Введение к работе
Актуальность темы. Настоящая работа посвящена оценкам устойчивости разложений безгранично делимых_законов распределения (б.д.з.р.) и проблеме описания класса 10 - з.р., не имеющих неразложимых компонент.
Направление теории вероятностей, тесно связанное с комплексним анализом - арифметика з.р., возникло в связи со следующим вопросом, относящимся к теории суммирования случайных величин. При выполнении условий линдеберга последовательность нормированных и центрированных сумм неограниченно возрастающего числа независимых случайных величин сходится по распределению к нормальной случайной величине, т.е. сумма большого числа независимых случайных зеличин, как правило, приближенно нормальна. Возникает вопрос, при каких условиях эта сумма будет в точности нормальна. Оказывается это имеет место лишь в том случае, когда каждое из слагаемых является нормальной случайной величиной. Ьтот результат, предугаданный П. Леви, был доказан в 1930 г. Г. Крамером и привел к созданию новой ветви теории вероятностей, занимающейся изучением разложений случайных величин на независимые слагаемые.
Пусть ^f = { Р ] - полугруппа всех з.р. F на прямой Я 1 относительно операции свертки. З.р. А назовем компонентой з.р. Р , если найдется з.р. Р такой, что
F1 * Рг = Р . Ш
В задачу арифметики з.р. входит возможно более точное списание класса компонент #_ з.р. Р . Заметим, что в полугруппе tf з.р. р. не восстанавливается однозначно по з.р. А и f Впервые ото было отмечено Б.В. Гнеденко (1937). В настоящее время арифметика з.р. на действительной прямой представляет собой широко и глубоко развитую теорию. В эту теорию наиболее значительный вклад внесли Г. Крамер, А.Я. Хинчин, П. Леви, Д.А. Райков, Ю.В. Линник, И.В. Островский, Р. Кюппан. Ьй посвящены монографии: D.Duijue. Arithnstique dea lois do probabilities, -Pari?: ttauthier-Villars , I9bV, Ю.В. Линник. Разложения вероятностных законов.- Л.: ЛГУ, I960, Ю.В. Линник, И.В. Островский. Разложения случайных величин и векторов. - М.: Наука, 1972,
H.Cuppens. Decomposition of multivariate probability, - Nev; York: Academic Press , 1975, существенная часть монографий: Б. Рамачандран. Теория характеристических функций,- м.: Наука, 1975, Ь. Лукач. Характеристические функции,- М.: Наука, 1979, а также ряд обзоров, последний из которых И.В. Островского (Теория вероятн. и ее примен., 1986, т. 31, № I) отражает современное состояние этой теории.
'иффек устойчивости разложений з,р. был обнаружен еще в ЗС-е годы. Первым, кто обратил внимание на то, что приближенная нормальность з.р. f влечет приближенную нормальность tiro компонент, был П. Леви (1937). Начиная с 50-х годов, возник значительный интерес к изучению эффекта устойчивости разложений з.р. В 1951 году Н.А. Сапогов дал первые оценки устойчивости разложений нормального з.р. Позднее Ю.В. Шинник (1959) установил, что эффект устойчивости разложений з.р. имеет место в метрике Леви для любгх з.р. и высказал предположение,что идея устойчивости разложений з.р. и теоремы об описании компонент заданного з.р. должны лечь в основу неклассической теории суммирования независимых случайных величин. Ьти работы привели в дальнейшем к созданию направления теории вероятностей, занимающегося изучением эффекта устойчивости разложений з.р. Некоторые результаты этого направления вошли в указанные монографии Ю.В. Лин-ника и Ю.В. Линника, И.В. Островского, в монографию - h.u. Золотарев. Современная теория суммирования независимых случайных величин. - ;л.: Наука, I9Uo, в обзорную статью Ь. Лукача ( Adv. Лррі. Probaii., 1977, v.9, ...2 ), современное состояние этого направления отражено в обзорной статье Г.П. Чистякова [1]. Интерес к этому направлению стимулировался тем, что идеи, связан ные с использованием этого эффекта?сыграли важную роль в создан ной В.JJ. Золотаревым и развитой Ю.Ю. /Лачисом, В.Ы. Кругловым, В.И. Ротарем и рядом других авторов теории суммирования независимых случайных величин без условий предельной пренебрегаемости Кроме того, этот интерес был связан с потребностями нового нап равления теории вероятностей - задачами устойчивости и непрерывности стохастических моделей, возникшего в конце 60-х годов Наконец, в самой арифметике з.р. возник ряд проблем, не поддававшихся решению сложившимися методами исследования. К одной из таких проблем относится проблема Ю.В. Линника (1959) о принад-
лежности классу Jc з.р. класса Q Ю.В. Линника с целыми характеристическими функциями (х.ф.). Как обнаружено автором диссертации, решение этой и некоторых других задач, относящихся к описанию класса J0 , может быть получено на основе изучения устойчивости разложений з.р.
