Содержание к диссертации
Введение
Глава 1. Мартингальные меры в экспоненциальных моделях Леви 29
1.1. Вспомогательные определения и утверждения 30
1.2. Экспоненциальная модель Леви: конечный временной горизонт 36
1.3. Экспоненциальная модель Леви:
бесконечный временной горизонт 39
1.4. Экспоненциальная модель Леви с заменой времени: конечный временной горизонт 48
1.5. Экспоненциальная модель Леви с заменой времени: бесконечный временной горизонт 51
Глава 2. Оценивание волатильности в моделях с заменой времени 52
2.1. Вспомогательные определения и утверждения 52
2.2. Компенсатор меры скачков и процесс плотности 57
2.3. Фильтрация замены времени 63
Глава 3. Безарбитражность моделей с операционными издержками 69
3.1, Вспомогательные определения и утверждения 69
3.2. Основной результат 71
3.3. Доказательство основного результата 74
Список литературы 84
Указатель обозначений 93
Указатель терминов 95
- Экспоненциальная модель Леви: конечный временной горизонт
- Экспоненциальная модель Леви с заменой времени: конечный временной горизонт
- Экспоненциальная модель Леви с заменой времени: бесконечный временной горизонт
- Компенсатор меры скачков и процесс плотности
Введение к работе
1. Исторический обзор. Зарождение финансовой математики принято связывать с диссертационной работой Л. Башелье 1900 года (расчет рациональной стоимости опциона-колл в предположении, что цена акции является броуновским движением). Однако первый серьезный вклад в развитие теории относится лишь к середине века — работам Г. Марковитца 1952 г. [59] (основы теории портфеля ценных бумаг, понятие диверсификации), У. Шарпа 1964 г. [70] (теория САРМ) и некоторым другим. Следующим важным достижением являются известные работы Ф. Блэка, М. Шоулса [19] и Р. Мер-тона [60], опубликованные в 1973 г, В этих работах авторы находят рациональную (еще называемую справедливой) цену опциона-колл, предполагая, что цена акции образует геометрическое броуновское движение (т.е. экспоненту от броуновского движения со сносом). Указанные работы и возможность практического применения результатов положили начало быстрому и продуктивному развитию теории. Основные понятия, цели и результаты можно найти в монографиях [7], [8], [11], [32], [37], а также в обзорных статьях [13], [14].
Поскольку основная сложность финансовой математики происходит из-за наличия на рынке неопределенности, то математическим основанием этой науки в значительной мере является теория вероятностей.
Выделяют три основные задачи финансовой математики, так называемые "три колонны теории финансов" (см. [1; введение]):
I) оптимальное размещение ресурсов;
II) нахождение стоимости активов;
III) управление риском.
Введение
Данная работа относится ко второй "колонне", более конкретно, к теории арбитража. Эта теория, вместе с теорией САРМ, теорией максимизации полезности и теорией равновесия являются основными при решении задач второй "колонны" (см. табл. 1). Их принципиальное различие состоит в разном понимании оптимальности и справедливой стоимости.
Таблица 1. Задачи, решаемые теориями второй "колонны". В скобках указан номер "колонны", к которой относится задача.
Все имеющиеся на рынке активы можно разделить на основные (первичные) и производные (вторичные) финансовые инструменты. К основным относятся банковский счет, облигации и акции. Производные инструменты строятся на базе основных и включают в себя индексы, опционы, фьючерсы и т.д. (см., например, [2], [11; гл. I, п. 1], [43]).
Задачами теории САРМ (Capital Asset Pricing Model) являются оптимальное распределение капитала и нахождение фундаментальной стоимости основных активов (т.е. стоимости, относительно которой согласились бы все участники, если бы они располагали полной информацией). Оптимальность в этой теории понимается как максимизация средней прибыли при фиксированной дисперсии прибыли. Создатели теории — Г. Марковитц [59], У. Шарп [70] и Дж. Линт-
Введение нер [58].
Теория максимизации полезности предназначена для составления оптимального портфеля отдельного участника рынка. В рамках этой теории также вычисляется справедливая цена актива для участника — цена, по которой данному участнику безразлично, покупать или продавать актив. Как видно из названия, здесь оптимальность понимается как максимизация средней полезности от вложенных средств. Создатели этой теории — Дж. фон Нейман и О. Мор-генштерн [61], Л. Дж. Сэвидж [67].
Теория равновесия занимается поиском оптимальных портфелей и цен активов, которые приводят к равновесному состоянию рынка. Это такое состояние, в котором для каждого участника максимизируется средняя полезность от вложенных средств. Создатели теории — К. Эрроу и Г. Дебрэ (см. [28]).
2. Теория арбитража. Теория арбитража предназначена для поиска цен только производных финансовых инструментов. Эта задача решается следующим образом. Вводится понятие отсутствия арбитража, которое отражает невозможность получения прибыли без каких-либо затрат. Цена производного финансового инструмента считается справедливой, если введение инструмента на рынок с данной ценой не приведет к появлению арбитражных возможностей.
Создание теории арбитража восходит к уже упоминавшимся работам [19], [60] (в этих статьях еще не возникает понятия арбитража), работам С. Росса и Р. Ролла [64], [65], а также работам Дж. М. Хар-рисона, Д. М. Крепса и С. Р. Плиски [40], [41], [56].
Поясним основную идею теории на примере простейшей одноша-говой модели. Пусть О = {a>i,W2}j Р({ші}) = Pi P({w2}) — 1 — P, p (0,1). Пусть So Є R, Si(wi) = SQ + a, Sifo) = 50 - 6, a, b > 0, F — случайная величина. С финансовой точки зрения, Sn — это
Введение цена акции в момент n, F — платежное поручение, т.е. контракт, продавец которого обязуется выплатить покупателю сумму F в момент 1.
Допустим, что агент в начальный момент времени имеет сумму х Є R и покупает h К акций. Его капитал в момент 1 составляет х + h{S\ — So). Рассмотрим систему уравнений на неизвестные х и h: 'я+ /1(51(^1)-50)=^1)5 z + /i(Si(w2)-50) = F(w2). Эта система имеет единственное решение ил __ FM - F{w2) a + b х* = -^-hFM + -^rFM. a + 0 a + о
Теория арбитража утверждает, что справедливая цена F равна х*. Действительно, предположим, что х — цена F, х > х*, и рассмотрим следующую операцию. В момент 0 продадим контракт F по цене х и купим h* акций, а в момент 1 продадим акции и выплатим сумму F. Прибыль от такой операции составит х + Л*(Si - S0) - F = х - х* > О, т.е. мы получим арбитраж. Если бы на рынке существовала подобная возможность, то ею стали бы пользоваться все участники. Это быстро привело бы к изменению цен таким образом, чтобы арбитражная возможность исчезла.
