Содержание к диссертации
Введение
1 Разделяющие моменты 11
1.1 Определение и свойства разделяющих моментов 11
1.2 Использование разделяющих моментов для доказательства сингулярности гауссовских мер 17
2 Вспомогательные сведения из стохастического анализа 22
2.1 Локальные времена 22
2.2 Случайная замена времени 24
2.3 Теорема Дамбиса-Дубинса-Шварца 26
2.4 Непрерывные локальные мартингалы на стохастических интервалах 28
3 Разделяющие моменты для решений стохастических дифференциальных уравнений 30
3.1 Решения стохастических дифференциальных уравнений . 31
3.2 Явный вид разделяющего момента 38
3.3 Примеры 47
3.4 Доказательство теоремы 3.10 50
4 Разделяющие моменты для процессов Леви и процессов Бесселя 85
4.1 Разделяющие моменты для процессов Леви 85
4.2 Разделяющие моменты для процессов Вссселя 90
Список литературы 94
- Использование разделяющих моментов для доказательства сингулярности гауссовских мер
- Случайная замена времени
- Непрерывные локальные мартингалы на стохастических интервалах
- Явный вид разделяющего момента
Введение к работе
1. Вопросы абсолютной непрерывности и сингулярности двух вероятностных мер, индуцируемых случайными процессами, представляют интерес как с теоретической точки зрения, так и для приложений к математической статистике. Одними из первых результатов в этом направлении были известные альтернатива Какутани (см. [28]) и альтернатива Гаека-Фельдмана (см. [21], [22]). По мере развития теории мартингалов и стохастического исчисления изучение вопросов абсолютной непрерывности и сингулярности стало возможным для широкого класса случайных процессов: точечных процессов, диффузионных процессов, процессов с независимыми приращениями (см. [4. Гл. IV, 4а- 4с]) ...
Точечные процессы и мультивариантные точечные процессы рассматривались в работах Кабанова, Липцера и Ширяева [24] и [25].
Вопросами абсолютной непрерывности и сингулярности для диффузионных процессов занимались многие авторы: Хитсуда [23], Кадота и Шепп [26], Кайлат [27], Ершов [3], Липцер и Ширяев [6], ... Эти результаты просуммированы и дополнены авторами в монографии Липцера и Ширяева [7, Гл. 7] (см., также, монографию Жакода и Ширяева [4, Гл. IV, 4Ь]).
Процессы с независимыми приращениями также широко исследовались (см. работы Скорохода [8], [9], [10]. Кунита и Ватанабе [31], Нью-мана [34], [35], Мемэна и Ширяева [33]). Отмстим, что Ньюман [34], [35] установил необходимые и достаточные условия локальной абсолютной непрерывности, а также мгновенной сингулярности для процессов Лсви (о критериях абсолютной непрерывности и сингулярности речь не идет, так как здесь они тривиальны: распределения двух процессов Леви либо совпадают, либо сингулярны). Мемэн и Ширяев [33] установили критерии лока/іьной абсолютной непрерывности, абсолютной непрерывности,
а также сингулярности для процессов с независимыми приращениями.
При изучении рассматриваемых вопросов очень полезными оказались интегралы Хеллингера, введенные Хеллингером, и процессы Хеллинге-ра, введенные Липцером и Ширяевым в работе [32]. В диссертации используется другой подход к исследованию абсолютной непрерывности и сингулярности мер. Этот подход основан на понятии разделяющего мом,ента.
2. Мы рассматриваем пару вероятностных мер Р и Р на измеримом пространстве (О, Т) с непрерывной справа фильтрацией {^)^[0,схЛ Оказывается, что всегда существует разделяющий момент для Р и Р (см. теорему 1.3 и определение 1.4). Неформально, разделяющий момент — это такой расширенный момент остановки 5, "до которого меры Р и Р эквивалентны, а после которого —- сингулярны". Здесь расширенный момент остановки — это [0,оо] U {^}-значный момент остановки, где 6 — такая точка, что 5 > оо (см. определение 1.2). Введение дополнительной точки 6 потребовалось потому, что меры "могут никогда не стать сингулярными"; на соответствующих элементарных исходах 3 = 6.