Опишем эффект устойчивости разложений з.р. р . Пусть iif . d2 - метрики в полугруппе if- всех з.р. Рассмотрим последовательность композиций
F' (J=fj)- з.р., обладающую тем свойством, что при л-*со
*s ^,(Fn,F)-*o. (2)
Будем говорить, что последовательность з.р. { р.ь }/lmf обладает устойчивостью по отношению к разложениям з.р. р (при выбранных метриках df>da ), если при /г-* оо
s„.= /7ъаос СЧ Ж& < Q,FjK)-*о. о)
J= і, г Qe KF
Основная задача устойчивости разложений з.р. состоит в получении оценок величины 8п через б п при п-*<х> . Как видно из самой постановки^ некотором смысле задача об устойчивости разложений з.р. является более естественной,чем задачи самой арифметики з.р., ибо на практике сам з.р. Р известен лишь приближенно и величину можно рассматривать как меру точности, с которой известен з.р. Р
Сначала опишем результаты по арифметике з.р., которые предшествовали предлагаемой работе. Ьри этом в целях простоты будем говорить только об одномерных з.р. Выше уже было дано определение компоненты з.р. Р .З.р. _ с единственной точкой роста ее е И1 назовем единичными или вырожденными.З.р.
F называется неразложимым, если он не является единичным,и из равенства F=Ff*Fz . где Fj (J= 1>*) - з.р., следует,что либо Ff , либо рг - единичные з.р. і/ти з.р. в арифметике з.р. играют роль, аналогичную роли простых чисел в обычной арифметике. Возникает вопрос, можно ли любой з.р. представить в виде композиции его неразложимых компонент. Ситуация оказыва-
ется существенно более сложной, чем та, которая имеет место в обычной арифметике, поскольку существуют з.р., отличные от еди~ ничных, вовсе не имеющие неразложимых компонент. Так, по теореме Г. Крамера, все компоненты нормального з.р. являются нормальными з.р. и, следовательно, разложимы. По теореме Д.А. Райкова (1937) аналогичный факт имеет место для з.р. Пуассона. Теорема, аналогичная основной теореме арифметики натуральных чисел, в арифметике з.р. была получена А.Я. Хинчиным в 1937 году.
Теорема А.Я. Хинчина о факторизации. Всякий з.р. f , имеющий неразложимые компоненты, представляется в виде
/*- F0*Ff*Fi*— » (4)
где Р0 - з.р., не имеющий неразложимых компонент, & Pf3Pt,,.., - неразложимые з.р. в конечном или счетном числе.
Как показал А.Я. Хинчин, представление (4), вообще говоря, не является единственным.
В связи с теоремой А.Я. Хинчина о факторизации возникает вопрос об описании класса з.р., не имеющих неразложимых компонент. Ьтот класс принято обозначать через J0 . Фундаментальную роль в проблеме описания класса I ' играет следующая теорема.
Вторая теорема А.Я. Хинчина. Класс 20 является собственным подклассом класса б.д.з.р.