Аналогичная ситуация возникает и в предположении, что справедливая цена х < х*.
Сделаем одно замечание о рассмотренной модели. Определим вероятностную меру Q по формуле:
Введение
Мера Q эквивалентна Р, EqSi = So, EqF = х* (здесь " Eq" означает математическое ожидание по мере Q). Таким образом, справедливая цена F является математическим ожиданием выплат платежного поручения по мере, эквивалентной исходной, относительно которой процесс цены является мартингалом. Это свойство оказывается верным и в гораздо более общих ситуациях.
Рассмотрим модель дискретного времени (с конечным временным горизонтом) (О, J7, (^1)0=0,...,^5 Р> (Sn)n=Q,...,N) , где Т — тривиальная а -алгебра, ,7-дг = J7, (S„)n=o,.,.,iV — JR.1*-значная согласованная случайная последовательность. С финансовой точки зрения, S^ — это дисконтированная (т.е. приведенная по стоимости к начальному моменту времени) цена г-го актива в момент п. Возможные (дисконтированные) прибыли, которые могут быть получены в этой модели, образуют множество:
1 = 1 71=1 '
Нгп — И-значные, ^Гп_1-измеримые случайные величины >.
Условие отсутствия арбитража (no arbitrage, NA) определяется следующим естественным образом:
Л п L% = {0}, (1) где L+ -— множество неотрицательных случайных величин. Введем множество мартингалъных мер
Л4 = {Q ~ Р : 5 является (^, Q)-мартингалом}. (2)
Справедливо следующее утверждение.
Введение
Предложение 1. (Первая фундаментальная теорема теории арбитража.) В модели с дискретным временем отсутствует арбитраж тогда и только тогда, когда М. ф 0 .
Этот результат впервые был получен Дж. М. Харрисоном и С. Р. Плиской в работе [41] в предположении, что множество элементарных исходов Q является конечным. Теорему в полной общности доказали Р. К. Даланг, А. Мортон и У. Уиллинджер в статье [27], более простые доказательства были предложены в ряде работ: [4], [45], [53], [63], [68] и [72] (см. также [11; гл. V, 2Ь]).
Определим платежное поручение как J-pi -измеримую случайную величину. Модель рынка называется полной, если для любого платежного поручения F найдется х Е и X Є А такие, что х + X = F п.н. Это свойство допускает простую характеризацию (см. [45], [11; гл. V, 4f, т. В*]).
Предложение 2. (Вторая фундаментальная теорема теории арбитража.) Модель с дискретным временем полна тогда и только тогда, когда \Л4\ = 1, где М. определено в (2) {здесь через |Л4| обозначено число элементов во множестве Л4).
Число х* называется справедливой ценой, если в модели с расширенным множеством возможных прибылей A={X + h(F-x*): ХеД/іЄІ} отсутствует арбитраж. Основным результатом теории (с точки зрения практического применения) является следующее утверждение (см. [11; гл. VI, 1с, т. 1]).
Предложение 3. Пусть F — ограниченное снизу платежное поручение. Пусть в модели с дискретным временем отсутствует
Введение арбитраж:. Тогда множество справедливых цен поручения F совпадает со множеством {EqF : Q Є Л4: Eq|F| < со}, где Л4 определено в (2).
Отметим, что теория дает формулу для цен платежного поручения только в случае отсутствия арбитража, т.е. "допустимыми" являются лишь безарбитражные модели.
В моделях с непрерывным временем понятие без арбитр ажио сти, определяемое формулой (1), является слишком слабым, и оно не позволяет получать результаты, подобные приведенным выше. В то же время, можно давать более сильные определения безарбитражно-сти, для которых верны "аналоги" фундаментальных теорем (см. [11; гл. VII, п. 2]). Обычно при этом вместо (1) рассматривается следующее условие:
АПЬ+ = {0}, где А — некоторое замыкание множества возможных прибылей А. Это множество (т.е. класс допустимых стратегий) и его замыкание в разных работах рассматриваются в разных смыслах. Некоторые результаты мы приведем ниже.
В заключение описания теорий второй "колонны" сравним ответы, которые они дают на вопрос о стоимости производных финансовых инструментов. Для простоты будем считать, что на рынке имеется лишь один актив (см. рис. 1). интервал справедливых цен
1 . . . »— * . 1 І І 1 I t справедливые цены участников равновесная цена
Рисунок 1. Цены производных финансовых инструментов.
Введение
Теория максимизации полезности дает по одной справедливой цене для каждого участника; теория равновесия — единую "равновесную" цену; теория арбитража — интервал цен. Столь различные ответы объясняются количеством исходных данных. Теории максимизации полезности и равновесия предполагают известным гораздо больше информации (например, функции полезности участников), чем теория арбитража. Последняя теория требует лишь знание распределения процесса цены и текущего значения цены имеющихся на рынке активов. И даже не всегда — в ряде работ, например, в [20], [23], [42] распределение процесса цены не предполагается известным. По этой причине теория арбитража (в отличие от теории равновесия) очень широко используется в практических расчетах.
Как было отмечено выше, необходимым условием применимости теории арбитража является безарбитражность модели. Поэтому в применении к конкретным моделям это условие должно быть проверено в первую очередь, тем самым создавая основу для дальнейших рассуждений.
Первая глава диссертации посвящена нахождению критериев бе-зарбитражности для двух классов моделей, основанных на процессах Леви. Вторая глава относится к оценке внутренней волатильности в этих моделях. В третьей главе доказывается первая фундаментальная теорема теории арбитража для моделей с дискретным временем и операционными издержками.
Остановимся подробнее на целях, методах и результатах каждой из глав.
3. Мартингальные меры в экспоненциальных моделях Леви. В главах 1 и 2 данной работы мы рассматриваем следующие два класса моделей с непрерывным временем, популярные в современной финансовой математике (см. [11], [17], [21], [47]).
Введение
1) Экспоненциальная модель Леви — это модель, в которой процесс дисконтированной цены имеет вид St = eXt, (З) где X — (одномерный) процесс Леви.
2) Экспоненциальная модель Леви с заменой времени — это модель, в которой процесс дисконтированной цены имеет вид St = e^Xor\ (4) где X — (одномерный) процесс Леви, г — независимый с X неубывающий процесс, (X or)t — Хп (эта модель была введена в [21]).
