Введение к работе
АКТУАЛЬНОСТЬ ТЕШ- Одной из основных задач теории вероятностей является изучение асимптотического поведения распределений сумм растущего числа случайных величин, получение для них асимптотических формул и, в частности, изучение скорости сходимости к предельным законам. В одномерном случае эта тематика восходит к работам создателей теории вероятностей, и развитые с тех пор эффективные методы, такие как метод характеристических функций и метод композиций, позволили получить точные оценки и асимптотические разложения, хотя и в этой области остается еще немало трудных нерешенных задач- В многомерном случае ситуация примерно такая же, но заметно более сложная, а в бесконечномерном случае эта теория находится сейчас в стадии интенсивного развития- Уже получен ряд окончательных результатов, часть из которых включена в диссертацию, однако ответы на многие стоящие вопросы еще неизвестны: бесконечномерность вносит существенные изменения в возникамшие вероятностные закономерности. Так, в центральной предельной теореме, в отличие от конечномерного случая, нет равномерной сходимости уие по классу всех полупространств, более сложные эффекты возникают при суммировании разкораспределенных случайных величин. Исследования здесь стимулируются как внутренний развитием теории суммирования независимых случайных величин, так и практическими запросами - в основном со стороны математической статистики.
Этой проблематике и посвяиена диссертация І в ней развиваются новые методы, позволяющие оценить точность гауссовской аппроксимации в сепарабельном вещественном гильбертовом пространстве Н-
ЦЕЛЬ РАБОТЫ - анализ точности гауссовской аппроксимации
- 4 -
вероятностей попадания нормированных суни независимых случай-
них элементов "вУнёкоторого класса.нножеств гильбертового прост
ранства Н, в частности, в шары. Указанный анализ проведен как
собственно в центральной предельной теореме, когда для случая
одинаково распределенных слагаемых точность приближения имеет
порядок , так и для асимп-
тотических разложений- Помимо случая одинаково распределенных слагаемых, рассмотрен обший случай разнораспределенных слагаемых.
МЕТОДИКА ИССЛЕДОВАНИЯ. В работе!
а) используются усовершенствованные методы характеристических
ФУНКЦИЙ и композиций,
б) применяется неравенство симметризации, позволявшее линеа
ризовать проблему,
в) дальнейшее развитие получил прием введения промежуточного
распределения со значительной гауссовской составляющей,
г) разработаны новые методы для нахождения близости распреде
лений в обшей случае разнораспределенных слагаемых.
НАУЧНАЯ НОВИЗНА- В главе 1 получены равномерные оценки скорости сходимости в центральной предельной теореме по шарам гильбертового пространства- Оценки являются правильными по зависимости от входящих в них параметров шаров и распределений слагаемых- Рассмотрены также неравномерные оценки и оценки в случае, когда порядок конечного абсолютного момента слагаемого меньше трех-
В главе 2 обобщается классический результат Эссеена для конечномерных пространств на бесконечномерное гильбертово пространство путем построения асимптотических разложений с двумя членами разложения- Построены также общие асимптотические разложения, уточняющие центральную предельную теорему в гильбертовом пространстве, с неравномерной оценкой остаточного члена
при минимальных моментных ограничениях. Зависимость оценок от ковариационного оператора слагаемых указана в явном виде-
Глава 3 содержит обобщение неулучыаемых оценок скорости сходимости в центральной предельной теореме в гильбертовом пространстве и оценок остаточного члена асимптотических разложений на случай разнораспределенных слагаемых. Указанное обобщение потребовало разработки новых приемов, позволяющих группировать разнораспределенные случайные элементы таким образом, что суммарный ковариационный оператор элементов каждой группы содержит достаточное число ненулевых собственных значений.
В главе 4 получены новые оценки для плотности нормы произвольного гауссовского элемента в гильбертовом пространстве, приводящие к двусторонним оценкам для вероятностей попадания гауссовского элемента в шары. Зависимость оценок от центров и радиусов иаров та же, что и в известных(точных]асимптотически j результатах.
ПРАКТИЧЕСКАЯ ЦЕННОСТЬ. Работа носит главным образом теоретический характер. Результаты диссертации и развитые в ней методы могут применяться в математической статистике и в дальнейших исследованиях по предельным теоремам в бесконечномерных векторных пространствах.
АПРОБАЦИЯ РАБОТЫ И ПУБЛИКАЦИИ- Основные результаты диссертации докладывались на научно-исследовательских семинарах в Математическом институте им. В-А-Стеклова Российской АН, в Московском государственном университете им.М.В.Ломоносова, в Биле-фельдеком университете, ФРГ і в Орхузском университете, Дания, на IV и V международных Вильнюсских конференциях <1985,1989), на 1-м (Ташкент,1986) и 2-й (Уппсала,1990) Всемирных конгрессах Общества Бернулли, на X Всесоюзном семинаре по проблемам непрерывности и устойчивости стохастических моделей (Куйбышев,1986), в международном Математическом центре им.С-Банаха (XXXV семестр,
- 6 -Варшава, 1990), на 4-й Российско-финской конференции по теории вероятностей и математической статистике (Москва,1993).
По тепе диссертации опубликовано 25 работ. Основные результаты содержатся в С13 - [153.
Часть результатов глав 1 и 2 получены совместно с Б.А-Занесении и Е.В.Сазоновым, что отмечается в диссертации.
СТРУКТУРА РАБОТЫ. Диссертация состоит из предисловия, четырех глав, разбитых на параграфы, и списка литературы. Общий объем - Zw страницw.