Поскольку все компоненты з.р. класса J0 тоже принадлежат классу То , то из второй теоремы А.Я. Хинчина следует, что класс J можно определить как класс б.д.з.р., имеющих только б.д. компоненты. Х.ф.б.д.з.р. Р допускают представление
-ео
(5)
где fie Я , QF - неубывающая, ограниченная функция, QFC-oo-)= о (функцию QF называют спектральной функцией Ле-ви-Хинчина). Поэтому совокупность компонент любого з.р. р класса 20 допускает простое описание: она совпадает со множеством б.д.з.р. Н таких, что для любых сь^ІсЯ*, а-^ё > выполняется QH CS) -QH(a4 й QF()-QF(a.) . Описание класса 20 и вообще построение теории разложений б.д.з.р. было
одной из проблем, выдвинутых Г. Крамером в его известном докладе ( Ann. Math. Stat., 1947, v. 18, '' 2 ).
В силу теорем Г. Крамера и Д.А. Райкова нормальные з.р. и з.р. Ьуассона принадлежат классу 0 . Ряд важных результатов о принадлежности классу 0 решетчатых б.д.з»р. получил 11. Леви 11937-1938).
После почти двадцатилетнего перерыва интерес к арифмети-ке з.р. возобновился в конце ЬО-х годов в связи с появлением цикла работ Ю.В. Линника (см. Избранные труды. Теория вероятностей, 1981), открывшего новый подход, опирающийся на использование комплексного анализа, к ряду важных проблем. Основное внимание Ю.В. Линник уделял описанию класса J 0 , т.е. выяснению условий, которым должна удовлетворять спектральная функция Леви-Хинчина Qр из представления х.ф.б.д.з.р. F (Ь), чтобы обеспечить принадлежность F классу J . Ю.В. Линник ввел в рассмотрение класс одномерных б.д.з.р,, пуассонов спектр которых лежит во множестве вида
со оо
ГДЄ J* mi < О , Углг > . ' а БСе стношения y,n-n,J /S*.J
( m, = 0, +1, + 2,..., j = 1,2) являются натуральными числами, отличными от единицы. Значение этого класса з.р. в проблеме описания класса 10 проясняется следующей теоремой Ю.З. Линника.
Теорема Ю.В. Линника. Если одномерный з.р. с гауссовой компонентой принадлежит классу /„ , то он необходимо принадлежит классу
Тогда же возник вопрос с достаточных условиях принадлежности з.р. класса It классу Т' . Сам Ю.В. Линник показал, что классу J0 принадлежат композиции з.р. Гаусса и Пуассона, з.р. класса С с ограниченным пуассоновым спектром и з.р. класса /? с очень быстрым убыванием хвостов л Qp (%)= 4vr (*»}-- QF (jc) * QF (-jO спектральной функции _ при x-*+oo . Подводя итог своим исследованиям по арифметике з.р., Ю.В. Линник обратил внимание на важность нового подхода к изучению компонент з.р. с целыми х.ф. Он основан на следующем свойстве целых х.ф., которое Ю.В. Линник назвал свойством хребта:
Iifttl )!<. CpCiOmt) СІЄ СУ Целые функции
Изучение компонент з.р. Ра 1С обычно проводится так. Сначала ищут описание всех разложений целых х.ф. <^>(t; Р) на множители, являющиеся ц.хр.ф., а затем отбирают среди этих разложений разложения на целые х.ф. Первый этап представляет собой решение задачи, формулируемой на языке целых функций, и именно в нем сосредоточены основные трудности. Второй этап часто оказывается излишним, так как разложения целых х.ф. на целые
ср.ф. в'большинстве случаев оказываются на самом деле разложениями на целые х.ф.