Отметим, что необходимость усложнения моделей вызвана потребностью в более точном описании динамики цен. Классическая модель Блэка-Шоулса, в которой процесс цены предполагается геометрическим броуновским движением, обладает рядом несоответствий со статистическими данными (см. [11; гл. Ill, 4Ь, гл. IV, п. 2,3]). Например, нормальность приращений логарифмов цен и их независимость не подтверждаются для реальных цен. Избавиться от предположения о нормальности позволяют обе модели (3) и (4), а модель (4) допускает зависимые приращения.
Как было отмечено выше, понятие арбитража может быть введено неоднозначно в моделях с непрерывным временем. Остановимся на трех из этих понятий.
1) Бесплатный ленч (free lunch, FL). Это понятие впервые появляется в работе Дж. М. Харрисона и Д. М- Крепса [40] для обозначения арбитража в смысле формулы (1). Д.М. Крепе обобщил это понятие в работе [56]. Он, в частности, показал, что отсутствие (введенного им) бесплатного ленча является необходимым для
Введение существования мартингальной меры, и нашел некоторые достаточные условия. Его результаты применимы для произвольных моделей с дискретным или непрерывным временем. Это понятие положило начало исследованиям различных усилений (1).
Бесплатный ленч с исчезающим риском (free lunch with vanishing risk, FLVR). Это понятие традиционно рассматривается для моделей с непрерывным временем. Оно было предложено Ф. Делбаеном и У. Шахермайером в [30]. В первой фундаментальной теореме теории арбитража (ФТТА), полученной авторами в [31], устанавливается связь между отсутствием арбитража и существованием сигма-мартингальной меры (см. предложение 4 ниже). Таким образом, введение FLVR позволяет получить первую ФТТА для моделей с непрерывным временем. Для этого понятия есть также аналоги предложений 2 и 3 — различные формы второй ФТТА получены в работах [15], [16], [31]; аналог предложения 3 (с иным определением справедливых цен через суб- и су-перреплицирование) — в [31], [35], [36]. Во всех этих результатах процесс цены предполагается семимартингалом.
Обобщенный арбитраж: (generalized arbitrage, GA). Это понятие было предложено А. С. Черным в работе [23]. Первая ФТТА, полученная в [23], устанавливает связь между отсутствием обобщенного арбитража и существованием (равномерно интегрируемой) мартингальной меры (см. предложение 5 ниже). В работе [23] также получен аналог предложения 3. В этих результатах процесс цены предполагается неотрицательным согласованным процессом.
Приведем формулировки первой фундаментальной теоремы теории арбитража для второго и третьего подхода. Рассмотрим модель (0,^,(^), P,(St)),
Введение где параметр t принадлежит либо интервалу [О, Т], либо [0, сю), J^o — тривиальная а -алгебра, {Ft) — непрерывная справа полная фильтрация, (St) — Е^-значный согласованный процесс с cadlag (т.е. непрерывными справа с пределами слева) траекториями. С финансовой точки зрения, SI — это дисконтированная цена г-го актива в момент времени t.
Определим множества: _Ma = {Q ~ Р : 5 является (.7^, (З)-сг-мартингалом}; j\A = {Q ~ Р : S является {Tt) (З)-мартингалом}; UM ~ {Q ~ Р : S является (.7-^, С})-равномерно интегрируемым мартингалом}.
Элемент из М.а (соотв., из М, UM) называется а-мартингалъной (соотв., мартингалъной, равномерно интегрируемой мартингалъной) мерой. Напомним, что понятие сигма-мартингала (см. определение 1.6) было введено в работах К.-С. Шу [22] и М. Эмери [34]. Это понятие обобщает понятие локального мартингала.
Предложение 4. (ФТТА в традиционной форме.) Пусть процесс S — произвольный {Tt, Р) -семимартингал. В модели с конечным или бесконечным временным горизонтом отсутствует, бесплатный ленч с исчезающим риском [или, что эквивалентно, бесплатный ленч с ограниченным риском) тогда и только тогда, когда Маф0.
Доказательство см. в [31]. Более простое доказательство было предложено в работе [49].
Предложение 5. (ФТТА в альтернативной форме.) Пусть процесс S — произвольный {Tt) -согласованный cadlag процесс.
Введение (і) В модели с конечным временным горизонтом отсутствует обобщенный арбитраж, тогда и только тогда, когда М. ф 0. (И) В модели с бесконечным временным горизонтом отсутствует обобщенный арбитраж тогда и только тогда, когда ЫМф0.
Доказательство см. в [23].
Заметим, что множества ЛІ и UM. часто встречаются в работах по финансовой математике. Например, при дополнительных ограничениях на модель множество /Аа в традиционной ФТТА можно заменить на Л4 (или UM.) (см. [30]).
В первой главе диссертации мы изучаем проблему существования и единственности о--мартингальнои, мартингальнои и равномерно интегрируемой мартингальнои меры для моделей (3) и (4) с конечным и бесконечным временным горизонтом. Единственная нерешенная проблема — это изучение Л4а для модели (4) с бесконечным временным горизонтом (см. таблицу 1 на с. 30).
Для формулировки результатов нам необходимо напомнить определения двух классических моделей финансовой математики (см., например, [11; гл. Ill, 4Ь], [8; гл. III, 3.2]).
1) Модель Блэка-Шоулса — это модель, в которой процесс дискон тированной цены имеет вид St = е^+аВ\ (5) где В — броуновское движение, О ф 0.
2) Модель Мертона — это модель, в которой процесс дисконтиро ванной цены имеет вид St=e^t+
Введение
Основное содержание первой главы составляют следующие результаты. Предположим, что X — ненулевой процесс Леви, т — отличный от константы неубывающий процесс с cadlag траекториями, независимый с X.
Теорема 6. Рассмотрим модель (3) с конечным временным горизонтом, т.е. X = (Xt)te[o,T] (і) Мы имеем Л4а = 0 <& М. ~ 0 4Ф- X — монотонный процесс. (И) Предположим, что Ма ф 0 Тогда \Ма\ = 1 & \М\ = 1 & модель является моделью Блэка-Шоулса или Мертона.
Доказательство этого утверждения (теоремы 1.11, 1.12) получается применением преобразования Эшера (см., например, [11; гл. VII, 3с]), т.е. заменой меры вида P\(dx) = с(Х)еХх P(dx). Отметим, что часть (і) этой теоремы была установлена другим методом в [47]. Мы приводим иное доказательство, которое затем используется при получении пункта (И).
Теорема 7. Рассмотрим модель (4) с конечным временным горизонтом, т.е. X = (Xt)t^o, г = (п)іф,т\ (і) Мы имеем Ліс = 0 -фф- ЛЛ = 0 4Ф- X — монотонный процесс. (и) Предположим, что Ма ф 0- Тогда \Ма\ = 1 <$ \М\ = 1 -ФФ-т — детерминированный, непрерывный процесс и модель является моделью Блэка-Шоулса или Мертона.