Использование разделяющих моментов для доказательства сингулярности гауссовских мер
Следующий результат известен (см., например, [37, Ch. VIII, Remark after Theorem (2.2)]). Теорема 1.8. Пусть р Є С ([0, ос)), (0) = 0, где С([0,ос)) — пространство непрерывных функций [0, со) — R. Обозначим через Р ви-неровскую меру на В (С ([О, ее))) , через Р -— распределение процесса (В; + 9( ))ЇЄ[О,ОО) де (Bt)l[0co) — стандартное броуновское движение. Тогда справедливы следующие утверждения, (і) Если р абсолютно непрерывна на каждом конечном отрезке и f( p (s))2ds оо; то Р Р. (ii) Если не выполнены условия (і), то Р _L Р. Здесь мы приводим доказательство этой теоремы, использующее разделяющие моменты. Нам понадобятся некоторые вспомогательные утверждения. Предложение 1.9. Рассмотрим некоторое измеримое пространство с фильтрацией (i),/ , ( ) ,00)) Предположим, что J2 = VWooo)- — 1ос Пусть Р и Р — вероятностные меры такие, что Р С Р. Введем процесс плотности Zt = - р-, і Є [0,оо) . Тогда Zt — Z Р-п.н., t —) 00 ; где Zso — плотность абсолютно непрерывной части меры Р относительно меры Р. Доказательство можно найти в [13, Гл. VII, 6, теорема 1] или в [40, Theorem 5.2.26]. Лемма 1.10. Рассмотрим некоторый стохастический базис (О, ,( )і[0,оо),Р)- Пусть (р Є С([0,оо)), {Аі)іф,&о) — непрерывный согласованный процесс, имеющий ограниченную вариацию на конечных отрезках, т — момент остановки, Р(г 0) 0. Предположим, что процесс {tp(t Л г) — АіАт)ща, х } является локальным мартингалом. Тогда существует є 0 такое, что функция ір имеет ограниченную вариацию на отрезке [0, є]. Доказательство. Не ограничивая общности можно считать, что AQ — 0 и ip(Q) = 0. Используя локализацию, можно найти момент остановки а такой, что процесс (АІЛст)гє[о,оо) имеет интегрируемую вариацию, процесс ((p(t Л г А а) — АЛгЛсг)(Є[0со) является равномерно интегрируемым мартингалом и Р(г Л а 0) 0. Тогда будем иметь где Q — распределение г A a . Следовательно, функция f(t) = ip(t)P(r Л a t), і Є [0, oo), имеет ограниченную вариацию на конечных отрезках. Возьмем є 0 такое, что Р(т Л а е) 0. Тогда (р будет иметь ограниченную вариацию на отрезке [0,е]. Лемма 1.11. В условиях теоремы 1.8 пусть либо р не является абсолютно непрерывной функцией на отрезке [0, t] для любого t 0, либо ip абсолютно непрерывна на [Q7t] при достаточно малых t 0, но fQ(ip (s))2ds = 00 для любого t О . Тогда Р J_ Р . Доказательство. Обозначим через X канонический процесс на С([0,оо)), т.е. процесс, определенный по формуле Xt{w) = и (і). Рассмотрим фильтрацию Tt = Г\ {)0 {Х8; s Є [0,t + є]) и положим Т — Vte[o,oo) - ТогДа Т = #(С([0,оо))) .
Пусть 5 — разделяющий момент для Р и Р . Легко видеть, что и -алгебра /о тривиальна по каждой из мер Р и Р. Отсюда и из леммы 1.7 получаем, что либо 5=0 Р,Р-п.н., либо S 0 Р, Р-п.н. Докажем, что второй вариант невозможен. Предположим противное: S 0 Р, Р-п.н., или, что эквивалентно, PQ JL PQ . Поскольку любой момент остановки на винеровской фильтрации п.н. совпадает с предсказуемым моментом, то существуют моменты остановки г и т" такие, что 0 т S Р-п.н. и 0 т" 5 Р-п.н. Положим т = т1 Л т" , Легко проверить, что 0 г S Р, Р-п.н. Согласно (1.1), Рг Рт. Рассмотрим непрерывный справа и имеющий конечные пределы слева (Tt, Р) -мартингал Отметим, что Z является равномерно интегрируемым мартингалом с предельным значением Z = — . Поскольку J?TO 0 Р-п.н., то процесс Z строго положителен относительно меры Р (см. [4, Гл. III, 3.6]). Согласно [14, Гл. III, Зс, Теорема 2], существует предсказуемый процесс /3 такой, что jQ j3 ds оо Р-п.