"'Задача об описании разложений заданной целой х.ф. (p(t;P) на множители,"являющиеся целыми хр.ф., эквивалентна следующей теоретико-функциональной задаче: описать совокупность целых функций Cf (f) , удовлетворяющих условию
/«J iH^a^nV)/%{t^]i. /
для арифметики з.р. наиболее важен случай, когда функция
где л(ад'>ї Я^^і (u- + c.'t?) . В 1959 году Ю.В. Линник высказал гипотезу, что любой з.р. Р из класса /? и такой, что
A Qp.Cx)* G(eZJC), х-***,, Кг>С, (В)
принадлежит классу I0 . Поскольку тогда не было видно путей к доказательству или опровержению этой гипотезы в.монографии 19bU года Ю,В. .линник высказал более слабую гипотезу, что з.р. . Р из класса, /б", принадлежит классу. J ., .если . _ . -_
4^(*)--0{e"wi),^-»^,it>0. (9)
Это предположение Ю.В. Линника было доказано И.В. Островским (1963), который для этого существенно усовершенствовал метод Ю.В. Линника. Если Ю.В. Линник в своих исследованиях в основном спирался на изучение поведения функции U(u if) при вещественных и, а- , используя тот факт, что функция Ufo,i7)-2cu,tf) для некоторых специально выбранных значений переменной и допускает значительное понижение роста, то И.В. Островский первым стал рассматривать функцию ЇІ. (и,, tf) как целую функцию комплексного переменного if при фиксированном значении и. . Используя тождество
U(О, О-)- U(u,г» = ff (Ш- і {% (u+Ci>>+2f (-іа-СіГ)!, (t>e О,
он пришел к необходимости рассмотрения линейных конечно-разностных операторов над функцией я, (if) (if є С)
Из неравенства (7) следуют ограничения на поведение (LLUI^1 )(if) при специально выбранных значениях параметра и . Это позволило И.В. Островскому установить, что логарифмы х.ф. af (t) компонент з.р. F й В > Для которых выполняется условие (9), удовлетворяют в комплексной плоскости С системе интегрально-разностных уравнений специального вида. Решая эти уравнения в классе целых функций ff (і) таких, что Яе-$} Ct) 4 j}f(CJm.t> , И.В. Островский доказал гипотезу Ю.В. Линника при ограничении (9), а для решетчатых з.р. класса Q - при более слабом ограничении
Д Q р .х)= 0(Єір(-гх./Г14іх.-'ІХ)\х-*-юо, Vr>0, (10)
где К - максимальный шаг з.р. F
При замене условия (9) более слабым логарифмы х.ф. компонент з.р. F оказывались целыми функциями большего роста, для которых не удавалось доказать, что они удовлетворяют интегрально-разностным уравнениям. В дальнейшем А.Е. Фрынтов и Г.П. Чистяков (1979) доказали, гипотезу Ю.В. Линника при более слабом ограничении, чем (9), (10)
для чего потребовалось усовершенствовать метод И.В. Островского. Привлекая дополнительную информацию о поведении модулей х.ф. компонент з.р. Р на системе вертикальных прямых с некоторым фиксированным шагом, удалось и в этом случае доказать, что логарифмы х.ф. компонент з.р. р удовлетворяют специальным интегрально-разностным уравнениям. При этом, однако, снова существенно помогло ограничение на рост исследуемых х.ф. в комплексной плоскости. Преодолеть трудности, связанные с отсутствием ограничения на рост целых х.ф. в случае выполнения условия Ю.В. Лин-ника (8), не удавалось. Тем более оставались невыясненными условия принадлежности классу Г з.р. класса , для которых соотношение (Ь) выполняется не при любом, а лишь при некотором ї>0 В этом случае х.ф.
Перейдем теперь к краткому описанию исследований по устойчивости разложений з.р. Будем-говорить, что з.р. Р при выбранных метриках df, <г в полугруппе -f обладает устойчивостью разложений, если для любых последовательностей Fn = =р *р , удовлетворяющих условию (2), имеет место $л-*0 . Для изучения эффекта устойчивости разложений з.р. важно указать наиболее естественные метрики dftd~ в полугруппе гг з.р., по отношению к которым этот эффект имеет место. Оказалось - и этот факт принадлежит, по существу, Ю.В. Линнику - что в случае cLfs. dt = U , где L - метрика Леви, т.е.
