Содержание к диссертации
Введение 4
Глава I • Считающие процессы и компенсаторы V • 28
§ 0. Сведения из общей теории процессов .28
§ I. Основные определения и свойства 37
§ 2. Пространство траекторий считающих процессов , 53
§ 3. Задание распределений считающих процессов при помощи компенсаторов• 65
Глава 2. Абсолютная непрерывность распределений считаю щих процессов 85
§ I. Локальное разложение Лебега вероятностных мер 85
§ 2. О множествах сходимости семимартингалов 89
§ 3. Компенсаторы и локально абсолютно непрерывная замена меры. Ю2
§ 4. Критерий равномерной интегрируемости и сингулярнос ти распределений считающих процессов И2
§ 5. Примеры применения критерия абсолютной непре рывности распределений считающих процессов 123
Глава 3. Предельные теоремы для считающих процессов 138
§ I. Сходимость конечномерных распределений 138
§ 2. Скорость сходимости к считающим процессам с не зависимыми приращениями 156
§ 3. Слабая сходимость распределений в пространстве Скорохода 170
§ Ц-. Сильная сходимость распределений считающих процессов 178
§ 5. Примеры 192
Глава 4, Некоторые задачи управления, связанные со считающими процессами Я°.3
§ I, Теорема существования в задаче управления локальной плотностью Д03
§ 2. Пропускная способность канала пуассоновского типа .8
§ 3. Об уравнении Беллмана для управляемых дифферен циальных уравнений, возмущаемых процессом пуассо новского типа с управляемой интенсивностью 3
§ 4. Принцип максимума Понтрягина для линейных диф ференциальных уравнений, возмущаемых процессом пуассоновского типа. 232
Глава 5.' Абсолютная непрерывность и сингулярность локально абсолютно непрерывных вероятностных распределений..246.
§ I. "Предсказуемый?1 критерий абсолютной непрерывности ве роятностных мер 246
§ 2. Достаточное условие равномерной интегрируемости одного класса неотрицательных мартингалов ?Ш
§ 3. Мульти^вариантные точечные процессы, последова тельности случайных величин 275
§ 4, Процессы с независимыми приращениями 279
§ 5. Семимартингалы 2?3
Литература о 8?
Введение к работе
Диссертация посвящена исследованию считающих процессов на полупрямой и проблеме абсолютной непрерывности вероятностных мер с точки зрения общей теории процессов.
В настоящее время один из наиболее плодотворных подходов в теории случайных процессов состоит в одновременном рассмотрении как самого процесса, так и связанной с ним "истории" - некоторого возрастающего семейства G - алгебр. Указанный подход был предложен еще в 30-е годы А.Н.Колмогоровым. Большой вклад в его развитие внесли Дж.Дуб, П.Леви, К.Ито, А.В.Скороход, И.И.Гихман, Ш.Ва-танабе, Ю.А.Розанов, А.Н.Ширяев, Б.И.Григелионис и др.
На ранних этапах развитие теории шло, главным образом, путем исследования классов процессов, у которых зависимость "будущего" от "прошлого" конкретизирована (процессы с независимыми приращениями, марковские процессы и т.п.). Одновременно развивались теории мартингалов и стохастического интегрирования, в которых вид этой зависимости не конкретизировался. К началу 70-х годов была в основном разработана теория процессов диффузионного типа, имеющих непрерывные траектории, в которой были решены такие важные проблемы, как проблема абсолютной непрерывности распределений, проблема фильтрации и др.
В 70-е годы внимание исследователей вновь привлекли разрывные процессы (Гихман, Скороход, Струк, Григелионис, Бремо и др.). Полученные в этот период результаты имели прямые аналоги среди результатов теории процессов диффузионного типа (или процессов Ито), а среди условий обычно присутствовало требование квазинепре-рывности процессов слева. Это внешне безобидное предположение нарушало логическую стройность и целостность теории. В связи с этим возникла идея изучить с точки зрения мартингального подхода в мак симальной общности наиболее простой класс разрывных процессов -считающие процессы, траекториями которых являются возрастающие ступенчатые функции с единичными скачками, не предполагая заранее никаких условий типа интегрируемости и стохастической непрерывности.
Для считающих процессов удалось построить содержательную теорию, в основе которой лежит так называемая "общая теория процессов". Последним термином обозначают разработанную сравнительно недавно, главным образом,французскими математиками (Мейер, Делла-шери и др.), математическую дисциплину, предметом изучения которой являются не столько процессы, сколько измеримые структуры, связанные с возрастающим потоком (Ґ- алгебр.
Актуальность обращения к классу считающих процессов мотивируется следующими фактами.
Бо-первых, считающие процессы очень широко используются в приложениях (теория массового обслуживания, физические и биологические модели, теория связи и т.д.).
Во-вторых, считающий процесс является "типичным" представителем класса семимартингалов. Более того, любой семимартингал раскладывается на непрерывный процесс и процесс, который есть "непрерывная" сумма (центрированных) считающих процессов. Это обстоятельство позволило распространить ряд утверждений, впервые полученных для считающих процессов, на семимартингалы. Тем не менее, специфика и простота структуры считающих процессов дает возможность получать более глубокие и законченные результаты, чем в общем случае.
В-третьих, на основе считающих процессов можно построить достаточно содержательные модели, исследование которых без мартин-гальных методов представляется затруднительным;
Изучение считающих процессов производится при помощи более элементарного аппарата, чем тот, который требуется для семимар-тингалов. В частности, нет необходимости прибегать к теории стохастического интегрирования. Поэтому изложение даже общих результатов на примере считающих процессов имеет методические преимущества.
Отметим, что в некоторых случаях исследование считающих процессов можно (а иногда даже предпочтительно) производить традиционными методами, например, использовать задание процесса при помощи условных или безусловных функций распределения моментов скачков. Однако формулировки результатов общего характера в "мартин-гальных терминах" оказываются, как правило, гораздо более прозрачными и приспособленными к дальнейшим обобщениям.
Одна из основных проблем, рассматриваемых в диссертации, касается абсолютной непрерывности и сингулярности распределений. Вначале она решается в рамках теории считающих процессов, а затем -в гораздо более общей постановке, позволяющей получить результаты типа необходимых и достаточных условий для семимартингалов, процессов с независимыми приращениями, мультивариантных точечных процессов и последовательностей.
Основными результатами диссертации являются
А. Построение аартингальной теории считающих процессов, в рамках которой
1) произведено исследование СҐ -алгебр и марковских моментов, связанных со считающими процессами,
2) доказаны теоремы существования и единственности процесса с заданным компенсатором,
3) получен критерий (а также простыв достаточные условия) абсолютной непрерывности распределений,
4-) изучен вопрос о сильной и слабой сходимости распределений, включая оценки скорости сходимости,
5) построен информационный канал пуассоновского типа и вычислена его пропускная способность,
6) предложены модели управляемых процессов, для которых получены теоремы существования, а также необходимые и достаточные условия оптимальности.
В. Доказательство критериев абсолютной непрерывности и сингулярности распределений различных классов случайных процессов, включая семимартингалы, в общей схеме, дающей единый подход ко многим результатам по данной проблематике.
Содержание работы. Диссертация состоит из введения, пяти глав, разбитых на 24- параграфа и списка литературы, включающего 400 названий.