н., t Є [0,оо), и где стохастический интеграл понимается относительно меры Р . Введем меру Q = Zoo Р Тогда Qr = Рт. По теореме Гирсанова процесс является (Tt,Q) -броуновским движением. Следовательно, YT является (TtjQ)-мартингалом. Поскольку Qr = Рг, то ЕрУ/ оо, t Є [0, оо), и при s t, А Є Ts имеем Это означает, что Ут является (JF(] Р)-мартингалом. Отсюда получаем, что процесс является [J, Р) -мартингалом. По лемме 1.10 функция р имеет ограниченную вариацию на достаточно малом отрезке [0, є]. Тогда остановленный в момент є процесс Мє — непрерывный (J-f, Р)-мартингал ограниченной вариации. Следовательно, Мє Р-неотличим от нуля. Имеем Поскольку Рг Рг , то Вместе с тем, что т 0 Р-п.н. и L 01 ds со Р-п.н., t Є [0,со), это противоречит условиям леммы. Доказательство теоремы 1.8. Утверждение (і) следует из теоремы Гирсанова и критерия Новикова. Докажем утверждение (іі). Обозначим через X канонический процесс на С([0, со)). Рассмотрим фильтрацию Tt — T(XS; S Є [0,t]) и положим Т — \Де[0оо) - Тогда JF = В{С([0,оо))) . Пусть to — это супремум таких t Є [0, со), что р абсолютно непрерывна на отрезке [0,t] и f0(ip!(s))2 ds со. Если t = 0, то Р _L Р по лемме 1.11. Поэтому далее предполагаем, что to Є (0,сю]. Рассмотрим два случая. Пусть сначала fQ( р (s))2ds = сю. Рассмотрим процесс плотности Zi — , t Є [0, ()). Этот процесс — неотрицательный (J ,P)-мартингал. Поэтому он сходится Р-п.н. при t tQ . Обозначим через Zif предельную случайную величину.
Случайная замена времени
Отметим, что в условиях предложения 2.10 фильтрация (.7 () непрерывна справа, а процесс г является (JFT()-согласованным. Следовательно, процесс А является ( t) -заменой времени. Задечамие. Если стохастический базис полон, то в условиях предложения 2.10 достаточно требовать, чтобы траектории А являлись Р-п.н. [0,оо]-значными неубывающими непрерывными справа функциями. При этом произойдут очевидные изменения в дальнейшей формулировке. Нам потребуется связь некоторых потраекторных свойств процессов Лиг. Это является предметом следующего простого утверждения. Предложение 2.11. Рассмотрим [0, сю] -значную неубывающую непрерывную справа детерминированную функцию A = (At)teiQ!QO\. Предположим, что AQ—О, Определим функцию (полагаем inf 0 = oo). Тогда выполнены следующие утверждения. (і) Пусть t Є [0, oo). Тогда rt оо =Ф-1 ATO . (ii) Если A — непрерывная функция, mo An = t для всех t A . (iii) Если А строго возрастает, mo TQ = 0 и т --- непрерывная функция. Предложение 2.12 (замена переменных в интеграле Лебега Стилтьеса). Пусть Н : [0,оо) — [0,оо) — неотрицательная борелев-ская функция, X : [0,оо) —» [0,оо) — неубывающая непрерывная справа функция, г : [0,оо) — [0,оо] — неубывающая непрерывная функция, Гц = 0 . Тогда где Аоо = inf{s Є [0, ею): TS = 00} (как обычно, inf 0 = сю). Предложение 2.13. Пусть стохастический базис (n,T,{Tt),P) полон, г — {Tt) -замена времени, а — (Qt) -замена времени, где Qt Тп . Положим pt = r(Tt, t Є [0,оо) . Тогда р является {Tt)-заменой времени и Qvt = TPt . Утверждения этого параграфа взяты из [37, Си. V, 1]. Здесь мы рассматриваем стохастический базис [Q}T, ( )ІЄ[0ООЬ Р) с непрерывной справа и полной фильтрацией. Предложение 2.14 (Дамбис, Дубине, Шварц). Пусть М —непрерывный {Tt, Р) -локальный мартингал, MQ = 0. Предположим, что (Mjoo = сю . Определим {Tt) -замену времени и положим Bt = Мп , t Є [0, оо) . Тогда В — (jFn,P) -броуновское движение и Mt = B(M)t Р -ті.к. Замечание. Известно, что процессы М и (М) Р-п.н. имеют одни и те же интервалы постоянства. Поэтому несмотря на то, что замена времени (т ) может иметь скачки, процесс (МГ() непрерывен. Если Р((М)оо оо) 0, то исходное вероятностное пространство может оказаться слишком "бедным" и на нем может не найтись броуновского движения. Однако в этом случае аналогичный результат справедлив, если расширить исходное вероятностное пространство. Предложение 2.15.