Это утверждение (теоремы 1.18, 1.19) в силу независимости процессов Хит является следствием теоремы 6.
Теорема 8. Рассмотрим модель (3) с бесконечным временным горизонтом, т.е. X = (Xt)t^o- (і) Множество М.а не пусто только в следующих двух случаях:
Введение S является Р -мартингалом; ESi <1 и скачки процесса S не ограничены сверху. (И) Предположим, что Л4С Ф 0. В этом случае \Л4(т\ ~ 1 тогда и только тогда, когда модель является моделью Блэка-Шоулса или Мертона. (iii) Мы имеем ІЛЛІ = 0.
Доказательство пункта (і) (теорема 1.13) является самым сложным в данной главе. Оно состоит из двух частей: нахождение стратегий, реализующих арбитраж во всех случаях, кроме (а) и (Ь), и построение мартингальнои меры как предела согласованных мер в случае (Ь).
Пункт (іі) вытекает из доказательства пункта (і), а пункт (Ш) (теорема 1.17) основывается на простейшем свойстве равномерно интегрируемых мартингалов.
Теорема 9. Рассмотрим модель (4) с бесконечным временным горизонтом, т.е. X = (Xt)r^o, т = (т^)^о- Предположим, что Тоа — со п.н. Тогда UA4 = 0.
Это утверждение (теорема 1.20) аналогично пункту (Ш) предыдущей теоремы.
Заметим, что из полученных результатов следует, что в моделях (3) и (4) с конечным временным горизонтом оба условия безар-битражности эквивалентны: NFLVR & NGA (NFLVR — отсутствие бесплатного ленча с исчезающим риском, NGA — отсутствие обобщенного арбитража), причем эти модели практически всегда безарбитражны. В моделях (3) и (4) с бесконечным временным горизонтом всегда существует обобщенный арбитраж, в то время как бесплатный ленч с исчезающим риском может отсутствовать.
Введение
Приведем пример подобной ситуации, предложенный А. С. Черным в работе [23].
Пример 10. Рассмотрим модель Блэка-Шоулса с бесконечным временным горизонтом и процессом цены St = еВ(-(/2, і ^ 0, где В — броуновское движение. Исходная вероятностная мера является мартингальной, поэтому Л4а ф 0, т.е. бесплатного ленча с исчезающим риском нет. В то же время, в этой модели есть обобщенный арбитраж, поскольку ЫМ. — 0 .
Покажем, что модель этого примера естественнее считать арбитражной. Пусть т = mf{ ^0: St = 0.5} (см. рис. 2).
Рисунок 2. Арбитражная ситуация на рынке Блэка-Шоулса с бесконечным временным горизонтом.
Так как St -$ Q при t —у со, то т < со п.н. Рассмотрим следующую стратегию: осуществим короткую продажу одной акции в начальный момент времени и купим ее в момент г. Прибыль от этой операции составит 1 — 0.5 = 0.5, т.е. мы получаем арбитражную возможность (эта стратегия реализует и обобщенный арбитраж).
4. Оценивание волатильности в моделях с заменой времени. Понятие волатильности, отражающее меру изменчивости финансового рынка, не имеет однозначного определения — в разных
Введение ситуациях рассматриваются разные волатильности. Выделим некоторые понятия (см. [11; гл. IV, 3а]).
1) Реализованная {realized) волатилъностъ. Это понятие основано на вариационных характеристиках процесса цены. Предположим, что процесс цены S является семимартингалом и рассмотрим выражение:
Е,= lira E^-VJ2, где Тп = {(ii,..., tn) : 0 = ti < ... < tn = t} — разбиения с убывающим к нулю шагом. Если траектории процесса Sf дифференцируемы, то волатильность можно определить по формуле:
2) Предполагаемая {implied) волатилъностъ. Это понятие основано на обращении формулы Блэка-Шоулса — формулы для справед ливой цены Q опциона-колл (т.е. платежного поручения с выпла той {St—К)+ в момент времени Г) в момент t в модели (5). Эта цена зависит (помимо ) от пяти параметров (см. [11; гл. VIII, 1Ь]): Q=Q(So,T,^;a,r), (7) где г — безрисковая процентная ставка (отметим, что Q не зависит от параметра модели fi). Однако на рынке уже имеются опционы-колл с некоторыми Т и К, и для них известны цены. Тогда, подставляя в формулу (7) известные значения Sq , Т, К, гиС(, мы получаем уравнение на неизвестное о-. Решение этого уравнения а — a{i) является оценкой волатильности на рынке в момент времени t.
3) Модельная (или внутренняя) волатилъностъ: производная за мены времени. Это понятие рассматривается также в работе [21],
Введение
Пусть X — процесс со стационарными приращениями, т —- неотрицательный неубывающий процесс с абсолютно непрерывными траекториями, т% = / Asds, t ^ 0. Jo
Предположим, что процесс цены имеет вид S = ехр(Х о т). Если значения А являются большими, то это приводит к сильному изменению т за небольшой промежуток времени, а значит вызывает большие колебания процесса цены. Наоборот, если значения А малы, то изменения цен будут меньшими. Поэтому значения А естественно рассматривать как параметр изменения рынка, т.е. как волатильность.
Для первого и третьего понятий можно говорить и о стохастической волатильности, поскольку получаемые процессы не обязательно являются детерминированными.
Рассмотрим третье понятие волатильности в применении к моделям вида (4).
В работе М. Винкеля [74] ставится вопрос о фильтрации процесса т в этих моделях. Автор интересуется ситуациями, когда возможна полная фильтрация этого процесса. Он приходит к следующему результату: если X — процесс Леви, не являющийся составным пуассоновским процессом (см. определение 2.1), г — независимый с X непрерывный неубывающий процесс, то возможна полная фильтрация процесса т. Другими словами, для любого t существует измеримый функционал ft : Z?([0,]) -> Ш [D([0,t]) — пространство cadlag функций на [0, t]) такой, что ft((X or)S} s ^t) = n п.н. Этот функционал явно выписывается в [74]. Итак, если X не является составным пуассоновским процессом, то мы можем точно найти г и вычислить волатильность — производную г.
Мы рассмотрим случай, когда X является составным пуассонов-
Введение ским процессом. В этом случае полная фильтрация невозможна, однако можно получать оценки для At, Одной из наиболее естественных оценок является условное математическое ожидание E(At\(XoT)a,s^t).
Во второй главе мы находим эту оценку в предположении, что известно распределение процесса А. Именно, имеет место следующее утверждение (теорема 2.15).
