Введение к работе
з
Актуальной проблемой в области оптимизации транспортных сетей является формулировка и исследование моделей, не предполагающих априорного знания топологии оптимизируемых сетей. В диссертации рассматриваются математические модели задач такого рода, а именно, задач оптимизации транспортных сетей и потоков произвольной природы, в которых заданными являются распределения источников и стоков, но не топология сети. К таким задачам, исследуемым в диссертации, относятся
задачи оптимизации телекоммуникационных, хозяйственпо-коммуиикационных (телефонных, электрических, газовых и трубопроводных) сетей, сети маршрутов городского транспорта, автодорожных и железнодорожных сетей с учетом известных характеристик среды (например, распределения населения, рабочих мест, магазинов и центров обслуживания, транспортный план обычных перемещений населения, индивидуальные затраты на перемещение каждого жителя с использованием проектируемой транспортной сети и без ее использования, а также характеристик местности в задачах городского планирования);
задачи оптимизации транспортных потоков в местности с заданными характеристиками среды, либо потоков информации в телекоммуникационных сетях;
задачи определения оптимальной ценовой политики компании-владельца сети маршрутов городского (автомобильного, железнодорожного) транспорта при известных характеристиках среды и заданной геометрии сети.
Оптимизация во всех задачах такого типа производится с целью минимизации совокупных затрат на пользование сетью (т.е., например, совокупных затрат населения на ежедневные перемещения по городу в задачах городского планирования или совокупной стоимости пересылки данных в телекоммуникационных сетях) при заданных ограничениях (обычно это ограничения бюджетного характера на стоимость создания и эксплуатации сети), а также, в задачах определения оптимальной ценовой политики, с учетом интересов компании-владельца транспортной сети (т.е. с целью максимизации его прибыли при учете интересов пользователей). Сходные задачи оптимизации размещения центров предоставления услуг (так называемые location problems или обобщенные задачи Ферма-Вобера), а также некоторые подобные задачи в дискретных постановках рассматривались многочисленными
исследователями, в том числе Л. Канторовичем, М. Весктапп'ом, Т. Puu, F. Morgan'ом.
В диссертации предложены различные математические модели указанных задач, от допускающих достаточно простую формулировку до весьма сложных, отличающихся степенью учета различных факторов, влияющих на принятие решения. "Ядром" всех этих моделей являются различные варианты "непрерывной" (т.е. недискретной) постановки задачи Монжа-Канторовича оптимального переноса массы, допускающей в качестве входных данных произвольные меры, не обязательно являющиеся дискретными. Использование именно таких постановок значительно упрощает возможность исследования качественных свойств решений соответствующих задач в весьма общей ситуации (когда параметры задач могут быть произвольны).
Методика исследования. В диссертации развиваются методы анализа задач оптимизации транспортных сетей и потоков, основанные на результатах геометрической теории меры и на общей теории Монжа-Канторовича оптимального переноса массы.
Научная новизна. В отличие от большинства работ, посвященных моделям оптимизации транспортных сетей, в диссертации развивается общий подход к таким моделям, не предполагающий априорного знания топологии оптимизируемых сетей. На основании этого подхода
исследуются классические задачи оптимальной ирригации (задачи минимизации функционалов максимального и среднего расстояний на классе замкнутых связных множеств, удовлетворяющих ограничению на длину),
формулируются и исследуются новые модели оптимизации транспортных сетей и потоков, с ограничением связности сетей или без него, а также с возможным учетом различных ценовых политик на пользование сетями,
предлагаются и исследуются модели оптимизации ценовой политики компании-владельца сети маршрутов городского (автомобильного, железнодорожного) транспорта при известных характеристиках среды и заданной геометрии сети.
Теоретическая и практическая значимость. Работа носит
теоретический характер. Полученные результаты позволяют исследовать качественные свойства различных новых оптимизационных задач геометрической теории меры тица меры типа задач оптимизации транспортных сетей и потоков, задач оптимальной ирригации, задач городского планирования, задач оптимизации телекоммуникационных
сетей, основанных на задачах Монжа-Канторовича оптимального переноса массы. Кроме того, эти результаты полезны при численном исследовании предложенных в работе оптимизационных моделей.
Апробация работы. Основные результаты диссертации
докладывались и обсуждались
- на семинарах по математической физике Петербургского
отделения Математического Института им. Стеклова РАН под
руководством О.А. Ладыженской и Н.Н. Уральцевой, 2002, 2003,
2005 гг.
- на семинаре по маломерной математике Петербургского
отделения Математического Института им. Стеклова РАН,
2006 г.
- на семинарах Института Проблем Передачи Информации РАН,
2002, 2005, 2006 гг.
на семинаре института Вейерштрасса (Weierstrasa Institute for Applied Analysis and Stochastics), г. Берлин, Германия, 2005 г.
на семинаре по функционально-дифференциальным уравнениям в научно-исследовательском институте математики г. Ариэль, Израиль, под руководством проф, М.Е. Драхлина, 2002 г.
на семинарах математического факультета Тйхниона, г. Хайфа, Израиль и Университета г. Веер-Шева, Израиль, 2002 г.
на конференциях "Giornato di Lavoro mil Calcolo dell Variazioni e Teoria Geometrica della Misura", г. Левико, Италия, 2001, 2002,
2003, 2004, 2005 гг.
на международной школе-конференции "Nonlinear Analysis and Calculus of Variations" (г. Пиза, Италия, 2005 г.)
на международных симпозиумах "Mathematical Models and Methods in the Study of Traffic Flow" (г. Феррара, Италия, 2003 г. и г. Врешиа, Италия, 2006 г.) и 'Mass Transport Problems, Shape Optimization and Weak Geometrical Structures" (г. Пиза, Италия, 2001 г.)
на международной конференции "Advances in Partial Differential Equations", г. Феррара, Италия, 2003 г.
на семинарах кафедр математики университетов г. Лечче, г. Пиза, политехнических институтов г. Вари и г. Милан, Италия, 2001, 2002, 2003, 2004, 2005, 2006 гг.
Публикации. Основные результаты диссертации опубликованы в монографии [1] и работах (2] — [10].
Структура и объем работы. Диссертация состоит из введения, шести глав, заключения и списка литературы, включающего 81 наименование. Общий объем работы составляет 347 страниц машинописного текста.