эффект устойчивости разложений произвольных з.р. всегда имеет
место. Поэтому оценки устойчивости разложений з.р. в метрике Леви представляют особый интерес. В.М. Золотарев (І9Ш) ввел удобную количественную характеристику устойчивости разложений з.р. F по отношению к метрикам d., dt
'' * F„6ca,F) QeKFo $елг
где bCt,F>= і Р0 -з.р.: dfcF0,F)^a }, ЯРо, F -
классы компонент соответственно з.р. F0 лF . В терминах характеристики В.М. Золотарева эффект устойчивости выглядит следующим образом
Чаще всего рассматривается случай df = dz = d и тогда эту характеристику обозначают J3> ^ C&.F) ^к ^ыло показано В.М. Золотаревым (1968), в метрике d , реализующей слабую сходимость в р , jb^ (,F)—+0 Ct-rO~>.
Первые оценки устойчивости разложений з.р., а именно нормального з.р., были, как уже отмечалось, получены Н.А. Сапо-говым (I95I-I959). Оценки были получены в равномерной метрике d,= dz=J> :pCF,,F,1= *ир /A C-x-y/lcx)/. Работы Н.А. Сапогова оказали сильное влияние на дальнейшие исследования, приведем их основной результат.
Теорема Н.А. Сапогова. Пусть С- (j= /,2) - з.р., причем з.р. р. имеет нулевую медиану и пусть выполняется неравенство pcF1*F2,cP)
где Фу Сх)= Ф (Cx.-olj>/Sj ) , а параметры dj, Sj определяются формулами
м м
М~1+1-гь~е , a.- ^.xdF.(X)t s?= $ Л/'.м-а?.
J -м J J -м J -
Из этой теоремы следует, что если усеченные дисперсии компонент последовательностей композиций F^-Ft „ * F-. „ ограничены снизу положительной постоянной, тс в случае сходимости в равномерней метрике к нормальному з.р. величина л из формулы (3) оценивается следующим образом
<:>„.= О С С-іл&л )'1/і). (12)
В то же время последовательность композиций, усеченная дисперсия одной из компонент которых стремится к нулю, не обязана быть устойчивой в равномерной метрике. С.Г. ійалошевский (І9Ш), опираясь на свойства полиномов Лагерра, доказал неулучшаемость оценки (12).
Поскольку в метрике Леви устойчивость разложений з.р. всегда имеет место, особую ценность имеют оценки в теореме Н.А. Сапогова величин L С Fj, Ф- ) (J=fj) Впервые такие оценки были получены В.М. Золотаревым (I96B-I97I), С.Г. ііало-шевским (1970). В.М. Золотарев, доказав ряд новых неравенств, дающих оценки расстояния между з.р. в метрике Леви через их х.ф., получил такую оценку
где Су iJ-1,i.) - положительные постоянные. Оценка сверху уточнялась В.В. Сенатовым (197ь) и развившим приемы работы В.В. Сенатова, И.С. Шигановым (1979, 19ВЬ). И.С. Шиганов получил лучшую на настоящее время оценку I, (F;^-)iCCd)(-i-i,i)'i''f J,
УЛ. >0 , CCd) - постоянная. Отметим, что сценки величин diFj, Фу) в отличных от L, р метриках, получены С.Г. Мало-шевским (I9V0) и И.С. Шигановым (19?9, 19ЬЬ). Исследования устойчивости разложений многомерного нормального распределения в равномерной метрике было проведено Н.А. Сапоговым (19Ь9). Его результаты были уточнены и доведены до.точной в смысле порядка оценки Л.Б. Голинским (1985). Сценки устойчивости разложений многомерных нормальных з.р. в метрике Леви были установлены Ю.Р. Габовичем (1976) и Л.Б. Голинским (1966).