Пусть М —непрерывный (JT()P) -локальный мартингал, MQ = 0. Определим. {Tt) -замену времени Пусть В — (.7 , Р ) -броуновское движение на некотором, (Q ,J-\(Jl),P ). Рассмотрим стохастический базис (Q х 0!,Т х Т\ {TTt х Т[), Р х Р ) и положим Тогда В — {TTl х Т[,Р х Р ) -броуновское движение и Mi = Вш)ь Р х Р -п.и. Замечания, (і) Отметим, что {rt = с»} = {{М)оо і} Р-п.н., Є [0,сю), а на множестве {(М) оо} процесс Mt сходится Р-п.н. к конечной случайной величине М . Тем самым, случайная величина Мп в формуле (2.1) корректно определена даже если тг = со. (ii) Из предложения 2.10 вытекает, что процесс (М) является {TTt) заменой времени. Поэтому (М) является [TTt) -моментом остановки. Следовательно, если рассматривать случайную величину {М} как случайную величину на Q х П , то {М} — [ТТі х Т[) -момент остановки. Таким образом, определяя В по формуле (2.1), мы получаем [TTl х Т[) согласованный процесс. Лемма 2.16. Рассмотрим некоторый стохастический базис (},?{, (7(), Р). Пусть М — непрерывный справа (%,Р) -локальный мартингал. Тогда М является (Qt, Р) -локальным мартингалом, где Доказательств о. Достаточно установить требуемое для не прерывных справа равномерно интегрируемых мартингалов, а это со всем просто. Нам понадобится следующий вариант теоремы Дамбиса-Дубинса-Шварца, вытекающий из предложения 2.15 и леммы 2.16. Следствие 2.17. Пусть выполнены условия предложения 2.15. Положим Qt — Поо t+f х - t+є Q = Р х Р . Тогда процесс В , определенный в (2.1), является (Qt)Q) -броуновским движением и Mt = Д;м)( Q-n.w. Утверждения этого параграфа взяты из [37, Ch. IV, (1.48)] и [37, Ch. V, (1.18)]. Ниже рассматривается стохастический базис (ГІ, Т, ( )(Є[(]]СО), Р) с непрерывной справа и полной фильтрацией. Пусть Т — момент остановки, Т 0 Р-п.н. Определение 2.18. Непрерывный согласованный процесс М, определенный на стохастическом интервале [0, Xі), называется непрерывным локальным мартингалом на [0,Т), если существует последовательность моментов остановки (Т„) и последовательность непрерывных локальных мартингалов
Непрерывные локальные мартингалы на стохастических интервалах
В дальнейшем мы будем использовать обозначение {М)т — limnr{M)(. Предложение 2.20. На множестве {{М)т оо} процесс (М =[0]т) сходится Р-п.н. при t \T к конечной случайной величине Мт Сформулируем теорему Дамбиса-Дубинса-Шварца для непрерывных локальных мартингалов на стохастических интервалах. Предложение 2.21. Пусть MQ =0. Определим. {Ft) -замену времени Пусть В — {3 ц P ) -броуновское движение но, некотором [ІУ,Т\{Т[),Р ) . Рассмотрим стохастический базис (П х fi , J" х Я, (J х ), Р х Р ) и положим где случайная величина Му введена в предложении 2.20. Тогда, В — [Тп х Т\,Р х Р )-броуновское движение и Mt — (м} Р х Р -п.н. на множестве {t Т} . Отметим, что поскольку М и (М) Р-п.н. имеют одни и те же интервалы постоянства, то процесс (МГ() непрерывен, хотя замена времени (rt) может иметь скачки. Из предложения 2.21 вытекает утверждение, уточняющее предложение 2.20. Следствие 2.22. Имеют место следующие равенства: {(М)т оо} = {3 конечный WmMi} Р-п.н., {{М)т = оо} — {!ІШ(-Т Mt — —оо, 1іпі/-т Mt = со} Р-п.н. Наконец, из приведенного следствия вытекает следующее утверждение. Следствие 2.23. Пусть М неотрицателен. Тогда Р-п.