Теорема 11. Пусть Qa = Ьа\л/(Л(; і ^ Т). Тогда E(At\{Xor)3 = xSys^t) = / a(t) ТТ a(s)-expf-v(R) a(s) ds\ QA(da) s^t: Дх,^0
I TT a(s)-exp\-v(R) I a(s)ds\ QA(da) s^t: Axs^0 если знаменатель отличен от нуля. Здесь v — мера Леви процесса X.
Теорема доказывается в два этапа. Сначала устанавливается, что распределение X от абсолютно непрерывно относительно распределения X, и находится явный вид плотности (теорема 2.14). Этот результат получается вычислением компенсатора процесса Хот (теорема 2.12) и применением теорем из стохастического анализа (предложения 2.9, 2.10). Второй этап — получение самой оценки — базируется на обобщенном варианте формулы Байеса (предложение 2.11).
Остановимся подробнее на результате о компенсаторе (теорема 2.12), поскольку он представляет самостоятельный интерес (определения см. в параграфе 2.1). Пусть v — мера Леви составного пуассоновского процесса X.
Введение 21
Теорема 12. Компенсатор меры скачков процесса X от относительно фильтрации Т*ОТ = a(XTt, s ^ t), t > 0 имеет вид E(At\F?T)(aj)dtv{dx) с измеримой по паре (і,ш) версией условного математического ожидания.
Из этого результата легко получается следующее утверждение (следствие 2.13).
Следствие 13. Пусть т = fRxv(dx) < со. (і) Пусть (J-t T,T)t^o — правая модификация фильтрации, порожденной процессами Хот и т. Процесс X от представим в виде (Xor)t = m As ds + Mt, t^ 0, Jo где M — (J-t or,TjP) -локальный мартингал. (п) Пусть (^Xor)t^o — натуральная фильтрация процесса X от (она автоматически непрерывна справа). Этот процесс представим в виде (X о r)t = т [ E{As\F*OT) ds -rMt, t^ 0, Jo где M — {J7^07', P) -локальный мартингал.
Это следствие можно рассматривать как своеобразный аналог теоремы об обновляющих процессах (см. [5; т. 7.12]), приводимой ниже.
Предложение 14. Пусть Y — процесс Ито на пространстве (П,^№Ьо,Р) вида Yt= / a3ds + Ви t ^ 0, Jo
Введение где В — {Ft, Р) -броуновское движение и для любого Т ^ О /0 Е|ая| ds < оо. Тогда этот процесс представим в виде Yt= [ Efa.lJ?)ds + 4. * > О. ./о вское движение, a (J^ ) = ст(У^, $ ^ ).
Иными словами, пусть процесс /0а5сз "компенсирует" процесс У до броуновского движения относительно фильтрации (Ft). Тогда процесс /0 E(as\^) ds "компенсирует" процесс У до (другого) броуновского движения относительно натуральной фильтрации процесса У. Компенсаторы составного пуассоновского процесса из следствия 13, понимаемые в ином смысле (как дополняющие процесс до локального мартингала), выглядят точно так же.
Итак, оценка (8), с одной стороны, является оценкой волатильно-сти, а с другой стороны, она представляет собой компенсатор процесса цены.
5. Безарбитражность моделей с операционными издержками. Модели с операционными издержками — это модели, в которых цена, по которой агент может купить актив (верхняя цена, цена покупателя, ask price) выше цены, по которой этот актив можно продать (нижняя цена, цена продавца, bid price). Такие модели значительно лучше отвечают реальной ситуации на финансовом рынке, чем модели без издержек, и им уделяется большое внимание в современной теории (см. [23], [25], [26], [29], [48], [50], [51], [52], [54], [55], [57], [69], [71]). Существуют различные подходы к построению моделей рынка с операционными издержками.
Выделим три подхода. Отметим, что они применимы к моделям со многими активами как с дискретным, так и с непрерывным временем.
Введение
Подход, предложенный Е. Джуини и X. Каллалом в работе [48]. Этот подход, по выражению самих авторов, следует духу работы Дж. М. Харрисона и Д.М. Крепса [40]. Авторы [48] вводят понятие арбитража (по аналогии с [40] называемое бесплатным ленчем) и находят критерий безарбитражности. В этом подходе прибыль (или платежное поручение) является случайной величиной, как и в моделях без операционных издержек. С финансовой точки зрения, эта величина означает сумму денег, получаемую после продажи всех имеющихся активов.
Подход, представленный серией работ: [25], [26], [29], [51], [52], [54], [55], [57], [69], [71]. В этом подходе под прибылью (или платежным поручением) понимается d-мерный случайный вектор, где d — количество активов на рынке. С финансовой точки зрения, г-я компонента этого вектора означает количество активов і-го типа, имеющихся у агента. Данный подход оказывается естественным при рассмотрении валютных рынков (см. [50]). В нем учитывается тот факт, что при наличии операционных издержек ценность портфеля, составленного из активов, больше ценности суммы денег, получаемых при его обналичивании.
Подход, предложенный А. С. Черным в работе [23]. Этот подход похож на первый, однако между подходами есть некоторые существенные отличия. Например, все величины в [48] предполагаются квадратично интегрируемыми, в то время как в [23] ограничений на интегрируемость нет; различны и понятия арбитража, вводимые в этих работах.
В диссертации мы рассматриваем третий подход. В соответствии с ним, заданы два процесса Sa ж S\ означающие дисконтированные верхнюю и нижнюю цены некоторого актива, Sa ^ Sb. (В работе мы рассматриваем лишь одномерную ситуацию, в то время как поста-
Введение новка задачи в [23] многомерна.) Из результатов [23] следует, что в модели с непрерывным временем отсутствует обобщенный арбитраж (это понятие вводится в [23]) тогда и только тогда, когда существует эквивалентная мера Q и Q-мартингал М такой, что Sb ^ М ^ Sa (в многомерном случае это неравенство понимается покомпонентно).
В третьей главе диссертации доказывается аналогичный результат для модели с дискретным временем с заменой условия отсутствия обобщенного арбитража на классическое условие отсутствия арбитража (1) (теорема 3.7). Это делается в дополнительном предположении, что пространство элементарных исходов Q счетно. (Другое ограничение уже было упомянуто: мы рассматриваем только одномерные модели.) Отметим, что если пространство Г2 конечно, а процессы Sa и Sb положительны, то полученный результат может быть выведен из [54].
Итак, пусть (Q, F% (-?""п)п=о,...,лг, Р) — некоторое фильтрованное вероятностное пространство. Предположим, что Tq — Р -тривиальная а -алгебра. Пусть 5 и Sb —- R-значные (JT„)-согласованные последовательности. С финансовой точки зрения, S% (соотв., S„) — это дисконтированная верхняя (соотв., нижняя) цена некоторого актива в момент времени п (предполагается, что банковская ставка постоянна) . В частности, Sa ^ Sb.
