпца к вычислению индексов пересечений циклов в одном Р3.
При распространении метода [13] для вычисления интегралов в многообразии Калаби-Яу, реализованном в виде полного пересечения пяти квадрик в произведении 4 х Р4 возникает необходимость в редукции трёхмерной задачи вычисления интегралов к двумерной. Такая
редукция для данной реализации многообразия Калаби-Яу существует и доказывается теоремой 1.1 настоящей диссертации на основании двойственности Пуанкаре. В связи с этим актуальным является исследование условий редукции, а также явное вычисление интегралов (1) через индексы пересечений специальных циклов. Рассмотрение специальных циклов обусловлено тем, что именно они соответствуют по своим трансформационным свойствам физическим полям материи п отражают требования к результатам вычислений данных интегралов.
При исследовании интегралов, представляющих юкавскне константы связи, через фундаментальный период (3), рассматривается многообразие Калаби-Яу с несколькими модулями, реализованное гиперповерхностью во взвешенном проективном пространстве Р^.
Одним из ключевых моментов в исследуемой проблеме является именно наличие нескольких модулей в многообразии Калаби-Яу. В работах Ф. Канделаса, Т. Хюбша, П. Берглунда, С. Моррисона а других [7],[10],[11] было получено выражение для фундаментального периода в случае с несколькими модулями. При этом для аналитического продолжения использовалось интегральное представление Меллина-Барнса, по многомерные интегралы сводились к одномерным с использованием специальных функций, рассчитываемых на компьютере. В представляемой диссертации построен метод явного интегрирования многомерных интегралов посредством вычетов Гротендпка в симплнцнальных полиэдрах и метода разделяющих циклов А.К. Циха [5]. Кроме того непосредственное построение аналитического продолжения фундаменталь-
ного периода в различные зоны пространстра модулей многообразии Калаби-Яу в р является необходимым для вычисления интегралов, представляющих юкавекпе константы связи.
Цель диссертации
Целью настоящей диссертации является развитие метода вычисления интегралов, выражающих юкавскне константы связи (1), и метода аналитического продолжения фундаментального периода (2), а именно:
исследование условий редукции трёхмерной задачи вычисления интегралов, представляющих юкавскне константы связи, к двумерной для многообразий Калаби-Яу, реализованных в виде полного пересечения в произведении проективных пространств]?4 х Р4.
получение точных значений интегралов, представляющих юкавскне константы связи, для многообразий Калаби-Яу, реализованные с виде полного пересечения в произведении проективных пространен it х F\
нахождении интегрального представления типа Меллина-Барнс; для фундаментального периода многообразия Калаби-Яу с нескольку ми модулями.
— установление теоремы об аналитическом продолжении фундг
ментального периода в различные зоны пространства модулей миог<
образий Калаби-Яу, реализованных во взвешенных проективных про*
транствах v%.
Методика исследования
При исследовании интегралов, представляющих юкавские констан-ы связи в многообразиях Калаби-Яу используются двойственность де 'ама [1] и двойственность Пуанкаре [14] в гомологпях и когомологиях. Ірм вычислении топологических инвариантов многообразия Калаби-1у используется техника (т-процессов [3].
При нахождепии интегрального представления типа Меллина-5арнса для фундаментального периода на многообразия Калаби-Яу с [єсколькими модулями используются вычеты Гротендпка, рлды Горна ; метод разделяющлх циклов А.К. Циха [5].
Научная новизна
Все результаты диссертации являются новыми и снабжены полны-гп доказательствами.
Практическая и теоретическая ценность
Обобщение условий редукции трёхмерной задачи вычисления интег-
алов, представляющих юкавские константы связи, к двумерной для
ногообразий Калаби-Яу, реализованных в виде полного пересечения
произведении пространств IP4 х Р4, позволяет получить точные зна-
енпя интегралов.
С помощью интегрального представления Меллнна-Барпса для іукдаментального периода многообразия в Калаби-Яу с несколькими одулями, реализованного во взвешенном проективном пространстве %, представляется возможным аналитически продолжить фунламен-ільний период в различные зоны пространства модулей многообразия
Калаби-Яу.
Представляет интерес применение полученных результатов в тео
рии суперструн для вычислений юкавских констант связи между по
лями материи. ,
Результаты могут быть использованы в физике высоких энергий.
Апробация работы
Результаты диссертации докладывались на следующих междуна родных конференциях и семинарах:
по Квантовой теории поля и гравитации - Киев, 1992;
по Современным проблемам квантовой теории поля и гравитащн - Алушта, 1993;
- семинаре лаборатории Института теоретической физики Уп
'альского университета (Швеция) - Упсала. 1994;
- семинаре1 лаборатории математической физики Института теоре
тичсской экспериментальной физики, ИТЭФ (Москва) - Москва, 1995
Также полученные результаты неоднократно докладывались на го родском семинаре по многомерному комплексному анализу Краснояр ского Государственного Университета (1992 - 1996 гг.) и на семинар теоретического отдела Института Физики им. Л .В.Киренского СО PAI (1990-1996ГГ.)
Публикации
Основные результаты диссертации опубликованы в 4 работах [19]
\&
Структура и объем работы
Диссертация состоит из введения п двух глав основного текста. Спи-литературы содержит 78 наименований. Работа изложена на 69 шицах.