н. существует конечный предел My = lim j- Mt. В этой главе мы находим явный вид разделяющего момента для случая, когда меры Р и Р — распределения решений одномерных однородных СДУ. Это сделано в 3.2 (см. теорему 3.10). Как следствие, отсюда получены критерии локальной абсолютной непрерывности, абсолютной непрерывности, а также сингулярности для Р и Р (см. следствия 3.11, 3.12 и 3.13). При этом рассматриваются не только решения СДУ в классическом смысле, но и решения, которые могут взрываться. В 3.1 приводятся соответствующие определения и некоторые результаты, часто используемые в дальнейшем. Критерии, содержащиеся в следствиях 3.11, 3.12 и 3.13, выглядят достаточно сложно. Поэтому возникает вопрос насколько разнообразными могут быть типы взаимного расположения мер Р и Р с точки зрения вопросов абсолютной непрерывности и сингулярности (скажем, может ли быть так, что Р Р, Р С Р , но Р Р). В 3.3 приведены примеры, показывающие, что возможны все типы взаимного расположения Р и Р , которые могут быть реализованы для некоторой пары вероятностных мер (не обязательно для решений СДУ). Иными словами, с точки зрения вопросов абсолютной непрерывности и сингулярности распределения решений СДУ ведут себя настолько разнообразно, насколько это возможно. (Совсем другая ситуация будет в следующей главе, где мы изучаем распределения процессов Леви и распределения процессов Бесселя.) Такое разнообразие типов взаимного расположения распределений решений СДУ объясняет тот факт, что критерии, приведенные в следствиях 3.11, 3.12 и 3.13, выглядят достаточно сложно. В 3.4 приведено доказательство теоремы 3.10. 1. В этом пункте приводятся некоторые определения. Будем рассматривать одномерные однородные СДУ вида где Ь и а — борелевские функции US. — IR., .т0 є Е. Определение 3.1.
Решением уравнения (3.1) называется пара [Y, В) непрерывных согласованных процессов на некотором фильтрованном вероятностном пространстве (Q,(?s (Qt)t[o,oo)iQ) таких, что і) В является {Qt, Q) -броуновским движением; ii) для любого t Є [0, оо) имеем iii) для любого t Є [0, сю) имеем Замечание. Решение в смысле определения 3.1 иногда называют слабым решением. Для наших целей удобно понимать под решением не пару процессов, а вероятностную меру на пространстве С([0,оо)) непрерывных функций [О,оо) — К.. Обозначим через X канонический процесс на С([0,оо)), т.е. процесс, определенный по формуле Xt{u)) = u){t). Рассмотрим фильтрацию Tt = П о "№; $ Є [0, і + є]) и положим Т = Vteio.oo) Определение 3.2. Решением уравнения (3.1) называется вероятностная мера Р на Т такая, что І) Р(ЛГ0 = хо) = 1; ii) для любого t Є [0, оо) имеем iii) процесс Следующее утверждение (см. [17, Theorem 1-24]) устанавливает связь между определениями 3.1 и 3.2. Предложение 3.3. (і) Пусть (Y,B) —решение (3.1) в смысле определения 3.1 . Положим Р = Law(Y ; t [0,оо)) . Тогда Р является решением (3.1) б смысле определения, 3.2. (ii) Пусть Р — решение (3.1) е смысле определения 3.2. Тогда существуют фильтрованное вероятностное пространство (ГІ,С?, ( ?t)ie[o]00),Q) « пара процессов (У, В) на нем такие, что (Y,B) — решение (3.1) в смысле определения 3.1 и Law(y; і [0,оо)) = Р. Замечание. Если пользоваться определением 3.2, то понятие единственности решения не требует специального определения. 2. Определения 3.1 и 3.2 не затрагивают случай взрывающихся решений. Нам же потребуется рассматривать такие решения. Для этого введем необходимые обозначения. Добавим к вещественной прямой точку А и обозначим через Сд([0,оо
Явный вид разделяющего момента
Будем использовать обозначения Т-, Tt, X и , введенные в п. 2 предыдущего параграфа. Рассмотрим СДУ с одним и тем же начальным условием XQ. Ниже будем предполагать, что выполнены условия (3.6), (3.7) и аналогичные условия для Ь, а. Введем обозначения р, 5, $(оо), ( — оо) по формулам (3.8)-(3.11) и определим аналогичные величины р, s, (оо), 1( — оо) через Ь и и. Обозначим через /х меру Лебега на В (Ж). Назовем точку х М. хорошей, если существует окрестность U точки х такая, что ег2 = а2 /І -П.