Введение к работе
Актуальность темы. Теория вычетов функций одного комплексного переменного имеет многочисленные и эффектные применения. Одним из важных применений является вычисление определенных интегралов. В частности, к таким интегралам относятся интегралы следующих видов:
/
-f-oo - Р(х)
dx, (і)
9(*)
— со
где F,Q — многочлены,
P(X) „ІАг,
Q(x)
e'^dx, А Є К, (2)
т.е. преобразования Фурье рациональных функций, и интегралы Меллина - Барнса:
- / zi t->dz, (3)
У — ЇОО П r(Cfc2+
где Г — гамма - функция Эйлера, a j, &,-, cj;, d^ — вешественные числа.
Вычисление интегралов (1) - (3) основано на лемме Жордана и некоторых ее аналогах. Таге, если функция gi|j стремится к нулю при ; —у со, интеграл (2) равен сумме вычетов в верхней полуплос-к»сти(или со знаком минус сумме вычетов в нижней полуплоскости).
Весьма актуальной является задача вычисления интегралов по К" — многомерных аналогов (1) - (3) . Такие многомерные интегралы встречаются во многих г. ияелах математики и теоретической физики. Так, к многомерным аналогам; интегралов (1) сводятся MHorirc интегралы и квантовой теории поля, в частное ги, фейнма-новские интегралы. Интегралы вида (2) полезны при исследова-нш! решений дшрфередииальных уравнений. Частные случаи интегралов пила (3) впервые появились в работах Римапа, Пгапсерле и
Меллина . Барнс в серии статей, используя интегралы вида (3) , разработал метол получения асимптотических разложений для разных классов функций, определяемых степенными рядами или интегралами. Он также применил интегралы вида (3) в качестве интегрального представления решений гипергеометрического дифференциального уравнения и тем самым построил аналитическое продолжение для решений. Можно сказать, что интегралы Меллина -Барнсаоказались третьим подходом к изучению гипергеометрических функций: лерзые дза подхода были реализованы Гауссом как решения гипергеометрических дифференциальных уравнений и как суммы гшіергеомегрических рядов.
Заметим, что в -современной ядерной физике интегралы Меллина - Варнсаиспользуются в теории суперструн, а именно, в связи с изучением зеркальной симметрии пространств Калаби - Яо (см. статью Candelas P.,de la Ossa X.C., Green P.S., Partes L. A pair of Calabi-Yau manifolds as exactly soluble superconformal theory // Nuclear Physics 1991. Б 359).
Обобщения функций гипергеометрического типа для многих переменных рассматривали Fox, Sharma, Khan, Srivastava, Гельфанд, Зелевкнский, Капранов, Ретах B.C. и др. Для построения многомерной теории функция гтшергеометрического типа использовались в основном два подхода. При первом подходе гипергеометрнческая функция трактуется как решение системы дифферендиалышх уравнений в частных прокззодных, при втором — как гамма-ряд. Слабое развитие третьего подхода на основе представления гипергеометрической функции многомерным интегралом Меллина- Барнса, по-видимому, объясняется прі-шшпіиальньїми трудностями его вы-числения.В работах многих авторов гидергеометрические функции многих переменных в весьма частных ситуациях определялись кратными интегралами Меллина - Барнса, были получены соотношения между разными функциями гкпергеометрического типа, однако исследование общих интегралов Меллина - Барнсав литературе отсутствовало. Наконец, заметим, что потребность в формулах длл вычисления интегралов Меллина - Барнсаобъяснялась тем обстоятельством, что к ним сводятся многие интегралы, содержащие элементарные и спешіалі(НЬіе функции.
Цель настоящей диссертации состоит в исследовании многомерных аналогов кнтегралда (1) - (3) , характеризуемых условием
линейности множества их особенностей, т.е. интегралов
I-
Р(х) dx\ ... dxn
R» П (<яІ.г >+Cj+irj)
(!')
vZTv у_. гг г/й, ^
7+iS" П Г(<№)
= *А~ / F(z)-t~zdz. (З')
у+іК"
Здесь в интегралах (1') и (2') Р(я) —многочлен, < а1 ,х > — скалярное произведение векторов а3 и х из Rn, rj ^ 0 для всех j — 1,..., п; в интеграле (3') Г — гамма - функция Эйлера,
1/=1
i/=l
-- линейные функции с'вещественными коэффициентами.
