Введение к работе
Актуальность теда. Интерес к исследованко условно-гауссов-ских процессов.возник в связи с проблемами теории оптимальний нелинейной фильтрации случайных процессов. Оказалось, что дополнительные ^оотноыешш меэду условными старшим-' мементаки, получаемые в силу условной гауссовости приводят к замкнутости уравнений оптимальной фильтрации и пройлема находит эффективное разрешение. Впервые условно-гауссовские процессы сдай изучены Р.Ш. Липцером и А.Н.Ьиряевым в связи с исследованием вопросов фильтрации, интерполяции и экстраполяции (ФИЭ) частачно-наблвдасмых диффузионных процессов. Они же обнаружили замечательное свойство этих процессов - замкнутость системы уравнений фильтрации, т.е. возможность эффективного решения задач ФИЭ. Условно-гауссовские последовательности и задачи ФИЭ для них исследовались автором. Результаты названных выше и ряда других исследований по теории условно-гауссивских процессов и приложению результатов этой теории в статике случайных процессов, в теорию стохастического управления и теории информации вошли в монографию Р.ЫДтщера и А.Н.кіиряева "Статистика случайных процес"ов",заслужившую всеобщее признание специалистов.
Научная новизна. Диссертация посвящается выявлению свойства условной гауссовости у широкого класса случайных процессов и полей,управляемых стохастическими конечно-разносными,дифференциально-разностными уравнениями и стохастическими интегро-диффе-ренциальными уравнениями с частными производными. Для исследуемых случайных процессов и полей получены замкнутые системы уравнений оптимальной фильтрации, т.е. проблема фильтрации решена эффективно. Предложены новые нетрадиционные представления для оптимальных оценок фильтрации условно-гауссовских процессов. Изучена задача редуцирования стохастических дкфференцлаль-
_ ц _
них уравнений специального вида (именуемых уравнениями "фильтрационного" типа) к параметризованных величиной из основного вероятностного пространства обыкновенным дифференциальным уравнениям и получены представления для оптимальных опенок фильтрации удобные тем, что в них отсутствует стохастические интегралы. Решена задача оптимального управления с квадратичным функционалом потерь для системы с распределенными параметрами, описываемой стохастическими интегро-диф$еренциальными уравнениями с частными производными со стохастическими интегралами по гауссовским мартингалам на основании выявленного в работе свойства условной гауссовости системы. Показана успешность приложения результатов теории условно-гауссовских процессов к исследование такой проблзмытеории информации, как оптимальная передача гауссовских сообщений по каналу с обратной связью для случаев дискретного и непрерывного времени,.охватывающим наряду с "бесшумной" и "шумящую" обратную связь. Передача гауссовских сообщения с обратной "шумящей" связью впервые рассмотрена автором. Решение проблемы оказалось возмокяым благодаря введению дополнительного звена в схеме передачи - преобразователя обратно посылаемого сообщения - подлежащего наряду с кодирующими и декодирующими функционалами оптимизации.
Теоретическая и практическая значимость. Полученные результаты, кратко охарактеризованные выше, дают возмокность утвер-«дать, что выполненные в работе исследования формируют новое перспективное направление по теории условно-гауссовских процессов, которое будет способствовать как успешному решению ряда оакных теоретических проблем (задачи интерполяции и экстраполяции условно-гауссовских процессов, не затрагиваемые в данной работе, задачи статистики случайных процессов, стохастического
управления и т.д.),- так и ряда важных практических проблем (например, связанных с прогнозированием природных явлений или с управл ниєм летательных аппаратов).
Ап'пробацкя работы.Результаты работы докладывались автором на II и III научных сессиях Института прикладной математики Тбилисского госуниверситета (I97G и 1971), на международных конференциях по теории вероятностей и математической статистике в Вильнюсе (1973,1981 и 1985), на Европейских конгрессах статистиков в Праге (1974) и в Варне (1979),на III и ІУ Советско-Японских симпозиумах по теории вероятностей и математической статистике в Ташкенте. (1975) и в Тбилиси (1982), на У Международном симпозиуме по теории информации в Тбилиси (1978), на Международном симпозиуме по стохастическим дифференциальным уравнениям в Вильнюсе (1978), на ХІІ-ХУ Всесоюзных зимних коллоквиумах по теории вероятностей и математической статистике в Бакуриани (1978-1982), на семинарис по теории вероятностей и математической статистике Института математики АН 7ССР в Киеве (1982), на семинаре по теории вероятностей и математической статистике в Киевском госунивер- сигете юл.Т.Г.Шевченко (1982), на семинаре по случайны; процессам в Институте математики и кибернетики АН-Литовской ССР н Вильнюсе (1982) и на городском семинаре по теории вероятностей и математической статистике в ТашГУ (1983),семинаре по теории вероятностей и математичас-кой статистике Института прикладной математики и механики АН УССР в Донецке (1984). На научной сессии МИАН ГССР (1987).
Публикация .Основные результаты диссертации опубликованы в [І] ~ [25].
Структура и объем работы.Работа состоит из введения, 7 глав,разбитых на две части и списка литературы, содержащего 104 наименования работ отечественных и зарубежных авторов. Обший объем диссертации вместе со списком литературы - 312 страниц.