В. на (7 И (b — b)2/a4 Є 1 ( ) Назовем точку оо хорошей, если все точки из [хо,оо) — хорошие и выполнены условия Назовем точку —оо хорошей, если все точки из (—OO,XQ] — хорошие и выполнены условия Обозначим через А дополнение к множеству хороших точек из [— оо, оо]. Легко видеть, что А замкнуто в [—оо, ею]. Введем также обозначение где р(х,у) = \axctgx — aictgy\, х,ує[—оо,оо] (полагаем 0 = 0). Основным результатом этой главы является следующая теорема. Ее доказательство приводится в 3.4. Теорема 3.10. Пусть Ь} а и b, а удовлетворяют условиям (3.6) и (3.7), Обозначим через Р и Р решения уравнений (3.17) и (3.18) в смысле определения 3.4, Тогда разделяющий момент S для Р и Р имеет следующий вид. (і) Если Р = Р, то S = 6 Р, Р -п.н. (и) Если Р ф Р, то где "inf " отличается от "inf " лишь тем, что inf0 = 5. Замечания, (і) Для того, чтобы разделяющий момент был выражен только через коэффициенты Ь, а и Ь, а, надо охарактеризовать в их терминах условие "Р — Р". В предположениях теоремы 3.10 имеем Формальное доказательство этого факта отнесено в конец параграфа (см. лемму 3.17). (її) Поясним, как устроен момент S в случае "Р ф Р". С этой целью рассмотрим "ближайшую слева к XQ плохую точку" а , определенную по формуле и рассмотрим "момент достижения а": где Та = inf{ Є [0, оо): Х = о}. Аналогично определим "ближайшую справа к XQ плохую точку" -у и V как "момент достижения 7" Тогда S = U Л V Р, Р-п.н. (На некоторых траекториях S ф U Л V, но из предложения 3.7 следует, что эти траектории имеют Р- и Р-меру нуль.) (iii) Бели поменять ролями меры Р и Р, то разделяющий момент не изменится, однако изменится вид условий (3.19)-(3.22). Отсюда и из теоремы 3.10 можно вывести, что в предположении [:с0,оо) С [—оо, оо] \ А пара условий (3.19), (3.20) эквивалентна паре условий s(oo) 00, (s(oo)-s)2 Lfoc(oo). (3.24) (3.25) Аналогичное замечание справедливо и для (3.21), (3.22).
Доказательство этого факта отнесено в конец параграфа (см. лемму 3.18). Перейдем к критериям локальной абсолютной непрерывности, абсолютной непрерывности, а также сингулярности для мер Р и Р. Для их формулировки введем в рассмотрение следующие условия: Напомним , что условие (3.26) означает, что траектории канонического процесса X относительно меры Р не стремятся к оо при t—)-oo. Условие (3.27) означает, что траектории канонического процесса X от-носительно меры Р с положительной вероятностью стремятся к оо при t —у оо, но при этом не взрываются (т.е. момент взрыва для них равен оо). Условие (3.28) есть пара (3.24), (3.25). Аналогичным образом рассмотрим условия "на — оо": Следствие 3.11. В предположениях теоремы 3.10 имеем Р Р тогда и только тогда, когда и выполнено по крайней мере одно из условий (3.26)-(3.28), а также по крайней мере одно из условий (3.29)-(3.31). Доказательство. Согласно лемме 1.7, Предположим, что Р ф Р. Тогда из теоремы 3.10 и из результатов п. 3 предыдущего параграфа следует, что 5 оо Р-п.н. тогда и только тогда, когда выполнены следующие условия; і) все точки из Ш. хорошие (т.е. (3.32)); ii) либо оо — хорошая точка (т.е. (3.28)); либо траектории канонического процесса X относительно меры Р не взрываются на оо (т.е. (3.26) или (3.27)); iii) либо —oo — хорошая точка (т.е. (3.31)); либо траектории канонического процесса X относительно меры Р не взрываются на —оо (т.е. (3.29) или (3.30)). Для завершения доказательства осталось заметить, что если Р — Р, то выполнено условие (3.32), а также по крайней мере одно из усло вий (3.26), (3.28) и по крайней мере одно из условий (3.29), (3.31). D Аналогичным образом из теоремы 3.10 выводятся следующие утверждения. Следствие 3.12. В предположениях теоремы 3.10 имеем Р Р тогда и только тогда, когда либо Р = Р, либо выполнены (3.26), (3.31), (3.32), либо выполнены (3.28), (3.29), (3.32), либо выполнены (3.28), (3.31), (3.32). Замечание. Пример "Р = Р —- винеровская мера", показывает, что условие "Р = Р" убрать нельзя. Следствие 3,13. Б предположениях теоремы 3.10 имеем Р X Р тогда, и только