Возможные дисконтированные прибыли, которые могут быть получены в этой модели, образуют множество
Г N Л = I )[-#„/(#„ > 0)5- - HJ(Hn < 0)Sbn] : ^га=0
Нп —Ж-значные ^-измеримые величины и Yj Нп = 0 >.
71=0 ^ ( Sa=o Нк ~~ эт0 количество располагаемых активов в момент времени п).
Введение
Основным результатом третьей главы является следующее утверждение (теорема 3.7).
Теорема 15 (ФТТА). Предположим, что множество Q счетно. В модели отсутствует классический арбитраж (определяемый формулой (1)) тогда и только тогда, когда существует вероятностная мера Q ~ Р и (J-n,Q)- мартингал М такой, что Sb^M^Sa.
Достаточность в этом утверждении устанавливается просто. Основная часть доказательства — проверка необходимости. Для этого мы показываем (следствие 3.13), что выполнено условие
А^ЩпЬ+ = {0}, (9) где черта означает замыкание по вероятности. Это наиболее сложный шаг в доказательстве. Он основан на рассмотрении семейства моделей, полученных из исходной заменой меры Р на меры Р( 1^)(^). В этих моделях цены акций и количество располагаемых активов в моменты 0 и 1 являются числами. Перебалансировка активов в эти моменты позволяет перейти к моделям меньшей размерности по времени и получить требуемое утверждение, пользуясь математической индукцией (см. лемму 3.12).
После того, как установлено свойство (9), искомый результат получается использованием теоремы Д. М. Крепса и Дж. А. Яна (предложение 3.3), техники огибающих Снелла (см., например, [33]) и одного результата о суб- и супермартингалах (предложение 3.4).
Из теоремы 15 и результатов работы [23] следует, что в рассматриваемой модели (если пространство Q счетно) эквивалентны условия безарбитражности: NA о NGA.
Введение
Рассмотрим теперь модель с пропорциональными операционными издержками, т.е. модель, основанную на неотрицательном (^ъ)-согласованном процессе 5, в которой Sa = 5, Sb = (1 — a)S, где о; [0,1) -— коэффициент пропорциональных операционных издержек. В этой модели фундаментальную теорему можно сформулировать в другом виде. Нам понадобится определение из работы [23].
Определение 16. Пусть а Є 0,1]. Процесс Z со значениями в Ш+ называется (J-t) -дельта-мартингалом порядка а, если (i) Z — (JFt) -согласованный процесс с cadlag траекториями; (ii) для любого t EZt < оо; (iii) для любых (JF() -моментов остановки и ^ v выполняется неравенство E(ZV | Fy) : Zu, где ж и t/ (здесь х, у ^ 0) означает, что ах ^.у ^ a~lx.
Дельта-мартингалы допускают следующую характеризацию.
Предложение 17. Неотрицательный (JFt) -согласованный процесс Z с cadlag траекториями является дельта-мартингалом порядка а тогда и только тогда, когда существует [Tt)- мартингал М такой, что aZ = М ^ Z.
Доказательство см. в [23].
Из теоремы 15 и предложения 17 вытекает следующее утверждение (следствие 3.8).
Следствие 18. Предположим) что множество П счетно. Модель с пропорциональными операционными издержками удовлетворяет условию отсутствия арбитража тогда и только тогда, когда существует вероятностная мера Q ~ Р такая, что процесс S является (J-n,Q) -дельта-мартингалом порядка 1-а.
Введение
В заключение отметим один довольно неожиданный факт, отличающий модели с операционными издержками от классических (т.е. моделей без издержек). В классических моделях с дискретным временем множество Л — L+ оказывается замкнутым по вероятности, т.е. A-L% = A-L% (10) (проверка этого свойства составляет основное содержание "функциональных" доказательств ФТТА; см. [4], [53], [68], [72]). В моделях же с операционными издержками свойство (10) может нарушаться (см. пример 3.9). Именно поэтому при доказательстве ФТТА мы проверяем более слабое, но достаточное для наших целей свойство (9).
6. Структура работы. Диссертация построена следующим образом. Каждая глава начинается со вспомогательных определений и утверждений. Все эти определения и большая часть утверждений взяты из приводимой литературы. Со второго параграфа каждой главы начинается изложение собственных результатов работы.
Цитируемые утверждения носят название предложений, собственные результаты работы называются теоремами (вспомогательные утверждения — леммами).
Нумерация определений и утверждений сплошная внутри каждой главы. При этом принята двойная система нумерации: предложение 2.1 означает первое предложение второй главы. То же самое касается нумерации формул.
7. Апробация диссертации. Результаты, относящиеся к дис сертации, были изложены автором на следующих конференциях.
1. XXXVI конференция молодых ученых механико-математического факультета МГУ им. М, В. Ломоносова. Конференция проводилась в апреле 2004 года. Название доклада: "Критерии безарбитражности в экспоненциальных моделях Леви."
Введение
2. Third World Congress of the Bachelier Finance Society. Конференция проводилась в июле 2004 года в Чикаго (США). Название доклада: "On the martingale measures in exponential Levy models."
По теме диссертации был сделан доклад на Большом Семинаре кафедры теории вероятностей механико-математического факультета МГУ.
К теме диссертации относятся следующие статьи автора: [76], [77], [78], [79].
Работа выполнена под руководством к.ф.-м.н. А. С. Черного, которому автор выражает глубокую благодарность.