Методика исследования. Кроме хорошо известных методов многомерного комплексного анализа (интегральное представление Коши-Фантаппье, формулы вычисления локального вычета), был использован специально развитый в применении к интегралам (1')~ (3') метод многомерной леммы Жордана, основанный на абстрактной лемме Жордана, недавно получение?. А.К.ІЬеюм [5].В этой лемме речь идет о вычислении интеграла по остову полиэдра П от мероморф-ной дифференциальной формы и>. Лемма утверждает, что исходный интеграл равен сумме вычетов в полиэдре П, если полиэдр П и дивизоры удовлетворяют так называемым условиям согласованности и условиям Жордана (см. 0.4).
При реализации многомерной абстрактной леммы Жордана для интегралов по вещественному (мнимому) подпространству Rn С С" возникают две трудные задачи комбипаюрного и аналитического характеров, которые пришлось решить при исследовании интегралов (Iу)-(3').
Первая задача связана с построением полиэдра П С С", удовлетворяющего условию согласования с полярными дивизорами формы w и имеющего остовом пространство интегрирования W1 (в одномерном случае эта задача тривиальная, т.к. вещественная прямая на комплексной плоскости является остовом всего двух полиэдров — верхней и нижней полуплоскостей, в то время как в многомерной ситуации можно предъявить континуум таких полиэдров; при этом условие согласования связано с комбинаторикой взаиморасположения дивизоров и граней полиэдра П.)
Вторая задача состоит в проверке условий Жордана, т.е. стремления к нулю при Д —» со интегралов от мероморфных форм j (ра-дгкональным образом построенных по исходной форме ь.') по пересечениям граней a j полиэдра И со сферой радиуса R (в одномерном случае это условие состоит в том, что интеграл формы и> по полуокружности в верхней полуплоскости стрешітся к нулю при неограниченном возрастании радиуса этой полуокружности).
Научная новизна.В диссертации впервые для исследования кратных интегралов применен метод многомерной леммы Жордана. Полученные формулы, выражающие интегралы по К" рациональных и спегшальнкх фушлшй гипергеометрического типа, являются новыми. Основные результаты диссертации приводятся с подробными доказательствами.
Практическая и теоретическая ценность. Полученные результаты могут быть использованы при вычислении интегралов функций многих переменных, при лостроеши решений систем дифференциальных уравнений с частными производными. Результаты, диссертации также могут быть применены к изучению многообразий Ка-лаби-Яо, имеющих важное ззачеяиев современной ядерной физике.
Апробация работы. Результаты диссергадии докладывались на следующих международных конференциях:
Комплексный анализ и его приложения — Николаевна, 1992;
Теория потенциала— Кацивели, 1993;
Сингулярности и дифференциальные уравнения — центр подготовки кадров им. Стефана Банаха при Институте Математики
-/-
Польской Академии Наук (Варшава) ,1993;
Комплексный анализ и его приложения — Челябішск, 1994;
Пр .складная и индустриальная математика (Секция " Геометрическая теория функшгй)— Новосибирск, 1994. .
Результаты диссертации также неоднократно докладывались на научных семинарах Красноярского Государственного Университета и Института Физики им. Л.В.Киренского (1984-1994 гг.).
Публикации. Основные результаты диссертации опубликованы в работах [1-5], из них работы [4] и [5] в соавторстве, причем вклады соавторов приблизительно равны.
Структура и объем диссертации. Диссертация состоит из введения, главы 0 - предварительные сведения и основного текста - глав 1 и 2. Каждая глава разбита на пять параграфов. Диссертационная работа изложена на 83 страницах. Библиография содержит 70 наименований отечественной и зарубежной литературы.