З.р. Ііуассона был вторым после нормального з.р., для которого были получены оценки устойчивости разложений. Обозначим
Ид - стандартный з.р. Пуассона с параметром X > О . Первая
оценка устойчивости з.р. /7^ в равномерной метрике содержится в работе О.В. Шалаевского (1959). Затем эта оценка была уточнена и перенесена на случай расстояния леви Ю.Ю. йачисом (1967). Он же (1976) получил и оценки снизу для характеристики В.М. Золотарева J>^ (,Лд ) с d = OrL) Оценки Ю.Ю. Ма-чиса выглядят следующим образом
где Cj С J= З, 40 - положительные постоянные, зависящие лишь от X ' Оценки устойчивости разложений многомерного з.р. hyac-сона были получены Р.В. Янушкявичюсом (1977) и Л.Б. Голинским
Цэаь).
Б. Рамачандран (1963) первым получил сценки устойчивости разложений биномиальных з.р. Его оценки были уточнены Ю.Ю. wia-чисом (1970), который нашел точные в смысле порядка оценки. О.Калленберг (1972) провел исследование устойчивости разложений з.р. с конечным носителем и получил двусторонние сценки такой устойчивости. Ряд работ Ю.Ю. Мачиса (1969, 1973, 1977) и Р.В. Янушнявичюса (1978) был посвящен исследованию устойчивости разложений неразложимых з.р. и единичного з.р.
Анализ вышеприведенных результатов показывает, что оценки устойчивости разложений широких классов б.д.з.р. отсутствовали. Не было выяснено, от каких свойств спектральной функции Леви-Хинчина Q г из (5) зависят точные в смысле порядка оценки устойчивости разложений этих з.р. Оставались нерешенными поставленный Ю.В. Линником еще в 1959 году вопрос о принадлежности классу 1С з.р. класса с целыми х.ф. и более общая проблема об условиях принадлежности классу Jo з.р.класса/! с х.ф., аналитическими в нуле.отим обстоятельством определяется актуальность диссертации.
Цель работы. Цель работы состоит:
а) в получении точных в смысле порядка оценок устойчивости разложений в равномерной метрике и метрике Леви для широкого класса решетчатых б.д.з.р. (в частности, точных в смысле
порядка оценок устойчивости разложений з.р. Ьуассона в равномерной метрике и метрике Леви);
б) в получении близких к точным в смысле порядка двусто
ронних оценок устойчивости разложений композиций з.р. Гаусса и
Ьуассона в метрике Леви и точных в смысле порядка оценок устойчи
вости разложений ртих з.р. в равномерной метрике;
в) в получении близких к точным в смысле порядка двусто
ронних оценок устойчивости разложений в метрике Леви для широко
го класса б.д.з.р. с гауссовой компонентой;
г) в описании необходимых и достаточных условий принад
лежности классу 1С з.р. с гауссовой компонентой и х.ф., анали
тическими в нуле.
Общая методика выполнения исследований. Для решения задач получения количественных оценок устойчивости разложений з.р. из широких классов б д.з.р., рассматриваемых в диссертации, используется аппарат характеристических и хребтовых функций, элементы теории вероятностных метрик, теория аналитических функций и теория преобразования Фурье в комплексной плоскости. Разработан новый подход к проблеме описания класса 7С , основанный на использовании количественных оценок устойчивости разложений специальных семейств б.д.з.р. класса ' Ю.В. Линника со спектральными функциями Леви-Хинчина, сосредоточенными на полуоси. Разработаны специальные методы исследования аналитических х.ф. без нулей, модули которых мало отличаются на системах вертикальных отрезков, метод решения конечно-разностных уравнений в классе аналитических функций в круге, удовлетворяющих специальным неравенствам.