Экспоненциальная модель Леви: конечный временной горизонт
Зарождение финансовой математики принято связывать с диссертационной работой Л. Башелье 1900 года (расчет рациональной стоимости опциона-колл в предположении, что цена акции является броуновским движением). Однако первый серьезный вклад в развитие теории относится лишь к середине века — работам Г. Марковитца 1952 г. [59] (основы теории портфеля ценных бумаг, понятие диверсификации), У. Шарпа 1964 г. [70] (теория САРМ) и некоторым другим. Следующим важным достижением являются известные работы Ф. Блэка, М. Шоулса [19] и Р. Мер-тона [60], опубликованные в 1973 г, В этих работах авторы находят рациональную (еще называемую справедливой) цену опциона-колл, предполагая, что цена акции образует геометрическое броуновское движение (т.е. экспоненту от броуновского движения со сносом). Указанные работы и возможность практического применения результатов положили начало быстрому и продуктивному развитию теории. Основные понятия, цели и результаты можно найти в монографиях [7], [8], [11], [32], [37], а также в обзорных статьях [13], [14]. Поскольку основная сложность финансовой математики происходит из-за наличия на рынке неопределенности, то математическим основанием этой науки в значительной мере является теория вероятностей. Выделяют три основные задачи финансовой математики, так называемые "три колонны теории финансов" (см. [1; введение]): I) оптимальное размещение ресурсов; II) нахождение стоимости активов; III) управление риском. Данная работа относится ко второй "колонне", более конкретно, к теории арбитража. Эта теория, вместе с теорией САРМ, теорией максимизации полезности и теорией равновесия являются основными при решении задач второй "колонны" (см. табл. 1). Их принципиальное различие состоит в разном понимании оптимальности и справедливой стоимости. Все имеющиеся на рынке активы можно разделить на основные (первичные) и производные (вторичные) финансовые инструменты. К основным относятся банковский счет, облигации и акции. Производные инструменты строятся на базе основных и включают в себя индексы, опционы, фьючерсы и т.д. (см., например, [2], [11; гл. I, п. 1], [43]). Задачами теории САРМ (Capital Asset Pricing Model) являются оптимальное распределение капитала и нахождение фундаментальной стоимости основных активов (т.е. стоимости, относительно которой согласились бы все участники, если бы они располагали полной информацией).
Оптимальность в этой теории понимается как максимизация средней прибыли при фиксированной дисперсии прибыли. Создатели теории — Г. Марковитц [59], У. Шарп [70] и Дж. Линт- нер [58]. Теория максимизации полезности предназначена для составления оптимального портфеля отдельного участника рынка. В рамках этой теории также вычисляется справедливая цена актива для участника — цена, по которой данному участнику безразлично, покупать или продавать актив. Как видно из названия, здесь оптимальность понимается как максимизация средней полезности от вложенных средств. Создатели этой теории — Дж. фон Нейман и О. Мор-генштерн [61], Л. Дж. Сэвидж [67]. Теория равновесия занимается поиском оптимальных портфелей и цен активов, которые приводят к равновесному состоянию рынка. Это такое состояние, в котором для каждого участника максимизируется средняя полезность от вложенных средств. Создатели теории — К. Эрроу и Г. Дебрэ (см. [28]). 2. Теория арбитража. Теория арбитража предназначена для поиска цен только производных финансовых инструментов. Эта задача решается следующим образом. Вводится понятие отсутствия арбитража, которое отражает невозможность получения прибыли без каких-либо затрат. Цена производного финансового инструмента считается справедливой, если введение инструмента на рынок с данной ценой не приведет к появлению арбитражных возможностей. Создание теории арбитража восходит к уже упоминавшимся работам [19], [60] (в этих статьях еще не возникает понятия арбитража), работам С. Росса и Р. Ролла [64], [65], а также работам Дж. М. Хар-рисона, Д. М. Крепса и С. Р. Плиски [40], [41], [56].
Экспоненциальная модель Леви с заменой времени: конечный временной горизонт
Обозначим через L+ множество неотрицательных случайных величин на (Q,T,P). Напомним классическое определение (см. [40]). Определение 3,6. Модель удовлетворяет условию отсутствия арбитража (no arbitrage, NA), если А П V\ — {0}. Основным результатом этой главы является следующее утверждение. Теорема 3.7 (ФТТА). Предположим, что множество О, счетно. Модель удовлетворяет условию отсутствия арбитража тогда и только тогда, когда существует вероятностная мера Q Р и (Fn, Q) -мартингал М такой, что Sb М 5 . Рассмотрим модель с пропорциональными операционными издержками, т.е. модель, основанную на неотрицательном (.7 )-согласованном процессе S, в которой Sa — 5, Sb = (1 — a)S, где а Є [0,1) — коэффициент пропорциональных операционных издержек. Из теоремы 3.7 и предложения 3.2 вытекает следующее утверждение. Следствие 3.8. Предположим, что множество Г2 счетно.
Модель с пропорциональными операционными издержками удовлетворяет условию отсутствия арбитража тогда и только тогда, когда существует вероятностная мера Q Р такая, что процесс 3 является {7 т Q) -дельта-мартингалом порядка 1 — а. Доказательство теоремы 3.7 дано в следующем параграфе. Отметим одну сложность, возникающую при рассмотрении моделей с операционными издержками. В функционально-аналитических доказательствах фундаментальной теоремы теории арбитража для случая отсутствия издержек (см. [4], [53], [68], [72]) основную часть составляет получение следующего факта: множество А возможных прибылей замкнуто по вероятности, если выполнено условие отсутствия арбитража. Тогда теорема Д. М. Крепса и Дж. А. Яна (предложение 3.3) обосновывает следующую импликацию NA = существование эквивалентной мартингальной меры, тогда как обратная импликация доказывается просто. Однако, в моделях с операционными издержками множество А не обязательно замкнуто по вероятности — см. пример ниже. Обозначим через С замыкание по вероятности множества С случайных величин. Мы будем также пользоваться обозначением Gn(x) удовлетворяет условию отсутствия арбитража. Положим $ = 2ієнг {2і-і,2г} и рассмотрим последовательность 11$ на множестве {А; }, откуда следует, что случайная величина (5 j - 1)/2 принадлежит замыканию множества А по вероятности. Заметим, что эта случайная величина не ограничена сверху на множестве
В. Следовательно, А ф А. Тем не менее (в предположениях теоремы 3.7), если условие отсутствия арбитража выполнено, то А П Ь\ = {0}. Проверка этого свойства составляет основную часть доказательства теоремы 3.7. Нам потребуются некоторые вспомогательные определения и утверждения. Определение 3.10. Стратегией называется случайный вектор Н = (HQ, ..., Нм) такой, что Нп являются „-измеримыми величинами и J2n=o Нп - 0. Мы будем использовать обозначение Х(Н) : ]ГП_0 (?„(#„) для (дисконтированного) терминального капитала стратегии Н. Определение 3.11. (і) Модель удовлетворяет условию NAo , если не существует стратегии Н такой, что Н,о = 0 и Р(Х(Н) 0) = 1, Р{Х{Н) 0) 0.
Экспоненциальная модель Леви с заменой времени: бесконечный временной горизонт
Отметим, что теория дает формулу для цен платежного поручения только в случае отсутствия арбитража, т.е. "допустимыми" являются лишь безарбитражные модели. В моделях с непрерывным временем понятие без арбитр ажио сти, определяемое формулой (1), является слишком слабым, и оно не позволяет получать результаты, подобные приведенным выше. В то же время, можно давать более сильные определения безарбитражно-сти, для которых верны "аналоги" фундаментальных теорем (см. [11; гл. VII, п. 2]). Обычно при этом вместо (1) рассматривается следующее условие: АПЬ+ = {0}, где А — некоторое замыкание множества возможных прибылей А. Это множество (т.е. класс допустимых стратегий) и его замыкание в разных работах рассматриваются в разных смыслах. Некоторые результаты мы приведем ниже. В заключение описания теорий второй "колонны" сравним ответы, которые они дают на вопрос о стоимости производных финансовых инструментов.
Для простоты будем считать, что на рынке имеется лишь один актив (см. рис. 1). интервал справедливых цен справедливые цены участников равновесная цена Рисунок 1. Цены производных финансовых инструментов. Теория максимизации полезности дает по одной справедливой цене для каждого участника; теория равновесия — единую "равновесную" цену; теория арбитража — интервал цен. Столь различные ответы объясняются количеством исходных данных. Теории максимизации полезности и равновесия предполагают известным гораздо больше информации (например, функции полезности участников), чем теория арбитража. Последняя теория требует лишь знание распределения процесса цены и текущего значения цены имеющихся на рынке активов. И даже не всегда — в ряде работ, например, в [20], [23], [42] распределение процесса цены не предполагается известным. По этой причине теория арбитража (в отличие от теории равновесия) очень широко используется в практических расчетах. Как было отмечено выше, необходимым условием применимости теории арбитража является безарбитражность модели.
Поэтому в применении к конкретным моделям это условие должно быть проверено в первую очередь, тем самым создавая основу для дальнейших рассуждений. Первая глава диссертации посвящена нахождению критериев бе-зарбитражности для двух классов моделей, основанных на процессах Леви. Вторая глава относится к оценке внутренней волатильности в этих моделях. В третьей главе доказывается первая фундаментальная теорема теории арбитража для моделей с дискретным временем и операционными издержками. Остановимся подробнее на целях, методах и результатах каждой из глав. 3. Мартингальные меры в экспоненциальных моделях Леви. В главах 1 и 2 данной работы мы рассматриваем следующие два класса моделей с непрерывным временем, популярные в современной финансовой математике (см. [11], [17], [21], [47]). где X — (одномерный) процесс Леви. в которой процесс дисконтированной цены имеет вид где X — (одномерный) процесс Леви, г — независимый с X неубывающий процесс, (X or)t — Хп (эта модель была введена в [21]). Отметим, что необходимость усложнения моделей вызвана потребностью в более точном описании динамики цен. Классическая модель Блэка-Шоулса, в которой процесс цены предполагается геометрическим броуновским движением, обладает рядом несоответствий со статистическими данными (см. [11; гл. Ill, 4Ь, гл. IV, п. 2,3]). Например, нормальность приращений логарифмов цен и их независимость не подтверждаются для реальных цен. Избавиться от предположения о нормальности позволяют обе модели (3) и (4), а модель (4) допускает зависимые приращения. Как было отмечено выше, понятие арбитража может быть введено неоднозначно в моделях с непрерывным временем. Остановимся на трех из этих понятий.
Компенсатор меры скачков и процесс плотности
Основное содержание первой главы составляют следующие результаты. Предположим, что X — ненулевой процесс Леви, т — отличный от константы неубывающий процесс с cadlag траекториями, независимый с X. Теорема 6. Рассмотрим модель (3) с конечным временным горизонтом, т.е. X = (Xt)te[o,T] (і) Мы имеем Л4а =— монотонный процесс. (И) Предположим, что Ма ф модель является моделью Блэка-Шоулса или Мертона.
Доказательство этого утверждения (теоремы 1.11, 1.12) получается применением преобразования Эшера (см., например, [11; гл. VII, 3с]), т.е. заменой меры вида P\(dx) = с(Х)еХх P(dx). Отметим, что часть (і) этой теоремы была установлена другим методом в [47]. Мы приводим иное доказательство, которое затем используется при получении пункта (И). Теорема 7. Рассмотрим модель (4) с конечным временным горизонтом, т.е. X = (Xt)t o, г = (п)іф,т\ (і) Мы имеем Ліс = 0 -фф- ЛЛ = 0 4Ф- X — монотонный процесс. (и) Предположим, что Ма ф 0- Тогда \Ма\ = 1 $ \М\ = 1 -ФФ-т — детерминированный, непрерывный процесс и модель является моделью Блэка-Шоулса или Мертона. Это утверждение (теоремы 1.18, 1.19) в силу независимости процессов ХИТ является следствием теоремы 6. Теорема 8. Рассмотрим модель (3) с бесконечным временным горизонтом, т.е. X = (Xt)t o- (і) Множество М.а не пусто только в следующих двух случаях: (a) S является Р -мартингалом; (b) ESi 1 и скачки процесса S не ограничены сверху. (И) Предположим, что Л4С Ф 0. В этом случае \Л4(т\ 1 тогда и только тогда, когда модель является моделью Блэка-Шоулса или Мертона. (iii) Мы имеем ІЛЛІ = 0. Доказательство пункта (і) (теорема 1.13) является самым сложным в данной главе.
Оно состоит из двух частей: нахождение стратегий, реализующих арбитраж во всех случаях, кроме (а) и (Ь), и построение мартингальнои меры как предела согласованных мер в случае (Ь). Пункт (іі) вытекает из доказательства пункта (і), а пункт (Ш) (теорема 1.17) основывается на простейшем свойстве равномерно интегрируемых мартингалов. Теорема 9. Рассмотрим модель (4) с бесконечным временным горизонтом, т.е. X = (Xt)r o, т = (т ) о- Предположим, что Тоа — со п.н. Тогда UA4 = 0. Это утверждение (теорема 1.20) аналогично пункту (Ш) предыдущей теоремы. Заметим, что из полученных результатов следует, что в моделях (3) и (4) с конечным временным горизонтом оба условия безар-битражности эквивалентны: NFLVR & NGA (NFLVR — отсутствие бесплатного ленча с исчезающим риском, NGA — отсутствие обобщенного арбитража), причем эти модели практически всегда безарбитражны. В моделях (3) и (4) с бесконечным временным горизонтом всегда существует обобщенный арбитраж, в то время как бесплатный ленч с исчезающим риском может отсутствовать. Приведем пример подобной ситуации, предложенный А. С. Черным в работе [23]. Пример 10. Рассмотрим модель Блэка-Шоулса с бесконечным временным горизонтом и процессом цены St = еВ(-(/2, і 0, где В — броуновское движение. Исходная вероятностная мера является мартингальной, поэтому Л4а ф 0, т.е. бесплатного ленча с исчезающим риском нет. В то же время, в этой модели есть обобщенный арбитраж, поскольку ЫМ. — 0 .