Научная новизна. В диссертации впервые получены точные в смысле порядка оценки устойчивости разложений в равномерной метрике и метрике Леєи решетчатых з.р. F класса С Ю.В.Линника, удовлетворяющих условию (8). В частности, получены точные в смысле порядка оценки устойчивости разложений з.р. Пуассона в равномерной метрике и метрике Леви. Впервые найдены близкие к точным в смысле порядка двусторонние оценки устойчивости разложений в метрике Леви з.р. Р класса ' Ю.В. Линника с гауссовой компонентой, спектральными функциями Леви-Хинчина, не имеющими в некоторой окрестности нуля, за исключением точки нуль, точек роста и удовлетворяющими условию (В) (в этот класс з.р. вхо-
дят композиции з.р. Гаусса и конечного числа з.р. Пуассона из класса С ). Ранее для б.д.з.р. точные в смысле порядка оценки были известны только для равномерной метрики и только для з.р. Гаусса (Н.А. Сапогов, С.Г. Малошевский). Были известны также двусторонние, но не точные в смысле порядка оценки устойчивости разложений з.р. Гаусса в метрике Леви и некоторых других метриках (В.М. Золотарев, С.Г. Малошевский, В.В. Сенатов,И.С.Ши-ганов), з.р. Пуассона в равномерной метрике и метрике Леви (О.В. Шалаевский, Ю.Ю. Мачис). Впервые решена проблема Ю.В. Лин-ника о принадлежности классу 7 з.р. класса , удовлетворяющих условию (8), найдены необходимые и достаточные условия принадлежности классу ]0 з.р. класса I? , для которых условие (8) выполняется лишь для некоторого *>о . Ранее было известно решение проблемы Ю.В. Линника при более жестких условиях на убывание й QF (.ж.) при .*-<» (Ю.В. Линник, И.В. Островский, Р. Кюппан, А.Е. Фрынтов, Г.П. Чистяков). Кроме того, ранее были приведены примеры з.р. fi d^I (А.А. Гольдберг, И.В. Островский).
Теоретическая и практическая ценность. Получены точные в смысле порядка оценки устойчивости разложений в равномерной метрике и метрике Леви решетчатых з.р. класса /У , удовлетворяющих условию (8). Установлено, что характер этих оценок зависит от скорости роста производящих функций (п.ф.) з.р. F на положительной полуоси и от структуры спектра спектральной функции Леви-Хинчина б.д.з.р. f . Найдены близкие к точным в смысле порядка двусторонние оценки устойчивости разложений в метрике Леви з.р. F с гауссовой компонентой и удовлетворяющих условию (8) из широкого подкласса з.р. класса /) . Показано, что эти оценки зависят от скорости роста х.ф. tp(t;F) з.р. F на мнимой оси и существенно отличаются от оценок, установленных для решетчатых з.р. класса /" . На основе методов, применявшихся в диссертации для исследования количественной устойчивости разложений з.р. класса Ю.В. Линника, разработан новый подход к проблеме описания класса J0 . С помощью нового метода решена проблема Ю.В. Линника о принадлежности классу J0 з.р. F класса , удовлетворяющих условию (8), найдены необходимые и достаточные условия принадлежности классу 10 з.р. F класса /?, для которых условие (8) выполняется лишь для некоторого г у о .
Результаты работы и разработанные в ней методы могут быть использованы для дальнейшего развития теории устойчивости разложений з.р., теории суммирования независимых случайных величин при отсутствии условия предельной пренебрегаемости, теории непрерывности и устойчивости стохастических моделей, арифметики з.р.
Апробация работы. Основные результаты диссертации докладывались на семинарах МИАН СССР (рук. Ю.В. Прохоров, В.В.Сазонов), Харьковского госуниверситета (рук. И.В. Островский), Московского госуниверситета (рук. Б,В. Гнеденко), Киевского госуниверситета (рук. А.В. Скороход), Вильнюсского госуниверситета (рук. Й.ІІ. К.,билюс), ЛОШ АН СССР (рук. И.А. Ибрагимов), на семинарах по проблемам непрерывности и устойчивости стохастических моделей (1975 г. - 1988 г.), международных Вильнюсских конференциях по теории вероятностей и математической статистике (1976 г., 1981 г., 1985 г.), конференциях по приложениям комплексного анализа (Черноголовка, Моск. обл, 1963 г., 1985 г., 1987 г.).
Публикации. Основные результаты диссертации опубликованы в работах [i-II] .
Структура диссертации. Диссертация состоит из введения и пяти глав. Список литературы содержит 121 наименование. Общий объем работы - 305 машинописных страниц.
